成考(大专)数学课件 第2讲 一元二次不等式

高升专（数学）专业辅导班
广州成考指导中心 与你携手共进！
一元二次不等式
动脑思考 探索新知
含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等 式，叫做一元二次不等式．
)0 或 ax 2 bx c (0
ax 2 bx c ( 0)0 a 0 ．
小组讨论
已知二次函数y=x2-x-6，问：
2
(2) x 7 x 6 0
2
(3)8x x 7 0
2
(4) x 8x 16 0
2
(5) x 8 x 26 0
2
(1) x 2 4 x 12 0
解: a 1 0, (4) 2 4 1 (12) 64 0 方程x 2 4 x 12 0的解x1 2, x2 6, 故不等式x 2 4 x 12 0的解集为(,2) (6,)
2
附加题：方程mx (1 m) x m 0没有实数根， 求m的取值范围;
练习、解不等式：
(3)2 x 11x 12 0
2
解: a 2 0, (11) 4 2 12 25 0
2
3 方程2 x 11x 12 0的解x1 , x2 4, 2 3 x (, ) (4,) 2
一元二次不等式 一元二次不等式
R

ax2 bx c 0 的解集 (a 0)
( x1 , x2 )

巩固知识
典型例题
例 1 解下列各一元二次不等式： （1） x2 x 6 0 ； （2） x 2 9 ； （3） 5 x 3x 2 2 0 ； （4） 2 x2 4 x 3 „≥ 0 ．
(2) x 9
2
解 : x 2 9可化为x 2 9 0 二次项得系数a 1 0, 0 4 1 (9) 36 0
2
且方程x 2 9 0的解x1 3, x2 3, 故不等式x 2 9 0的解集为(3,3)
(3)5 x 3x 2 2 0 解 : 二次项得系数为 3 0, 将不等式两边同乘 1，得
分析
先判定对应一元二次方程解的情况，然后对照相应的
二次函数的图像写出不等式的解集．
注意 当a<0时，不等式两边同时乘以-1，转化为a>0．
演示
(1) x 2 x 6 0
解: 二次项得系数a 1 0, (1) 2 4 1 (6) 25 0 且方程x 2 x 6 0的解x1 2, x2 3, 故不等式x 2 x 6 0的解集为(,2) (3,)
共同探究
1.怎样画这个二次函数的草图？
2.根据二次函数的图像，你能求出抛物线 y=x2-x-6与x轴的交点吗？其交点将x轴分成几段？ 3.观察抛物线找出纵坐标y=0、y>0、y<0的点. 4.观察图像上纵坐标y=0、y>0、y<0的那些点所对应
的横坐标x的取值范围？
小组讨论
y
共同探究
抛物线y=x2-x-6与x轴有两个交点，
解： a 2 0, 又 (4) 2 4 2 3 8 0, xR
例、不等式x2-1>0的解集为（ C （A）{x|x>1} （C）{x|x<-1或x>1}
）09年考题（5）
（B）{x|x<-1} （D）{x|-1<x<1}
作业、解不等式：
(1) x 4 x 12 0
(2) x 2 7 x 6 0
解: a 1 0, 7 4 1 6 25 0
2
方程x 2 7 x 6 0的解x1 6, x2 1, 故不等式x 2 7 x 6 0的解集为(6,1)
(3)8x x 7 0
运用知识 强化练习
解下列一元二次不等式： （１） 2 x 4 x 2 0 ；
≥ 0 ． （２） x 2 3x 10 …
2
巩固知识
例2
典型例题
x 是什么实数时， 3x 2 x 2 有意义．
分析
被开方式大于或等于零时，二次根式有意义
≥ 0 3x 2 x 2 …
R
动脑思考 探索新知
方程ax2+bx+c=0的根
b2 4ac 0、x1和x2 b2 4ac 0、x0 b2 4ac 0 、无实根
函数y=ax2+bx+c 的图像
不等式ax2+bx+c<0的解
( x1 , x2 )


