中考数学锐角三角函数(大题培优)含答案

中考数学锐角三角函数(大题培优)含答案
一、锐角三角函数
1．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E e 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是E e 的切线；
（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E e 于点G ，连接BG ： ①当1
an 7
t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求
BG
CF
的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12.
【解析】 【分析】
（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ∆∆，得1
2
BG CF ≤，从而得解. 【详解】
（1）证明：连接DE ，则：
∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=︒ ∴90BDA ∠=︒ ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠
∵
EB ED =
∴EBD EDB ∠=∠
∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即：EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=︒ ∴90EDO ∠=︒ ∴直线OD 为E e 的切线.
（2）①如图1，当F 位于AB 上时： ∵1~ANF ABC ∆∆
∴
11
NF AF AN AB BC AC
== ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x ==
∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：10
31
x = ∴150531AF x ==
15043
33131
OF =-=
即143,031F ⎛⎫
⎪⎝⎭
如图2，当F 位于BA 的延长线上时： ∵2~AMF ABC ∆∆
∴设3AM x =，则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241
tan 1037
F M x ACF CM x ∠===+ 解得：25
x =
∴252AF x ==
2325OF =+=
即2(5,0)F
②如图，作GM BC ⊥于点M ， ∵BC 是直径
∴90CGB CBF ∠=∠=︒ ∴~CBF CGB ∆∆
∴
8BG MG MG
CF BC == ∵MG ≤半径4=
∴
41
882BG MG CF =≤= ∴BG CF
的最大值为12.
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
2．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
(2) 求证：∠ACF=90°；
(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.
图1 图2
【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析
（2）证明见解析
（3）=2π
【解析】
试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH
（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明
（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长
试题解析：（1）BE=FH．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，
∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°
又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF
∴△ABE≌△EHF（SAS）
∴BE=FH
(2)∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"
∴CH=FH
∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°
∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°
∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°
（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°
过E作EN⊥AC于点N
Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=
Rt△ENA中，EN =
又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）
∴∠EAC=30°
∴AE=
Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8
AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°
=2π·4·（90°÷360°）=2π
考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数
3．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．
(1)求证：PA是☉O的切线；
(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.
【解析】
试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．
试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，
∵OP⊥AB，∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，
∴AE=2OA=4，OB=OA=2，
在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.
易证，所以,解得，
则，在中，.
考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，
△CPD是等腰三角形？
【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.
【解析】
试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.
（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.
（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．
试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm
∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.
（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm
∴t=s=3s．
（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，
则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1
∴BM=cm.∴t=s.
当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，
设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，
∵AD=AH+DH=x+x=x=4，
∴x=3．
当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．
当4＜t≤6时，S MNGH =（t ﹣3）2cm 2
∴S 关于t 的函数关系式为：.
（3）分两种情况：
①∵当DP=PC 时，易知此时N 点为DC 的中点，∴MN=6cm ∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s
故当t=9s 的时候，△CPD 为等腰三角形； ②当DC=PC 时，DC=PC=12cm ∴NC=6
cm
∴EN=16cm ﹣1cm ﹣6cm=（15﹣6
）cm
∴t=（15﹣6）s
故当t=（15﹣6
）s 时，△CPD 为等腰三角形．
综上所述，当t=9s 或t=（15﹣6
）s 时，△CPD 为等腰三角形．
考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.
5．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A ，B 两点之间的距离他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，走到点C 处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D 处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF 之间的距离为200米，求A ，B 两点之间的距离（结果保留一位小数）
【答案】215.6米． 【解析】 【分析】
过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点，
根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ，然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离. 【详解】
解：过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点
在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=︒，
∴AM=CM=200米，
又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米， 在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米 ∴115.6tan 60BN
DN =
≈o
米，
∴215.6MN MD DN AB =+=≈米 即A ，B 两点之间的距离约为215.6米． 【点睛】
本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.
6．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点
A 、点
B ，且ABO ∆的面积为8. （1）求k 的值；
（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.
【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y . 【解析】 【分析】
（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；
(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证
POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；
（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出
QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；
再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到
OD BO
PD MO
=，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32. 【详解】
解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =， ∴4BO =， 又∵4ABO S ∆=，
∴
1
42
AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，
把4x =-，0y =代入4y kx =+， 得044k =-+， 解得1k =. 故答案为1；
（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +
如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，
∴90PDO CEO ∠=∠=︒， ∴90POD OPD ∠+∠=︒，
∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ， ∴90POC ∠=︒，OP OC =， ∴90POD EOC ∠+∠=︒， ∴OPD EOC ∠=∠， ∴POD OCE ∆≅∆， ∴OE PD =，
4m t =+.
