2021年湖南省六校高考数学联考试卷(4月份)

2021年湖南省六校高考数学联考试卷（4月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{1A =，2，3，4，5}，2{|30}B x x x =->，则R
A B 中的元素个数
为( ) A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．（5分）已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1(3,)Z a ，2(2,1)Z ，且12z z ⋅为纯虚数，则实数(a = ) A ．6-
B ．3
2
-
C ．
65
D ．6
3．（5分）函数2
cos ()x x
x x f x e e -+=-的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（5分）某地安排4名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，且每个人只去一个村，则每个村至少有一名工作人员的概率为( ) A ．
4
9
B ．
916 C ．59
D ．89
5．（5分）已知||6a =，(,3)b m =，且()(2)b a a b -⊥+，则向量a 在向量b 方向上的投影的最大值为( ) A ．4
B ．2
C 6
D ．1
6．（5分）数学里有一种证明方法叫做Proofs without words ，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC ∆中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，则
该图形可以完成的无字证明为( )
A ．
(0,0)2
a b ab a b +>> B ．
2(0,0)ab ab a b a b
>>+
C ．
22
(0,0)2
2
a b a b a b ++>> D ．222(0,0)a b ab a b +>>
7．（5分）已知1F ，2F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，点P 是该双曲
线上一点且在第一象限内，12212sin sin PF F PF F ∠=∠，则双曲线的离心率的取值范围为(
)
A ．(1,2)
B ．(3,)+∞
C ．(1,3)
D ．(2,3)
8．（5分）定义函数()1,1,x D x x ⎧=⎨-⎩
为有理数
为无理数，则下列命题中正确的是( )
A ．()D x 不是周期函数
B ．()y D x =的图象存在对称轴
C ．()
D x 是奇函数
D ．()D x 是周期函数，且有最小正周期
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是（ ） A ．若两直线的斜率相等，则两直线平行 B ．若x ＞5，则x ＞10
C ．已知是直线a 的方向向量，是平面α的法向量，若a ⊥α，则⊥
D ．已知可导函数f （x ），若f ′（x 0）＝0，则f （x ）在x ＝x 0处取得极值 10．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，22n n a a +-=，*n N ∈，则( ) A ．12()a a +，34()a a +，56()a a +，⋯为等差数列 B ．21()a a -，43()a a -，65()a a -，⋯为常数列
C ．2143n a n -=-
D ．若数列{}n b 满足(1)n n n b a =-⋅，则数列{}n b 的前100项和为100 11．（5分）已知函数()2cos()(0f x x ωϕω=+>，||)2
π
ϕ<的图象上，
对称中心与对称轴12
x π
=的最小距离为
4
π
，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 的一个对称点为5(12
π
，0)
B ．当[6x π∈，]2
π
时，函数()f x 的最小值为
C ．若444sin cos ((0,))52πααα-=-∈，则()4
f π
α+
D ．要得到函数()f x 的图象，只需要将()2cos2g x x =的图象向右平移
6
π
个单位 12．（5分）已知球O 的半径为2，球心O 在大小为60︒的二面角l αβ--内，二面角l αβ--的两个半平面分别截球面得两个圆1O ，2O ，若两圆1O ，2O 的公共弦AB 的长为2，E 为AB 的中点，四面体12OAO O 的体积为V ，则下列结论中正确的有( )
A ．O ，E ，1O ，2O 四点共面
B ．12O O =
C ．123
2
O O =
D ．V 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知某省2020年高考理科数学平均分X 近似服从正态分布(89,100)N ，则(79109)P X <= ．
附：()0.6827P X μσμσ-<+=，(22)0.9545)P X μσμσ-<+=
