正交变换及其快速算法PPT课件
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paper41：正交变换
paper41：正交变换正交变换是保持图形形状和⼤⼩不变的，包含旋转，及上述变换的复合。
⼏何意义正交变换是保持图形形状和⼤⼩不变的⼏何变换，包含旋转，轴对称及上述变换的复合。
代数定义欧⼏⾥得空间V的线性变换σ称为正交变换，如果它保持向量内积不变，即对任意的α，β∈V，都有(σ(α),σ(β))=(α,β)设σ是n维欧式空间V的⼀个线性变换，于是下⾯4个命题等价1.σ是正交变换2.σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，⼁σ(α)⼁=⼁α⼁3.如果ε_1,ε_2,...,ε_n是标准正交基，那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是标准正交基4.σ在任意⼀组标准正交基下的矩阵是正交矩阵正交矩阵定义:n级实矩阵A称为正交矩阵，如果A'A=E。
(A'表⽰A的转置，E是单位矩阵)分类设A是n维欧式空间V的⼀个正交变换σ在⼀组标准正交基下的矩阵若⼁A⼁=1，则称σ为第⼀类正交变换，若⼁A⼁=-1，则称σ为第⼆类正交变换。
Matlab傅⽴叶变换、余弦变换和⼩波变换1. 离散傅⽴叶变换的 Matlab实现Matlab 函数 fft、fft2 和 fftn 分别可以实现⼀维、⼆维和 N 维 DFT 算法；⽽函数 ifft、ifft2 和 ifftn 则⽤来计算反 DFT 。
这些函数的调⽤格式如下：A＝fft(X,N,DIM)其中，X 表⽰输⼊图像；N 表⽰采样间隔点，如果 X ⼩于该数值，那么 Matlab 将会对 X 进⾏零填充，否则将进⾏截取，使之长度为 N ；DIM 表⽰要进⾏离散傅⽴叶变换。
A＝fft2(X,MROWS,NCOLS)其中，MROWS 和 NCOLS 指定对 X 进⾏零填充后的 X ⼤⼩。
别可以实现⼀维、⼆维和 N 维 DFTA＝fftn(X,SIZE)其中，SIZE 是⼀个向量，它们每⼀个元素都将指定 X 相应维进⾏零填充后的长度。
函数 ifft、ifft2 和 ifftn的调⽤格式于对应的离散傅⽴叶变换函数⼀致。
正交变换优质课件公开课获奖课件省赛课一等奖课件
α=x1ε1+x2ε2+…+xnεn.
β=y1ε1+y2ε2+…+ynεn.
与 Aα=x1Aε1+x2Aε2+…+xnAεn.
Aβ=y1Aε1+y2Aε2+…+ynAεn.
即得
(α, β)=x1y1+x2y2+…+xnyn=(Aα, Aβ).
因而A是正交变换.
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③ (3)<＝>4)) 设A在原则正交基ε1,ε2,…,εn下旳矩阵为A，即
第四节 正交变换
在解析几何中，我们有正交变换旳概念. 正交变 换就是保持点之间旳距离不变旳变换. 在一般旳欧 氏空间中，我们有
定义9 欧氏空间V旳线性变换A称为一种正交变换, 假如它保持向量旳内积不变，即对任意旳α, β∈V, 都有
(Aα, Aβ)=(α, β). 正交变换能够从几种不同方面公平加以刻划.
因为σ相应旳矩阵是A=E-2ββT为一种正交矩
阵，其中β是平面H旳单位法向量.
例2 设σ∈L(R3)，对任意向量ξ=(x1,x2,x3)∈R3 ，令 σ(ξ)=(x2,x3,x1). 则σ是R3旳一种正交变换.
0 1 0
因为σ相应旳矩阵是 A 0 0 1 为一种正交矩阵.