故答案为4m t =+.
（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，
由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒，
∴ABO ∆为等腰直角三角形，
∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠，
∴BT TO =，
∵90BTO ∠=︒，
∴90TPO TOP ∠+∠=︒，
∵PO BM ⊥，
∴90BNO ∠=︒，
∴BQT TPO ∠=∠，
∴QTB PTO ∆≅∆，
∴QT TP =，PO BQ =，
∴PQT QPT ∠=∠，
∵PO PK KB =+，
∴QB PK KB =+，QK KP =，
∴KQP KPQ ∠=∠，
∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠，
∴KPB BPN ∠=∠，
设KPB x ∠=︒，
∴BPN x ∠=︒，
∵2PMB KPB ∠=∠，
∴2PMB x ∠=︒，
45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠，
∴PO PM =，
过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，
∴22OM OD t ==，
9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，
tan tan OPD BMO ∠=∠，
OD BO PD MO =，442t t t
=+， 14t =，22t =-（舍）
∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==，
∴CM y P 轴，
∵90PNM POC ∠=∠=︒，
∴BM OC P ，
∴四边形BOCM 是平行四边形，
∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y .
故答案为32.
【点睛】
本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
7．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E ．设P 是»AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ．
（1）求证：△PAC ∽△PDF ；
（2）若AB ＝5，¼¼AP BP
=，求PD 的长．
【答案】(1)证明见解析；（2310 【解析】
【分析】 （1）根据AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，得到¶¶AD
AC =，∠ACD ＝∠B ，由∠FPC ＝∠B ，得到∠ACD ＝∠FPC ，可得结论；
（2）连接OP ，由¶¶AP
BP =，得到OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，根据AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB ＝90°，由于AC ＝2BC ，于是得到tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝BC AC
，得到12CE BE AE CE ==，求得AE ＝4BE ，通过△OPG ∽△EDG ，得到OG OP GE ED
=，然后根据勾股定
理即可得到结果．
【详解】
（1）证明：连接AD，
∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴¶¶
AD AC
=，
∴∠ACD＝∠B＝∠ADC，
∵∠FPC＝∠B，
∴∠ACD＝∠FPC，
∴∠APC＝∠ACF，
∵∠FAC＝∠CAF，
∴△PAC∽△CAF；
（2）连接OP，则OA＝OB＝OP＝15 22 AB=，
∵¶¶
AP BP
=，
∴OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝2BC，
∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝BC
AC
，
∴
1
2 CE BE
AE CE
==，
∴AE＝4BE，
∵AE+BE＝AB＝5，
∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，
∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，
∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，
∴△OPG∽△EDG，∴OG OP GE ED
=，
∴
2.5
2 OE GE OP
GE CE
-
==，
∴GE＝2
3，OG＝
5
6
，
∴PG
5 6 =，
GD
2
3 =，
∴PD＝PG+GD
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得
△OPG∽△EDG是解题的关键．
8．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．
（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；
（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．
BE
【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3
【解析】
【分析】
（1）①补全图形即可，
②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3
得出结果．
【详解】
解：（1）①补全图形如图1所示，
②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，
连接BG，如图2所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∵EG ⊥AC ，
∴∠EGC ＝90°，
∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ，
∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°，
∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°，
由平移的性质得：BE ＝CF ，
在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BEG ≌△GCF （SAS ），
∴BG ＝GF ，
∵G 在正方形ABCD 对角线上，
∴BG ＝DG ，
∴FG ＝DG ，
∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°，
∴∠CGF+∠AGB ＝90°，
∴∠AGD+∠CGF ＝90°，
∴∠DGF ＝90°，
∴FG ⊥DG.
（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示,
在Rt △ADG 中，
∵∠DAC ＝45°，
∴DH ＝AH ＝2
在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°，
∴GH 332
36，
∴DG ＝2GH ＝6，
∴DF 2DG ＝3
在Rt △DCF 中，CF ()22436-3
∴BE ＝CF ＝3．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
9．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；
(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；
（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；
（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．
【详解】
（1）直线PD为⊙O的切线，
理由如下：
如图1，连接OD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO，
∴∠BDO=∠PBD，
∵∠PDA=∠PBD，
∴∠BDO=∠PDA，
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，
∴直线PD为⊙O的切线；
（2）∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBA=90°，
∵∠BED=60°，
∴∠P=30°，
∵PD为⊙O的切线，
∴∠PDO=90°，
在Rt△PDO中，∠P=30°，3
∴0 tan30
OD
PD
=，解得OD=1，
∴22
PO PD OD
+，
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；
（3）如图2，
依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，
∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，
∴∠DAF+∠DBF=180°，
即90°+x+2x=180°，解得x=30°，
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，
∵BE、ED是⊙O的切线，
∴DE=BE，∠EBA=90°，
∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，
∴BD=DE=BE，
又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BD=DF=BF，
∴DE=BE=DF=BF，
∴四边形DFBE为菱形.