14．（5分）请写出满足条件“()f x f （1）对任意的[0x ∈，1]恒成立，且()f x 在[0，1上不是增函数”的一个函数： ． 15．（5分）已知621
()(1)(0)a x a x
++≠的展开式中各项的系数和为192，则其展开式中的常数项为 ．
16．（5分）电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数(*)
n n N ∈可以表示成二进制数
0122
()k a a a a ⋯，即
1210012122222k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+⨯，其中01a =，{0i a ∈，1}，0i =，1，
2，⋯，k ，k N ∈．用()f n 表示十进制数n 的二进制表示中1的个数，则f （7）= ；
对任意*r N ∈，
121
2
2
r r
n +-=∑()
f n = ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足223n S n n =+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列1
1
{}n n a a +的前n 项和是n T ，若存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-成立，求实数λ的取值范围．
18．（12
分）已知函数21()cos cos ()2
f x x x x x R =--∈．
（Ⅰ）当[12
x π
∈-
，
5]12
π
时，分别求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值； （Ⅱ）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对应边分别是a ，b ，c ，
且a =6b =，()12
A
f =-，
求c 的值．
19．（12分）甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．甲、乙约定比赛当天上午进行3局热身训练，下午进行正式比赛． （Ⅰ）上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率； （Ⅱ）下午的正式比赛中：
①若采用“3局2胜制”，求甲所胜局数x 的分布列与数学期望；
②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？
20．（12分）某建筑工地上有一个旗杆CF （与地面垂直），其正南、正西方向各有一标杆BE ，DG （均与地面垂直，B ，D 在地面上）
，长度分别为1m ，4m ，在地面上有一基点A （点A 在B 点的正西方向，也在D 点的正南方向上），且2BA BC m ==，且A ，E ，F ，G 四点共面．
（Ⅰ）求基点A 观测旗杆顶端F 的距离及仰角θ的正切值； （Ⅱ）若旗杆上有一点M ，使得直线BM 与地面ABCD 所成的角为4
π
，试求平面ABM 与平面AEFG 所成锐二面角的正弦值．
21．（12分）已知A ，B 分别为椭圆22
2:1(3)3
x y E a a +=>的左、右顶点，Q 为椭圆E 的上
顶点，1AQ QB ⋅=． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）已知动点P 在椭圆E 上，两定点3(1,)2
M -，3
(1,)2N -．
①求PMN ∆的面积的最大值；
②若直线MP 与NP 分别与直线3x =交于C ，D 两点，问：是否存在点P ，使得PMN ∆与PCD ∆的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知1
2
()(1)2cos (1)f x ln x x x -
=++-+，2()cos 1g x x ax =-+． （Ⅰ）若()0g x 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）确定()f x 在(1,)π-内的零点个数．
2021年湖南省六校高考数学联考试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{1A =，2，3，4，5}，2{|30}B x x x =->，则R
A B 中的元素个数
为( ) A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【解答】解：因为2{|30}{|0B x x x x x =->=<或3}x >， 所以{|03}R B x x =， 又集合{1A =，2，3，4，5}， 所以{1R
A B =，2，3}，
故R
A
B 中的元素个数为3．
故选：B ．
2．（5分）已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1(3,)Z a ，2(2,1)Z ，且12z z ⋅为纯虚数，则实数(a = ) A ．6-
B ．3
2
-
C ．
65
D ．6
【解答】解：因为复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1(3,)Z a ，2(2,1)Z ， 所以13z ai =+，22z i =+，
