【创新设计】2022-2021学年高二数学人教B版必修5学案：1.2 应用举例(二)

1．2 应用举例(二)
[学习目标] 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题.2.能够运用正、余弦定理解决力学或几何方面的问题．
[学问链接] 有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题，事实上学习物理离不开数学，数学在物理学中的应用格外广泛，本节课我们来争辩正、余弦定理在测量方面，及在物理中的力学、平面几何方面的应用．
要点一 测量角度问题
例1 如图在海岸A 处发觉北偏东45°方向，距A
处(3－1)海里的B 处有一艘走奉命以103私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃跑．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所
需时间．
解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里． 在△ABC 中，由余弦定理， 得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6， ∴BC ＝6(海里)． 又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC
，
∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝2
2，
∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°.
在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD
sin ∠CBD ，
∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t
＝1
2.
∴∠BCD ＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，
又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，
∴∠CDB ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝
6
10
小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．
规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题肯定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后依据条件，画出示意图，转化为三角形问题．
跟踪演练1 甲船在A 点发觉乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则
在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC
sin B 得：
sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝3
23＝1
2.
∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°. ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.
所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 要点二 正、余弦定理在几何中的应用
例2 如图所示，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？
解 设∠AOB ＝α，在△ABC 中，由余弦定理， 得
AB 2＝12＋22－2×2cos α＝5－4cos α，α∈(0，π)，
于是，四边形OACB 的面积为
S ＝S △AOB ＋S △ABC
＝12OA ·OB ·sin α＋3
4AB 2
＝12×2×1×sin α＋3
4(5－4cos α) ＝sin α－3cos α＋543＝2sin(α－π3)＋54
3.
由于0<α<π，所以当α－π3＝π2，α＝56π，即∠AOB ＝5
6
π时，四边形OACB 面积最大．
规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．
跟踪演练2 如图所示，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝43
7，求BC
边上的高AD 的长．
解 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，x >0， 由正弦定理得7x sin C ＝8x
sin B .
∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝3
2
.
∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不合要求)． 由余弦定理得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15cos 60°， ∴x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝3或x ＝5. ∴AB ＝21或AB ＝35，
在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝43
7AB ，
∴AD ＝123或20 3.
1．已知两座灯塔A ，B 与海洋观看站C 的距离相等，灯塔A 在观看站C 的北偏东40°，灯塔B 在观看站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )
A ．北偏东10°
B ．北偏西10°
C ．南偏东10°
D ．南偏西10°
答案 B
解析 如图，因△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝1
2(180°－80°)＝50°，
60°－50°＝
10°，故选B.
2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危急区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危急区内的时间为( ) A ．0.5 h B ．1 h C ．1.5 h D ．2 h 答案 B
解析 设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km ，AP ＝x . 在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ， 即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°， 化简得x 2－402x ＋700＝0. 设该方程的两根为x 1，x 2，
则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20，即P 1P 2＝20，故t ＝P 1P 2v ＝20
20
＝1.故选B.
3．一艘海轮从A 处动身，以40 n mile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．10 2 n mile B ．10 3 n mile C ．20 2 n mile D ．20 3 n mile
答案 A
解析 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°， ∠ABC ＝105°，
AB ＝40×1
2＝20(n mile)．
∴∠BCA ＝45°.
∴由正弦定理可得AB sin 45°＝BC
sin 30°
.
∴BC ＝20×
12
22
＝102(n mile)．
4．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝15
2
，则AB ＝________.
答案 43
解析 在△ADC 中，已知AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝15
2，
则由S △ADC ＝1
2
·AC ·AD ·sin ∠DAC ，
求得sin ∠DAC ＝1
2，即∠DAC ＝30°，∴ ∠BAC ＝30°.
而∠ABC ＝60°，故△ABC 为直角三角形； ∵ AC ＝6，∴ AB ＝AC cos 30°＝6
3
2
＝4 3.
1．在求解三角形中，我们可以依据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必需检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种状况：
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先争辩，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
一、基础达标
1．从高出海平面h m 的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为 ( )
A ．2h m B.2h m C.3h m D ．22h m 答案 A
解析 如图所示，BC ＝3h m ，AC ＝h m ，
∴AB ＝
3h 2＋h 2＝2h (m)．
2．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以每小时4 km 的速度向正北航行，同时，乙船自B 动身以每小时6 km 的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( ) A.150
7分钟 B.15
7小时 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟
答案 A
解析 设行驶x h 后甲到点C ，乙到点D ， 两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x －514)2－25
7
＋100
∴当x ＝514小时＝150
7
分钟，y 2有最小值．∴y 最小．
3．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西处40°，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为________ km. 答案
6－1
解析 由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×(－1
2)，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1
－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.
4．在平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是________． 答案 16
解析 设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，
则a ＋b ＝9，
a 2
＋
b
2
－
2ab cos α＝17，
a 2＋
b 2－2ab cos(180°－α)＝65. 解得：a ＝5，b ＝4，cos α
＝3
5，
∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16.
5．两座灯塔A 和B 与海洋观看站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观看站C 的北偏东20°，灯塔B 在观看站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为________km. 答案
3a
解析 由于灯塔A 在观看站C 的北偏东20°，灯塔B 在观看站C 的南偏东40°，所以∠ACB ＝120°.又由于AC 和BC 的距离都是a km ，由余弦定理，得
AB 2＝a 2＋a 2－2×a ×a ×cos 120°＝3a 2，所以
A ，
B 的距离是3a km.
