ch14非线性电阻电路

“负电阻”性质。
二、非线性电容元件 ① 非线性电容元件的库伏特性遵循某种特定的非 线性函数关系。其库伏特性不是过原点的直线。 非线性电容元件的图形符号与库伏函数关系:
q=f(u) u=h(q)
压控电容q f (u)
非线性电容分类 荷控电容u f (q)
单调性电容
②非线性电容的静态电容 Cs 和动态电容 Cd
i
Us
i(u)
Ri
I0
P
o
U0 Us
u
由该电路可求得 :
i1 (t )
us (t) R0 Rd
u1 (t )
Rd i1 (t )
Rdus (t) R0 Rd
例1：计算工作点和工作点处由小信号电源所产生 的电压、电流。
已知：
i
I0 iS(t) +
R0 u
i=f(u)
I0 20A, R0 1Ω,
小与u、i 有关，伏安特性不是过原点的直线。
非线性电阻元件的图形符号与伏安函数关系:
u f (i) i g(u)
流控电阻
非线性电阻元件的分类
压控电阻
单调性电阻
1 流控电阻：
电阻两端电压是其电流的单值函数。
i 对每一电流值有唯一的
电压与 之对应，对任一电压值则
可能有多个电流与之对应(不唯一)。
iS(t) 0.9sin t A,
u 2 i f (u)
0
u0 u0
解: 由KCL可得：
u R0
i
I0
is
代入参数得：u+f(u)=20+0.9sint
(1) 先求静态工作点 Q
令 is (t) 0
由上式得：u u2 20
对应的工作点的电压： UQ 4V
由非线性电阻的伏安 特性得：
a i
+
u
网络
b
① ab 以左部分为线性电路，其u,i 关系为
u U0 R0i
其特性为经过点A、B的一条直线。
i
U0 A R0
i=f(u)
② ab 右边为非线性电阻， 其伏安特性为
i f (u)
iQ
Q
曲线如图所示。
B
o
uQ U0
u
两曲线交点坐标 (uQ , iQ )即为所求解答。
14.3 分段线性化方法
① 若F(x1) 0
则 x1是方程的解；
② 若F(x1) 0 则用上述方法继续迭代，
第k+1次迭代的修正值为： xk1 xk (DF(xk ))1F(xk )
该式成立的充分必要条件是Jacobi矩阵 DF(xk )可逆。
如果F(xk1) 0
则 x* xk 1是方程的解，否则继续迭代。
实际上只要F(x k 1 )足够小，亦即:
特点：将非线性电路元件的特性曲线进行分段 线性化处理后，将非线性电路的求解过程分成若干 个线性区段来进行。
对每一个线性区段，确定出对应的等效电路后， 就可应用线性电路的分析方法求解，从而求得非线 性电路的近似解。
如图所示N形曲线是隧道二极管的伏安特性曲线 该曲线可用图中三段直线近似替代。
各段直线的斜率为电 路工作在该直线段内时的 动态电导，
0
u
某些充气二极管具有类似伏安特性。 流控电阻的伏安特性呈“S”型。
2 压控电阻： 电阻两端电流是其电压的单值函数。
i 对每一电压值有唯一
的电流与 之对应，对任一电流
值则可能有多个电压与之对应
0
u (不唯一)。
隧道二极管( 单极晶体管 )具有此伏安特性。
压控电阻的伏安特性呈“N”型。
“S”型和“N”型电阻的伏安特性均有一段 下倾段，在此段内电流随电压增大而减小。
Gbu (Gb Ga )U1 Gbu Isb
其中 Isb (Gb Ga )U1 为已知量。
相当于一个独立电流源，故在该段可用下图所示 一个线性电导和一个电流源的并联电路来等效。
③在BC段工作时隧道二极管相应的线性电路
当 U2 u 时，有:
i GaU1 Gb (U2 U1) Gc (u U2 ) Gcu (Gb Ga )U1 (Gc Gb )U2 Gcu Isc
① 首先考虑无小信号作用的情况 ，R0
令 us (t) 0
此时，KVL方程为：
U0
U0 R0i u
其中，u、i 为 U0 作用产生.
