两个变量的线性相关-最小二乘法求线性回归方程教学设计

§2.3.2 两个变量的线性相关（第三课时）—最小二乘法求线性回归方程教学设计

一．内容和内容解析本节课的主要内容为用最小二乘法求线性回归方程。本节课内容作为上节课线性回归方程探究的知识发展，在知识上有很强的联系，所以，核心概念还是回归直线。在“经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系” 的过程后，解决好用数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小” ，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式——最小二乘法，有助于更好的理解核心概念，并最终体现回归方法的应用价值。

就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行“优劣评价”是“假设检验”的萌芽，而后者是统计学学科研究的另一重要领域。了解“最小二乘法思想” ，比较各种“估算方法”，体会它的相对科学性，既是统计学教学发展的需要，又在体会此思想的过程中促进了学生对核心概念的进一步理解。“最小二乘法思想”作为本节课的核心思想，由此得以体现。而回归思想和贯穿统计学科中的随机思想，也在本节课中需有所渗透。

所以，在内容重点的侧重上，本节课与上节课有较大的区别：上节课侧重于估算方法设计，在不同的数据处理过程中，体会回归直线作为变量相关关系代表这一概念特征；本节课侧重于估算方法评价与实际应用，在评价中使学生体会核心思想，理解核心概念。

考虑到本节课的教学侧重点与新课程标准的要求，对线性回归方程系数的计算公式，可直接给出。由于公式的复杂性，一方面，既要通过教学设计合理体现知识发生过程，不搞“割裂” ；另一方面，要充分利用计算机或计算器，简化繁琐的求解系数过程，简化过于形式化的证明说理过程。

基于上述内容分析，确定本节课的教学重点为知道最小二乘法思想，并能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

二．目标和目标解析本节课要求学生了解最小二乘法思想，掌握根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，理解线性回归方程概念和回归思想，在以上过程中体会随机思想：1．能用数学符号刻画出“从整体上看，各点与此直线的点的偏差”的表达方式；2．通过减少样本点个数，经历对表达式的展开，把“偏差最小”简化为“二次多项式”最小值问题，通过合情推理，使学生接受最小二乘法的科学性，在此过程中了解最小二乘法思想；3．能结合具体案例，经历数据处理步骤，根据回归方程系数公式建立回归方程；4．通过改变同一问题下样本点的选择进而对照回归方程的差异，体会随机思想；5．利用回归方程预测，体现用“确定关系研究相关关系”的回归思想；

．教学问题诊断分析在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程后，在学生现有知识能力范

围内，如何选择一个最优方法，成为知识发展的逻辑必然。

“最小二乘法”作为经典的回归方程估算方法：通过用数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”这一直观的几何描述，并采取合适的数学处理方法，最终获得回归直线，对学生认可统计估算的科学性有很大的帮助。

基于此，如何把“从整体上看，各点与此直线的距离最小”用合适的代数符号刻 画并化简，化几何问题为代数问题，是顺利了解“最小二乘法”思想的前提；而如何 化简复杂的代数表达式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也较高。要了解 “最小二乘法思想”，接受“由系数公式得到的线性方程”为回归方程，理解此方程 可作为两个具有线性相关关系变量的代表这一回归直线概念本质，并体现相对于其他 估算方法的优越性，又必须要求对给出的系数公式来源进行一定的说理。

知识发展的要求与学生能力和经验的欠缺成为本节课将会遇到的最大矛盾。 教学中，要防止两种倾向：一是直接套用回归系数公式求解回归方程而回避说理过程； 二是过多纠缠于数学刻画过程，甚至在课堂内花大量时间对回归系数公式进行证明说 理。这两种倾向，都脱离了实际情况，前者忽略了 “最小二乘法思想” ，迷失了本节 课的教学目标；后者人为拔高教材要求，脱离了本节课教学要求。

所以，本节课的教学难点是：如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直 线的距离最小”并在此过程中了解最小二乘法思想。通过“降次举特例说明，进行合 情推理”是学生突破此难点的一个方法。 四. 教学支持条件分析

本节课需要运用回归系数公式求解回归直线，此过程要进行大量的运算，需要科学计算器减少繁 琐的计算。在后续例题的解决过程中，还需借助

Excle 软件，通过大量的回归直线比较分析，体

会回归思想和随机思想，因此需要多媒体电脑展示设备支持。 五. 教学过程设计 1. 课题引入 问题

3: “从整体上看，各点与此直线的距离最小”中，距离等于偏差吗？作为判断优劣的标准,

设计意图：在上节课“计算预测值与实际值偏差”的经验基础上，通过学生对“从整体上看，各 点与此直线的点的距离的最小”这一新标准与旧经验的冲突和联系，对“优劣问题”展开反思： 从旧经验“单个点”到新标准“所有点”

，突出“整体”二字；从旧经验“偏差计算”到新标准

“点线距离”，对比几何描述直观性和代数表达便捷性，揭示出两者是同一标准的不同表述。

师生活动：在上节课铺垫的基础上，学生不难回想到上节课比较不同“回归直线”优劣的方法一 —通过计算样本点与直线对应点纵坐标差比较偏差。在此铺垫基础上，教师可结合图形，用代数 符号y i 、？i 标记，为下一步代数表达做好准备。第二问更具有几何直观性，学生也易于接受此标 准，达成“几何”与“代数”的转化、

“距离”与“偏差”的转化。若学生对“距离”与“偏差”

有疑问，教师可提出问题 3,通过观察课本92页图2.3-6，简单介绍偏差处理法的优越性和等价性 即可。 2. 知识发展

设回归直线方程为 ？ =bx +a ，（X i ，y i ）表示第i 个样本点，

问题1:你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？

问题2：偏差有正有负，我们可以怎么规避？比较绝对值处理和平方处理，我们选择哪种合适？ 设计意图：几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过 程，体验“最小二乘法思想”。 师生活动：在引入的设问中，已经解决了转化的问题，由于上节课学生有“用具体数据来计算偏

1:（投影上节课探究结果）如何评价这些“直线”的优劣？理由呢? 问题 2

:能否从几何直观角度用文字语言叙述你的理由? 问题 可以等同吗?