抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质
1．抛物线定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定
点F 叫做抛物线的焦点，定直线
叫做抛物线的准线
2．抛物线的标准方程：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系
数绝对值的
41，即
2
42p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为
px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右
端为py 2±，左端为2
x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X
轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，
焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号 二：
抛物线的几何性质 1．范围
因为p ＞0，由方程()022
>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，
y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性
以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．
1.直线与抛物线的位置关系： （1）位置关系的判定： 联立直线:l y k x
m =
+和抛物线22(0)y p x p =>消y 整理得：
222
2()0
k x k m p x m +-
+= 当0a ≠时
0∆>⇔直线与抛物线相交，有两个不同公共交点 0∆=⇔直线与抛物线相切，只有一个公共交点 0∆<⇔直线与抛物线相离，没有公共交点 当0a =时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切
（2）若直线与抛物线相交于1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长
AB =AB =，特别注意解题是结合韦达定理来处理问题
1. BM 1⊥AM 1（以抛物线的焦
点弦为直径的圆，切于准线）
2. B 1F ⊥A 1F(以A1B1为直径的圆，切于焦点弦)
3.令过F直线斜率为k，F（p／2,0）A(X1，Y1) B(X2，Y2) 令∠BFX=θ则直线AB:y=k(x-p／2) ①
y2=2px ②
联立①②：k2x2-(pk2+2p)+k2p2／4=0
由上式：⑴x1x2=p2／4 y1y2=-p2
⑵1／AF+1／BF=2／P
⑶AB=AF+BF=2P／(sinθ)2
⑷S△AOB=p2／（2sinθ）。