主成分分析法总结

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主成分分析法全

• 如果我们将xl 轴和x2轴先平移，再同时按逆时针方向旋转角度，得到新坐标轴Fl和 F2。Fl和F2是两个新变量。
根据旋转变换的公式：
y y1 1 x1xc1soin sx2 xs2cio ns
y y 1 2 cs o in sc si o n s x x 1 2 U x
设有P维正交向量 a1 a11, a21,, ap1
F1 a11X1 L ap1X p aX
1
V
(F1)
a1a1
a1U
2
Ua1
p
1
a1
u1
,
u2
,L,
up
2
O
u1
u2 M
a1
p
up
p
iauiuia i1
p
i (aui )2 i1
1ip1(aui )2
1）贡献率：第i个主成分的方差在全部方差中所占
比重
i
p
i 1
i
，称为贡献率
，反映了原来P个指标多大
的信息，有多大的综合能力。
2）累积贡献率：前k个主成分共有多大的综合能力，用这k个主成分的方差和在全部方差中所占比重
k
p
i i
i1
i1
来描述，称为累积贡献率。
我们进行主成分分析的目的之一是希望用尽可能少的主成分F1，F2，…，Fk（k≤p）代替原来的P个指标。到底应该选择多少个主成分，在实际工作中，主成分个数的多少取决于能够反映原来变量80%以上的信息量为依据，即当累积贡献率≥80%时的主成分的个数就足够了。最常见的情况是主成分为2到3个。
F 1
主成
F2
•• • • •
分分析的几何

主成分分析法

主成分分析法一、主成分分析（principal components analysis ）也称为主分量分析，是由Holtelling 于1933年首先提出的。

主成分分析是利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标的多元统计分析方法。

二、应用背景：对同一个体进行多项观察时，必定涉及多个随机变量X1，X2，…，Xp ，它们都是相关的, 一时难以综合。

这时就需要借助主成分分析 (principal component analysis)来概括诸多信息的主要方面。

我们希望有一个或几个较好的综合指标来概括信息，而且希望综合指标互相独立地各代表某一方面的性质。

任何一个度量指标的好坏除了可靠、真实之外，还必须能充分反映个体间的变异。

如果有一项指标，不同个体的取值都大同小异，那么该指标不能用来区分不同的个体。

由这一点来看，一项指标在个体间的变异越大越好。

因此我们把“变异大”作为“好”的标准来寻求综合指标。

例1、考察对象股票业绩（这里单个股票为观察个体）。

（1）确定影响股票业绩主要因素：主营业务收入（X1），主营业务利润（X2）利润总额（X3），净利润（X4），总资产（X5），净资产（X6），净资产收益率（X7），每股权益（X8），每股收益（X9），每股公积金（X10），速动比率（X11）作为变量。

因此对单个股票来说，用11个随机变量综合刻化。

但这些因素过多，各因素区别不明显，有交叉反映。

通过主成分分析，可降为少数几个综合指标加以刻化。

（2）考察20支不同的股票。

从数学角度看，每种影响因素是随机变量（X i ），观察一支股票便得到影响该股票的11个随机变量取值；观察20支股票，便得到了20×11的原始数据阵X20×11（略）。

三、问题：作为主成分？严格的数学定义？相应的性质有哪些？主成分取多少？1、主成分的一般定义设有随机变量X1，X2，…，Xp ，其样本均数记为1X ，2X ，…，p X，样本标准差记为S1，S2，…，Sp 。

主成分分析概要

什么是主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。

在统计学中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术。

它是一个线性变换。

这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。

主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。

这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。

这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。

但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。

[编辑]主成分分析的基本思想在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。

这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。

因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。

在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。

主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。

同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。

科普效果是很难具体量化的。

在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。

如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。

因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。

根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。

这样，综合指标不仅保留了原始变量的主要信息，且彼此间不相关，又比原始变量具有某些更优越的性质，就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时，容易抓住主要矛盾。

主成分分析法

主成分分析法什么事主成分分析法:主成分分析（principal components analysis , PCA 又称：主分量分析，主成分回归分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。

在统计学中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术。

它是一个线性变换。

这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标（称为第一主成分）上，第二大方差在第二个坐标（第二主成分）上，依次类推。