故12(3)(2)6(32)z z ai i a a i ⋅=++=-++， 因为12z z ⋅为纯虚数， 所以60a -=且320a +≠， 解得6a =． 故选：D ．
3．（5分）函数2
cos ()x x
x x f x e e -+=-的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：
22
cos()()cos ()()x x x x x x x x f x f x e e e e
---+-+-==-=---，
∴函数()f x 为奇函数，排除选项C 和D ，
当(0,1)x ∈时，cos 0x >，0x x e e -->，()0f x ∴>，排除选项B ， 故选：A ．
4．（5分）某地安排4名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，且每个人只去一个村，则每个村至少有一名工作人员的概率为( ) A ．
4
9
B ．
916 C ．59
D ．89
【解答】解；4人随机去3个村的可能情况有4381=种，
每个人只去一个村，则每个村至少有一名工作人员有23
4
336C A =种， 故364
819
P =
=． 故选：A ．
5．（5分）已知||6a =，(,3)b m =，且()(2)b a a b -⊥+，则向量a 在向量b 方向上的投影的最大值为( ) A ．4
B ．2
C 6
D ．1
【解答】解：因为||6a =，(,3)b m =，()(2)b a a b -⊥+， 所以222()(2)229120b a a b b a b a a b a b m -⋅+=⋅+--⋅=⋅++-=， 所以23a b m ⋅=-，
所以向量a 在向量b 方向上的投影为：
||cos a a <，22229||99
a b b m b m m ⋅>===+++ 令29t m +3t ， 12()f t t t =-+
，y t =-与12
y t
=在[3．)+∞上均为减函数，
则()f t 在[3．)+∞上为减函数， 所以()f t f （3）12
313
=-+
=， 所以向量a 在向量b 方向上的投影的最大值为1． 故选：D ．
6．（5分）数学里有一种证明方法叫做Proofs without words ，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC ∆中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，则该图形可以完成的无字证明为( )
A ．
(0,0)2
a b
ab a b +>> B ．
2(0,0)ab ab a b a b
>>+
C ．
22
0,0)2
2
a b a b a b ++>> D ．222(0,0)a b ab a b +>> 【解答】解：由题意得AB AD BD a b
=+=+，
1
()
2
CO a b =+，
11
()()22
OD OB DB a b b a b =-=+-=-，
Rt OCD ∆中，2222
2
2
2
()()442
a b a b a b CD OC OD +-+=+=
+=， 因为OC CD ， 所以22
1
()
2
2
a b a b ++a b =时取等号， 故选：C ．
7．（5分）已知1F ，2F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，点P 是该双曲
线上一点且在第一象限内，12212sin sin PF F PF F ∠=∠，则双曲线的离心率的取值范围为(
)
A ．(1,2)
B ．(3,)+∞
C ．(1,3)
D ．(2,3)
【解答】解：在△12PF F 中，由正弦定理知，122112
||||
sin sin PF PF PF F PF F =
∠∠， 12212sin sin PF F PF F ∠=∠， 212||||PF PF ∴=，
由双曲线的定义知，12||||2PF PF a -=， 1||4PF a ∴=，2||2PF a =，
1212||||||PF PF F F +>，即422a a c +>，
3c
e a
∴=
<， 又1e >，(1,3)e ∴∈． 故选：C ．
8．（5分）定义函数()1,1,x D x x ⎧=⎨-⎩
为有理数
为无理数，则下列命题中正确的是( )
A ．()D x 不是周期函数
B ．()y D x =的图象存在对称轴
C ．()
D x 是奇函数
D ．()D x 是周期函数，且有最小正周期
【解答】解：当m 为有理数时，()1,1,x D x m x ⎧+=⎨-⎩
为有理数
为无理数，
()()D x m D x ∴+=，
∴任何一个有理数m 都是()D x 的周期，
()D x ∴是周期函数，且无最小正周期，
∴选项A ，D 错误，
若x 为有理数，则x -也为有理数， ()()D x D x ∴=-，
若x 为无理数，则x -也为无理数， ()()D x D x ∴=-，
综上，总有()()D x D x -=，
∴函数()D x 为偶函数，图像关于y 轴对称， ∴选项C 错误，选项B 正确，
