第四章时域分析法(武汉理工大大学,轮机工程,汤旭晶)

n2
e nt 1 e nt
1
2
2
( 1 2 cos d t sin d t )
sin( d t arctg 1 2 )
y (t )
ζ =0.3
(t 0)

ζ =0.6 ζ =1 ζ >1
1
2
1

§4－3 二阶系统的瞬态响应
d t p t p d n 1 2
§4－3 二阶系统的瞬态响应
3、超调量 p p
y(t p ) y () y ( )
1 1 2
1 1
2

ωn
e
nt p
1 2
2
sin(d t p )
ωd
)
t
取拉氏逆变换：
y (t ) 1 nte nt e nt
2
t0
y (t )
2、当 1 时，称为过阻尼；
s 1, 2 n n
Y ( s)
2 n
1
1
1 A B C ( s s1 )( s s2 ) s s s s1 s s2
k 0.3
§4－2 一阶系统的瞬态响应 二、一阶系统的单位斜坡响应
r (t ) t
1 R(s) 2 s
Y (s) 1 1 1 T T Y (s) R( s) 2 2 R(s) Ts 1 s s s s 1 T
y (t ) t T Te
t T
tg 1
1 2
1 1 2
e nt r sin( d t r ) 1

cos 1 sin 1 1 2
sin(d t r ) 0
即d t r
tr d n 1 2
2、峰值时间
y (t )
tp
e
n t
n
1 2
t ) y( t t p 0
sin( d t )
d
1
2
e nt cos( d t ) 0
n sin(d t p ) n 1 2 cos(d t p ) 0
主讲： 汤旭晶
1
第四章 时域分析法 §4-1 典型输入信号 §4-2 一阶系统的瞬态响应 §4-3 二阶系统的瞬态响应 §4-4 高阶系统的瞬态响应 §4-5 控制系统的稳定性分析 §4－6控制系统的误差分析与计算
引言
时域分析法是根据系统微分方程，以拉氏变换为工 具，直接解出控制系统的时间响应。然后，根据响应的 表达式以及过程曲线来分析系统的性能，如稳定性、快 速性和准确性等。 时域分析法一般局限于分析一、二阶系统。 瞬态响应（Transient Response）：系统在某一输 入信号的作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应 过程； 稳态（静态）响应（Static Response） ：某一信 号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。
xi ( s )
t
y (t ) 1
1 2( 1 1)
2 2
e
(n n 2 1 ) t

1 2( 1 1)
2 2
e
(n n 2 1 ) t
§4－3 二阶系统的瞬态响应
3、当 0 1 时，称为欠阻尼；
s1, 2 n jd
§4－2 一阶系统的瞬态响应
t r (t ) 0 1 r (t ) 0 (t 0) (t 0) (t 0) (t 0)
斜坡响应
y (t ) t T T
y (t )
1 t 1 e T
1 t e T
1 t e T
阶跃响应
脉冲响应
§4－3 二阶系统的瞬态响应
二、二阶系统的性能指标（一般选阶跃作为输入来定 义）
tr
tp
t s
上升时间 峰值时间 调节时间
最大超调量 %
y (t p ) y () y ( )
100%
§4－3 二阶系统的瞬态响应
1上升时间tr : y (t r ) 1
1、当 1 时，称为临界阻尼； s1,2 n
n2 Y (s) R(s) (s n )2
1
y (t )
2 2 0 n n n 1 1 1 Y ( s) R ( s ) ( s n ) 2 ( s n ) 2 s s ( s n ) 2 s n
解： ( s )
Y (s) 10 R ( s ) 0 .1 s 1
T 0 . 1( s )
t s 3T 0 . 3 s
设反馈系数为K， ( s )
( 5 %)
s k 100 0 .01 1 k s1 s k 100 1
0.03 3T 0.1 k
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
y(t ) L Y (s) 1 e
1

T
(t 0)
1T 2T 3T 4T
2 4 6 8 10
t y(t)
0 0
T 2T 3 T 0.632 0.865 0.95
4T 5 T 、、、 0.982 0.993、、、 1
图示系统欲使系统的最大超调量等于02峰值时间等于秒试确定增益的数值并确定在值下系统的上升时间和调整时间43二阶系统的瞬态响应1253arctgarctg43二阶系统的瞬态响应二阶系统单位脉冲响应三维表示43二阶系统的瞬态响应一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的叠加
轮机自动化基础
a
0
t
xi (t )
3、加速度函数（parabolic）
xi (t )

at 2 0
(t 0) (t 0)
0
t
§4－1典型输入信号
4、脉冲函数（impulse）
a lim x i ( t ) t0 0 t 0 0
(t )
xi (t )
a t0
(0 t t 0 ) ( t 0, t t 0 )
(t 0)
§4－2 一阶系统的瞬态响应
Linear Simulation Results 8
r(t) y(t) T
Amplitude
4
T
0
0
2
4 Time (s y (t ) T (1 e )
静态误差：当 t ,
e( ) T 跟随滞后时间；
2
0 0.9
3
n
( 0.05)
t
§4－3 二阶系统的瞬态响应
2 例2：有一反馈系统的闭环传递函数 ( s) 2 2 s 2 n s n
n
为了使其阶跃响应 % 5%
解：