主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。

这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。

这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。

但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。

主成分分析的基本思想：在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。

这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。

主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。

科普效果是很难具体量化的。

在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。

如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。

因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。

根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。

主成分分析法总结

主成分分析法：简介在用统计分析方法研究多变量的课题时，变量个数太多就会增加课题的复杂性。

人们自然希望变量个数较少而得到的信息较多。

在很多情形，变量之间是有一定的相关关系的，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠。

主成分分析是对于原先提出的所有变量，建立尽可能少的新变量，使得这些新变量是两两不相关的，而且这些新变量在反映课题的信息方面尽可能保持原有的信息。

原理设法将原来变量重新组合成一组新的互相无关的几个综合变量，同时根据实际需要从中可以取出几个较少的综合变量尽可能多地反映原来变量的信息的统计方法叫做主成分分析或称主分量分析，也是数学上用来降维的一种方法。

应用学科主成分分析作为基础的数学分析方法，其实际应用十分广泛，比如人口统计学、数量地理学、分子动力学模拟、数学建模、数理分析等学科中均有应用，是一种常用的多变量分析方法。

基本思想主成分分析基本思想：主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。

其基本思想是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。

主成分分析，是考察多个变量间相关性一种多元统计方法，研究如何通过少数几个主成分来揭示多个变量间的内部结构，即从原始变量中导出少数几个主成分，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间互不相关.通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，作为新的综合指标。

最经典的做法就是用F1（选取的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表达，即Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。

因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。

如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，用数学语言表达就是要求Cov(F1, F2)=0，则称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四，……，第P个主成分。

主成分分析法

主成分分析法1. 主成份分析：主成份分析是最经典的基于线性分类的分类系统。

这个分类系统的最⼤特点就是利⽤线性拟合的思路把分布在多个维度的⾼维数据投射到⼏个轴上。

如果每个样本只有两个数据变量，这种拟合就是其中和分别是样本的两个变量，⽽和则被称为loading,计算出的P值就被称为主成份。

实际上，当⼀个样本只有两个变量的时候，主成份分析本质上就是做⼀个线性回归。

公式本质上就是⼀条直线。

插⼊⼀幅图（主成份坐标旋转图，来⾃：PLS⼯具箱参考⼿册）如果⼀个样本有n个变量，那主成份就变为：其中PC1 称为第⼀主成份，⽽且，我们还可以获得⼀系列与PC这个直线正交的其它轴，如：被称为第⼆主成份以此类推，若令，此时向量A称为主成份的载荷(loading)，计算出的主成份的值PC称为得分(score)。

1. 主成份分析举例作为⼀个典型的降维⽅法，主成份分析在数据降维⽅⾯⾮常有⽤,⽽且也是所有线性降维⽅法的基础。

很多时候，如果我们拿着⼀个⾮常复杂的数据不知所措的话，可以先考虑⽤主成份分析的⽅法对其进⾏分解，找出数据当中的种种趋势。

在这⾥，我们利⽤数据挖掘研究当中⾮常常见的⼀个数据集对主成份分析的使⽤举例如下：1996年，美国时代周刊（Times）发表了⼀篇关于酒类消费，⼼脏病发病率和平均预期寿命之间关系的科普⽂章，当中提到了10个国家的烈酒，葡萄酒和啤酒的⼈均消费量（升/年）与⼈均预期寿命（年）⼀级⼼脏病发病率（百万⼈/年）的数据，这些数据单位不⼀，⽽且数据与数据之间仅有间接关系。

因此直接相关分析不能获得重要且有趣的结果。

另外⼀⽅⾯，总共只有10个国家作为样本，各种常见的抽样和假设检验在这⽅⾯也没有⽤武之地，我们看看⽤何种⽅法能够从这个简单的数据表中获得重要知识作为数据挖掘的第⼀步，⾸先应该观察数据的总体分布情况。

⽆论是EXCEL软件，还是R语⾔，我们都能够很⽅便的从下表中获得表征数据分布的条形图。

从图中可以看出，总共10个国家，有5类数据，由于各类数据性质各不相同，因此数值上⼤⼩也很不相同。

主成分分析法

主成分分析法1 引言对于整个数据，我们把对社区的满意度作为因变量，把年龄、性别、婚姻、文化、是否有未成年的孩子、是否有老人、家庭月均收入、经常居住的房屋类型、物业费这九个因素作为自变量，我们希望可以得到一个因变量和自变量的映射关系，使得我们可以通过确定自变量的值得出对应因的变量的值。