【点睛】
本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．
10．如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A、B分别为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所夹的角度约为67°，半径OC所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E，DE=15cm，AD=14cm．
（1）求半径OA的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，
tan67°≈2.36）
（2）求扇形BOC的面积（π取3.14，结果精确到1cm）
822cm．
【答案】(1)半径OA的长约为24.5cm；(2)扇形BOC的面积约为2
【解析】
【分析】
(1)在Rt△ODE中，DE=15，∠ODE=67°，根据∠ODE的余弦值，即可求得OD长，减去AD 即为OA．
(2)用扇形面积公式即可求得.
【详解】
(1)在Rt △ODE 中，15cm DE =，67ODE ∠=︒． ∵cos DE ODE DO ∠=
， ∴150.39
OD ≈， ∴()384614245cm OA OD AD =-≈-≈．
．， 答：半径OA 的长约为24.5cm ．
(2)∵67ODE ∠=︒，
∴157BOC ∠=︒，
∴2360
BOC n r S π=扇形 2
157 3.1424.52360
⨯⨯≈ ()2822cm ≈．
答：扇形BOC 的面积约为2822cm ．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，本题把实际问题转化成数学问题，利用三角函数中余弦定义来解题是解题关键．
11．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．
（1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；
（2）连接FC ，观察并直接写出∠FCN 的度数（不要写出解答过程）
（3）如图（2），将图中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB ＝6，BC ＝8，E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请求出tan ∠FCN 的值．若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．
【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝
43
．理由见解析. 【解析】
【分析】
（1）根据三角形判定方法进行证明即可．
（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．
（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，
∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°，
∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ，
∴∠BAE ＝∠DAG ，
在△ADG 和△ABE 中，
ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADG ≌△ABE （AAS ）．
（2）解：∠FCN ＝45°，理由如下：
作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：
则∠EHF ＝90°＝∠ABE ，
∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，
∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°，
∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，
EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EFH ≌△ABE （AAS ），
∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，
∴CH ＝BE ＝FH ，
∵∠FHC ＝90°，
∴∠FCN ＝45°．
（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下：
作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：
由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，
结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝8，
∴CH＝BE，
∴EH FH FH
AB BE CH
==；
在Rt△FEH中，tan∠FCN＝
84
63 FH EH
CH AB
===，
∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝4
3
．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A，B重合)，作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段DC的长：_________________；
（2）当t =__________时，点Q与点C重合时；
（3）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，求出t的值．
【答案】（1）；（2）1；（3）t的值为或或.
【解析】
【分析】
（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；
（2）利用AQ=AC，即可得出结论；
（3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．
【详解】
（1）∵AP= , AB=4,∠A＝30°
∴AC= , AD=
∴CD=；
（2）AQ=2AD=
当AQ=AC时，Q与C重合
即=
∴t=1；
（3）①如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，
∴∠PGF＝90°，PG＝PQ＝AP＝t，AF＝AB＝2.
∵∠A＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t，
∴AP＋PF＝2t＋2t＝2，∴t＝
②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时，
∴∠QMN＝90°，AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.
在Rt△NMQ中，
∵AN＋NQ＝AQ，∴
③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时，
∴BF＝BC＝1，PE＝PQ＝t，∠H＝30°.
∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°＝∠H，∴BH＝BF＝1.
在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t.
∵AH＝AP＋PH＝AB＋BH，∴2t＋2t＝5，∴t＝.
即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或.
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线
的性质，正确作出图形是解本题的关键．
13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）
（1）如果∠A＝30°，
①如图1，∠DCB等于多少度；
②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）
【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝
2DE•tanα．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；
②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，
（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．
【详解】
（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∵AD＝DB，
∴CD＝AD＝DB，
∴△CDB是等边三角形，
∴∠DCB＝60°．
②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：
∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠DCB ＝60°，
∴△CDB 为等边三角形.
∴∠CDB ＝60°
∵线段DP 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ，
∵∠PDF ＝60°，DP ＝DF ，
∴∠FDB ＝∠CDP ，
在△DCP 和△DBF 中
DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DCP ≌△DBF ，
∴CP ＝BF.
