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直接证明--综合法
姓名____________班级___________学号____________分数______________ 一、选择题
1 ．设m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，则x与y的大小关系为（）
A．x>y；B．x=y；C．x<y；D．x≠y。

2 ．若的大小关系是( )
A．B．
C．D．随x的值的变化而变化
3 ．（2008年上海市长宁区高三教学质量检测（理））三位同学合作学习，对问题“已知不
等式对于恒成立,求的取值范围”提出了各自的解题思路.
甲说：“可视为变量，为常量来分析”.
乙说：“寻找与的关系，再作分析”.
丙说：“把字母单独放在一边，再作分析”.
参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数的取值范围是．
4 ．数学中的综合法是（）
A．由结果追溯到产生原因的思维方法B．由原因推导到结果的思维方法
C．由反例说明结果不成立的思维方法D．由特例推导到一般的思维方法
5 ．（江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练（推理与证明））设，
求证：．
6 ．（2008年福建高中新课标数学选修（1-2））已知，求证：．
7 ．证明不等式：
8 ．用适当方法证明：已知：，求证：。

9 ．已知ΔABC的三条边分别为求证：
10．（福建省莆田四中08-09学年高三(理)）已知、、均为正数，
求证：。

11．（湛江一中数学新课标2-2检测试卷）已知x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=1。

求证：。

12．（福建德化一中07-08学年上学期期末考试选修2-2）已知，
（1）分别就判断m与n的大小关系，并由此猜想对于任意的，m与n的大小关系及取得等号的条件；
（2）类比第（1）小题的猜想，得出关于任意的相应的猜想，并证明这个猜想。

13．已知，为正数，且，。

求证：。

14．（湖北省襄樊四中2010届高二文科数学《不等式》测试）已知：且，求证：（1）；（2）．
15．已知，求证：
16．已知a，b，c是全不相等的正实数，求证。

17．（2008年7月山东省青岛市高二期末统考(文)）已知实数、、满足，
．
（1）求证：关于的方程有一个正实根和一个负实根；
（2）证明：．
18．若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求证≤2，≤1．
19．已知：,，
试比较M ，N 的大小：你能得出一个一般结论吗？
20．已知
21．（08届江苏省教育学会数学预测卷）已知a,b,c 均为正数，且a+b+c=1,求证：
（1）；
（2）。

22．（08届江苏省海门中学高考前１５天适应性考试）设是正数，求证：
；
23．（2008年江西南昌二中数学高考信息卷）已知
，求证
；
24．（2008年广州市花都区高考解答题预测（理））用演绎推理证明:已知a,b,m 均为正实数，
b<a,
25．（高三数学）已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，且有a ＋b ＋c ＝1，a 2
＋b 2
＋c 2
＝1．
求证：1＜a ＋b ＜34
．
26．（2007-2008浙江温州中学高二第一学期期末（文））已知
，证明：。

27．（08届吉林省吉林市第一学期期末(理)）已知函数
设关于x 的方程的两实根为x 1、x 2，方程
的两实根为.
（1）若=1，求a 、b 的关系式；
（2）若
28．（08届博白中学高三数学8月月考试题（理科））已知a ＞0，函数f （x ）＝a x －b x 2
．
（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f （x ）≤1，证明a ≤2；
（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0，1］，| f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2
；
29．（2008届湖南省株洲市二模（文））已知二次函数
.
（1）对于
有两个不等的实根，且必有一个实根在内；
（2）若方程内的根为m，且成等差数列，设的对称轴方程，求证：
30．比较与的大小.
31．已知，求证.
32．已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：
直接证明--综合法参考答案
1 ．A
2 ．A
3 ．
4 ．B
5 ．证明：
，
又
．
6 ．证明：，
．
又，，，
将以上三个不等式相加，得，
．
．7 ．证明：
＜
=2－
＜2
8 ．证明：（用综合法）∵，
9 ．证明：设
设是上的任意两个实数，且，
因为，所以。

所以在上是增函数。

由知即.
10．∵、、均为正数∴
同理可得：，
当且仅当时，以上三式等号都成立
三式两边分别相加，并除以得：。

11．证明：
12．解：（1）当时，m=n=1,当时，，故由此可以猜想：
任意的，有，当且仅当a=b时取得等号；
（2）类比第（1）小题，对于任意的，猜想：
,当且仅当a=b=c时取得等号。