, ts 2
秒，求
和 n

1 2
e
0.05
4


0.2 0.18 0.16 0.14 Amplitude 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 Impulse Response
T
5 10 15 Time (sec.) 20 25 30
dy (t ) 1 2 e dt t 0 T
1 t T
1 2 t0 T
一阶系统对单位阶跃函数的响应：
§4－2 一阶系统的瞬态响应
1、一阶惯性系统总是稳定的，无振荡； 2、曲线上升至 3、经 3T ~ 4T .
dy (t ) 4、 dt
t 0
0.632 y ().
t T;
y (t ) 95 % ~ 98 % y ( );
1 ; T
1
5、一阶惯性系统的单位阶跃响没有静态误差
ξ=1
ξ=2 ξ=5 ξ=10
ξ=0
§4－3 二阶系统的瞬态响应 4、当 0
n2 s 1 1 Y ( s) 2 2 2 2 s n s s s n
y (t ) 1 cos nt (t 0)
0
5、当 0 负阻尼，发散。 注：
, n 决定了整个响应的性质。
e 1 y( ) 1 1 0;
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
1T 2T 3T 4T
2 4 6 8 10
一阶系统对单位阶跃函数的响应：
§4－2 一阶系统的瞬态响应
例1：试求一阶系统单位阶跃响应的过渡过程时间? 如果要求 ts 0.1 s, 试问系统的反馈系数应如何取 值？ R(s) Y (s) 100/s － 0.1
(当0 t t0 )

1 lim t0 0 t 0 0
0
且 (t )dt 1
0

(当t 0或t t0 )
0
t0
t
5、正弦函数(sine)
xi (t )

a sin t 0
(当t 0) (当t 0)
注：时域的性能指标，往往是选择阶跃函数作为输入来定义的。
Y (s) 1 G(s) R( s) T s 1
其中，T 为时间常数
§4－2 一阶系统的瞬态响应 一、一阶系统的单位阶跃响应
r (t ) 1(t )
R( s) 1 s
1 1 1 T 1 1 Y ( s) G ( s ) * R( s) Ts 1 s s Ts 1 s s 1 T 取Laplace逆变换： t
1
2
ln 0.05
0.69
2% 5%
ts ts
n
3
2, 2,
4 2 .9 n 2 3 2.17 n 3
n
§4－3 二阶系统的瞬态响应
例3：图示系统，欲使系统的最大超调量等于 0.2，峰值 时间等于 1 秒，试确定增益 k和k h 的数值，并确定在 此 k和k h 数 值下，系统的上升时间 t r 和调整时间 t s
§4－1典型输入信号
1、阶跃函数(step functions)
x i (t )
xi ( t )


a 0
(t 0) (t 0)
a t
x i (t )
a=1,单位阶跃函数(unit-step)
2、斜坡函数（ramp） at (t 0) xi (t ) 0 (t 0)
a=1,单位斜坡函数；

t T
§4－2 一阶系统的瞬态响应 三、一阶系统的单位脉冲响应
1 1 Y ( s) G ( s) R( s) 1 T s 1 s T
1 T
1 1 t 1 1 T ] e T y (t ) L [ 1 T s T
§4－2 一阶系统的瞬态响应
一阶系统的单位脉冲响应曲线：
d n 1 2 阻尼振荡频率；
s n n 1 1 Y (s) 2 2 2 ( s s1 )( s s2 ) s s ( s n ) d ( s n ) 2 d
y (t ) 1
y (t ) 1
ωn

e

1 2
1
sin(ωd


1 2
e
( 1 2 ) e
y (t )
100%
4、 （作图释定义） s
1 1 2 ts e nts
1
t
1
e n t 1
2
ln ln 1 2
n
ts
1
e n t 1
n2 Y (s) 1 2 2 2 G(s) 2 R ( s ) T s 2 Ts 1 s 2 n s n n 自然频率； 阻尼比（系数）；
T 时间常数。
R(s)
—
2 n s ( s 2 n )
T
1
n
Y ( s)
一、单位阶跃响应
r (t ) (t )
1 y (t ) T
注：脉冲响应，阶跃响应，斜坡响应， 前者是后者的导数,后者是前者积分。
§4－3 二阶系统的瞬态响应
由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统(second-order system)
二阶系统的微分方程：
T 2 y '' (t ) 2 Ty ' (t ) y (t ) r (t )
§4－2 一阶系统的瞬态响应
由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统（first-order system） 。
dy (t ) y (t ) r (t ) 其微分方程为： T dt 其中，y(t)为输出量，r(t)为输入量，T为时间常数
其方框图为：
R(s) ＋
－ 1/Ts
Y(s)
其传递函数为：