（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．
理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α，
∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，
∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，
∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α，
∵∠PDF ＝2α，
∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，
∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，
∴DP ＝DF ，
在△DCP 和△DBF 中
DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DCP ≌△DBF ，
∴CP ＝BF ，
而 CP ＝BC+BP ，
∴BF ﹣BP ＝BC ，
在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，
∴tan ∠CDE ＝CE DE
，
∴CE＝DEtanα，
∴BC＝2CE＝2DEtanα，
即BF﹣BP＝2DEtanα．
【点睛】
本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．
14．如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°．已知BC＝90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i＝5：12．
(1)求此人所在位置点P的铅直高度．(结果精确到0.1米)
(2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽
略不计，参考数据：tan53°≈4
3
，tan63.4°≈2)
【答案】（1）此人所在P的铅直高度约为14.3米；（2）从P到点B的路程约为127.1米【解析】
分析：(1)过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，设PF＝5x，在Rt△ABC中求出AB，用含x 的式子表示出AE，EP，由tan∠APE，求得x即可；(2)在Rt△CPF中，求出CP的长.
详解：过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，
∵斜坡的坡度i＝5:12，
设PF＝5x，CF＝12x，
∵四边形BFPE为矩形，
∴BF＝PEPF＝BE.
在RT△ABC中，BC＝90，
tan∠ACB＝AB BC
，
∴AB＝tan63.4°×BC≈2×90＝180，
∴AE＝AB－BE＝AB－PF＝180－5x，EP＝BC＋CF≈90＋120x.
在RT△AEP中，
tan∠APE＝
18054
90123 AE x
EP x
-
≈
＝
＋
，
∴x＝20
7
，
∴PF＝5x＝10014.3
7
≈.
答：此人所在P的铅直高度约为14.3米.
由(1)得CP＝13x，
∴CP＝13×20
7
≈37.1，BC＋CP＝90＋37.1＝127.1.
答：从P到点B的路程约为127.1米.
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，构造直角三角形，用勾股定理或三角函数求相应的线段长.
15．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．
（1）求证：四边形AGDH为菱形；
（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）连结OF，CG．
①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；
②若BC＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．
【答案】（1）证明见解析；（2）y＝1
8
x2（x＞0）；（3）①
16
3
π或8π或（17+2）
π；
．
【解析】
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；
（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EF
AC BC
=解决问题；
（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；
②只要证明△CFG∽△HFA，可得GF
AF
=
CG
AH
，求出相应的线段即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，
∵AB是直径，AB⊥GH，
∴EG＝EH，
∴DG＝DH，
∴AG＝DG＝DH＝AH，
∴四边形AGDH是菱形．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，
∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴AE EF
AC BC
=，
∴1
2
4
x y
x
=，
∴y＝1
8
x2（x＞0）．
（3）①解：如图1中，连接DF．
∵GH 垂直平分线段AD ，
∴FA ＝FD ，
∴当点D 与O 重合时，△AOF 是等腰三角形，此时AB ＝2BC ，∠CAB ＝30°， ∴AB ＝83， ∴⊙O 的面积为163
π． 如图2中，当AF ＝AO 时，
∵AB 22AC BC +216x +
∴OA ＝2162x +， ∵AF 22EF AE +2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴216x +22
21182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得x ＝4（负根已经舍弃），
∴AB ＝2
∴⊙O 的面积为8π．
如图2﹣1中，当点C与点F重合时，设AE＝x，则BC＝AD＝2x，AB＝2
164x
+，
∵△ACE∽△ABC，
∴AC2＝AE•AB，
∴16＝x•2
164x
+，
解得x2＝217﹣2（负根已经舍弃），
∴AB2＝16+4x2＝817+8，
∴⊙O的面积＝π•1
4
•AB2＝（217+2）π
综上所述，满足条件的⊙O的面积为16
3
π或8π或（217+2）π；
②如图3中，连接CG．
∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝5，
∴OH＝OA＝5
2
，
∴AE＝3
2
，
∴OE＝OA﹣AE＝1，
∴EG＝EH
2
5
1
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
21
2
，
∵EF ＝
18x 2＝98， ∴FG
＝2﹣98，AF
158，AH
， ∵∠CFG ＝∠AFH ，∠FCG ＝∠AHF ，
∴△CFG ∽△HFA ， ∴GF CG AF AH
=，
∴928158-= ∴CG
，
∴＝
．
故答案为
【点睛】
本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。