八年级初二数学 二次根式(讲义及答案)含答案

八年级初二数学 二次根式(讲义及答案)含答案
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A =
B =
C =
D =2．下列计算结果正确的是（ ）
A B ．3=
C =D
=3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A
B
C ．
D
4．（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．
D -
5．下列运算正确的是（ ）
A =
B =
C ．3=
D 2= 6．下列计算正确的是（ ）
A =
B 3=
C =
D ．21=
7．化简 ）
A
B
C D
8．若a b > ）
A ．-
B ．-
C ．
D ．
9．下列运算正确的是（ ）
A =
B ．(2
8-=
C 12
=
D 1=
10．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ）
A B C D
11．230x -=成立的x 的值为（ ）
A ．-2
B ．3
C ．-2或3
D ．以上都不对
12．与根式- ）
A ．
B ．x -
C ．D
二、填空题
13．已知x =(
)21142221x x x x -⎛⎫+⋅= ⎪-+-⎝⎭_________
14．若0a >化成最简二次根式为________． 15．能力拓展：
1A =
2A =；3:A =；
4A =________．
…n A ：________．
()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空．
()2比较大小1A 和2A
()3
-
16．2==________． 17．设12211112S =+
+，22211123S =++，322
11
134S =++，设
...S =S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为
正整数)．
18．把_____________. 19．已知整数x ，y 满足
y =
，则y =__________．
20．能合并成一项，则a =______．
三、解答题
21．计算及解方程组：
（1
-1-） （2
)
2
+
（3）解方程组：25103
2x y x y x y -=⎧⎪
+-⎨=⎪⎩
【答案】（1
）2
）7；（3）102x y =⎧⎨=⎩
．
【分析】
（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可； （2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可； （3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】
（1
1-
1+（
1
1
=1 （2
2
+）
=34-
=7-
=7-
（3）2510
32x y x y x y
-=⎧⎪
⎨+-=⎪⎩
①②
由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2 ∴原方程组的解是：10
2x y =⎧⎨=⎩
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．
22．先阅读下列解答过程，然后再解答：
,a b，使a b m
=，使得
+=，ab n
22m
+==
a b
==>
)
+=⨯=，
==，由于437,4312
m n
7,12
+=，=
即：227
===+。

2
问题：
①__________
=；
=___________
②（请写出计算过程）
【答案】（112；（22.
【分析】
a的形式化简后就可以得出结论了．
【详解】
解：（1
=
=
1
2；
（2
2
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用．
23．已知1,2y =. 【答案】1 【解析】 【分析】
根据已知和二次根式的性质求出x 、y 的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x 、y 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 1-8x≥0，x≤18
8x-1≥0，x≥18，∴x=18，y=12
，
∴原式532-==1222
. 【点睛】
本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x 、y ，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．
24．计算：（1(041--；
（2⎛- ⎝
【答案】（1；（2）【解析】
试题分析：根据二次根式的性质及分母有理化，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可解答.
试题解析：（1(041--
（2⎛- ⎝
-
0-
=
25．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．
【答案】(2x - 【分析】
先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案． 【详解】
解：4y x ⎛- ⎝ ((
=-
(
2x =-
∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时
原式(23=-==【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．
26．先化简，再求值：(()69x x x x --+，其中1x =
.
【答案】化简得6x+6，代入得 【分析】
根据整式的运算公式进行化简即可求解. 【详解】
(()
69x x x x +--+
=22369x x x --++ =6x+6
把1x =
代入原式=61）
【点睛】
此题主要考查实数的运算，解题的关键熟知整式的运算法则.
27．
一样的式子，其实我
==
==
，
1
===；以上这种化简的步骤叫做分母有理
化
还可以用以下方法化简：
2
2
111
1
===
-
=
（1
2
）化简：
2n
++
+
【答案】（1
-2
.
【解析】
试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．
试题解析：（1）
==
===
（2）原式
2n
+++
=
1
2
.
