柏乡县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案

柏乡县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知抛物线x 2=﹣2y 的一条弦AB 的中点坐标为（﹣1，﹣5），则这条弦AB 所在的直线方程是（ ） A ．y=x ﹣4 B ．y=2x ﹣3 C ．y=﹣x ﹣6 D ．y=3x ﹣2
4． 已知=（2，﹣3，1），=（4，2，x ），且⊥，则实数x 的值是（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣
D ．
5． 在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点P （a ，﹣）的所有直线中（ ）
A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B ．恰有n （n ≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D ．每条直线至多过一个有理点
6． 在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（ ） A ．120° B ．60° C ．45° D ．30°
7． 已知直线l 1 经过A （﹣3，4），B （﹣8，﹣1）两点，直线l 2的倾斜角为135°，那么l 1与l 2（ ） A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直
8． 若复数满足
7
1i i z
+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -
9． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =
B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<
C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数
D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2
C π
=
”的充要条件
【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
10．函数f （x ）=
有且只有一个零点时，a 的取值范围是（ ）
A ．a ≤0
B ．0＜a ＜
C ．＜a ＜1
D ．a ≤0或a ＞1
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（acosB+bcosA ）=2csinC ，a+b=8，且△ABC 的
面积的最大值为4，则此时△ABC 的形状为（ ）
A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
12．抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ） A ．（0，）
B ．（
，0）
C ．（0，4）
D ．（0，2）
二、填空题
13．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且2
6121a a a =∙，则数列12n n S -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
项中 的最大值为_________. 14．在复平面内，复数
与
对应的点关于虚轴对称，且
，则
____．
15．抛物线y 2=6x ，过点P （4，1）引一条弦，使它恰好被P 点平分，则该弦所在的直线方程为 ．
16．已知抛物线1C ：x y 42
=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：122
22=-b
y a x
（0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .
【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.
17．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．
18．已知函数f （x ）
=，则关于函数F （x ）=f （f （x ））的零点个数，正确的结论是 ．（写
出你认为正确的所有结论的序号）
①k=0时，F（x）恰有一个零点．②k＜0时，F（x）恰有2个零点．
③k＞0时，F（x）恰有3个零点．④k＞0时，F（x）恰有4个零点．
三、解答题
19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA﹣sinC（cosB+sinB）=0．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b的值．
20．【镇江2018届高三10月月考文科】已知函数，其中实数为常数，为自然对数的底数. （1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，解关于的不等式；
（3）当时，如果函数不存在极值点，求的取值范围.
21．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数．若p ∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．
22．设函数f （x ）=lnx
﹣ax 2﹣bx ．
（1）当a=2，b=1时，求函数f （x ）的单调区间；
（2）令F （x ）=f （x ）
+ax 2
+bx+（2≤x ≤3）其图象上任意一点P （x 0，y 0）处切线的斜率k
≤恒成立，求
实数a 的取值范围；
（3）当a=0，b=﹣1时，方程f （x ）=mx 在区间[1，e 2
]内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．
23．已知集合A={x|x 2+2x ＜0}，
B={x|y=}
（1）求（∁R A ）∩B ；
（2）若集合C={x|a ＜x ＜2a+1}且C ⊆A ，求a 的取值范围．
24．（14分）已知函数1
()ln ,()e x x f x mx a x m g x -=--=，其中m ，a 均为实数．
（1）求()g x 的极值； 3分
（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-
恒成立，求a 的最小值； 5分
（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围． 6分
柏乡县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：双曲线：的a=1，b=2，c==
∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==
故选D
2．【答案】C
【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，
故外接球半径为，外接球的体积为，
故选C．
【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．
3．【答案】A
【解析】解：设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=﹣2，x12=﹣2y1，x22=﹣2y2．
两式相减可得，（x1+x2）（x1﹣x2）=﹣2（y1﹣y2）
∴直线AB的斜率k=1，
∴弦AB所在的直线方程是y+5=x+1，即y=x﹣4．
故选A，
4．【答案】A
【解析】解：∵=（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥，
∴=0，
∴8﹣6+x=0；
∴x=﹣2；
故选A．
【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0，建立关于x的方程求出x的值．
5．【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），
由于也在此直线上，
所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当x1≠x2时，直线的斜率存在，且有，
又x2﹣a为无理数，而为有理数，
所以只能是，且y2﹣y1=0，
即；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；
所以，正确的选项为C．
故选：C．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
6．【答案】A
【解析】解：根据余弦定理可知cosA=
∵a2=b2+bc+c2，
∴bc=﹣（b2+c2﹣a2）
∴cosA=﹣
∴A=120°
故选A
7．【答案】A
【解析】解：由题意可得直线l1的斜率k1==1，
又∵直线l2的倾斜角为135°，∴其斜率k2=tan135°=﹣1，
显然满足k1•k2=﹣1，∴l1与l2垂直
故选A
8．【答案】A
【解析】
试题分析：42731,1i i i i i ==-∴==-,因为复数满足7
1i i z +=,所以()1,1i i i i z i z
+=-∴=-，所以复数的虚部为,故选A.
