数学北师大版选修1-2 第3章 4 反证法

§4 反证法

学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．

知识点反证法

(1)定义：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．

(2)反证法常见的矛盾类型

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理矛盾等．

1．反证法属于间接证明问题的方法．( √)

2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( ×)

3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．( √)

类型一用反证法证明否定性命题

例1 已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.

考点反证法及应用

题点反证法的应用

证明假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.

因为ad－bc＝1，

所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，

即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.

所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，

则a＝b＝c＝d＝0，

这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立．

所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.

反思与感悟(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：

结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，

而反面比较具体，适合使用反证法． (2)用反证法证明数学命题的步骤

跟踪训练1 已知三个正数a ，b ，c 成等比数列但不成等差数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用

证明 假设a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ， ∴4b ＝a ＋c ＋2ac.①

∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2

＝ac ，② 由②得b ＝ac ，代入①式， 得a ＋c －2ac ＝(a －c)2＝0， ∴a ＝c ，从而a ＝b ＝c.

这与已知a ，b ，c 不成等差数列相矛盾， ∴假设不成立．故a ，b ，c 不成等差数列． 类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题

例2 a ，b ，c ∈(0,2)，求证：(2－a)b ，(2－b)c ，(2－c)a 不能都大于1. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用

证明 假设(2－a)b ，(2－b)c ，(2－c)a 都大于1. 因为a ，b ，c ∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0. 所以(2－a )＋b 2

≥(2－a )b>1.

同理(2－b )＋c 2≥(2－b )c>1，(2－c )＋a 2≥(2－c )a>1.

三式相加，得(2－a )＋b 2＋(2－b )＋c 2＋(2－c )＋a

2>3，

即3>3，矛盾．

所以(2－a)b ，(2－b)c ，(2－c)a 不能都大于1. 引申探究

已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不能都大于1

4

.

证明 假设(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 都大于1

4.

∵a ，b ，c 都是小于1的正数， ∴1－a,1－b,1－c 都是正数． ∴

(1－a )＋b

2

≥(1－a )b>14＝12

. 同理，(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12

.

三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>3

2，

即32>3

2

，显然不成立． ∴(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不能都大于1

4

.

反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”

当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：

跟踪训练2 已知a ，b ，c 是互不相等的实数，求证：由y 1＝ax 2

＋2bx ＋c ，y 2＝bx 2

＋2cx ＋a 和y 3＝cx 2

＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用

证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点， 由y 1＝ax 2

＋2bx ＋c ，y 2＝bx 2

＋2cx ＋a ，y 3＝cx 2

＋2ax ＋b ， 得其对应方程的Δ1＝4b 2

－4ac ≤0，Δ2＝4c 2

－4ab ≤0， 且Δ3＝4a 2

－4bc ≤0. 同向不等式求和，得

4b 2

＋4c 2

＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0， 所以2a 2

＋2b 2

＋2c 2

－2ab －2bc －2ac ≤0，

所以(a －b)2

＋(b －c)2

＋(a －c)2

≤0，所以a ＝b ＝c.

这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证． 类型三 用反证法证明唯一性命题 例3 求证：方程2x

＝3有且只有一个根． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用

证明 ∵2x

＝3，∴x ＝log 23.这说明方程2x

＝3有根． 下面用反证法证明方程2x

＝3的根是唯一的． 假设方程2x

＝3至少有两个根b 1，b 2(b 1≠b 2)， 则12b

＝3,22b

＝3，两式相除得1

2

2b b －＝1，

∴b 1－b 2＝0，则b 1＝b 2，这与b 1≠b 2矛盾． ∴假设不成立，从而原命题得证．

反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．

跟踪训练3 若函数f(x)在区间[a ，b]上是增加的，求证：方程f(x)＝0在区间[a ，b]上至多有一个实根． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用

证明 假设方程f(x)＝0在区间[a ，b]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a ，b]上是增加的，所以f(α)<f(β)．这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程f(x)＝0在区间[a ，b]上至多有一个实根.

1．证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( ) A ．三角形中至少有一个直角或钝角 B ．三角形中至少有两个直角或钝角 C ．三角形中没有直角或钝角 D ．三角形中三个角都是直角或钝角 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 B

2．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( ) A ．有一个内角小于60°

B ．每一个内角都小于60°