考点：分母有理化．
28．(1)已知a2+b2
=6，ab=1，求a﹣
b的值；
(2)已知b=，求a2+b2的值．
【答案】（1）±2；（2）2．
【分析】
（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解．
【详解】
（1）由a2+b2=6，ab=1，得a2+b2-2ab=4，
（a-b）2=4，
a-b=±2．
a===
（2）
1
b===，
2
222
+=+-=-=-= ()22312
a b a b ab
⎝⎭
【点睛】
本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
29．已知x²+2xy+y²的值.
【答案】16
【解析】
分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到
x²+2xy+y²=（x+y）²，然后利用整体代入的方法计算．
本题解析：
∵x² +2xy+y² =(x+y)²，
∴当
∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.
30．计算下列各题：
（1
-．
（2）2
【答案】（1）2）2
--
【分析】
（1）根据二次根式的运算顺序和运算法则计算即可；
（2）利用平方差、完全平方公式进行计算．
【详解】
解：（1）原式==；
=--+
（2）原式22(5
525
=---
=--
2
【点睛】
本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是关键．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据二次根式加法法则，二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案.
【详解】
=，
=3
∴A、C、D均错误，B正确，
故选：B.
【点睛】
此题考查二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，熟记计算法则是正确解题的关键. 2．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的加法、减法、乘法、分母有理化逐一进行计算判断即可．
【详解】
A不能合并，故A选项错误；
B．-=B选项错误；
C=
==D选项错误，
D
故选C．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，分母有理化，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据最简二次根式的特点解答即可.
【详解】
A，故该选项不符合题意；
B=
C、
D不能化简，即为最简二次根式，
故选：D.
【点睛】
此题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的特点：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能再开方的因式或因数，牢记特点是解题的关键.
4．C
解析：C
【解析】
解：原式=故选C．
5．D
解析：D
【分析】
利用二次根式的加减法对A、C进行判断；利用二次根式的性质对B进行判断；利用二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】
解：A A选项错误；
B=B选项错误；
C、=C选项错误；
=，所以D选项正确．
D2
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6．A
解析：A
【分析】
分别进行二次根式的乘除法、加减法运算，然后选择正确答案．
【详解】
解：==
==
==，原式计算错误；
D. 2220
=-=，原式计算错误；
故应选：A
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法和加减法，掌握运算法则是解答本题的关键．7．C
解析：C
【解析】
根据二次根式有意义的条件可知﹣1
x
＞0，求得x＜0，然后根据二次根式的化简，可得x
.
故选C．
8．D
解析：D
【分析】
首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可；
【详解】
∴-a3b≥0
∵a＞b，
∴a＞0，b＜0
a ab
=-，
故选：D．
【点睛】
此题考查二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．
9．B
解析：B
【分析】
根据二次根式的性质及运算法则依次计算各项后即可解答．
【详解】
选项A A错误；
选项B，(2428
-=⨯=，选项B正确；
选项C
1
24
==，选项C错误；
选项D1，选项D错误．
综上，符合题意的只有选项B．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质及运算法则，熟练运用二次根式的性质及运算法则是解决问题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.
【详解】
A、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；
B、x-3＞0，解得：x＞3，故此选项错误；
C、x+3＞0，解得：x＞-3，故此选项错误；
D、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．
11．B
解析：B
【分析】
根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案.
【详解】
x30
-=，
=0
=，
∴x=-2或x=3，
又∵
20
30 x
x
+≥
⎧
⎨
-≥
⎩
，
∴x=3，故选B.【点睛】
本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.
12．D
解析：D
【分析】
先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可.
【详解】
由题意可得x 是负数，
所以-x x
-⋅=- 故选：D .
【点睛】
此题考查二次根式的化简，二次根式的乘法计算法则，正确化简二次根式是解题的关键，注意题目中x 的符号是负号，这是解题的难点. 二、填空题
13．【分析】
利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可.
