柏乡县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案

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柏乡县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 双曲线:的渐近线方程和离心率分别是( )
A .
B .
C .
D .
2. 如图,在等腰梯形ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起,使A 、B 重合于点P ,则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为( )
A .
B .
C .
D .
3. 已知抛物线x 2=﹣2y 的一条弦AB 的中点坐标为(﹣1,﹣5),则这条弦AB 所在的直线方程是( ) A .y=x ﹣4 B .y=2x ﹣3 C .y=﹣x ﹣6 D .y=3x ﹣2
4. 已知=(2,﹣3,1),=(4,2,x ),且⊥,则实数x 的值是( )
A .﹣2
B .2
C .﹣
D .
5. 在平面直角坐标系中,把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点.若a 为无理数,则在过点P (a ,﹣)的所有直线中( )
A .有无穷多条直线,每条直线上至少存在两个有理点
B .恰有n (n ≥2)条直线,每条直线上至少存在两个有理点
C .有且仅有一条直线至少过两个有理点
D .每条直线至多过一个有理点
6. 在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+bc ,则A 等于( ) A .120° B .60° C .45° D .30°
7. 已知直线l 1 经过A (﹣3,4),B (﹣8,﹣1)两点,直线l 2的倾斜角为135°,那么l 1与l 2( ) A .垂直 B .平行 C .重合 D .相交但不垂直
8. 若复数满足
7
1i i z
+=(为虚数单位),则复数的虚部为( ) A .1 B .1- C . D .i -
9. 以下四个命题中,真命题的是( ) A .(0,)x π∃∈,sin tan x x =
B .“对任意的x R ∈,210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈,20010x x ++<
C .R θ∀∈,函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数
D .ABC ∆中,“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2
C π
=
”的充要条件
【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识,意在考查逻辑推理能力.
10.函数f (x )=
有且只有一个零点时,a 的取值范围是( )
A .a ≤0
B .0<a <
C .<a <1
D .a ≤0或a >1
11.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若(acosB+bcosA )=2csinC ,a+b=8,且△ABC 的
面积的最大值为4,则此时△ABC 的形状为( )
A .等腰三角形
B .正三角形
C .直角三角形
D .钝角三角形
12.抛物线y=x 2的焦点坐标为( ) A .(0,)
B .(
,0)
C .(0,4)
D .(0,2)
二、填空题
13.已知各项都不相等的等差数列{}n a ,满足223n n a a =-,且2
6121a a a =∙,则数列12n n S -⎧⎫

