三角函数、向量、集合试题及详解

高一下学期数学测试（6）
1．已知集合{|0}A x x =≥，1ln B x
y x x ⎧⎫⎛
⎫==-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩
⎭∣，则()A B =R I ð（）
A ．()1,0-
B ．(,0)
-∞C ．()
2,1--D ．(,1)
-∞-【答案】A 【详解】由()()111
001x x x x x x
+--
>⇒>⇒>，或10x -<<，因为{|0}A x x =≥，所以A =R ð{|0}x x <，所以()A B =R I ð()1,0-，故选：A
2．已知复数z 满足(1i)2i z +=，则z 的虚部为（）
A ．1
B ．1
-C ．iD ．i
-【答案】B
【详解】因为(1i)2i z +=，所以2i
i(1i)1i 1i
z =
=-=++，所以1i z =-，故z 的虚部为1-．故选：B.3．已知()()1,,2,4a m b ==- ，若//a b r r
，则m =（）
A ．1
B ．2-
C ．0
D ．1
-【答案】B
【详解】由向量()()1,,2,4a m b ==- ，//a b r r
，412m ∴⨯=-⨯，解得2m =-.故选：B.
4．有下列四种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；④棱台的侧棱延长后必交于一点.其中正确的有（）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个【答案】B
【详解】对于①：当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，①错；对于②③：如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，②③错；对于④：棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，④正确.故选：B
5．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数()(I t t 的单位：天）的Logistic 模型：()()
0.24531e
t K I t --=+，其中K 为最大确诊病例数．当()0.8I t K =时，
则t 约为（）()ln 4 1.39≈A ．48B ．72
C ．63
D ．59
【答案】D
【详解】由题意得：0.24(53)
()0.81e t K I t K --=
=+，即0.24(53)e 4
1t --=
，两边取对数得1
0.24(53)ln
ln 4 1.394
t --==-≈-，即0.24(53) 1.39t -≈，解得59t ≈，故选：D.6．如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长3SA =，一只蚂蚁从A 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A ，则蚂蚁爬行的最短距离为（）
A ．23
B ．33
C ．6
D ．2π
【答案】B
【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，
一只蚂蚁从A 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A 的最短距离为AA '，设ASA α'∠=，圆锥底面周长为2π，所以¼32πAA α=='⨯，所以23π
α=，在SAA ' 中，由3SA SA ='=，得
222cos AA SA AA SA SA α⋅''=+⋅'-22
133233332⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
B ．
7．如图，一块三角形铁片ABC ，已知4AB =，43AC =5π
6
BAC ∠=，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点D ，1AD =，6
BAD π
∠=
.如果过点D 作一条直线分别交AB ，AC 于点E ，F ，并沿直线EF 裁掉AEF △，则剩下的四边形EFCB 面积的最大值为（）
A ．33
B ．23
C 6
D 3
【答案】A
【详解】设()(,,0,4,0,43AE x AF y x y ==∈∈则1π14π1sin 1sin 2626AEF ADE ADF S S S x y =+=
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ =15πsin 26
xy ⨯化简得：323,
x xy xy +=≥3xy ∴≥3x =，即2,3y x ==1
34
AEF S xy =
≥ 而15π
443sin 4326
ABC S =
⨯⨯= 当AEF △面积的最小时，剩下的四边形EFCB 面积的最大为43333=故选：A
8．在ABC 中，已知2AD DC =
，3AC BC =，sin 3sin BDC BAC ∠=∠，当||CA CB AB ⋅- 取得最小值时，ABC 的面
积为（）
A 3
4
B 52
C ．
38
D 3516
【答案】D
【详解】设BC n =，3AC BC = ，3AC n ∴=，2AD DC =uuu r uuu r
Q ，2
223
AD DC AC n ∴==
=，
在BDC 中，
sin sin BC BD BDC C =∠，在ABC 中，sin sin BC AB
BAC C
=∠，
sin sin BAC BD BDC AB
∠∴
=∠,sin 3sin BDC BAC ∠=∠ ，13BD AB ∴=，设BD m =，3AB m ∴=，
πBDC BDA ∠+∠= ，()cos cos πcos BDC BDA BDA ∴∠=-∠=-∠，
()2
22222
(2)3222m n m m n n mn m n
+-+-∴=-
⨯2223n m ∴=，2232n m ∴=，2223m n ∴=()222222||3cos 3(3)319
3333()23324
n n C C n m n m m m A B AB n n C m m n ⋅-=⨯-+-⋅-=-=--⨯= ，
当12m =时，||CA CB AB ⋅- 取得最小值，2
38n ∴=，2222
2cos 23
n n m C n +-== ，又22sin cos 1C C += ，2
2
2
25sin 1cos 139C C ⎛⎫
∴=-=-=
⎪⎝⎭
∴在ABC 中5sin 3
C =213533533sin 522328316ABC S n n C n ∴=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯= 故选：D.