1 0 0
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定理4 设A是n维欧氏空间V旳一种线性变换，于
是下面四个命题是相互等价旳：
1)A是正交变换；
2)A保持向量旳长度不变，即对于α∈V，|Aα|=|α|；
3)假如ε1,ε2,…,εn是原则正交基, 那么Aε1,Aε2,…,Aεn 也是原则正交基；
正交变换
第九章 欧几里得空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的 距离─ 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换 二、n 维欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换
(
)
{
i= j i≠ j
（2）若线性变换 σ 使V的标准正交基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 变 ） 的标准正交基
成标准正交基 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ，则 σ 为V的正 的正 交变换． 交变换． 证：任取 α , β ∈ V ,设
α = x1ε 1 + x2ε 2 + L xnε n β = y1ε 1 + y2ε 2 + L ynε n ,
∴ σ 是正交变换． 是正交变换．
§9.4 正交变换
再证明（ ） 再证明（2）与（3）等价． ）等价．
( 2) ⇒ ( 3)
Q σ (α ) − σ ( β ) = σ (α − β ),
∴ d ( σ (α ),σ ( β ) ) = σ (α ) − σ ( β ) = σ (α − β ) = α − β = d (α , β )
即，(σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A 由于当A是正交矩阵时， 也是V的 由于当 是正交矩阵时，σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n 也是 的 是正交矩阵时 标准正交基， 标准正交基， 为正交变换． 再由 1 即得 σ 为正交变换．
§9.4 正交变换
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的 距离─ 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换 二、n 维欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换
(
)
{
i= j i≠ j
（2）若线性变换 σ 使V的标准正交基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 变 ） 的标准正交基
成标准正交基 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ，则 σ 为V的正 的正 交变换． 交变换． 证：任取 α , β ∈ V ,设
α = x1ε 1 + x2ε 2 + L xnε n β = y1ε 1 + y2ε 2 + L ynε n ,
∴ σ 是正交变换． 是正交变换．
§9.4 正交变换
再证明（ ） 再证明（2）与（3）等价． ）等价．
( 2) ⇒ ( 3)
Q σ (α ) − σ ( β ) = σ (α − β ),
∴ d ( σ (α ),σ ( β ) ) = σ (α ) − σ ( β ) = σ (α − β ) = α − β = d (α , β )
即，(σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A 由于当A是正交矩阵时， 也是V的 由于当 是正交矩阵时，σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n 也是 的 是正交矩阵时 标准正交基， 标准正交基， 为正交变换． 再由 1 即得 σ 为正交变换．
§9.4 正交变换
§9.4正交变换[1]
![§9.4正交变换[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/4e638e89cc22bcd126ff0c8a.png)
第九章 欧几里得空间
必要性。若 σ 是正交变换，由定理9.4.2知 σα1 , σα 2 , 也是V的一个标准正交基。 故A是正交矩阵。
定理9.4.3 设 σ 是n维欧氏空间V的一个线性变换。 σ 是 正交变换的充要条件是：σ 关于V的任意标准正交基的矩阵是正 交矩阵。 证明： 设 α1 , α 2 , , α n 是V的一个标准正交基，则 (σα1 , σα 2 , , σα n ) = (α1 , α 2 , , α n ) A
第九章 欧几里得空间
由以上定理知，欧氏空间的正交变换可用这四个结论中的 任何一个来定义。教材中用保向量内积不变作为正交变换定义。 正交变换保持向量的角度不变，这就是 推论1 设 σ 是欧氏空间V的一个正交变换，α 与β 是V的任意 两个非零向量，则 σ 保持 α 与β 的夹角不变。 (α , β ) 证明：设 θ1是α，β 的夹角，即有 θ1 = arccos α⋅β (σα , σβ ) θ 2 是σα，σβ 的夹角，即 θ 2 = arccos σα ⋅ σβ