但是由于自变量的个数过多，映射会变得非常复杂，而且有很多的重复信息，我们希望可以通过某种方法找出最具代表性的少数自变量，可以通过较少的自变量就能确定因变量的值。

采用主成分分析法可以帮助我们解决这一问题。

2 原理主成分分析法即对原变量进行适当的变换，得到一组新的互相无关的几个综合变量，使数据都分布在新的变量组成的坐标系上，可以通过坐标系上的坐标确定原变量中的任意一个。

简而言之，就是将原变量的维数降低，利用低维数坐标表示高维数变量。

设代表原变量的矩阵为X ，为m n ⨯阶，每列代表每次实验产生的同一类数据，每行代表每次试验产生的各个种类的数据。

(考虑一般数据试验实验次数远远大于数据种类，我们认为m 远远大于n )例如对于某个实验，总共进行3次，每次试验将进行长度和重量两项测试，得到的数据矩阵为122431⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中第2行第三列数值为4，就说明第二次实验中的测得的重量为4。

对X 利用奇异值分解，可以得到TX WSV =其中，m m ⨯阶矩阵W 为T XX 的特征向量矩阵，而且是正交矩阵（T XX 为实对称矩阵，其特征向量矩阵一定为正交阵），n n ⨯阶矩阵V 为T X X 的特征向量矩阵，也是正交矩阵。

S 是半正定m n ⨯阶对角矩阵，对角线上的元素是X 的奇异值，S 被称为奇异矩阵，设S 中对角元素中非0的个数为k ，显然k n ≤ 令()TY XV W S V V W S ===由于S 是对角阵，则Y 只有前k 列为线性无关非o 向量，后面的列全部为0，则可以利用Y 的前k 列元素线性表示X 中所有列的元素，从而完成了对X 的降维。

主成分分析方法

主成分分析方法主成分分析方法是常用的一种统计分析方法,主要用于进行数据压缩或减少数据的维数[2]。

它是对一组相关的变量进行线性变换,得到一组维数不变但彼此互不相关的变量,亦即一组主成分。

由于各主成分是不相关的,因此可以认为它们是一组独立变量。

一般图像的线性变换可用下式表示:Y=TX (1)式中:X为待变换图像数据矩阵,Y为变换后的数据矩阵;T为实现这一线性变换的变换矩阵。

如果变换矩阵T是正交矩阵,并且它是由原始图像数据矩阵X的协方差矩阵S的特征向量所组成,则(1)式的线性变换称为主成分分析,并且变换后的数据矩阵的每一行矢量为主成分分析的一个主成分。

主成分分析的优点是消除了波段间的相互关系,减少了各波段提供信息的交叉和冗余,有利于分析。

同时,在分析过程中得到主要波段的合理权重,具有很好的客观性。

主成分分析法的主要步骤如下:(1)根据原始图像数据矩阵X,求出它的协方差矩阵S 以矩阵的形式表示多波段图像的原始数据如下:X=x11x12,x1nx21x22,x2ns s s sxn1xn1,xnn=[xij]m@n(2)矩阵X中,m,n分别为波段数和每幅图像中的像元数,矩阵中的每一行矢量表示一个波段的图像。

矩阵X的协方差矩阵S为:S=1n[X-Xl][X-Xl]T(3)式中:l=[1 1 , 1]1@n(4)X=[x1 x2 , x3]T(5)xi=1nEnk=1xik(第i波段的均值) (6)(2)求协方差矩阵S的特征值Ki和特征向量Ui,并组成变换矩阵T 求解特征方程(KI-S)U=0; 然后将特征值Ki按由小到大的顺序排列,求出对应特征值的单位特征向量Ui,以Ui为列构成矩阵U,U矩阵的转置矩阵,即UT为所求的变换矩阵T。

经过主成分变换后得到的新变量的各个行向量依次被称为第一主成分、第二主成分,,第m主成分,这时将新变量恢复为二维图像,便得到m个主成分图像。

主成分分析法

4，主成分分析法主成分分析（Principal Component Analysis，PCA），是一种统计方法。

通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。

主成分分析首先是由K.皮尔森（Karl Pearson）对非随机变量引入的，尔后H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形。