9．如图，长方体1111ABCD A B C D -被平面BCFE 截成两个几何体，其中E ，F 分别在11A B 和11D C 上，且11EF B C ∥，则以下结论正确的是（
）
A ．EF BC ∥
B ．AD ∥平面BCFE
C ．几何体11AA EB D
D FC -为棱台D ．几何体11BB
E CC
F -为棱柱
【答案】ABD
【详解】由11//B C BC 及11//EF B C ，得//EF BC ，则A 正确；
由//AD BC ，BC ⊂平面BCFE ，AD ⊄平面BCFE ，得//AD 平面BCFE ，则B 正确；
以两个平行的平面1AA EB 和1DD FC 为底面，其余四面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则C 错误（由于11,,,AA DD CF BE 延长后不交于一点，则几何体11AA EB DD FC -不为棱台）；
以两个平行的平面1BB E 和1CC F 为底面，其余三面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则D 正确，故选：ABD 10．下列说法正确的是（
）
A ．若a b a c ⋅=⋅r r r r
，且0a ≠ ，则b c
= B ．若1z ，2z 为复数，则1212z z z z ⋅=⋅
C ．设a ，b
是非零向量，若||||a b a b +=- ，则0
a b ⋅= D ．设1z ，2z 为复数，若1212z z z z +=-，则120z z =【答案】BC
【详解】A ：a b a c ⋅=⋅r r r r 且0a ≠ ，只能说明cos ,cos ,b a b c a c =
，但,b c 不一定相等，错误；
B ：令1i z a b =+，2i z c d =+，,,,R a b c d ∈，
12(i)(i)()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++
，则12z z =
12z z ==
，则12z z ⋅==所以1212z z z z ⋅=⋅，正确；C ：由22||a b a b +=- ，则2
222
22a
a a
b b a b b
-= ，即0a b ⋅= ，正确；D ：复数11i z =+，21i z =-，满足1212z z z z +=-，但122z z =，错误；故选：BC
11．已知2π()12cos (0)3f x x ωω⎛
⎫=-+> ⎪⎝
⎭，给出下列说法，其中正确的有（
）
A ．若()()1211f x f x ==-，，且12min ||πx x -=，则2ω=；
B ．存在()0,2ω∈，使得()f x 的图象右移π
6
个单位长度后得到的图象关于y 轴对称；C ．若()f x 在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
D ．若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤
⎥
⎝⎦
【答案】CD
【详解】 22ππ()cos 2
sin 2π12cos 363f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∴周期2ππ2T ωω==．对于A ：由条件知，周期为2π，∴1
2
ω=，故A 错误；
对于B ：函数图象右移π6个单位长度后得到的函数为ππsin 236y x ωω⎛
⎫=-
+ ⎪⎝
⎭，其图象关于y 轴对称，则πππ
π()362
k k ω-
+=+∈Z ，13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，故B 错误；对于C ：由[]0,2πx ∈，所以πππ
24π666x ωω≤+≤+，所以π7π4π8π6ω≤+<，解得41472424
ω≤<，故C 正确；
对于D ：因为ππ,64x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππππ236626x ωωω-+≤+≤+，所以ππ
π362πππ262
ωωω⎧-+≥-⎪⎪⎨+≤⎪⎪
>⎩，解得203ω<≤，故D 正确．
故选：CD ．
12．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，且b =，B 的角平分线交AC 于D
，BD
则（）
A ．π6
B =B ．
ππ62
C <<C
．c <<D ．1624
ac <≤【答案】BCD
【详解】因为BD 是角ABC ∠的平分线，所以2
B
ABD CBD ∠=∠=
.由题意可知，ABC ABD ACD S S S =+ ,即111
sin sin sin 222
ac B aBD ABD cBD CBD =∠+∠,
所以(
112sin cos 22222
B B B
ac a c ⋅⋅=+
，即2sin cos 222B B B =，
因为ABC 为锐角三角形，所以π02B <<,所以π024B <<，所以sin 02B ≠
，所以2cos 2B =
cos 2B =所以π26
B =，即π
3B =,故A 错误；
在ABC 中，πA B C ++=,即2π
3
A C =
-，因为ABC 为锐角三角形，所以2ππ032π
02C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩
，解得ππ62C <<，故B 正确；
由正弦定理得sin sin b c B C
=,
即sin sin 2
b C
c C
B ==,因为ππ62
C <<，所以1
sin 12C <<
，即C <<
c <<C 正确；
由正弦定理2sin b R B =
=
2sin ,2sin ,a R A A c R C C ====所以2π2π2π32sin sin 32sin sin 32sin cos cos sin sin 333ac A C C C C C C ⎛⎫⎛⎫
==-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
21132cos sin 162cos 282222C C C C C ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
π16sin 286C ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为
ππ62C <<，所以ππ5π2666C <-<，所以1πsin 2126C ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以π1616sin 28246C ⎛
⎫<-+≤ ⎪⎝
⎭，
所以1624ac <≤，故D 正确.故选：BCD.