i + u
i
U0 A
R0
i=f(u)
IQ
Q
B
o
UQ Us
u
非线性电阻的伏安特性 i = f(u) 如上图。
作图法可求出其静态工作点Q ： (UQ , IQ )
这种电感既不是链控型也不是流控型非线性电感。
14.2 分析非线性电阻电路的图解 法
一、简单串并联非线性电阻电路的图解法
① 非线性电阻的串联
i
+ + u1 +
u
u2
u u1 u2 i i1 i2
u u1 u2 f1(i1) f2(i2) f (i)
u
u'
u1'
u'2
u1'
o
i'
② 当考虑有小信号电压作用
即 us (t) 0时，
因U0 us (t)
所以待求解u和i必定处于静态工作点(UQ , IQ ) 附近。
因此可将u和i近似表示为:
u UQ u1(t)
i IQ i1(t)
i
U0 A R0
IQ
o
i=f(u)
Q
B
U Q Us
u
式中，u1(t)、i1(t) 是由于小信号 us (t)
一、非线性电阻元件
① 线形电阻元件
线性电阻元件的伏安特性满足欧姆定律。电
阻值大小与u、i 无关（R为常数），其伏安特性为一 过原点的直线。线性电阻的u、i 关系与方向无关。
i
i Ru
i
P
uu
R u tg
i
② 非线性电阻元件 非线性电阻元件的伏安特性不满足欧姆定
律，而遵循某种特定的非线性函数关系。其阻值大
第14章 非线性电路
14.1 非线性电路元件 （R ,L ,C 的基本特性)
14.2 分析非线性电阻电路的图解法（图解法）
14.3 分段线性化方法
（近似法）
14.4 小信号分析法
（近似法）
14.5 牛顿—拉夫逊法
（数值法）
14.6 非线性动态电路状态方程的列写
14.7 求解自治电路的分段线性法
14.1 非线性电路元件
作用所引起的偏差。
u1(t)、i1(t) 在任何时候相对于UQ、IQ都很小。
此时，非线性电阻特性 i = f(u) 可写为:
IQ i1(t) f UQ u1(t) 将上式右边按泰勒级数展开 (略去一次项以上的 高次项 )
u1(t) UQ
IQ i1(t) f (UQ ) f '(UQ )u1(t)
将 F(x0 x0 )在 x0
附近展开成泰勒级数并取其线性部分，可得 :
F(x1) F(x0 ) DF(x0 )x0
式中，DF(x0 ) 为对应的Jacobi矩阵。
令 F(x0 ) DF(x0 )x0 0
若Jacobi矩阵可逆，则可得
x0 (DF(x0 ))1F(x0 )
由此便可确定出第一次修正值 x1
其中
Isc (Gb Ga )U1 (Gc Gb )U2
同样为已知量，相当于一个独立电流源，
故在该段可用上图所示线性电导和电流源 的
并联电路来等效。
14.4 小信号分析 法
小信号分析法是分析非线性电路的一个重要方法， 即“工作点处线性化”，主要应用于那些既有偏置直 流电源作用，又有外加时变小信号作用的非线性电路， 如电子电路中的放大器。
F(xk1)
就可认为迭代收敛。
式中 为按照计算精度要求预先取定的一个很小
i
i
0
u
0
u
3 单调型电阻： 伏安特性单调增长或单调下降。
i+
u
i
iP
0
uu
u、i 一一对应，
既是压控又是流控。
PN结二极管具有 此特性。
u、i 关系具有方向性。
i
iP
0
uu
其伏安特性可用下式表示：
u
i Is (eUT 1)
其中： Is ------- 反向饱和电流
(
常数
)
UT
-
-
--
-
+
uS(t)
+
U0
R0
+
u
i=f(u) R
u0 (t)为交流小信号电源 U0 us (t)
U s 为直流电压电源(建立静态工作点)
R0 为线性电阻
R 为非线性电阻 i f (u)
要求：求解u和i
由于电路中有非线性元件，不能使用叠加定理，因 此采用工作点处线性化的近似计算——小信号分析。
KVL 方程： U0 us (t) R0i u
的n维向量形式，式中 x 为n维待求解向量。 如果 x x*是方程组的解，则 x* 显然应满足:
F(x*) 0
用牛顿—拉夫逊法求解非线性代数方程的 过程可分为如下几步：
(1) 先选取一组合理的初始值x0
如果恰巧 F(x0 ) 0 则 x0是方程的解，否则就做下一步；