对 于是 因此 则对
(σ (α + β ), σ (α + β )) = (α + β , α + β ), (σα , σα ) + 2(σα , σβ ) + (σβ , σβ ) = (α , α ) + 2(α , β ) + ( β , β ) (σα , σβ ) = (α , β ) ∀α , β ∈ V , (σα , σβ ) = (α , β )
B = C −1 AC = C −1 A C = 1
这时，称 σ 是第一类正交变换或旋转变换。 若 σ 在某一标准正交基下的矩阵的行列式为 −1, 则称 σ 是第二类正交变换。
必要性。若 σ 是正交变换，由定理9.4.2知 σα1 , σα 2 , 也是V的一个标准正交基。 故A是正交矩阵。
定理9.4.3 设 σ 是n维欧氏空间V的一个线性变换。 σ 是 正交变换的充要条件是：σ 关于V的任意标准正交基的矩阵是正 交矩阵。 证明： 设 α1 , α 2 , , α n 是V的一个标准正交基，则 (σα1 , σα 2 , , σα n ) = (α1 , α 2 , , α n ) A
第九章 欧几里得空间
由以上定理知，欧氏空间的正交变换可用这四个结论中的 任何一个来定义。教材中用保向量内积不变作为正交变换定义。 正交变换保持向量的角度不变，这就是 推论1 设 σ 是欧氏空间V的一个正交变换，α 与β 是V的任意 两个非零向量，则 σ 保持 α 与β 的夹角不变。 (α , β ) 证明：设 θ1是α，β 的夹角，即有 θ1 = arccos α⋅β (σα , σβ ) θ 2 是σα，σβ 的夹角，即 θ 2 = arccos σα ⋅ σβ
对 于是 因此 则对
(σ (α + β ), σ (α + β )) = (α + β , α + β ), (σα , σα ) + 2(σα , σβ ) + (σβ , σβ ) = (α , α ) + 2(α , β ) + ( β , β ) (σα , σβ ) = (α , β ) ∀α , β ∈ V , (σα , σβ ) = (α , β )
B = C −1 AC = C −1 A C = 1
这时，称 σ 是第一类正交变换或旋转变换。 若 σ 在某一标准正交基下的矩阵的行列式为 −1, 则称 σ 是第二类正交变换。
数字图像处理PPT——第十章 图像的正交变换
F (u , v) = ∑∑ f ( x, y ) ⋅ e
x =0 y =0 M −1 N −1 M −1 N −1
图像处理
− j 2π xu M − j 2π yv N
⋅e
yv xu − j 2π ⎡ ⎤ − j 2π M N = ∑ ⎢ ∑ f ( x, y ) ⋅ e ⎥e x =0 ⎣ y =0 ⎦
f ( x, y )e
⇔ F (u − u0 , v − v0 )
xu0 yv0 − j 2π ( + ) M N
f ( x − x0 , y − y0 ) ⇔ F (u , v)e
二维DFT的主要性质
图像处理
旋转性 空间域函数旋转角度 θ 0 ，那么在变换 域此函数的Fourier也旋转同样的角度。 反之，若 F(u,v) 旋转某一角度，则 f (x, y) 在空间域也旋转同样角度。
−
j 2πux N
1 = N
N / 2 −1
∑ f ( x)W
x =0
N −1
ux N
1 2 = [ 2 N
N / 2 −1
∑
x =0
2 2 ux f (2 x)WN + N
∑
x =1
u f (2 x + 1)WN ( 2 x +1) ]
N 1 1 M −1 1 M −1 ux ux u MΔ [ ∑ f (2 x)WM + f (2 x + 1)WM WN ] ∑ 2 2 M x =0 M x =1 k 1 u W2kN = WN / 2 = [ Fe (u ) + WN Fo (u )] 2 0≤u≤M
−∞
j 2πux
du
x为时域变量，u为频率变量，以上公式称 为Fourier变换对。
x =0 y =0 M −1 N −1 M −1 N −1
图像处理
− j 2π xu M − j 2π yv N
⋅e
yv xu − j 2π ⎡ ⎤ − j 2π M N = ∑ ⎢ ∑ f ( x, y ) ⋅ e ⎥e x =0 ⎣ y =0 ⎦
f ( x, y )e
⇔ F (u − u0 , v − v0 )
xu0 yv0 − j 2π ( + ) M N
f ( x − x0 , y − y0 ) ⇔ F (u , v)e
二维DFT的主要性质
图像处理
旋转性 空间域函数旋转角度 θ 0 ，那么在变换 域此函数的Fourier也旋转同样的角度。 反之，若 F(u,v) 旋转某一角度，则 f (x, y) 在空间域也旋转同样角度。
−
j 2πux N
1 = N
N / 2 −1
∑ f ( x)W
x =0
N −1
ux N
1 2 = [ 2 N
N / 2 −1
∑
x =0
2 2 ux f (2 x)WN + N
∑
x =1
u f (2 x + 1)WN ( 2 x +1) ]
N 1 1 M −1 1 M −1 ux ux u MΔ [ ∑ f (2 x)WM + f (2 x + 1)WM WN ] ∑ 2 2 M x =0 M x =1 k 1 u W2kN = WN / 2 = [ Fe (u ) + WN Fo (u )] 2 0≤u≤M