13．已知复数22(34)(224)i m m m m +-+--(R)m ∈是纯虚数，则m =___________.【答案】1
【详解】因为2
2
(34)(224)i m m m m +-+--(R)m ∈是纯虚数，所以22340
2240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩
，解得1m =.
故答案为：1.
14．一艘轮船航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东75︒
，距离C 在A 的北偏西30︒
，距离为海里，该轮船由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60︒方向，则cos CDA ∠=__________．
【答案】1
2
【详解】如图，在ABD △
中，75,60,BAD ADB AB ∠=︒∠=︒=180756045B =︒-︒-︒=︒，
因为
sin sin AB AD
ADB B
=∠
，所以224AD =
，在ACD
中，
30,24CAD AC AD ∠=︒==，
则2
2
2
2cos 144CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠=，所以12CD =，则2221
cos 22
CD AD AC CDA CD AD +-∠=⋅.
故答案为：1
2
.
15．定义在R 上的单调函数()f u 满足：()()()f u v f u f v +=+，若()()()2
sin sin cos 3F u f a u f u u =++-在()
π,0-上有零点，则a 的取值范围是______________【答案】4
a ≤-【详解】令0u v ==,则(0)2(0)f f =,则(0)0f =；再令v u =-,则有()()()0f u u f u f u -=+-=，且()f x 定义域为R.()f x ∴是奇函数.()()()
2sin sin cos 3F u f a u f u u =++-在()π,0-上有零点.
()()2sin sin cos 30f a u f u u ∴++-=在()π,0-上有解；
()()()22sin sin cos 3sin cos 3f a u f u u f u u ∴=-+-=--+在()π,0-上有解；
又∵函数()f x 是R 上的单调函数,2sin sin cos 3a u u u ∴=--+在()π,0-上有解.
()π,0u ∈- ，sin 0;u ∴≠；22sin cos 3sin sin 22sin 1sin sin sin u u u u a u u u u
--+-++∴===+-；
令[)sin ,1,0t u t =∈-,则2
1a t t =+-；
2
y t t
=+
在[)1,0-上单调递减,3y ∴≤-，4a ≤-.故答案为：4a ≤-.16．已知三角形ABC 中，4,5,6,AB AC BC I ===是ABC 的重心，P 是IBC 内部（不含边界）的动点，若AP AB AC λμ=+
（,R λμ∈）
，则λμ+的取值范围________.【答案】2,13⎛⎫
⎪
⎝⎭
【详解】如图，以点A 为原点建立平面直角坐标系，1625361cos 2458A +-=
=⨯⨯
，则sin 8
A =，
则()(
)50,0,4,0,8A B C ⎛ ⎝⎭
，因为I 是ABC 的重心，所以5040088,33I ⎛++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，即3724I ⎛ ⎝⎭，直线BC
的方程为)4y x =-
0x y +，设(),P x y ，P 在IBC 内部（不含边界），()(
)5,,4,0,,88AP x y AB AC ⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭
，
因为AP AB AC λμ=+ ，即()(
)5,4,0,88x y λμ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
所以5488x y λμμ
⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以14x y y λμ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
，
则14x y λμ+=
，令14z x y λμ=+=
，则99
y x z =-+，
由图可知当直线99
y x z =-
+过点()4,0B 时，max 1z =，
当直线y x z =
过点3724I ⎛ ⎝⎭
时，min 23z =，所以λμ+的取值范围是2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
.故答案为：2,13⎛⎫
⎪
⎝⎭
17．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()cos ,1sin ,cos ,22sin ,m x x n x x x =+=+∈R
．(1)若m n ⊥
，求sin x 的值；(2)若()f x m n =⋅ ，且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，求函数()f x 的值域．
【详解】（1）∵()()cos ,1sin ,cos ,22sin ,m x x n x x m n =+=+⊥