故选：B ．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是（ ） A ．若两直线的斜率相等，则两直线平行 B ．若x ＞5，则x ＞10
C ．已知是直线a 的方向向量，是平面α的法向量，若a ⊥α，则⊥
D ．已知可导函数f （x ），若f ′（x 0）＝0，则f （x ）在x ＝x 0处取得极值
【解答】解：对于A ，两直线平行时，两直线的斜率相等或斜率都不存在，所以必要性不成立；
对于B ，x ＞10时，x ＞5，所以必要性成立；
对于C ，若⊥，则a ∥α或a ⊂α，所以必要性不成立；
对于D ，f （x ）在x ＝x 0处取得极值时，f ′（x 0）＝0，必要性成立． 故选：BD ．
10．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，22n n a a +-=，*n N ∈，则( ) A ．12()a a +，34()a a +，56()a a +，⋯为等差数列 B ．21()a a -，43()a a -，65()a a -，⋯为常数列
C ．2143n a n -=-
D ．若数列{}n b 满足(1)n n n b a =-⋅，则数列{}n b 的前100项和为100 【解答】解：数列{}n a 满足11a =，23a =，22n n a a +-=，*n N ∈， 则数列1a ，3a ，5a ，⋯是以1为首项，2为公差的等差数列， 数列2a ，4a ，6a ，⋯是以3为首项，2为公差的等差数列． 对于12:()A a a +，34()a a +，56()a a +，⋯为等差数列，故A 正确； 对于21:()2B a a -=，43()2a a -=，65()2a a -=，⋯为常数列，故B 正确；
对于C ：数列1a ，3a ，5a ，⋯是以1为首项，2为公差的等差数列，故2121n a n -=-，故C 错误，
对于100214310099:250100D T a a a a a a =-+-+⋯+-=⨯=，故D 正确． 故选：ABD ．
11．（5分）已知函数()2cos()(0f x x ωϕω=+>，||)2
π
ϕ<
的图象上，
对称中心与对称轴12
x π
=
的最小距离为
4
π
，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 的一个对称点为5(12
π
，0)
B ．当[6x π∈，]2
π
时，函数()f x 的最小值为
C ．若444sin cos ((0,))52πααα-=-∈，则()4
f π
α+
D ．要得到函数()f x 的图象，只需要将()2cos2g x x =的图象向右平移6
π
个单位 【解答】解：函数()2cos()(0f x x ωϕω=+>，||)2
π
ϕ<的图象上，
对称中心与对称轴12x π
=的最小距离为1244
ππ
ω⨯=，2ω∴=． 再根据212
k π
ϕπ⨯+=，k Z ∈，可得6π
ϕ=-
，故()2cos(2)6
f x x π
=-．
令512
x π
=
，可得()10f x =-≠，故A 错误；
当[
6x π
∈，]2π时，2[66x ππ-∈，5]6π，故当5266
x ππ
-=时，函数()f x 的最小值为故B 正确； 若
44224sin cos sin cos cos2((0,))
52
παααααα-=-=-=-∈，4cos25
α∴=
，
3
sin 25
α=，
则()2cos(2)2sin(2)2sin 2cos 2cos2sin 426666f ππππππ
ααααα+=+-=--=-+=
，故C 正确；
将()2cos2g x x =的图象向右平移6π个单位，可得2cos(2)3
y x π
=-的图象，故D 错误， 故选：BC ．
12．（5分）已知球O 的半径为2，球心O 在大小为60︒的二面角l αβ--内，二面角l αβ--的两个半平面分别截球面得两个圆1O ，2O ，若两圆1O ，2O 的公共弦AB 的长为2，E 为AB 的中点，四面体12OAO O 的体积为V ，则下列结论中正确的有( )
A ．O ，E ，1O ，2O 四点共面
B ．12O O =
C ．123
2
O O =
D ．V 【解答】解：因为公共弦AB 在棱l 上，连结O
E ，1O E ，2O E ，12O O ，OA ，
则OE ==
因为二面角l αβ--的两个半平面分别截球面得两个圆1O ，2O ，O 为球心， 所以1OO α⊥，2OO β⊥， 又1O E ⊂平面α，2O E ⊂平面β， 所以11OO O E ⊥，22OO O E ⊥，
故O ，E ，1O ，2O 四点共圆，故选项A 正确； 因为E 为弦AB 的中点，
故1O E AB ⊥，2O E AB ⊥，故12O EO ∠即为二面角l αβ--的平面角， 所以1260O EO ∠=︒， 故123
sin 602
O O OE =︒=
，故选项B 错误，选项C 正确； 设11OO d =，22OO d =，
在△12OO O 中，由余弦定理可得，222121212129
34
O O d d d d d d ==++， 所以12
3
4
d d ，故12
33
OO O S ， 所以12
1
33
OO O V AE S