信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。

②主成分的解释其含义一般多少带有点模糊性，不像原始变量的含义那么清楚、确切，这是变量降维过程中不得不付出的代价。

因此，提取的主成分个数m通常应明显小于原始变量个数p（除非p本身较小），否则维数降低的“利”可能抵不过主成分含义不如原始变量清楚的“弊”。

③当主成分的因子负荷的符号有正有负时，综合评价函数意义就不明确。

4.4主成分分析法的运用叶晓枫，王志良,【2】在介绍主成分分析方法的基本思想及计算方法基础上,对水资源调配评价指标进行了降维计算. 结果显示筛选出的指标对原指标具有较好的代表性,简化了水资源评价问题的难度。

傅湘，纪昌明【3】，针对模糊综合评判法在综合评价中存在的主观随意性问题，提出采用主成分分析法进行区域水资源承载能力综合评价。

对各区域的灌溉率、水资源利用率、水资源开发程度、供水模数、需水模数、人均供水量和生态环境用水率达七个主要因索进行了分析；根据主成分分析法的原理，运用少数几个新的综合指标对原来的七个指标所包含的信息进行最佳综合与简化，研究其在各区域水资源开发利用过程中的不同贡献及综合效应。

周莨棋，徐向阳等【4】，针对传统主成分分析法用于水资源综合评价中存在一些问题，包括指标评价中的“线性”问题、无法体现评价指标主观重要性以及评价范围无法确定。

进行了改进，采用改进的极差正规方法对数据进行规格化，用规格化后的数据加入了主观重要性权进行协方差计算，对协方差特征向量采用正负理想点进行检验。

陈腊娇，冯利华等【5】，将主成分分析方法引入到水资源承载力研究中，并以浙江省为例，在现有资料的基础上，利用主成分分析的方法，定量分析影响水资源承载力变化的最主要的驱动因子。

主成分分析法总结

主成分分析法总结在实际问题研究中，多变量问题是经常会遇到的。

变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。

因此，人们会很自然地想到，能否在相关分析的基础上，用较少的新变量代替原来较多的旧变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息？一、概述在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。

而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。

为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。

为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。

主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。

主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点：↓主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。

↓主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。

↓主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。

↓主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。

主成分分析法原理

主成分分析法原理主成分分析（Principalcomponentanalysis，简称PCA）是一种实用性强的数据分析方法，它可以从大量复杂的数据中提取出显著的主要成分，从而使得数据的分析变得简单易行。

PCA的基本原理是，从原始的数据中找到一组投影矩阵，使得投影后的数据表现出最大的方差，并尽可能降低投影后数据之间的关联性，从而获得最低的维数。

首先，在讨论PCA之前，我们先要弄清楚什么是降维。

降维是指在保持数据重要性的情况下，将数据从高维空间转换到低维空间的一种过程。

它可以有效降低数据的复杂性，从而使数据分析变得更加简单容易。

PCA就是一种使用降维的数据分析方法，它的工作原理是尽可能保留原始数据中最具有代表性的特征，同时尽可能减少数据之间的冗余。

PCA的过程可以归结为几个步骤。

首先，需要对原始数据进行中心化处理，即减去均值，使得数据的均值变为0，以便下一步计算协方差矩阵。

然后，需要计算数据矩阵的协方差矩阵，即每个变量与其他变量之间的相关性，从而得出每个变量之间的关系。

接下来，需要计算协方差矩阵的特征值和特征向量，只需要保留其中有代表性的前几个特征值，即保留最显著的主成分，同时丢弃具有较低方差的特征值。

最后，将原始数据投影到主成分的基底上，从而获得PCA的结果。

PCA的应用非常广泛，在实际的数据分析中，它可以有效缩小数据量，提取出最重要的特征，并基于降维后的特征进行预测分析。

例如，在预测市场行为中，可以对原始数据使用PCA，从而减少数据的维度，并提取出最显著的特征，从而提高预测的准确性。

另外，在人脸识别中，可以使用PCA，将原始的复杂的图像信息减少到一定数量的主要特征，从而提高识别的准确性。

总之，PCA不仅可以有效的降低数据的维度，提取出最重要的特征，还可以显著提高数据分析和预测的准确性，是实际工作中必不可少的一种数据处理方法。

主成分分析的基本思想和应用

主成分分析的基本思想和应用主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的数据降维方法，通过保留数据集中的主要特征分量，将高维数据映射到低维空间中，从而实现对数据集的简化。