−∞
j 2πux
du
x为时域变量，u为频率变量，以上公式称 为Fourier变换对。
矩阵的正交变换
矩阵的正交变换是指一个线性变换，该变换通过正交矩阵来实现。
正交矩阵是
一种特殊的矩阵，它的行向量和列向量都是正交的，即它们的点积为零。
如果矩阵P是正交矩阵，那么线性变换y = P x称为正交变换。
正交变换具有
以下性质：
1. 保持向量的长度不变：对于任意向量x，有∣∣y∣∣ = ∣∣x∣∣，即变
换前后的向量长度保持不变。
2. 保持向量的正交性：如果变换前向量x和向量y正交，那么变换后向量y'
和向量x'也正交。
3. 在标准正交基下，正交变换对应的矩阵为正交矩阵。
此外，正交矩阵还有以下性质：
1. 正交矩阵的所有特征值为±1。
2. 正交矩阵的行列式为±1。
3. 正交矩阵的逆矩阵和共轭转置矩阵仍为正交矩阵。
4. 正交矩阵乘积仍为正交矩阵。
这些性质使得正交变换在许多领域中都有重要的应用，例如线性代数、几何学、信号处理等。
线性代数课件7-3正交变换
05
正交变换在信号处理中的 应用
信号分解与合成原理介绍
信号分解
将复杂信号分解为一系列简单信 号的过程，这些简单信号通常是 正交基函数的线性组合。
信号合成
将分解得到的简单信号按照一定 规则重新组合，以恢复或逼近原 始信号的过程。
正交基函数
一组满足正交性条件的函数，用 于表示信号空间中的任意信号。 常见的正交基函数包括正弦函数、 余弦函数、小波基函数等。
曲线和曲面形状描述及性质分析
曲线形状描述
通过正交变换可以对曲线进行形 状描述，如曲线的弯曲程度、拐 点等性质可以通过正交变换进行
分析。
曲面形状描述
正交变换也可以用于曲面的形状描 述，如曲面的弯曲程度、法线方向 等性质可以通过正交变换进行分析。
性质分析
通过正交变换可以分析曲线和曲面 的性质，如曲线的长度、曲面的面 积等性质可以通过正交变换进行计 算和分析。
小波变换原理及实现方法
小波变换原理
小波变换是一种时频分析方法，通过伸缩和 平移小波基函数来匹配信号的局部特性。与 傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频 分辨率和局部化特性，适用于非平稳信号的 分析和处理。
实现方法
小波变换的实现包括连续小波变换（CWT） 和离散小波变换（DWT）两种方法。CWT 通过连续变化的小波基函数对信号进行匹配， 可以得到信号的时频分布；DWT则通过离 散化的小波基函数对信号进行分解和重构， 可以实现信号的压缩和去噪等应用。
通过正交变换得到的标准型具有唯一性，即不依赖于正交矩阵的选择。
02
正交变换的求解方法
施密特正交化过程
01 选择一组线性无关的向量作为起始向量组。
02
对起始向量组进行施密特正交化，得到一组 正交向量组。
第四讲-变换技术
第四讲 变换技术
王荣刚
北京大学深圳研究生院数字媒体研究中心 2015.10.09
内容提要
为什么要做变换 最优变换： KLT 实用变换：DCT 快速DCT 整数变换 ABT
2
为什么要做变换？
将空域信号变换到频域信号，有效地去除了信 号的相关性，并使大部分能量集中到低频区域 根据变换的这一特点，有选择的编码部分显著 的低频域信号，丢弃不显著的高频域信号，可 以达到提高压缩效率的目的
例如对于4点DCT矩阵
1 1 1 1 1 c s s c H 2 1 1 1 1 s c c s
c@ = 2 cos 8
s= @ 2 sin 8
设α = 26(同模)，α=2.5（非同模，H.264）
27
整数变换
DCT变换的问题
变换矩阵系数存在浮点数，浮点运算复杂 存在舍入误差，解码端无法精确重建图像（drift errors） If X = H x, u = round(HT X), then u(n) = x(n) for all n?
用于与DCT变换性能类似的整数变换代替DCT
ρ接近于1的AR(1)模型可以很好的描述自然图 像的像素相关性
14
连续N个像素的自相关矩阵
ρ接近1时（0.9）, Rxx的特征矢量和一系列的不同频率的余弦信号 相似，在这种情况下DCT可以近似KLT[1]
15
DCT变换
DCT变换矩阵
例如，当N=8时
C8*C8T = I8, DCT的变换核是正交的
16
DCT变换的物理解释
前向变换 y = Tx (x，y是Nx1的矢量)
设ti是T的第i行 yi = <tiT, x>(内积) yi描述了x和ti的相似度，x和ti的相似度越大，yi值越 大 y反映了x与每个周期信号ti的相似度
王荣刚
北京大学深圳研究生院数字媒体研究中心 2015.10.09
内容提要
为什么要做变换 最优变换： KLT 实用变换：DCT 快速DCT 整数变换 ABT
2
为什么要做变换？
将空域信号变换到频域信号，有效地去除了信 号的相关性，并使大部分能量集中到低频区域 根据变换的这一特点，有选择的编码部分显著 的低频域信号，丢弃不显著的高频域信号，可 以达到提高压缩效率的目的
例如对于4点DCT矩阵
1 1 1 1 1 c s s c H 2 1 1 1 1 s c c s
c@ = 2 cos 8
s= @ 2 sin 8
设α = 26(同模)，α=2.5（非同模，H.264）
27
整数变换
DCT变换的问题
变换矩阵系数存在浮点数，浮点运算复杂 存在舍入误差，解码端无法精确重建图像（drift errors） If X = H x, u = round(HT X), then u(n) = x(n) for all n?