⎬⎩⎭
项中 的最大值为_________. 14.在复平面内,复数

对应的点关于虚轴对称,且
,则
____.
15.抛物线y 2=6x ,过点P (4,1)引一条弦,使它恰好被P 点平分,则该弦所在的直线方程为 .
16.已知抛物线1C :x y 42
=的焦点为F ,点P 为抛物线上一点,且3||=PF ,双曲线2C :122
22=-b
y a x
(0>a ,0>b )的渐近线恰好过P 点,则双曲线2C 的离心率为 .
【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程,双曲线的渐近线,抛物线的定义,突出了基本运算和知识交汇,难度中等.
17.在△ABC 中,若a=9,b=10,c=12,则△ABC 的形状是 .
18.已知函数f (x )
=,则关于函数F (x )=f (f (x ))的零点个数,正确的结论是 .(写
出你认为正确的所有结论的序号)
①k=0时,F(x)恰有一个零点.②k<0时,F(x)恰有2个零点.
③k>0时,F(x)恰有3个零点.④k>0时,F(x)恰有4个零点.
三、解答题
19.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinA﹣sinC(cosB+sinB)=0.
(1)求角C的大小;
(2)若c=2,且△ABC的面积为,求a,b的值.
20.【镇江2018届高三10月月考文科】已知函数,其中实数为常数,为自然对数的底数. (1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,解关于的不等式;
(3)当时,如果函数不存在极值点,求的取值范围.
21.命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,q:函数f(x)=(3﹣2a)x是增函数.若p ∨q为真,p∧q为假.求实数a的取值范围.
22.设函数f (x )=lnx
﹣ax 2﹣bx .
(1)当a=2,b=1时,求函数f (x )的单调区间;
(2)令F (x )=f (x )
+ax 2
+bx+(2≤x ≤3)其图象上任意一点P (x 0,y 0)处切线的斜率k
≤恒成立,求
实数a 的取值范围;
(3)当a=0,b=﹣1时,方程f (x )=mx 在区间[1,e 2
]内有唯一实数解,求实数m 的取值范围.
23.已知集合A={x|x 2+2x <0},
B={x|y=}
(1)求(∁R A )∩B ;
(2)若集合C={x|a <x <2a+1}且C ⊆A ,求a 的取值范围.
24.(14分)已知函数1
()ln ,()e x x f x mx a x m g x -=--=,其中m ,a 均为实数.
(1)求()g x 的极值; 3分
(2)设1,0m a =<,若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠,212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-
恒成立,求a 的最小值; 5分
(3)设2a =,若对任意给定的0(0,e]x ∈,在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得120()()()f t f t g x == 成立,求m 的取值范围. 6分
柏乡县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案(参考答案)
一、选择题
1.【答案】D
【解析】解:双曲线:的a=1,b=2,c==
∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x;离心率e==
故选D
2.【答案】C
【解析】解:易证所得三棱锥为正四面体,它的棱长为1,
故外接球半径为,外接球的体积为,
故选C.
【点评】本题考查球的内接多面体,球的体积等知识,考查逻辑思维能力,是中档题.
3.【答案】A
【解析】解:设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=﹣2,x12=﹣2y1,x22=﹣2y2.
两式相减可得,(x1+x2)(x1﹣x2)=﹣2(y1﹣y2)
∴直线AB的斜率k=1,
∴弦AB所在的直线方程是y+5=x+1,即y=x﹣4.
故选A,
4.【答案】A
【解析】解:∵=(2,﹣3,1),=(4,2,x),且⊥,
∴=0,
∴8﹣6+x=0;
∴x=﹣2;
故选A.
【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直,解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0,建立关于x的方程求出x的值.
5.【答案】C
【解析】解:设一条直线上存在两个有理点A(x1,y1),B(x2,y2),
由于也在此直线上,
所以,当x1=x2时,有x1=x2=a为无理数,与假设矛盾,此时该直线不存在有理点;
当x1≠x2时,直线的斜率存在,且有,
又x2﹣a为无理数,而为有理数,
所以只能是,且y2﹣y1=0,
即;
所以满足条件的直线只有一条,且直线方程是;
所以,正确的选项为C.
故选:C.
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题,解题的关键是理解新定义的内容,寻找解题的途径,是难理解的题目.
6.【答案】A
【解析】解:根据余弦定理可知cosA=
∵a2=b2+bc+c2,
∴bc=﹣(b2+c2﹣a2)
∴cosA=﹣
∴A=120°
故选A
7.【答案】A
【解析】解:由题意可得直线l1的斜率k1==1,
又∵直线l2的倾斜角为135°,∴其斜率k2=tan135°=﹣1,
显然满足k1•k2=﹣1,∴l1与l2垂直
故选A
8.【答案】A
【解析】
试题分析:42731,1i i i i i ==-∴==-,因为复数满足7
1i i z +=,所以()1,1i i i i z i z
+=-∴=-,所以复数的虚部为,故选A.
考点:1、复数的基本概念;2、复数代数形式的乘除运算. 9. 【答案】D
10.【答案】D
【解析】解:∵f (1)=lg1=0, ∴当x ≤0时,函数f (x )没有零点,
故﹣2x +a >0或﹣2x
+a <0在(﹣∞,0]上恒成立, 即a >2x ,或a <2x
在(﹣∞,0]上恒成立,
故a >1或a ≤0; 故选D .
【点评】本题考查了分段函数的应用,函数零点与方程的关系应用及恒成立问题,属于基础题.
11.【答案】A 【解析】解:∵(acosB+bcosA )=2csinC ,
∴(sinAcosB+sinBcosA )=2sin 2
C ,