，
∴22cos 22sin 2sin 2sin 0m n x x x x ⋅=++++= ．∴2sin 4sin 30m n x x ⋅=++=
，解得sin 1x =-或sin 3x =-（舍）．
∴sin 1x =-．
（2）由（1）知()2
sin 4sin 3f x x x =++，∴()()2
sin 21f x x =+-．
∵π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，∴()sin 0,1x ∈．∴()sin 22,3x +∈．∴()38f x <<．∴函数()f x 的值域为()3,8．
18．已知关于x 的方程2330()x ax a a --=∈R 的两个虚数根为12,x x ．(1)若12x x =，求1x 的取值范围；(2)若121x x -=，求实数a 的值．
【详解】（1）因为关于x 的方程2330()x ax a a --=∈R 的两个虚数根为12,x x ，29120a a ∆=+<，则4
03
a -
<<，123x x a +=，123x x a ⋅=-，且复数12,x x 互为共轭复数，即21x x =，
若12x x =，111123x x x x x a =
-，因为4
03
a -
<<，所以032a <-<，所以1x 的取值范围是()0,2；（2）()()2
2
2
2
1212121214912x x x x x x x x a a =-=-=+-=+，
因为29120a a +<，所以29121a a +=-，所以23
33
a =-±.
19．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为222,,,cos cos cos 1sin sin a b c A B C B C --=-+.(1)求A ；(2)若6b c +=，求ABC 的中线AM 的最小值.
【详解】（1）因为222cos cos cos 1sin sin A B C B C --=-+所以222sin sin sin sin sin A B C B C -++=，
由正弦定理可得2
2
2
a b c bc -++=，所以2221cos 22
b c a A bc +-==，因为()0,A π∈，则3A π=；
（2）由题意()
12
AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，
(
)
22
2211()2cos 44
AM AB AC AB AB AC BAC AC
∠=+=++
()
222
11()44b c bc b c bc ⎡⎤=
++=+-⎣
⎦2
2
127()424⎡⎤+⎛⎫≥+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
b c b c ，则33AM ≥ ABC 的中线AM 的最小值为332
（当且仅当3==b c 取最小值）；
综上，AM 33
2
20．在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足90BAD ∠=︒）
，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=︒，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=︒，路宽12m AD =．设灯
柱高()m AB h =，()3045ACB θθ∠=︒≤≤︒．(1)当30θ=︒时，求四边形ABCD 的面积；
(2)若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．【详解】（1）当30θ=︒时，1801203030BAC ︒︒︒︒∠=--=，所以AB BC =，又9060CAD BAC ∠︒∠=︒=-所以ACD 是等边三角形，所以12AC AD ==，所以在ABC 中，
sin sin sin AB BC AC
ACB BAC ABC
==∠∠∠，即3AB BC ==所以11
433sin1201212sin6048322
ABC ACD ABCD S S S =+=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒⨯= 四边形
（2）18012060BAC θθ∠=︒--=︒︒-，9030CAD BAC θ∠︒-=+︒=∠，()180630900ADC θθ︒︒∠=-=︒-︒+-，在ACD 中，由正弦定理得
sin sin AD AC ACD ADC
∠∠=，所以()12sin60sin 90AC θ=︒︒-
所以AC θ=在ABC 中，由正弦定理得
sin sin AC BC
ABC BAC
=∠∠
()sin 60BC θ=︒-，
所以()[
]2
16cos sin 6016cos sin60
cos cos60sin 8sincos BC θθθθθθθθ=-=︒︒-︒=
-1cos24sin2444sin22
θ
θθθ+=-=-
所以(
)
8sin24sin24sin2S AB BC θθθθθ
=+=++-=+
+(
)18sin2cos28sin 26022θθθ⎛⎫=++=++ ⎭
︒⎪⎪⎝因为3045θ︒≤≤︒，所以120260150θ︒≤+︒≤︒，所以当260150θ+︒=︒，即45θ=︒时，S
取最小值4+，故S 关于θ的函数表达式为(
))8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒，S
最小值为24+.