用于与DCT变换性能类似的整数变换代替DCT
ρ接近于1的AR(1)模型可以很好的描述自然图 像的像素相关性
14
连续N个像素的自相关矩阵
ρ接近1时（0.9）, Rxx的特征矢量和一系列的不同频率的余弦信号 相似，在这种情况下DCT可以近似KLT[1]
15
DCT变换
DCT变换矩阵
例如，当N=8时
C8*C8T = I8, DCT的变换核是正交的
16
DCT变换的物理解释
前向变换 y = Tx (x，y是Nx1的矢量)
设ti是T的第i行 yi = <tiT, x>(内积) yi描述了x和ti的相似度，x和ti的相似度越大，yi值越 大 y反映了x与每个周期信号ti的相似度
第四章正交变换1
对图像的旋转变换和傅里叶变换的顺序是可交换的
第四章 正交变换
14
傅里叶变换（离散）
8. 卷积定理：空域中的卷积等价于频域中的相乘
9. 相关定理：空域中f ( x, y) 与 g ( x, y ) 的相等等价于频域中 F (u, v) 的共轭与 G (u, v) 相乘 自相关：
互相关：
第四章 正交变换
n0
快速傅里叶变换（FFT）
令
W e
j
2 N
,W 1 e
x ( n )W
j
2 N
,
傅里叶变换对表示为：
1 x (n) N
N 1 n0
X ( m)
N 1 n0
mn
X ( m)W mn
第四章 正交变换
21
傅里叶变换（离散）
快速傅里叶变换（FFT）
将 X (m) x(n)W mn 展开可得到如下算式：
第四章 正交变换
33
傅里叶变换（离散）
(2) 对偶节点的计算
如: x1 ( 0) 和 x1 ( 4 ) 就是一对对偶节点，因为它们均来源于 x(0)和x(4)。对偶节点的计算也就是求出在每次迭代中对 偶节点的间隔或者节距。由流程图可见，第一次迭代的 N N 节距为 ，第二次迭代的节距为 4 ，第三次迭代的节距 N 2 为 3 等等。由以上分析可得到如下对偶节点的计算方法。
这种算法的蝶式流程图如下(a)和(b)所示 ，其中图(a)输入
为顺序的，运算结果是乱序的；图(b)输入为乱序的，运算结 果是顺序的。
第四章 正交变换 26
傅里叶变换（离散）
第四章 正交变换
27
傅里叶变换（离散）
第四章 正交变换
第8章信号处理中常用的正交变换.
设X、Y为 两 个Hilbert空 间 ，x, y分 别 是 其 中 的 信 号 ， 对算 子A有 y Ax
则 称A为 一 个 变 换 。
若A为 线 性 的 ， 则 称 为 线 性变 换 。 若 Ax, Ax x, x y, y ,则 称 为正交变换。
正 交 变 换A具 有 下 列 性 质 ：
补充内容：EMD/HHT
希尔伯特空间中的正交变换
赋范线性空间 内积空间 完备的内积空间（希尔伯特空间）
若X为 希 尔 伯 特 空 间 ， 信 号1，2， ，N 线 性 独 立 ， 则 可 成 为 一个 基
N
x nn n1
若1，2， ，N 线 性 独 立, 且 是 两 两 正 交 的 ， 则 称为 正 交 基 。
x AT y xˆ AT yˆ
特征值分解
PCA用于信号降噪
x1 x2
x2
x3
x3 x4
xm
xm1
xm 2
x j j 1, , N
xi xi1 xim1
xN m1
xN
m
2
xN
x'1,1 x'1,2
x'2,1
x'2,2
x'm,1
x'm,2
x'1,3 x'2,3 x'm,3
x'1,i x'2,i x'm,i
x'1,N m1
x'2,
N
m 1
x'm,
N
m
1
xˆ j
1
min{m,min{ j, N
j 1}}
x'k ,l
k l 1 j
j 1, , N
则 称A为 一 个 变 换 。
若A为 线 性 的 ， 则 称 为 线 性变 换 。 若 Ax, Ax x, x y, y ,则 称 为正交变换。
正 交 变 换A具 有 下 列 性 质 ：
补充内容：EMD/HHT
希尔伯特空间中的正交变换
赋范线性空间 内积空间 完备的内积空间（希尔伯特空间）
若X为 希 尔 伯 特 空 间 ， 信 号1，2， ，N 线 性 独 立 ， 则 可 成 为 一个 基
N
x nn n1
若1，2， ，N 线 性 独 立, 且 是 两 两 正 交 的 ， 则 称为 正 交 基 。
x AT y xˆ AT yˆ
特征值分解
PCA用于信号降噪
x1 x2
x2
x3
x3 x4
xm
xm1
xm 2
x j j 1, , N
xi xi1 xim1
xN m1
xN
m
2
xN
x'1,1 x'1,2
x'2,1
x'2,2
x'm,1
x'm,2
x'1,3 x'2,3 x'm,3
x'1,i x'2,i x'm,i
x'1,N m1
x'2,
N
m 1
x'm,
N
m
1
xˆ j
1
min{m,min{ j, N
j 1}}
x'k ,l
k l 1 j
j 1, , N
正交变换原理讲解PPT
信号压缩可以把信息数据压下来，以压缩形式存储和传输，既节约了存储空间，又提
高了通信干线的传输效率，同时也可使计算机实时处理音频、视频信息，以保证播放出高
质量的视频、音频节目成为可能。用于声音图象数据压缩的编码方法甚多。
13
第一组
感谢观看
用这些少量的数据同样表述原有的信息。对这些系数进行量化、编码，就
可以达到压缩编码的目的。
正交变换应是可逆的，但是由于利用系数分布集中的特点，当舍去集
中区域外的那些系数后的逆变换就会产生一定的误差。一个好的正交变换 ，
舍去集中区域外的系数值后，进行的逆变换得到的图象和声音与原先图象
和声音质量相差不大。这就达到了在基本保质的前提下较大的提高数据压
那么称为正交矩阵，简称正交阵。
4. 若为正交矩阵，则线性变换 = 称为正交变换。设
= 为正交变换，则
有
y =
= = = .
