风能利用系数为0.6328--0.834的理论证明推导公式

类别：风电设备设计、计算、工艺、测试及认证
风能利用系数为0.6328--0.834的理论证明推导公式
孟英志
河北海外科技开发有限公司石家庄市050000
长期以来，风电行业比较一致认同的观点是根据贝茨理论得出，风力发电机最大风能利用系数为0.593。

然而，这只是针对水平轴风力发电机而言，对于垂直轴风力发电机来说，普遍的观点是升力型的垂直轴风力发电机与水平轴具有相同的最大风能利用系数为0.593，阻力型则低很多；在实际应用中，水平轴风力发电机的最高风能利用系数已经可以达到0.5，而升力型垂直轴的最高风能利用系数只能达到0.4。

然而，本公司经过长期以来，进行了大量的理论研究及实验研究，通过大量的实验数据证明，升力型垂直轴风力发电机的最高风能利用系数可以远远高于水平轴的最大风能利用系数0.593；可以达到0.602--0.834之间；下面将我公司的研究结果公布于众，仅供广大同仁参考研究，为我们共同的风力发电事业做出一点微薄的贡献。

方案一：升力型垂直轴风力发电机组的最大功率系数：
利用动量理论，可以推导出升力型垂直轴风力发电机组可以从风中获得理论上的最大功率。

为此，需要进行一下理论假设（此理论假设与水平轴升力型的理论假设是相同的）：
1、气流为连续、不可压缩的均匀流体。

2、无摩擦力。

3、风轮叶片无限多。

4、气流对风轮面的推力均匀一致。

5、风轮尾流无旋转。

6、在风轮的前远方及后远方，风轮周围无湍流处的静压力相等。

下面，让我们来考虑图1所示的风力发电机组前后气流模型（包含水平轴）。

图1：风力发电机组前后的气流
根据连续定律，可以推出：
ρA1V1=ρAV=ρA2V2
由于空气不可压缩，空气密度ρ保持不变，所以，
A1V1=AV=A2V2 (1)
气流对风轮推力应该等于气流流入和留出风轮的动量变化，因此可以写成：
T=dm/dt(V1-V2)=ρAV(V1-V2) (2)
另外，推力T还应该等于风轮前后静压力变化与风轮面积的乘积，即
T=（p+-p-）A (3)
同时，风轮前后气体状态可以利用伯努力方程分别写成下两式：
P∞+1/2ρV1²=p++1/2ρV²
p-+1/2ρV²=P∞+1/2ρV2²
将两式合并可以得到，
p+-p-=1/2ρ（V1²-V2²） (4)
将式（4）代入到式（3）中，
T=1/2ρ（V1²-V2²）A (5)
将式（5）与（2）相等可以得到：
1/2ρ（V1²-V2²）A=ρAV(V1-V2)
于是得出：V=（V1+V2)/2 (6)
上式表明，通过风力发电机组风轮的气流速度刚好等于风轮前远方和风轮后远方气流速度的平均值。

在此，定义并引入速度减少率α（轴向诱导系数）：
α=(V1-V)/V1 (7)
将式（7）代入到式（6）中得到，
V2=V1（1–2α） (8)
从风轮中得到的功率P1(W),应该等于单位时间内动能的变化，因此，
P1=1/2×dm/dt（V1²-V2²）=1/2×ρAV（V1²-V2²） (9)
由式（6）、式（8）和式（9），可以推出功率P(W)的表达式：
P1=1/2×ρA V1³[4α（1–α）²] (10)
至此为止，本理论推导与水平轴的相同；然而，由于垂直轴叶片被风有两次作用，当风第一次作用于叶片时，产生功率P1，当风第二次作用于叶片时，有产生功率P2，总功率P应当等于P1与P2之和；我们假设风两次作用于叶片时的α相同；与P1的推导过程同理，可以得出：P2=1/2×ρA V2³[4α（1–α）²] (11)
P=P1+P2 (12)
由式（8）、式（10）和式（11），代入到式（12）中，可以推出功率P(W)的表达式：P=1/2×ρA V1³[4α（1–α）²][1+(1-2α)³] (13)
而风的功率表达式是：
PW=1/2×ρA V1³ (14)
所以功率系数可以写成下式：
Cp=[4α（1–α）²][1+(1-2α)³] (15)
我们通过做出了Cp与α对应关系曲线图，如图1所示，求得：当α=0.25时，Cp有对应最大值0.6328。