6.某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如右图)，其一角已破损，现测得如下数据：BC ＝2.57 cm ，CE ＝3.57 cm ，BD ＝4.38 cm ，B ＝45°，C ＝120°.为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01 cm)．
解 如下图所示，将BD ，CE 分别延长相交于一点A ，在△ABC 中，已知BC 的长及角B 与角C ，可以通过正弦定理求AB ，AC 的长．
将BD ，CE 分别延长相交于一点A ，在△ABC 中，BC ＝2.57 cm ，B ＝45°，C ＝120°， A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋120°)＝15°.
∵BC sin A ＝AC sin B ，∴AC ＝BC sin B sin A ＝2.57sin 45°sin 15°. 利用计算器算得AC ≈7.02(cm)． 同理，AB ≈8.60(cm)．
答 原玉佩两边的长分别约为7.02 cm,8.60 cm.
7．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°. 求：(1)A 处与D 处的距离；
(2)灯塔C 与D 处的距离．
解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°.
由正弦定理得AD ＝AB sin B
sin ∠ADB ＝126×
2
23
2＝24(n mile)．
所以A 处与D 处的距离为24 n mile.
(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°.解得：CD ＝83(n mile)．
即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile. 二、力量提升
8．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为________海里/时． 答案 20(6－2) 解析 由题意，得
∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MS
sin 105°
.
∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝10
6＋2
4＝10(6－2)(海里)．
则v 货＝20(6－2) (海里/时)．
9．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，马上测出该渔船在方位角为45°，
距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇马上以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间． 解 如图所示，设所需时间为t 小时， 则AB ＝103t 海里，CB ＝10t 海里，
在△ABC 中，依据余弦定理，则有 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，
可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°， 整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－1
2
(舍去)．
即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103(海里)，BC ＝10(海里)， 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AB
sin 120°，
所以sin ∠CAB ＝BC sin 120°
AB ＝10×
32103＝12，
所以∠CAB ＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.
10．为保障高考的公正性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点四周1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的大路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿大路行驶，问最长需要多少分钟检查员开头收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
解 如图所示，考点为A ，检查开头处为B ， 设大路上C ，D 两点到考点的距离为1千米． 在△ABC 中，AB ＝3≈1.732(千米)，AC ＝1(千米)， ∠ABC ＝ 30°，
由正弦定理sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝3
2，
∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1(千米)， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米)． ∵
BC
12
×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟． 所以最长需要5分钟检查员开头收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．
11．某工厂生产产品后，留下大量中心角为60°，半径为R 的扇形边角料，现要利用边角料，从中剪裁出矩形毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？
解 如图所示，矩形有两个顶点在半径OA 上，设∠AOP ＝θ， 则PM ＝R sin θ，
∵扇形中心角为60°， ∴∠PQO ＝120°.
在△OPQ 中，由正弦定理， 得
OP sin 120°＝PQ
sin (60°－θ)
，
即PQ ＝
2
3
R sin(60°－θ)． ∴矩形MPQR 的面积为 S 1＝PM ·PQ ＝
23
R 2
sin θsin(60°－θ)， sin θsin(60°－θ)＝sin θ(32cos θ－1
2
sin θ) ＝
32sin θcos θ－1
2
sin 2 θ ＝3
4sin 2θ－1－cos 2θ4 ＝
34sin 2θ＋14cos 2θ－14
＝12sin(2θ＋30°)－14
， 当sin(2θ＋30°)＝1时，取得最大值14，
即θ＝30°时，sin θsin(60°－θ)≤1
4.
此时S 1＝
23
R 2sin θsin(60°－θ)≤3
6R 2，
故θ＝30°时，S 1取最大值36
R 2
，由θ＝30°确定P 点，通过做平行线不难确定出另三点． 三、探究与创新
12．现有一块直径为30 cm 的圆形钢板，需截去直径分别为20 cm,10 cm 的圆形钢板各一块，现需在剩余的钢板中再截出同样大小的圆形钢板两块，问这两块钢板的半径最大为多少？
解 如图，设⊙A ，⊙B 分别是直径为20 cm 和10 cm 的圆，⊙D 是直径为30 cm 的圆，则⊙A ，⊙B 相外切且与⊙D 内切，再设最终截下的两个最大的圆为⊙C ，⊙E ，则它们与⊙A ，⊙B 相外切，且与⊙D 相内切，连接AB 、AC 、BC 、CD .
设⊙C 的半径为r ，在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝10＋r ， BC ＝5＋r ，AD ＝5，CD ＝15－r ， 由余弦定理得
cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 2
2AB ·AC
＝152＋(10＋r )2－(5＋r )22×15×(10＋r )＝30＋r 30＋3r .
在△ADC 中，cos ∠DAC ＝AD 2＋AC 2－CD 2
2AD ·AC
＝52＋(10＋r )2－(15－r )22·5·(10＋r )＝5r －10r ＋10.
故
30＋r
30＋3r ＝5r －10r ＋10，整理得7r 2＋40r －300＝0， ∴r ＝30
7
或r ＝－10(舍去)．
所以在剩余的钢板中还可以截出半径最大为30
7
cm 的同样大小的圆形钢板两块．。