两圆曲线之间的缓和曲线的点位计算及测设方法

312 以 (ZH ) 为测站点
(1) 首先确定 (ZH ) 点的实地位置及 x 方向, 因为 (ZH ) 点至 (YH ) 点距离为 S=
x
2 0
+
y20 ,
先在 (YH )
设 站用极坐标法根据距离 S 与 (YH ) 至 (ZH ) 和 (YH ) 至 A 点的角度 90°- (Α+ Χ) , 将 (ZH ) 点标定于实
坐标系 x- (ZH ) - y, 则 (YH ) 点在 x- (ZH ) - y 坐标下的坐标
x0= l0-
l30
40R
2 1
y0=
l20 6R 1
将 x′方向与 x 方向的夹角记为 Β0, 将 (ZH ) 点与 (YH ) 点相连, 其连线方向与 x 方向的夹角为 ∆o, 如
图 1 所示。
根据缓和曲线的特性:
x i=
( l0+ li) -
( l0+ li)
40R
2 2
(
l0
+
5
l12 )
+
………
yi=
( l0+ 6R 2 ( l0
li) 3 + l12)
-
( l0
336R
3 2
+ ( l0
li) +
7
l12
)
3
+
………
实际应用时可只取前两项即可。
由坐标轴的平移和旋转公式可求得 i 点在 x′- (YH ) - y′坐标系下的坐标:
地; 再以 (ZH ) 为测站, 以 (YH ) 为后视方向测设角度 ∆0, 即可标定出 x 方向。
( 2) 有了测站点和后视方向, 可将缓和曲线 l12作为从 (ZH ) 到 (H Y) 整条缓和曲线上的一段, 用一般
缓和曲线的测设方法即可测设出该段缓和曲线。
参考文献
(1) 李青岳, 陈永奇 1 工程测量学 1 北京: 测绘出版社, 1995 (2) 刘延伯 1 工程测量 1 北京: 冶金工业出版社, 1984
则 Β0=
l0 2R
1
·
18Π0°, ∆0
=
1 3
Β0=
l0 6R
1
·
18Π0°, Χ=
Β0-
∆0=
2 3
Β0=
l0 180° 3R 1 Π
若 i 点是缓和曲线 l12上的任一点, 该点到 (YH ) 的缓和曲线长度为 li, 则该点至 (ZH ) 点的缓和曲线
长度为 l0= li, 那么 i 点在 x- (ZH ) - y 坐标系下的坐标为:
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1 2
· l1 R1
·18Π0°=
90°(1-
l1 ΠR
1
)
,
则
x′方向与
(YH
)、A
的连线夹角为
90°+ Α。
(2) 在 (YH ) 点安置仪器, 以 A 点为后视方向测设角度 90°+ Α即可标定出 x′方向。 有了 x′方向即可
用直角坐标法、偏角法或极坐标法等均可将缓和曲线上的每一点测设于实地。
1999 年第 4 期 山 东 教 育 学 院 学 报 总第 74 期
两圆曲线之间的缓和曲线 的点位计算及测设方法①
郭丰伦
1 前言
在城市道路、铁路及矿山建设中, 经常需要测设复曲线, 当相邻两圆曲线的曲率半径差超过一定值
时, 这两曲线必须通过缓和曲线连接。 对于直线与圆曲线之间的缓和曲线, 我国铁路上常采用螺旋线的
缓和曲线是工程测量中较常见的一种, 本文不做介绍。而对两圆曲线间增设缓和曲线的点位坐标参数方
程进行了推算并提出了几种测设点位方法, 供同行们参考。
2 公式推导
图 1A～ B 是线路的一段曲线, A～ (YH ) 是半径为 R 1 的圆曲线, (H Y)～ B 是半径为 R 2 的圆曲线, 从 (YH )～ (H Y) 是一段缓和曲线半径从 R 1 变化到 R 2, 其长度为 l12 (缓和曲线也称为 l12) , 则缓和曲线的 半径变化率 C 可以这样表示
① 收稿日期: 1999—04—06 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
6 8 山 东 教 育 学 院 学 报 1999 年
其次以 (ZH ) 为坐标原点, 与缓和曲线 l0 相切的方向为 x 方向, 与 x 方向垂直的方向为 y 方向, 建立
x′i co sΒ0 sinΒ0 y′i = - sinΒ0 co sΒ0
xi- x0 yi- y0
3 测设方法
311 以 (YH ) 为测站点
(1) 以 (YH ) 作为测站点, 必须要标定出后视方向, 连接A、(YH ) 两点其连线与 y′方向的夹角为 Α, 若
圆弧 A～ (YH ) 的长为 l1, 则 Α= 90°-
C=
l12·R 1·R 2 R 1- R 2
图1 假定 A～ (YH ) 是已测设的圆曲线, 为了求得缓和曲线 l12 上任一点的位置, 以 (YH ) 为坐标原点, 过 (YH ) 点的半径指向圆心的方向为 y′方向, 过 (YH ) 点的切线方向为 x′方向, 建立坐标系 x′- (YH ) - y′, 其 坐标原点(YH ) 的坐标为(x0, y0)。再将缓和曲线由(H Y) 点至(YH ) 点反向延伸, 其曲线的曲率半径变化率C 值不变, 半径从 R 2 变为 R 1, 直至缓和曲线变为直线, 此时半径变为无穷大, 找到一点, 设为点 (ZH )。 即从 (ZH ) 点至(YH ) 点为缓和曲线, 半径从无穷大到 R 1, 其长度为 l0 (该曲线也称为 l0) , 则 l0= C R 1。
形式。 当在直线与圆曲线之间嵌入缓和曲线后, 其曲率半径由无穷大逐渐变化到圆曲线的半径 R; 当在
两圆曲线之间嵌入缓和曲线后, 其缓和曲线的曲率半径则是由第一圆曲线的曲率半径 R 1 逐渐变化到第 二圆曲线的曲率半径 R 2。在这两种情况下缓和曲线是相似的, 但在施工放样时却存在很大差异, 这些差 异表现在施工坐标系的建立、缓和曲线上点位坐标的参数方程以线路的一段曲线ayh是半径为r1的圆曲线hyb是半径为r2的圆曲线yhhy是一段缓和曲线半径从r1变化到r2其长度为l12缓和曲线也称为l12则缓和曲线的半径变化率c可以这样表示l12r1r2r1假定ayh是已测设的圆曲线为了求得缓和曲线l12上任一点的位置以yh为坐标原点过yh点的半径指向圆心的方向为y方向过yh点的切线方向为x方向建立坐标系坐标原点yh的坐标为x0y0