本文将详细介绍主成分分析的基本思想和应用。

一、基本思想主成分分析的基本思想是将数据集中的多个变量通过线性变换转换为几个线性不相关的变量，这几个变量称为主成分。

在转换过程中，主成分能够最大化数据的方差，从而保留数据集中的主要信息。

通过这种方式，我们可以将高维数据降到较低维度，实现对数据集的简化。

二、数学原理主成分分析的数学原理可以概括为以下几个步骤：1.数据标准化：对数据集进行标准化处理，使得每个变量的均值为0，标准差为1。

2.计算协方差矩阵：根据标准化后的数据计算协方差矩阵，表示数据集中各个变量之间的相关性。

3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征分解，得到一组特征值和对应的特征向量。

4.选择主成分：根据特征值的大小，降序排列特征值，并选择前k个最大的特征值对应的特征向量作为主成分。

5.形成新的数据集：将原始数据集投影到新的空间中，使得新空间中的数据线性无关，从而实现数据降维。

三、应用主成分分析在许多领域都有广泛的应用，下面列举几个典型的例子：1. 图像处理在图像处理领域，主成分分析可以用于图像降维和图像压缩。

通过保留图像中的主要特征分量，可以将高维的图像数据降到较低维度，从而减少数据量，提高计算效率。

此外，主成分分析还可以用于图像去噪和图像增强等任务。

2. 机器学习在机器学习领域，主成分分析常用于特征提取和特征选择。

通过降维，可以减少模型训练过程中的计算复杂度，提高模型的预测性能。

此外，主成分分析还可以用于数据可视化，将高维数据映射到二维或三维空间中，便于观察数据之间的关系。

3. 金融领域在金融领域，主成分分析可以用于风险管理和资产定价。

通过分析金融市场中的多个变量，提取主要的风险因素，可以帮助投资者更好地理解和预测市场走势。

实验报告一主成分分析

实验报告一主成分分析一、实验目的二、实验原理主成分分析的基本原理是寻找能够最大化数据方差的主轴方向，并以此来确定各个主成分的权重。

具体步骤如下：1.去除数据的均值，使数据集的中心为原点。

2.计算数据的协方差矩阵。

3.对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

4.对特征值从大到小进行排序，选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分。

5.将原始数据映射至选取的k个主成分构成的新坐标系中。

三、实验步骤2.对数据集进行预处理，包括去除缺失值、标准化处理等。

3.计算协方差矩阵。

4.对协方差矩阵进行特征值分解，并选择主成分。

5.将原始数据集映射至选取的主成分构成的新坐标系中。

6.可视化处理后的数据集，以便观察降维效果。

四、实验结果及分析经过主成分分析处理后，我们得到了降维后的数据集。

通过对比降维前后的数据，可以观察到数据在新坐标系中的分布情况。

如果降维后的数据集能够较好地保留原始数据的特征和结构，即数据点在新坐标系中的分布比较紧密，那么主成分分析的效果就较好。

五、实验结论通过实验，我们对主成分分析的原理和应用有了更深入的了解。

主成分分析可以有效地降低数据的维度，并保留原始数据的重要特征。

在实际应用中，主成分分析常用于多变量数据的预处理、降维和数据可视化等任务中，具有广泛的应用价值。

六、实验总结本次实验我们学习了主成分分析的基本原理和应用，并进行了实际操作。

实验结果表明主成分分析可以有效地降低数据的维度，保留了原始数据的重要特征，并成功地将数据映射到新的坐标系中。

通过本次实验的学习，我进一步掌握了主成分分析的方法和技巧，并了解了其在数据分析中的重要作用。

在实际应用中，我们可以根据需求选择适当的主成分数目，以达到最佳的降维效果和数据解释性。

主成分分析法

主成分分析法主成分分析旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。

在这个问题中为了全面、系统地分析问题，必须考虑众多影响因素。

主成分分析法的方法：1、原始指标数据的标准化采集p 维随机向量x = (x1,X2,...,X p)T)n 个样品x i =(x i1,x i2,...,x ip)T，i=1,2,…,n，n＞p，构造样本阵，对样本阵元进行如下标准化变换：其中，得标准化阵Z。