考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算. 9． 【答案】D
10．【答案】D
【解析】解：∵f （1）=lg1=0， ∴当x ≤0时，函数f （x ）没有零点，
故﹣2x +a ＞0或﹣2x
+a ＜0在（﹣∞，0]上恒成立， 即a ＞2x ，或a ＜2x
在（﹣∞，0]上恒成立，
故a ＞1或a ≤0； 故选D ．
【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．
11．【答案】A 【解析】解：∵（acosB+bcosA ）=2csinC ，
∴（sinAcosB+sinBcosA ）=2sin 2
C ，
∴
sinC=2sin 2
C ，且sinC ＞0，
∴sinC=
，
∵a+b=8，可得：8≥2
，解得：ab ≤16，（当且仅当a=b=4成立）
∵△ABC 的面积的最大值S
△ABC =absinC ≤=4
，
∴a=b=4，
则此时△ABC 的形状为等腰三角形． 故选：A ．
12．【答案】D
【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，
∴焦点坐标为（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．
二、填空题
13．【答案】
【解析】
考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及
1,,,,
n n
a a d n S五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用,而
1
,a d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 14．【答案】-2
【解析】【知识点】复数乘除和乘方
【试题解析】由题知：
所以
故答案为：-2
15．【答案】3x﹣y﹣11=0．
【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点
为A（x1，y1），B（x2，y2），
即有y12=6x1，y22=6x2，
相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2），
即有k AB====3，
则直线方程为y﹣1=3（x﹣4），
即为3x﹣y﹣11=0．
将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得
9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，
故所求直线为3x﹣y﹣11=0．
故答案为：3x﹣y﹣11=0．
16．【答案】3
17．【答案】锐角三角形
【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C是最大角
根据余弦定理，得cosC==＞0
∵C∈（0，π），∴角C是锐角，
由此可得A、B也是锐角，所以△ABC是锐角三角形
故答案为：锐角三角形
【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．
18．【答案】②④
【解析】解：
①当k=0时，，当x≤0时，f（x）=1，则f（f（x））=f（1）==0，
此时有无穷多个零点，故①错误；
②当k＜0时，（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=kx+1≥1，
此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0；
（Ⅱ）当0＜x≤1时，，此时
f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；
（Ⅲ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1＞0，此时无零点．
综上可得，当k＜0时，函数有两零点，故②正确；
③当k＞0时，（Ⅰ）当x≤时，kx+1≤0，此时f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，
令f（f（x））=0，可得：，满足；
（Ⅱ）当时，kx+1＞0，此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：
x=0，满足；
（Ⅲ）当0＜x≤1时，，此时f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；
（Ⅳ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1，令f（f（x））=0得：x=
＞1，满足；
综上可得：当k＞0时，函数有4个零点．故③错误，④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查复合函数的零点问题．考查了分类讨论和转化的思想方法，要求比较高，属于难题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）∵由题意得，sinA=sin（B+C），
∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinCcosB﹣sinBsinC=0，…（2分）
即sinB（cosC﹣sinC）=0，
∵sinB≠0，
∴tanC=，故C=．…（6分）
（2）∵ab×=，
∴ab=4，①
又c=2，…（8分）
∴a2+b2﹣2ab×=4，
∴a2+b2=8．②
∴由①②，解得a=2，b=2．…（12分）
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
20．【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为．（2）（3）
【解析】试题分析：把代入由于对数的真数为正数，函数定义域为，所以函数化为，求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间；代入，，分和两种情
况解不等式；当时，，求导，函数不存在极值点，只需
恒成立，根据这个要求得出的范围.