=⋅⋅， 当且仅当12d d =时取等号，故选项D 正确． 故选：ACD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知某省2020年高考理科数学平均分X 近似服从正态分布(89,100)N ，则(79109)P X <= 0.8186 ．
附：()0.6827P X μσμσ-<+=，(22)0.9545)P X μσμσ-<+= 【解答】解：因为X 近似服从正态分布(89,100)N ， 则89μ=，10σ=，
所以(79109)(2)(0)(02)P X P X P X P X μσμσμσμσ<=-<+=-<<+<+
0.68270.9545
0.818622
=
+=， 故答案为：0.8186．
14．（5分）请写出满足条件“()f x f （1）对任意的[0x ∈，1]恒成立，且()f x 在[0，1上不是增函数”的一个函数： 2()(1)f x x =--，（答案不唯一） ．
【解答】解：由题意()f x 的最大值f （1）且()f x 在[0，1]上不是增函数， 故2()(1)f x x =--．
故答案为：2()(1)f x x =--，（答案不唯一）． 15．（5分）已知621
()(1)(0)a x a x
++≠的展开式中各项的系数和为192，则其展开式中的常数项为 17 ．
【解答】解：令1x =可得：6(1)(11)64(1)192a a ++=+=，解得2a =， 所以二项式为621
(2)(1)x x
+
+的展开式的常数项为： 6
424
666212221517C C x C x
⨯+
⋅=+=+=， 故答案为：17．
16．（5分）电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数(*)
n n N ∈可以表示成二进制数
0122
()k a a a a ⋯，即
1210012122222k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+⨯，其中01a =，{0i a ∈，1}，0i =，1，2，⋯，k ，k N ∈．用()f n 表示十进制数n 的二进制表示中1的个数，则f （7）= 3 ；
对任意*r N ∈，
121
2
2
r r
n +-=∑()
f n = ．
【解答】解：因为2107121212=⨯+⨯+⨯，所以f （7）3=， 设1100112222r r r r n a a a a --=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯，()1f n t =+， 则使得()1f n t =+的n 有t r C 个，
所以
121
22
r r
n +-=∑()
1*0
223()r
f n t t r r t C r N +==⨯=⨯∈∑．
故答案为：3，*23()r r N ⨯∈．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足223n S n n =+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列1
1
{}n n a a +的前n 项和是n T ，若存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-成立，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）数列{}n a 的前n 项和n S 满足223n S n n =+①． 所以当1n =时，解得12a =，
当2n 时，212(1)3(1)n S n n -=-+-②， ①-②得：2223[(1)3(1)]n a n n n n =+--+-， 整理得1n a n =+（首项符合通项）， 故1n a n =+． （Ⅱ）11111
(1)(2)12
n n n b a a n n n n +===-
++++， 所以11111111
23341222
n T n n n =
-+-+⋯+-=-
+++， 若存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-成立， 即
11(2)022n n λ--++成立， 故(2)2(2)
n n n λ++， 整理得
22(44)
n
n n λ++，
只需满足2[]2(44)
max n
n n λ++即可，
设211
()42(44)16
2(4)n g x n n n n
=
=++++
，当且仅当2n =时，等号成立．
即116
λ
． 18．（12分）已知函数21
()cos cos ()2
f x x x x x R =--∈．
（Ⅰ）当[12
x π
∈-
，
5]12
π
时，分别求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值；
（Ⅱ）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对应边分别是a ，b ，c ，且a =6b =，()12
A
f =-，
求c 的值．
【解答】解：211cos21
()()cos cos 2222
x I f x x x x x +=----，
1
2cos212
x x =
--， sin(2)16
x π
=--，
因为[12
x π