2、对标准化阵Z 求相关系数矩阵其中,。

3、解样本相关矩阵R 的特征方程得p 个特征根,确定主成分按确定m 值，使信息的利用率达85%以上，对每个λj,j=1,2,...,m, 解方程组Rb = λj b得单位特征向量。

4、将标准化后的指标变量转换为主成分U1称为第一主成分,U2称为第二主成分,…,U p称为第p 主成分。

5 、对m 个主成分进行综合评价对m 个主成分进行加权求和，即得最终评价值，权数为每个主成分的方差贡献率。

题目中给出了八种元素，我们想将八种元素归类，分为至少两个类别，一边之后进行分析。

因此根据主成分分析法，对八种元素分类。

应用软件，先将数据标准化，之后可以得出：相关系数矩阵，方差分解主成分提取分析表以及起始因子载荷矩阵和评分，如下图所示：结论：根据以上结果，可以把八种重金属元素分为：Cd,Cu,Hg,Pb,Zn和Cr,As,Ni两类，与前面一种方法结果相似。

事实上分析问题的方法与模型很多，得出的结果也会有差异，因此可以结合两种不同的方法，根据具体问题，将结论融合得出结论。

为此，我们通过分析决定以第一种方法的分类标准来分析之后的问题。

因为在查阅资料后，发现这样分出的两个类别与实际比较相符，而且污染的原因也大致相似，所计算出的数据也与之较为相符。

主成分分析

主成分的几何解释
主成分分析用数学模型表达，即对X进行正交变换，在几何上就是作一个坐标旋转。因此，主成分分析在二维空间中有明显的几何意义。假设共有n个样品，每个样品都测量了两个指标（X1，X2），它们大致分布在一个椭圆内：
事实上，散点的分布总有可能沿着某一个方向略显扩张，这个方向就把它看作椭圆的长轴方向。显然，在坐标系 x1Ox2中，单独看这n个点的分量X1和X2，它们沿着x1方向和x2方向都具有较大的离散性，其离散的程度可以分分别用的X1方差和X2的方差测定。如果仅考虑X1或X2中的任何一个分量，那么包含在另一分量中的信息将会损失，因此，直接舍弃某个分量不是“降维”的有效办法。
Y1 = T1′ X 。
第一主成分的约束条件
第二主成分为，第二主成分为，满足 T2′T2 = 1 ，且 Cov(Y2 , Y1 ) = Cov(T2′ X, T1′ X) = 0 ，使得 D(Y2 ) = T2′ ΣT2 达到最大的 Y2 = T2′ X 。一般情形，主成分为，一般情形，第 k 主成分为，满足 Tk ′Tk = 1 ，到最大的 Yk = Tk ′ X 。，使得且 Cov(Yk , Yi ) = Cov(Tk ′ X, Ti′ X) = 0 （ i < k ）使得 D(Yk ) = Tk ′ ΣTk 达，
在这p个新变量Y中可以找到m个（m<p）的变量（y1,y2,…,ym）能解释原始数据中大部分方差所包含的信息。此时我们将原始的p个变量X缩减为m个新变量y，通过m个新变量来传递原始变量的大部分信息，同时缩减了数据的维数。
如何找到新变量Y及正交阵T
之前说过，这一组新的变量y1,y2,…,yp 要充分反映原变量的信息，且相互独立。信息能否反映充分，我们用变量的离异程度来衡量，即标准差或方差。因此寻找主成分Y的问题转化为，在保证新变量 y1,y2,…,yp相互独立的条件下，求某一个线性组合T，使D(Y)达到最大。

主成分分析的方法

主成分分析的方法
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的降维方法，通过线性变换将原始数据投影到一个新的空间中，使得数据在新的空间中的最大方差出现在第一个主成分上，第二大方差出现在第二个主成分上，以此类推。