试题解析：
（2）时，．
当时，原不等式可化为．
记，则，
当时，，
所以在单调递增，又，故不等式解为；当时，原不等式可化为，显然不成立，
综上，原不等式的解集为．
21．【答案】
【解析】解：设g（x）=x2+2ax+4，由于关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，∴函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，
故△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2．
又∵函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，
∴3﹣2a＞1，得a＜1．
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
（1）若p真q假，则，得1≤a＜2；
（2）若p假q真，则，得a≤﹣2．
综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a＜2，或a≤﹣2．
22．【答案】
【解析】解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．…
当a=2，b=1时，f（x）=lnx﹣x2﹣x，
f′（x）=﹣2x﹣1=﹣．
令f′（x）=0，解得x=．…
当0＜x＜时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以函数f（x）的单调增区间（0，），函数f（x）的单调减区间（，+∞）．…
（2）F（x）=lnx+，x∈[2，3]，
所以k=F′（x0）=≤，在x0∈[2，3]上恒成立，…
所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈[2，3]…
当x0=2时，﹣x02+x0取得最大值0．所以a≥0．…
（3）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，
因为方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，
所以lnx+x=mx有唯一实数解．
∴m=1+，…
设g （x ）
=1+，则g ′（x ）
=．…
令g ′（x ）＞0，得0＜x ＜e ； g ′（x ）＜0，得x ＞e ，
∴g （x ）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e ，e 2
]上是减函数，…1 0分
∴g （1）=1，g （e 2）
=1+
=1+，g （e ）
=1+，…
所以
m=1+，或1≤m ＜
1+．…
23．【答案】
【解析】解：（1）A={x|x 2
+2x ＜0}={x|﹣2＜x ＜0}，
B={x|y=}={x|x+1≥0}={x|x ≥﹣1}，
∴∁R A={x|x ≤﹣2或x ≥0}， ∴（∁R A ）∩B={x|x ≥0}；…
（2）当a ≥2a+1时，C=∅，此时a ≤﹣1满足题意； 当a ＜2a+1时，C ≠∅，
应满足
，
解得﹣1＜a
≤﹣； 综上，a
的取值范围是．…
24．【答案】解：（1）e(1)
()e x
x g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． 列表如下：
∵g （1） = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． 3
分
（2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．
∵()0x a
f x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． 设1e ()()e x h x
g x x =
=，∵12
e (1)()x x h x x --'=> 0
在[3,4]恒成立，
∴()h x 在[3,4]上为增函数． 设21x x >，则212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-
等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-， 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．
设1e ()()()ln 1e x
u x f x h x x a x x
=-=---⋅，则u （x ）在[3,4]为减函数．
∴2
1e (1)()10e x
a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． ∴11
e e x x a x x
---+≥恒成立． 设11e ()e x x v x x x --=-+，∵112
e (1)()1e x x x v x x
---'=-+=1
21131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]， ∴1221133
e [()]e 1244
x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．
∴()v x 在[3，4]上的最大值为v （3） = 3 -22
e 3
．
∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22
e 3
． 8分
（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]．
∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞，
当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意．
当0m ≠时，2()
()m x m f x x
-'=
，由题意知()f x 在(0,e]不单调， 所以20e m <<，即2
e
m >．①
此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2
(,e)m
上递增，
∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3
e 1
m -≥．②
由①②，得3
e 1
m -≥．
∵1(0,e]∈，∴2
()(1)0f f m =≤成立．
下证存在2
(0,]t m
∈，使得()f t ≥1．
取e m t -=，先证e 2
m m
-<，即证2e 0m m ->．③
设()2e x w x x =-，则()2e 10x w x '=->在3
[,)e 1
+∞-时恒成立．
∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3
e ))01
((w x w ->≥，∴③成立．
再证()e m f -≥1．
∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥
，∴3
e 1
m -≥
时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为3
[,)e 1
+∞-． 14分。