(2) 取x1 x0 x0作为修正值,其中x0应足够小。
分别记为:
Ga、Gb、Gc
在每个直线段内，隧道二极管的伏安特性可用一个 相应的线性电路来等效。
① 在OA段工作时隧道二极管相应的线性电路
当 0 u U1时有： i Gau
因此可以用上面所示的线性电导来等效。
② 在AB段工作时隧道二极管相应的线性电路
当 U1 u U2时，有： i GaU1 Gb (u U1)
t
V
i1 8u1 8 0.1sin t 0.8sin t A
14.5 牛顿—拉夫逊法（非线性电路的数值解法 ）
对一般的非线性电路，可根据基尔霍夫定律和元件 特性列出相应的电路方程，对这些非线性电路方程，很 难求出其解析解，一般情况下可采用数值解法。
设一般非线性代数方程组可表示为：
F(x) 0
u
在每一个 i 下，图解法
u2
求 u ，将一系列 u、i 值连成
u1
曲线即得串联等效电阻 (仍为
非线性)。 i
两个流控非线性电阻串联的等效电阻仍为 流控非线性电阻。
② 非线性电阻的并联
i + i1 + i2 +
u
u1
u2
i i1 i
i
' 1
i1'
o
u'
i(u) i1 (u) i2 (u)
由前面 IQ f (UQ )
上式可简化为：
i1(t) f '(UQ )u1(t)
又
f ' (UQ ) Gd
1 Rd
为非线性电阻在静态工作点处的动态电导
上式可写为：i1(t) Gdu1(t) 或： u1(t) R d i1(t)
Rd
1 Gd
故在静态工作点处，u1(t)与i1(t) 近似为线性关
单调性电感
非链控非流控电感
②非线性电感的静态电感 Ls 和动态电感 Ld
Ψ
P
i
静态电感: L tg
i
动态电感:
Ld
d
di
tg
③ 非线性电感的韦安特性曲线
非线性电感亦有单调型，但大多数实际非线性电感 元件都包含由铁磁材料所做成的铁心，由于铁磁材料存 在磁滞现象，因此对应的韦安特性曲线都具有如图所示 的回线形式。
系，非线性电阻近似为线性电阻。上述近似的条件是
u1(t)与i1(t) 均很小，即扰动不能偏离工作点太远。
由
U0 us (t) R0i u 得：
U 0 us (t) R0 (IQ i1(t)) UQ u1(t)
U 0 R0 IQ UQ us (t) R0i1(t) u1(t)
u
在每一个 u 下，图解法 求 i，将一系列 i、u值连成曲
线即得其特性曲线 (仍为非线 性)。
如果串并联电路由压控 型非线性电阻和流控型非线性电 阻构成，则等效非线性电阻的伏 安特性既可能是电压的多值函数 也可能是电流的多值函数。
二、非线性电阻电路静态工作点的图解法
a
R0
+
+
u
R
U0
b
线性 含源 电阻
IQ 16A
(2) 求出工作点处的小信号等效电 路 工作点处动态电导：
df (u) Gd du uUQ
2u uUQ 8 S
iS(t) R0
则
Rd
1 Gd
1Ω 4
小信号等效电路如右图：
i1
+ Rd u1(t)
从而可求出工作点处由小信号所产生的电流 和电压分别为：
u1
1 9
0.9 sin
t
0.1sin
u1(t) Rdi1(t) us (t) R0i1(t) Rdi1(t)
由此可得其等效电路：
RS i1(t)
+
+
uS(t)
Rd u1(t)
us (t) R0i1(t) Rdi1(t)
此电路称为非
线 性 电 阻 在 工 作 点 (U0, I0)
处的小信号等效电路。
上述分析方法 称为小信号分析方法。
q
P
静态电容: 动态电容:
u
C q tg
u
Cd
dq du
tg
三、非线性电感元件 ① 非线性电感元件的韦安特性遵循某种特定的非
线性函数关系。其韦安特性不是过原点的直 线非。线性电感元件的图形符号与韦安函数关系:
i=f(Ψ)
Ψ=h(i)
链控电感i f ( )
非线性电感元件
流控电感 =h(i)
温度的电压当量（室温下约为0.026V)
③ 非线性电阻的静态电阻 Rs 和动态电阻 Rd
u
P
i
静态电阻: R u tg
i
动态电阻:
Rd
du di
tg
说明：
(1) P点位置不同时，Rs 与 Rd 均变化。
(2) 对“S”型、“N”型非线性电阻，下倾段
Rd 为负， 因此，动态电阻在这些阶段具有