sinC=2sin 2
C ,且sinC >0,
∴sinC=

∵a+b=8,可得:8≥2
,解得:ab ≤16,(当且仅当a=b=4成立)
∵△ABC 的面积的最大值S
△ABC =absinC ≤=4

∴a=b=4,
则此时△ABC 的形状为等腰三角形. 故选:A .
12.【答案】D
【解析】解:把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y,
∴焦点坐标为(0,2).
故选:D.
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用,把抛物线的方程化为标准形式是关键.
二、填空题
13.【答案】
【解析】
考点:1.等差数列的通项公式;2.等差数列的前项和.
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及
1,,,,
n n
a a d n S五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用,而
1
,a d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 14.【答案】-2
【解析】【知识点】复数乘除和乘方
【试题解析】由题知:
所以
故答案为:-2
15.【答案】3x﹣y﹣11=0.
【解析】解:设过点P(4,1)的直线与抛物线的交点
为A(x1,y1),B(x2,y2),
即有y12=6x1,y22=6x2,
相减可得,(y1﹣y2)(y1+y2)=6(x1﹣x2),
即有k AB====3,
则直线方程为y﹣1=3(x﹣4),
即为3x﹣y﹣11=0.
将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程,可得
9x2﹣72x+121=0,判别式为722﹣4×9×121>0,
故所求直线为3x﹣y﹣11=0.
故答案为:3x﹣y﹣11=0.
16.【答案】3
17.【答案】锐角三角形
【解析】解:∵c=12是最大边,∴角C是最大角
根据余弦定理,得cosC==>0
∵C∈(0,π),∴角C是锐角,
由此可得A、B也是锐角,所以△ABC是锐角三角形
故答案为:锐角三角形
【点评】本题给出三角形的三条边长,判断三角形的形状,着重考查了用余弦定理解三角形和知识,属于基础题.
18.【答案】②④
【解析】解:
①当k=0时,,当x≤0时,f(x)=1,则f(f(x))=f(1)==0,
此时有无穷多个零点,故①错误;
②当k<0时,(Ⅰ)当x≤0时,f(x)=kx+1≥1,
此时f(f(x))=f(kx+1)=,令f(f(x))=0,可得:x=0;
(Ⅱ)当0<x≤1时,,此时
f(f(x))=f()=,令f(f(x))=0,可得:x=,满足;
(Ⅲ)当x>1时,,此时f(f(x))=f()=k+1>0,此时无零点.
综上可得,当k<0时,函数有两零点,故②正确;
③当k>0时,(Ⅰ)当x≤时,kx+1≤0,此时f(f(x))=f(kx+1)=k(kx+1)+1,
令f(f(x))=0,可得:,满足;
(Ⅱ)当时,kx+1>0,此时f(f(x))=f(kx+1)=,令f(f(x))=0,可得:
x=0,满足;
(Ⅲ)当0<x≤1时,,此时f(f(x))=f()=,令f(f(x))=0,可得:x=,满足;
(Ⅳ)当x>1时,,此时f(f(x))=f()=k+1,令f(f(x))=0得:x=
>1,满足;
综上可得:当k>0时,函数有4个零点.故③错误,④正确.
故答案为:②④.
【点评】本题考查复合函数的零点问题.考查了分类讨论和转化的思想方法,要求比较高,属于难题.
三、解答题
19.【答案】
【解析】(本题满分为12分)
解:(1)∵由题意得,sinA=sin(B+C),
∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinCcosB﹣sinBsinC=0,…(2分)
即sinB(cosC﹣sinC)=0,
∵sinB≠0,
∴tanC=,故C=.…(6分)
(2)∵ab×=,
∴ab=4,①
又c=2,…(8分)
∴a2+b2﹣2ab×=4,
∴a2+b2=8.②
∴由①②,解得a=2,b=2.…(12分)
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用,三角形面积公式,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题.
20.【答案】(1)单调递增区间为;单调递减区间为.(2)(3)
【解析】试题分析:把代入由于对数的真数为正数,函数定义域为,所以函数化为,求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间;代入,,分和两种情
况解不等式;当时,,求导,函数不存在极值点,只需
恒成立,根据这个要求得出的范围.
试题解析:
(2)时,.
当时,原不等式可化为.
记,则,
当时,,
所以在单调递增,又,故不等式解为;当时,原不等式可化为,显然不成立,
综上,原不等式的解集为.
21.【答案】
【解析】解:设g(x)=x2+2ax+4,由于关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,∴函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,
故△=4a2﹣16<0,∴﹣2<a<2.
又∵函数f(x)=(3﹣2a)x是增函数,
∴3﹣2a>1,得a<1.
又由于p或q为真,p且q为假,可知p和q一真一假.
(1)若p真q假,则,得1≤a<2;
(2)若p假q真,则,得a≤﹣2.
综上可知,所求实数a的取值范围为1≤a<2,或a≤﹣2.
22.【答案】
【解析】解:(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞).…
当a=2,b=1时,f(x)=lnx﹣x2﹣x,
f′(x)=﹣2x﹣1=﹣.
令f′(x)=0,解得x=.…
当0<x<时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增;
当x>时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减.
所以函数f(x)的单调增区间(0,),函数f(x)的单调减区间(,+∞).…
(2)F(x)=lnx+,x∈[2,3],
所以k=F′(x0)=≤,在x0∈[2,3]上恒成立,…
所以a≥(﹣x02+x0)max,x0∈[2,3]…
当x0=2时,﹣x02+x0取得最大值0.所以a≥0.…
(3)当a=0,b=﹣1时,f(x)=lnx+x,
因为方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解,
所以lnx+x=mx有唯一实数解.
∴m=1+,…
设g (x )
=1+,则g ′(x )
=.…
令g ′(x )>0,得0<x <e ; g ′(x )<0,得x >e ,
∴g (x )在区间[1,e]上是增函数,在区间[e ,e 2
]上是减函数,…1 0分
∴g (1)=1,g (e 2)
=1+
=1+,g (e )
=1+,…
所以
m=1+,或1≤m <
1+.…
23.【答案】
【解析】解:(1)A={x|x 2
+2x <0}={x|﹣2<x <0},
B={x|y=}={x|x+1≥0}={x|x ≥﹣1},
∴∁R A={x|x ≤﹣2或x ≥0}, ∴(∁R A )∩B={x|x ≥0};…
(2)当a ≥2a+1时,C=∅,此时a ≤﹣1满足题意; 当a <2a+1时,C ≠∅,
应满足