这样可以保留较多的原始数据信息，同时减少数据的维度。

主成分分析的方法可以简洁地总结为以下几个步骤：
1. 标准化数据：将原始数据进行标准化处理，使得各个特征具有相同的尺度。

2. 计算协方差矩阵：计算标准化后的数据各个特征之间的协方差矩阵。

3. 计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

4. 选择主成分数量：根据特征值的大小选择主成分的数量，通常选择特征值大于某个阈值的主成分。

5. 构造变换矩阵：将特征值较大的特征向量作为基向量构造出变换矩阵，以实现数据的降维。

6. 数据投影：将原始数据通过变换矩阵进行投影，得到降维后的数据。

主成分分析的目标是选择能够最大程度保留原始数据信息的主成分，这可以通过保留最大方差或者最小重构误差来衡量。

主成分分析在数据预处理、特征提取和可视化等领域有广泛的应用。

主成分分析法原理

主成分分析法原理首先，我们先来了解一下PCA的基本原理。

假设有一个m×n的数据矩阵X，其中每一行表示一个样本，每一列表示一个特征。

我们的目标是找到一个k×n的转换矩阵W，将原始数据矩阵X转换为一个新的数据矩阵Y，其中k<<n。

转换后的新数据矩阵Y的每一列称为主成分，通过选取不同的主成分，我们可以实现数据的降维和特征提取。

为了更好地理解PCA的原理，我们需要先明确一下PCA中的几个重要概念。

首先是数据的协方差矩阵，它反映了不同特征之间的相关性。

协方差矩阵C的第i行第j列元素表示第i个特征与第j个特征的协方差。

其计算公式为：C[i][j] = cov(X[:,i], X[:,j]) = E[(X[:,i] - mean(X[:,i])) * (X[:,j] - mean(X[:,j]))^T]其中X[:,i]表示数据矩阵X的第i列，mean表示求均值的操作，cov表示协方差。

该公式实际上是将列向量的均值为零之后的乘积，再求期望。

接下来是特征值和特征向量的概念。

假设有一个n×n的矩阵A和一个n维向量v，如果满足以下方程：Av=λv其中λ为实数，v为非零向量，那么我们称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。

特征向量表示了矩阵A在一些方向上的不变性，而特征值表示了特征向量对应的特征向量的重要程度。

PCA的目标就是通过找到数据协方差矩阵的特征值和对应的特征向量，来决定对数据进行降维的方向和程度。

有了以上准备知识，我们可以得出PCA的基本原理了。

假设我们通过转换矩阵W将数据矩阵X转换为新的数据矩阵Y，则有：Y=XW我们的目标是选择合适的转换矩阵W，使得转换后的数据矩阵Y的方差最大。

为此，我们可以定义一个代价函数J(W)，表示转换后的新数据矩阵Y的方差。

代价函数J(W)的计算公式为：J(W) = var(Y) = var(XW)其中var表示方差。

我们可以通过对J(W)求导，令其导数等于零来求解合适的转换矩阵W。

19.主成分分析法

19.主成分分析法一、方法介绍基本思路：主成分分析就是设法将原来指标重新组合成一组新的互相无关的几个综合指标来代替原来指标，同时根据实际需要从中可取几个较少的综合指标尽可能多地反映原来指标的信息。

这种将多个指标化为少数互相无关的综合指标的统计方法叫做主成分分析或称主分量分析。

主成分分析的基本思想就是，设法将原来众多具有一定相关性的指标（比如P 个指标），重新组合成一组新的相互无关的综合指标来代替原来指标。

最经典的方法就是用F 1的方差来表达，即 V ar (F 1)越大，表示F 1包含的信息越多。

理论模型：设有n 个样品，每个样品观测p 项指标（变量）：X 1，X 2，．．．，Ｘp ，得到原始数据资料阵：()111121,,....p P n np x x X X X X x x ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭（1）其中，123.....i ii i x x X x ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭i=1，．．．，p用数据矩阵X 的p 个向量(即p 个指标向量)X 1，．．．，Xp 作线形组合（即综合指标向量）为：11112121212122221122p P p P P P P pP P F a X a X a X F a X a X a X F a X a X a X =+++⎧⎫⎪⎪=+++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪=+++⎩⎭（2）简写成1122i i i pi P F a X a X a X =+++ i=1，．．．，p （3）（注意：Xi 是n 维向量，所以Fi 也是n 维向量。

）上述方程要求：121i i pi a a a ++= i=1,．．．，p （4）且系数a ij 由下列原则决定：（1）F i 与F j （i ≠j ，i ，j=1，…，p ）不相关；（2）F 1是X 1，．．．，Ｘp 的一切线性组合（系数满足上述方程组）中方差最大的，F 2是与F 1不相关的X 1，．．．，Ｘp 的一切线性组合中方差最大的，…，F p 是与其他都不相关的X 1，．．．，Ｘp 的一切线性组合中方差最大的。