由于 表示向量的长度，相当于线段的长度，
因此 y = 说明经正交变换线段长度不变。
4
Part 01
1.2 数字信号处理中的正交变换：
低次分量之中（M<N）。
（3）最佳特性
K-L变换是在均方误差测度下，失真最小的一种变换，其失真为被略去的各分量之和。
由于这一特性，K-L变换被称为最佳变换。许多其他变换都将K-L变换作为性能上比较的
参考标准。
（4）无快速算法，且变换矩阵随不同的信号样值集合而不同。
这是K-L变换的一个缺点，是K-L变换实际应用中的一个很大障碍。
正
交
变
换
的
性
质
1. 正交变换的基向量即是其对偶基向量。
2. 展开系数是信号在基向量上的准确投影。
高了通信干线的传输效率，同时也可使计算机实时处理音频、视频信息，以保证播放出高
质量的视频、音频节目成为可能。用于声音图象数据压缩的编码方法甚多。
13
第一组
感谢观看
用这些少量的数据同样表述原有的信息。对这些系数进行量化、编码，就
可以达到压缩编码的目的。
正交变换应是可逆的，但是由于利用系数分布集中的特点，当舍去集
中区域外的那些系数后的逆变换就会产生一定的误差。一个好的正交变换 ，
舍去集中区域外的系数值后，进行的逆变换得到的图象和声音与原先图象
和声音质量相差不大。这就达到了在基本保质的前提下较大的提高数据压
那么称为正交矩阵，简称正交阵。
4. 若为正交矩阵，则线性变换 = 称为正交变换。设
= 为正交变换，则
有
y =
= = = .
由于 表示向量的长度，相当于线段的长度，
因此 y = 说明经正交变换线段长度不变。
4
Part 01
1.2 数字信号处理中的正交变换：
低次分量之中（M<N）。
（3）最佳特性
K-L变换是在均方误差测度下，失真最小的一种变换，其失真为被略去的各分量之和。
由于这一特性，K-L变换被称为最佳变换。许多其他变换都将K-L变换作为性能上比较的
参考标准。
（4）无快速算法，且变换矩阵随不同的信号样值集合而不同。
这是K-L变换的一个缺点，是K-L变换实际应用中的一个很大障碍。
正
交
变
换
的
性
质
1. 正交变换的基向量即是其对偶基向量。
2. 展开系数是信号在基向量上的准确投影。
§4正交变换
( A , A ) ( , ) .
再来证明1）与3）等价. ( 1 ) (3 )
,2 , , 设 是一组标准正交基，则 1 n 1 ,i j , ( AA , ) (, ) (, i j 1 ,2 , ,n ) . i j i j 0 ,i j A , A , , A 由此可知， 也是标准正交基. 1 2 n (3 ) ( 1 ) ,2 , , , A , , 设 是一组标准正交基，则 A 1 n 1 2 A n 也是一组标准正交基，于是对于 , V ,设
( A ,) A 2 ( A , A ) ( A , A )
( A A , A A ) ( A ( ) ,( A ) ) ( , ) . ( , ) 2 ( ,) ( ,) ,
再利用 ( 即得 A , A ) ( ,) , ( A , A ) (, )
,2 ,3 建立的直角坐标系是右手 式等于 1，则以 1
三维几何空间中的右手系和左手系的概念可以
只是没有了右手法则和左 广到一般n维欧氏空间中，
手法则这样直观的表示. 于是我们就直接按过渡矩 阵的行列式列的符号（即等于+1还是－1）对n 维欧 氏空间中的的标准正交基进行分类. 欧氏空间（也 可用于线性空间）中所有的基分为两类： 先选取一 组基，凡是与它的过渡矩阵大于零的基属于一类， 反之，与它的过渡矩阵小于零的基属于另一类.
n
n
n
j 1 n
于是
xi yj (A i , A j )
n
i 1
lec18-正交矩阵和正交变换
• 向量空间· 基和维数 一. 内积和正交性 n , = aibi = T i =1 共线共面 维数 仿射坐标系
Rn
线性相关 维数 基
直角坐标系 标准正交基
二. 标准正交基和Schmidt正交化方法 i , j ij 将l.i.向量化为正交向量组
第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
(2) 5维泛对角方的向量空间B: R=C=H=N (3) 要求所有数都相等: 一维向量空间G = {rI,r∈R}， 其中I是一个全1的矩阵. (4) 特别的，当r =0: 0维向量空间 {O}
和为 46.