解得﹣1<a
≤﹣; 综上,a
的取值范围是.…
24.【答案】解:(1)e(1)
()e x
x g x -'=,令()0g x '=,得x = 1. 列表如下:
∵g (1) = 1,∴y =()g x 的极大值为1,无极小值. 3

(2)当1,0m a =<时,()ln 1f x x a x =--,(0,)x ∈+∞.
∵()0x a
f x x -'=>在[3,4]恒成立,∴()f x 在[3,4]上为增函数. 设1e ()()e x h x
g x x =
=,∵12
e (1)()x x h x x --'=> 0
在[3,4]恒成立,
∴()h x 在[3,4]上为增函数. 设21x x >,则212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-
等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-, 即2211()()()()f x h x f x h x -<-.
设1e ()()()ln 1e x
u x f x h x x a x x
=-=---⋅,则u (x )在[3,4]为减函数.
∴2
1e (1)()10e x
a x u x x x -'=--⋅≤在(3,4)上恒成立. ∴11
e e x x a x x
---+≥恒成立. 设11e ()e x x v x x x --=-+,∵112
e (1)()1e x x x v x x
---'=-+=1
21131e [()]24x x ---+,x ∈[3,4], ∴1221133
e [()]e 1244
x x --+>>,∴()v x '< 0,()v x 为减函数.
∴()v x 在[3,4]上的最大值为v (3) = 3 -22
e 3

∴a ≥3 -22e 3,∴a 的最小值为3 -22
e 3
. 8分
(3)由(1)知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1].
∵()2ln f x mx x m =--,(0,)x ∈+∞,
当0m =时,()2ln f x x =-在(0,e]为减函数,不合题意.
当0m ≠时,2()
()m x m f x x
-'=
,由题意知()f x 在(0,e]不单调, 所以20e m <<,即2
e
m >.①
此时()f x 在2(0,)m 上递减,在2
(,e)m
上递增,
∴(e)1f ≥,即(e)e 21f m m =--≥,解得3
e 1
m -≥.②
由①②,得3
e 1
m -≥.
∵1(0,e]∈,∴2
()(1)0f f m =≤成立.
下证存在2
(0,]t m
∈,使得()f t ≥1.
取e m t -=,先证e 2
m m
-<,即证2e 0m m ->.③
设()2e x w x x =-,则()2e 10x w x '=->在3
[,)e 1
+∞-时恒成立.
∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数.∴3
e ))01
((w x w ->≥,∴③成立.
再证()e m f -≥1.
∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥
,∴3
e 1
m -≥
时,命题成立. 综上所述,m 的取值范围为3
[,)e 1
+∞-. 14分。

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