证明如下：
对于，要证成立，
只需证：
即证：
即证： (*)
∵对于，有
同理:,
∴不等式（*）成立。

要使（*）的等号成立，必须，故当a=b=c时等号成立。

13．证明：∵=
==
∴
14．解：（1）
(2)
三式相乘即证.
15．方法一：作差比较：
方法二：排序不等式：不妨设，
根据排序不等式：
16．证法1：（分析法）
要证
只需证明
即证
而事实上，由a，b，c是全不相等的正实数
∴
∴
∴得证.
证法2：（综合法）
∵a，b，c全不相等
∴与，与，与全不相等.
∴
三式相加得
∴
即．
17．（1），，
，
又，方程有一个正实根，一个负实根
（2），，
又，
18．证(作差比较法)
∵a＞0，b＞0，a3+b3=2，
∴=a3+b3++3ab2-8==3[
==≤0，
即≤23．
又∵，∴≤2．∵≤≤2，∴≤1．
19．解先考查两个变量的情形
（1-a）(1-b)=1-a-b+ab≥1-a-b 当且仅当a、b中至少有1个为零时,等号成立
∴(1-a)(1-b)(1-c)≥(1-a-b)(1-c)=1-a-b-c+c(a+b) ≥1-a-b-c当且仅当a、b、c 中至少有2个为零时,等号成立于是(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)≥1-a-b-c-d,当且仅当
a、b 、c、d中至少有3个为零时,等号成立∴a、
b、
c、d至少有3个为0时,M=N,
否则M>N ．
20．
21．解（1）∵a,b,c均为正数，且，
∴
=
=8
∴
（2）∵
，∴.
22．简证：∵，∴，，，三个同向正值不等式相乘得
23．解：证一：利用在上增，
即：
证二：分析法。

24．证明：（1）不等式两边乘以同一个正数，不等式仍成立，
b<a,m>0, 所以mb<ma.
（2）不等式两边加上同一个数，不等式仍成立， mb<ma. ab=ab, 所以ab+mb<ab+ma. 即b(a+m)<a(b+m)
（3）不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立， b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0,
25．因为a ＋b ＝1－c ，ab ＝
2a2＋b2＝c 2
－c ，
所以a ，b 是方程x 2
－(1－c )x ＋c 2
－c ＝0的两个不等实根， 则△＝(1－c )2
－4(c 2
－c )＞0，得－31
＜c ＜1，
而(c －a )(c －b )＝c 2
－(a ＋b )c ＋ab ＞0， 即c 2－(1－c )c ＋c 2
－c ＞0，得c ＜0，或c ＞32， 所以－31＜c ＜0，即1＜a ＋b ＜34
．
26．证明：∵
－＝
∴
27．解：（1）由有两个不等实根为α、β，
由
（2）证明：，
则
综上所述，
28．（Ⅰ）证明：依设，对任意x∈R，都有f（x）≤1，
∵f（x）＝，
∴≤1，∵a＞0，b＞0，∴a≤2．
（Ⅱ）证明：必要性
对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1－1≤f（x），据此可以推出－1≤f（1），
即a－b≥－1，∴a≥b－1；
对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1f（x）≤1，因为b＞1，可以推出f（）≤1，
即a·－1≤1，∴a≤2；∴b－1≤a≤2．
充分性
因为b＞1，a≥b－1，对任意x∈［0，1］，可以推出
ax－bx2≥b（x－x2）－x≥－x≥－1，即ax－bx2≥－1；
因为b＞1，a≤2，对任意x∈［0，1］，可以推出ax－bx2≤2x－bx2≤1，即ax－bx2≤1．∴－1≤f（x）≤1．
综上，当b＞1时，对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2 29．证明：（1）由
由，故此方程的判别式
∴方程有两个不等的实根.
令是二次函数，
∵，
∴的根必有一个实根在内.
（2）由题设，得，
即有
∵成等差数列，∴
∴，
故
∵，∴.
30．因为
所以.
31．左边
∵，∴，，，
于是，，而.
故成立.
32．左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比数列，
又∵a，b，c都是正数，所以≤∴
∴
∴。