Dürer魔方空间的子空间
能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗？
令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和
一般的可逆变换y = Ax (A可逆)可以改变图形 的大小和形状。
Dürer魔方空间的子空间
能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗？
令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和
(1) 7维Dürer魔方空间D：R=C=D=S
令H为主对角线和，N为付对角线和 (类似于行列式的对角线法则)
17 2 11 16 16 11 22 3 PB 12 7 6 21 1 26 7 12
1 a 1. 若 A 是正交矩阵, 则a,b,c满足条件 b c a = b = 0, c = 1.
1 b 1 2 2 a c 1 a bc 0
2
•若A是正交矩阵, 则|A3AT| = 1;
第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
四. Rn上的可逆线性变换和正交变换
章第四章n维向量44向量的内积a2a0520005a6cos??sinsincosq可逆变换可以改变图形的大小和形状可逆变换可以改变图形的大小和形状正交变换不改变图形的大小和形状正交变换不改变图形的大小和形状换对应的正交变换yqx对应的可逆变换对应的可逆变换yaxqq12205xaxx??????????44向量的内积r3rn线性相关共线共面基系直角坐标系标准正交基维数标准正交基维数仿射坐标系三三
Rn
线性相关 维数 基
直角坐标系 标准正交基
二. 标准正交基和Schmidt正交化方法 i , j ij 将l.i.向量化为正交向量组
第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
(2) 5维泛对角方的向量空间B: R=C=H=N (3) 要求所有数都相等: 一维向量空间G = {rI,r∈R}， 其中I是一个全1的矩阵. (4) 特别的，当r =0: 0维向量空间 {O}
和为 46.
Dürer魔方空间的子空间
能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗？
令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和
一般的可逆变换y = Ax (A可逆)可以改变图形 的大小和形状。
Dürer魔方空间的子空间
能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗？
令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和
(1) 7维Dürer魔方空间D：R=C=D=S
令H为主对角线和，N为付对角线和 (类似于行列式的对角线法则)
17 2 11 16 16 11 22 3 PB 12 7 6 21 1 26 7 12
1 a 1. 若 A 是正交矩阵, 则a,b,c满足条件 b c a = b = 0, c = 1.
1 b 1 2 2 a c 1 a bc 0
2
•若A是正交矩阵, 则|A3AT| = 1;
第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
四. Rn上的可逆线性变换和正交变换
章第四章n维向量44向量的内积a2a0520005a6cos??sinsincosq可逆变换可以改变图形的大小和形状可逆变换可以改变图形的大小和形状正交变换不改变图形的大小和形状正交变换不改变图形的大小和形状换对应的正交变换yqx对应的可逆变换对应的可逆变换yaxqq12205xaxx??????????44向量的内积r3rn线性相关共线共面基系直角坐标系标准正交基维数标准正交基维数仿射坐标系三三
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N
N
FFT算法分类：
1) 按时间抽取(DIT)
2) 按频率抽取(DIF)
09.05.2020
-
1
3.1.1 按时间抽取(DIT)的FFT
序x列 (n)按奇偶分为两组
x(x2(r2 r)1)x1x(2r()r)
r0,1,,N1 2
N 1
X (k ) DFT [ x (n )]
W
nk N
n0
N
r0
r0
q 1
W
W
( N
p
1)
k
x ( pr p 1)
( pr p 1)k N
r0
p 1
q 1
W W
lk x ( pr l ) prk
N
N
l0
r0
由W 于 N prkWN rkpW qprk
q1
q1
W W x(p rl) pr k x(p rl) rk
N
q
r0
r0
DF[x(Tp rl)]Ql(k)k, 0,1,,q1
正交变换及其快速算法
3.1 快速傅里叶变换(FFT)
FF是 T 运算离散傅(D 里F叶 )的 T 变 快换 速算法
N1
W X(k) x(n) nk,k0,1,,N1 N n0
利用 W因子的两个特性：
W W W (1)周期性： (kN)n kn k(nN)