动脑思考 探索新知
方程ax2+bx+c=0的根
x1 x2 x0 b 2a
0
x
ax bx c 0 的解 (a 0)
2
.
b 2a ( x1 x2 ) x1 , x2
无 实 根
大于取两边 ax2 bx c 0 (, x1 ) ( x2 , ) (, x0 ) ( x0 , ) 的解集 (a 0) 小于取中间
2
解: 二次项得系数为 1 0, 将不等式两边同乘 1，得 x 2 8x 7 0 方程x 2 8 x 7 0的解x1 1, x2 7, 故不等式x 8 x 7 0的解集为(,1) (7,)
2
即8 x x 7 0的解集为(,1) (7,)
求解这个不等式
演示
例2
x 是什么实数时， 3x 2 x 2 有意义．
解 : 根据题意需要解不等式3 x 2 x 2 0 二次项得系数为3 0, 2 且方程3 x x 2 0的解x1 , x2 1, 3 2 2 故不等式3 x x 2 0的解集为( , ] [1,) 3 2 x ( , ] [1,)时，3 x 2 x 2有意义 3
2
(4) x 8x 16 0
2
解 (8) 4 116 0
2
故不等式x 8 x 16 0的解集为
2
(5) x 8 x 26 0
2
解 (8) 4 1 26 0
2
故不等式x 8 x 26 0的解集为R
2
动脑思考 探索新知
方程ax2+bx+c=0的根
b2 4ac 0、x1和x2 b2 4ac 0、x0 b2 4ac 0 、无实根
函数y=ax2+bx+c的图像
不等式ax2+bx+c>0的解
(, x1 ) ( x2 , )
(, x0 ) ( x0 , )
b2 4ac 0、x1和x2 b2 4ac 0、x0 b2 4ac 0 、无实根
函数y=ax2+bx+c 的图像
不等式ax2+bx+c≥0的解
？
？
？
动脑思考 探索新知
方程ax2+bx+c=0的根
b2 4ac 0 、x1和x2 b2 4ac 0、x0 b2 4ac 0 、无实根
函数y=ax2+bx+c 的图像
不等式ax2+bx+c≤0的解
？
？
？
理论升华 整体建构
b 2 4ac
三个二次
0
y
y0
x1
0
0
y
y0
0
y
y0
二 次 函 数
y ax2 bx c 的图像 (a 0)
y0
x2
若a<0呢?
一元二次方程
当a<0时，不等式两边同时 乘以 0 b x a>0 x -1，就可以转化为 2a 的情况.
2
练习、解不等式：
(1) x 4 x 3 0
2
2
解: a 1 0, (4) 4 1 3 4 0 方程x 4 x 3 0的解x1 1, x2 3,
2
x [1,3]
(2) x 3x 10 0
2
解: a 1 0, (3) 4 1 ( 10 ) 49 0
3x 2 5 x 2 0 2 方程3 x 5 x 2 0的解x1 , x2 1, 3 2 2 故不等式3 x 5 x 2 0的解集为( ,1) 3 2 即5 x 3 x 2 2 0的解集为( ,1) 3
2
(4)2 x 2 4 x 3 0
小组讨论
y
共同探究
当x=-2 或x=3时，函数对应图像 位于x轴上，此时y=0
2
3 x
当x<-2 或x>3 时，函数对应图像
位于x轴上方，此时 y>0 当-2<x<3 时，函数对应图像位于 x轴下方，此时 y<0.
小组讨论
结论
共同探究
1.一元二次方程的解对应于二次函数图像与x轴的交点. 2.一元二次不等式的解对应于使二次函数图像位于x轴 上方（或下方）的自变量x的范围.
2
方程x 3 x 10 0的解x1 2, x2 5,
2
x (,2) (5,)
练习、解不等式：
(1) x 4 x 3 0
2
(2) x 3x 10 0
2
(3) x 4 x 4 0
2
2
(4) x x 5 0
2
2、x为何值时 x 4 x有意义
2
x R (,)
方程x 2(m 1) x 3m 11 0有实数根，
2 2
求m的取值范围; 不等式mx 4 x m 2 0的解集是空集，
2
求m的取值范围; 方程mx (1 m) x m 0没有实数根，
2
求m的取值范围;
方程x 2(m 1) x 3m 11 0有实数根，
2
练习、解不等式：
(6)7 3x 20 x 0
2
解: a 3 0, 将不等式两边同乘 1，得 3 x 2 20 x 7 0 1 方程3 x 20 x 7 0的解x1 7, x2 , 3 1 x (,7) ( ,) 3
其坐标为（-2，0）、（3，0），
将x轴分成3段:x<-2、-2<x<3、x>3 .
2
3
x
一元二次方程的解对应于 二次函数图象与x轴的交点
小组讨论
y
共同探究
纵坐标y=0、 y>0 、 y<0的点 所对应的横坐标x的取值范围：
−2 o 3
x
y=0对应x=-2 或x=3
y>0对应x<-2 或x>3
y<0对应-2<x<3.
2
(4) x 6 x 3 3x x
2 2
解 : 原式可化为： 2x2 7x 3 0 a 2 0, (7) 4 2 3 25 0
2
1 方程2 x 7 x 3 0的解x1 , x2 3, 2 1 x ( ,3) 2
2
练习、解不等式：
(5) 2 x 5 x 3 0
2
解: a 2 0, 将不等式两边同乘 1，得 2 x 5x 3 0
2
1 方程2 x 5 x 3 0的解x1 3, x2 , 2 1 x (,3) ( ,) 2
2
练习、解不等式：
(7) x 6 x 9 0
2
解: a 1 0, 6 4 1 9 0
2
方程x 6 x 9 0的解x1 x2 3
2
x (,3) ( 3, )
(8) x 2 x 2 0
2
解: a 求m的取值范围;
解: 方程有实数根 b 4ac (2m 2) 4 1 (3m 11) 0
2 2 2
4m 8m 4 12m 44 0
2 2
8m 8m 48 0