【详解】
将代入得：
故答案为：
【点睛】
本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在
解析：1-【分析】
利用完全平方公式化简x =
1x =；化简分式，最后将1x =代
入化简后的分式，计算即可.
【详解】
1x =====
()211422(2)(2)2221(2)(2)2(1)x x x x x x x x x x x -++-+-⎛⎫+⋅= ⎪-+--+-⎝⎭
1
x x =-
将1x =1
=-
故答案为：1-【点睛】
本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简x =熟练掌握相关知识点是解题关键. 14．【分析】
先判断b 的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.
【详解】
解：∵
∴
∴
所以答案是：
【点睛】
本题考查了二次根式的性质.
解析： 【分析】
先判断b 的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.
【详解】 解：∵40,0a a b
-≥> ∴0b < 2a b b b b
=--
所以答案是： 【点睛】
a =.
15．(1)、；(2);(3)
【解析】
【分析】
（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；
（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等
解析：(1)
=；(2),,><<;(3) ,,<<< 【解析】
【分析】
（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；
（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等式仍成立，求得
>1）的结论解答；
（3）利用（2）的结论进行填空.
【详解】
解：（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以
=，
（2>
1>>，
<
<
（3）由（1）、（2<，
故答案为：
=；(2),,><<;(3),,<<< 【点睛】
主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.
16．【解析】
【分析】
用换元法代替两个带根号的式子，得出m 、n 的关系式，解方程组求m 、n 的值即可．
【详解】
设m＝，n＝，
那么m−n＝2①，
m2＋n2＝()2＋()2＝34②．
由①得，m＝2
解析：13
【解析】
【分析】
用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】
设m n
那么m−n＝2①，
m2＋n2＝2＋2＝34②．
由①得，m＝2＋n③，
将③代入②得：n2＋2n−15＝0，
解得：n＝−5（舍去）或n＝3，
因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．
n＋2m＝13．
【点睛】
此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．
17．【分析】
先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n的式子表示其规律，再计算S的值即可．
【详解】
解：∵，∴；
∵，∴；
∵，∴；
……
∵，
∴；
∴
．
故答案为：
【点睛】
本题 解析：221
n n n ++ 【分析】
n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．
【详解】 解：∵1221191=124S =+
+
311122===+-； ∵222114912336S =+
+=
7111116623===+=+-； ∵32211169134144S =+
+=
1311111121234===+=+-； …… ∵()()()2
22222111111n n n S n n n n ++=++=++，
()()2111111111n n n n n n n n ++=
==+=+-+
++；
∴...S =1111111112231
n n =+-++-++-+…+ 111
n n =+-+． 221
n n n +=+ 故答案为：221
n n n ++ 【点睛】
本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，
同时要注意对于式子()11111
n n n n =-++的理解． 18．-
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质，可得答案
【详解】
由题意可得：，即
∴
故答案为
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定
解析：
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质，可得答案
【详解】
由题意可得：1
m
，即0
m
∴11m
m m m
m m
m
故答案为
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定m的取值范围.
19．2018
【解析】
试题解析：
，
令，，
显然，
∴，
∴，
∵与奇偶数相同，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2018.
解析：2018
【解析】
试题解析：
y ==
=
令a =
b = 显然0a b >≥，
∴224036a b -=，
∴()()4036a b a b +-=，
∵()a b +与()-a b 奇偶数相同，
∴20182a b a b +=⎧⎨-=⎩
， ∴10101008a b =⎧⎨=⎩
， ∴2018y a b =+=．
故答案为：2018.
20．4
【分析】
根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a 的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
解：=2，
由最简二次根式与能合并成一项，得
a-1=3．
解
解析：4
【分析】
根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a 的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
能合并成一项，得
a-1=3．
解得a=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被
开方数相同的二次根式．三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无
29．无
30．无。