∈-，
5]12π，所以2[63
x ππ-∈-，2]3π，
所以sin(2)16
x π
-，
()sin(2)16
f x x π
=--的最大值0，此时3x π=，函数的最小值1--，此时12x π=-； ()()sin()1126
A II A π
=--=-，
所以sin()06A π
-=，
由A 为三角形内角得6
A π
=，
因为a =6b =，
由余弦定理得2222a b c bc =+-，
所以212360c =+-=，
解得c =c =19．（12分）甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．甲、乙约定比赛当天上午进行3局热身训练，下午进行正式比赛． （Ⅰ）上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率； （Ⅱ）下午的正式比赛中：
①若采用“3局2胜制”，求甲所胜局数x 的分布列与数学期望；
②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？
【解答】解：（Ⅰ）甲恰好胜2局的概率为223060.40.432P C =⋅⨯=； （Ⅱ）①甲所胜局数x 的可能取值为0，1，2，
所以2
22
(0)040.16P x C ==⋅=， 1
2(1)0.60.40.40.192P x C ==⨯⨯=，
2122(2)0.60.60.60.40.60.648P x C C ==⨯+⨯⨯=，
所以甲所胜局数x 的分布列为：
x
0 1 2 P
0.16
0.192
0.648
则x 的数学期望()00E x =⨯，1610.19220.648 1.488+⨯+⨯=；
②采用“3局2胜制”时，甲获胜的概率为121220.60.40.60.60.60.648P C C =⨯⨯+⨯=，
采用“5局3胜制”时，甲获胜的概率为
2222233243306040.6060.40.6060.68256P C C C =⋅⨯⋅⨯+⋅⨯⨯+⋅=，
对于甲而言，显然“5局3胜制”更有利，
由此可得出：比赛局数越多，对水平高的选手越有利．
20．（12分）某建筑工地上有一个旗杆CF （与地面垂直），其正南、正西方向各有一标杆BE ，DG （均与地面垂直，B ，D 在地面上）
，长度分别为1m ，4m ，在地面上有一基点A （点A 在B 点的正西方向，也在D 点的正南方向上），且2BA BC m ==，且A ，E ，F ，G 四点共面．
（Ⅰ）求基点A 观测旗杆顶端F 的距离及仰角θ的正切值； （Ⅱ）若旗杆上有一点M ，使得直线BM 与地面ABCD 所成的角为4
π
，试求平面ABM 与平面AEFG 所成锐二面角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知平面//ABE 平面CDGF ，且A ，E ，F ，G 四点共面于平面AEFG ，
故//AE GF ，同理可得//AG EF ，
故AEFG 为平行四边形，故AE FG =， 过点G 作CF 的垂线，垂足为N ，
则ABE GNF ∆≅∆，所以1FN BE ==，415FC =+=，AC =，
则AF
故tan
FC AC θ=
=
； （Ⅱ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 2MC =，(2B ，0，0)，(2N ，2，2)，
所以(2,0,0),(2,2,2)AB AM ==， 设平面ABM 的法向量(,,)m x y z =， 则有20
2220
m AB x m AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，
令1y =，则1z =-，故(0,1,1)m =-， 又(2E ，0，1)，(2F ，2，5)， 所以(2,0,1),(2,2,5)AE AF ==， 设平面AEFG 的法向量为(,,)n a b c =， 则有202250
n AE x z n AF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，
令1x =，则2z =-，4y =，故(1,2,4)n =-，
所以|||cos ,|||||72m n n m m n ⋅<>=
==⨯，
设平面ABM 与平面AEFG 所成锐二面角为α，
则sin α==
21．（12分）已知A ，B 分别为椭圆22
2:1(3)3
x y E a a +=>的左、右顶点，Q 为椭圆E 的上
顶点，1AQ QB ⋅=． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）已知动点P 在椭圆E 上，两定点3(1,)2
M -，3
(1,)2N -．
①求PMN ∆的面积的最大值；
②若直线MP 与NP 分别与直线3x =交于C ，D 两点，问：是否存在点P ，使得PMN ∆与PCD ∆的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意可得，3)Q ，(,0)A a -，(,0)B a ， 因为1AQ QB ⋅=．
所以(a 3)(a ⋅，3)1=， 所以231a -=， 所以24a =，
所以椭圆的方程为22
143
x y +=．