由此可以看出，升力型垂直轴风力发电机的最大风能利用系数可以高于水平轴的最大风能利用系数4%；因此，升力型垂直轴风力发电机效率是非常具有开发潜力的。

图2：Cp与α关系曲线图
图中横轴代表α取值；竖轴代表相应的Cp对应值
讨论：在上述理论推导的过程中，我们假设了“风两次作用于叶片时的α相同”，由于当α不相同时的理论超出我们能力范围，因此，我们没有进行论证，但我们有理由相信，当α不相同时，存在Cp值大于0.6328的可能。

方案二：升力型垂直轴风力发电机组的最大功率系数：
当风第一次作用于叶片时，产生功率P1，风能的最大转化效率是59.3%；也即最大功率系数0.593；那么，还有40.7%的剩余能量第二次作用于风轮叶片；假如这40.7%的剩余能量，仍然可以被最大效率的利用，那么，又有40.7%×0.593=24.1%的能量可以被利用，因此，总的能量利用效率应当为：59.3%+24.1%=83.4%；因此，升力型垂直轴风力发电机组的最大功率系数的极限可以达到0.834。

结论：
基于方案一与方案二的理论论证，我们有理由相信：升力型垂直轴风力发电机组的最大功率系数在0.6328与0.834之间。

实验验证：
从理论上我们论证了升力型垂直轴风力发电机组的最大功率系数远远大于水平轴最大功率系数，那么，为什么在实际应用当中，垂直轴的最大功率系数又远远低于水平轴呢？水平轴最大功率系数已经实际能达到0.5；而垂直轴的，据统计，多数厂家生产的风机，最大功率系数在0.26—0.4之间。

原因就是垂直轴风机在工作过程中，有75%左右的风力做正功，另外，还有25%左右的风，产生阻力作用，做负功，这样，75%-25%=50%；因此，实际只有50%的风能在做有用功，那么，即使风能利用系数能高达0.8；实际测得值也只有0.8×50%=0.4左右。

我们的实验方法：
我们在升力型垂直轴风力发电机风轮产生阻力作用的叶片的前面，安装了一个风导流罩，其作用是，风导流罩可以将阻力风导流改变方向，变为吹向风轮做正功的部位，转化为正推力风，如图2所示；因此，实际风能利用率为75%+25%=100%；，可以比原来的50%发电效率提高一倍。

而且，风导流罩通过控制器可以随风向变动，无论来自任意方向的风，都可以起到上述作用。

图3
我们采用了叶片高3.6米，回转直径3.2米的3千瓦风力发电机进行了实际测试，如下图4，图5风机照片所示；在安装了导流罩的情况下，实际测得在8.5米/秒风速下，输出功率最高可达2.56千瓦；由理论计算可知，在8.5米/秒风速下，风功率为369w/m²，我们的扫风面积为：3.2×3.6=11.52m ²，因此，实际测得风最大功率系数为0.602，已经远远优于最好的水平轴风力发电机组。

图5
由于我们的实验条件所限，我们还没有得出最完美的实验结论，而且，这一实验还在进一步进行当中，我们呼吁国家应当大力支持升力型垂直轴风力发电机的技术研究及设备开发，衷心的希望更多、更有实力的企业或个人，加入到我们的研究之中，我们诚心的期待与更多的人进行合作，为突破风力发电的极限进行不懈的努力。

谢谢！
参考文献：《风能技术》（日）牛山泉编著刘薇李岩译（科学出版社）。