N
N
N
W W (2)对称性： (kN2) k
09.05.2020
-
10
结论N点 ：的 DF可 T 用 p组的 q点DF来 T 组成
N
N
no
nN/2
(N/2)1
(N/2)1
W W x(n) nk x(nN/2) (nN/2)k
N
N
no
no
(N/2)1
W W
[x(n) (N/2)k x(nN/ 2)] nk
N
N
no
将X(k)分解为偶数组和奇数组
(1) W (N/2)1
X(k) [x(n)
k
x(n N / 2)]
nk
N
no
(N / 2)1
W X(2r) [x(n) x(n N / 2)] 2nr N no
(N / 2)1
W [x(n) x(n N / 2)] nr N/2 no
09.05.2020
-
6
(N/2)1
W X(2r1) [x(n)x(nN/2)] (2r1)n N no
(N/2)1
WW [x(n)x(nN/2)] n rn N N/2 no
09.05.2020
-
9
q 1
q 1
W W x ( pr ) prk x ( pr 1) ( pr 1)k
N
N
r0
r0
q 1
W x ( pr p 1) ( pr p 1) k N
r0
q 1
q 1
W W
x ( pr )
prk N
W
k N
x ( pr 1)
( pr 1)k
算法一：FFT流图中所有系数变符号，再除以常数N, 然后输入输出位置对换，即为IFFT
算法二：改变蝶形公式
时间抽取的FFT－－－频率抽取的IFFT
频率抽取的FFT－－－时间抽取的IFFT
W 算法 x (n ) 1 三 [N 1 X * (k ： ) n]* k 1 { D[X F * (k )T * ]}
N个蝶形运(与 算 DI相 构 T 似 )成 2
09.05.2020
-7Biblioteka 3.1.3 IFFT的运算方法
W ID :x ( n ) F ID T [ X ( k )F ] 1 N T 1 X ( k ) n ,n k 0 , 1 ,.N .1 .,
N k 0
N
N 1
W 比 D ： 较 X F ( k ) T D [ x ( F n ) ]T x ( n ) nk ,k 0 ,1 ,.N . 1 ., N n 0
W x1(n)x(n)x(nN/2)
x2(n)[x(n)x(nN/2)]
n N
n0,1,, N1 2
(N/2)1
W X(2r)
x1(n)
nr N/2
得
n0
(N/2)1
W X(2r1)
x2(n)
nr N/2
n0
结论：对于2的 任整 何数 N一 2幂 M 个 ，总可以 M次通过
2点的 DF运 T 算
总运算量：
mF
NM 2
N2 log2
N
aF NMNlog2 N
总结：FFT算法的两个特点
1) 原位运算
即每一级运算的结果仍然存储在原来的存储器中
2) 变址
输入倒序，输出顺序，存在“码位倒置”
09.05.2020
-
5
3.1.2 按频率抽取(DIF)的FFT
序列x(n)按前后对半分开
(N/2)1
N1
W W X(k) x(n) nk x(n) nk
x1x(12(l2l)1)x3x(4l()l)
l 0,1,, N1 4
可得X1X(N14(k)k)X3X(k3)(k)WNW 2kNX2k4X(k4)(k)
k0,1,, N1 4
09.05.2020
-
4
结论：对于2的 任整 何数 N一 2幂 M 个 ，总可以 M次通过 2点的 DF运 T 算
N个蝶形运算构成 2
利 W 因 用子的特性
X (N 2k)X 1(k) W N kX 2(k)
k0 ,1 , ,N 1 2
09.05.2020
-
3
分解后的计算量：
N点的DFT需要(N)2 N2 次复乘
2
24
N点的DFT合成为N点DFT需要N次相乘
2
2
2(N)2＋N N(N1) N2 次复乘
2 22
2
N2M
N2 点DF再 T 作分解
N k 0
NN
09.05.2020
-
8
3.1.4 混合基FFT算法
定义：当N是一个复合数,即可把N分解成一些因子的乘积 则可以用FFT的一般算法
N pq的情况
将x(n)分成p组
x(pr) p组 x(pr1)
x(pr p1)
r 0,1, ,q1
N点DFT运算也相应分解p组为
N1
W X(k) x(n) nk N n0
x
(
n
)W
n N
k
＋
x
(
n
)W
nk N
n 为偶数
n 为奇数
N 1
N 1
2
2
x
(
2
r
)W
2 N
rk
x(2r
1)W
(2 r 1)k N
r0
r0
N 1
N 1
2
2
x1
(
r
)W
2 N
rk
W
k N
x
2
(
r
)W
2 N
rk
r0
r0
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-
2
W 2rk N
W rk N2
N 1
N 1
2
2
X (k) x1(r)WNrk2 WNk x2 (r)WNrk2
r 0
r 0
X1(k) WNk X 2 (k)
N 1
N 1
2
2
其中X1(k) x1(r)WNrk2 x(2r)WNrk2
r 0
r 0
0 k N 1 2
N 1
N 1
2
2
X 2 (k) x2 (r)WNrk2 x(2r 1)WNrk2
r 0
r 0
0 k N 1 2
这样，一个N点的DFT被分解成两个N/2点的DFT