（Ⅱ）①设(2cos 3)P αα，02απ， 因为3(1,)2
M -，3
(1,)2N -，
所以直线MN 的方程为33
()322(1)211
y x ---=+--，即320x y +=， 所以点P 到直线MN 的距离为2243sin()
|32cos 23sin |31332d π
ααα+⨯+⨯=
+， 2233
||(11)(())1322
MN =--+--
所以
)
11
||)
223
PMN
S MN d
π
απ
α
∆
+
=⋅⋅==+，02
απ，所以PMN
∆
的面积的最大值为
②设
(P x，
)
y
，||
MN=
点P到直线MN
的距离
1
d=，
所以
100
11
|||32|
22
PMN
S MN d x y
∆
=⋅=+，
直线MP的方程为：0
3
3
2(1)
12
y
y x
x
-
=++
+
，
令3
x=，可得0
463
(3,)
12
y
C
x
-
+
+
，
直线PN的方程为：0
3
3
2(1)
12
y
y x
x
+
=--
-
，
令3
x=，可得0
233
(3,)
12
y
D
x
+
-
-
，
所以000
2
(32)(3)
||||
1
x y x
CD
x
+-
=
-
，
点P到直线CD的距离
20
|3|
d x
=-，
所以2
00
20
2
32
11
||||(3)
221
PCD
x y
S CD d x
x
∆
+
=⋅=⨯-
-
，
因为MPN
∆与PCD
∆面积相等，
所以2
00
000
2
32
11
|32|||(3)
221
x y
x y x
x
+
+=⨯-
-
，
所以
00
320
x y
+=（舍去）或22
00
|1|(3)
x x
-=-，
解得
5
3
x=
，代入椭圆的方程得
y=
所以点
5
(
3
P
或
5
(
3
，．
22．（12分）已知
1
2
()(1)2cos(1)
f x ln x x x-
=++-+，2
()cos1
g x x ax
=-+．（Ⅰ）若()0
g x恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）确定()
f x在(1,)
π
-内的零点个数．
【解答】解：（Ⅰ）因为22
()cos()1()cos1()
g x x a x x ax g x
-=--+-=-+=，
所以()
g x为偶函数，
所以只需()0g x 在[0，)+∞上恒成立即可， 由()0g x 知0a >， ()sin 2g x x a '=-+， ()cos 2g x x a ''=-+，
（1）若21a ，则()0g x ''，()g x '在(0,)+∞上单调递增， 所以()(0)0g x g '>'=，
所以()g x 在(0,)+∞上单调递增， 所以()(0)0g x g =， 所以1
2
a
满足条件． （2）若102a <<
，存在0(0,)2
x π
∈，0()0g x ''=， 当0(0,)x x ∈时，0()0g x ''<，()g x '单调递减， ()(0)0g x g '<'=，()g x 单调递减，
所以()(0)0g x g <=，不成立， 所以1
02
a <<
不满足条件． 综上所述，a 的取值范围为12
a
， 所以a 的取值范围为1
[2
，)+∞．
（Ⅱ）3211
()2sin (1)12
f x x x x -'=-+++，
3
22
13
()2cos (1)(1)4
f x x x x -''=---++， （1）当(1x ∈-，0]时，()0f x ''<，()f x '单调递减， ()(0)0f x f '>'>，()f x 单调递增，
又(0)10f =>，
33
()222cos 2044
f ln -=-+-<，
所以()f x 在(1,0)-内恰有一个零点．
（2）当(0x ∈，]3
π
时，可以证明2
(1)2x ln x x +>-，
由（Ⅰ）知2
cos 12
x x >-，
第21页（共21页）
所以2233()21022f x x x x x >+->+->， 所以()f x 在(0，]3
π内无零点． （3）当(3x π∈，]2
π时，()0f x ''<，()f x '单调递减， ()()03f x f π
'<'<，()f x 单调递减， 所以在(3π，]2
π无零点， （4）当(2x π
∈，5]6π时，3211()1(1)012f x x x -'<-++<+，()f x 单调递减， 又()02
f π
>
，1
2555()(1)(1)220666f ln ln πππ-=++<-， 所以()f x 在(2π，5]6π内恰有一个零点， （5）当5(6
x π∈，]π时，()0f x ''>，()f x '单调递增， 又()0f π'>，5()06
f π'<， 所以存在唯一05(
6x π∈，)π，0()0f x '=， 当5(6
x π∈，0)x 时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当0(x x ∈，)π时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以5(){(
)6f x max f π，()}0f π<， 所以()f x 在5(6
π，]π内无零点． 综上所述，()f x 恰有两个零点．。