21．定义非零向量(),OM a b = 的“相伴函数”为()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，向量(),OM a b =
称为函数
()()sin cos f x a x b x x =+∈R 的“相伴向量”（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．
(1)设(
)()ππ3cos 63h x x x x ⎛⎫⎛⎫
++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
R ，请问函数()h x 是否存在相伴向量OM ，若存在，求出与OM 共线
的单位向量；若不存在，请说明理由．
(2)已知点(),M a b
满足：(
b
a
∈，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值，求0tan 2x 的取值范围．【详解】（1）因为(
)ππ3cos 63h x x x ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ππππcos cos sin sin 3cos cos sin sin 6633x x x x ⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪
⎭⎝
⎭
ππππcos sin 3cos cos 3sin sin 6633x x x x =-+
+33
cos sin sin cos sin 3cos 2222
x x x x x x
=+++，所以，函数()h x
存在相伴向量，)
OM =
，
所以，与OM
共线的单位向量为
)12OM OM
⎛== ⎝⎭
或
)
1,2OM OM ⎛-==- ⎝⎭
.（2）OM 的“相伴函数”(
)()sin cos ,tan b f x a x b x x a
ϕϕ=+=+=，
因为()f x 在0x x =处取得最大值，所以，当0π2π,Z 2x k k ϕ+=
+∈，即0π
2π,Z 2
x k k -ϕ=+∈时，()f x
有最大值0πsin sin 2πcos 2x k -ϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，0πcos cos 2πsin 2x k -ϕϕ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
，所以0cos 1tan sin tan x ϕϕϕ==，
因为(
tan b
a ϕ=
∈
，1,tan 3ϕ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭
，所以0cos 1tan sin t ,3n a x ϕϕϕ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭
==，
所以
020
00
2tan 2
tan 21
1tan tan tan x x x x x =
=
--，
令0,tan 3t x ⎫∈+∞⎪⎪⎭=⎣，则0011tan tan x t x t -=-，因为1
,y y t t ==-
均为,3⎫+∞⎪⎪⎣⎭上的单调递减函数，所以1
y t t =-
在,3⎫+∞⎪⎪⎣⎭
上单调递减，所以0011tan ,tan 3x t x t ⎛-=-∈-∞ ⎝⎦，所以，
(
))0
020
2tan 2
tan 2,01
1tan tan tan x x x x x =
=
∈-∞+∞
-- ，所以，0
tan 2x 的取值范围为(
))
,0-∞⋃+∞.
22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，边长均为正整数，且2A B =.(1)若4b =，求a ；(2)若角C 为钝角，求△ABC 的周长的最小值.
【详解】（1）由2A B =，可得sin sin 22sin cos A B B B ==，则2216
2cos 8cos 82a c a b B B ac
+-===⨯，
整理得：()()()2
4444a c c c -=+-，
若4c =，则B C =，2,A B A B C π=++=，解得,2
4
A B C π
π
=
==
，此时a N +=，不满足题意；
则4c ≠，且()2
44a c =+；又()30,A B B π+=∈，故可得10,,cos ,132B B π⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
则()8cos 4,8a B =∈，又a 为正整数，故5a =或6或7，
当5a =时，由()2
44a c =+可知，c 不是整数，不满足题意；
当6a =时，由()2
44a c =+可知，5,4c b ==，满足题意；
当7a =时，由()2
44a c =+可知，c 不是整数，不满足题意.
综上所述：6a =.（2）根据正弦定理可得：
sin sin sin a b c A B C
==，即()sin 2sin sin 3sin 3a b c c B B B B π===-，()()
22
2sin cos sin sin cos 22cos sin 4cos 1a b c c B B B B B B B B ===+-则22cos 4cos 1
a c
b B B ==-，由2cos a b B =可得：cos 2a B b =代入24cos 1
c b B =-，可得：2
a c
b b
=-；
因为C 为钝角，即32
A B B π
ππ--=->，解得6
B π
<
，
故cos 2B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭
，则)
2cos ,2a b B b =∈
2a b <<，
因为a 为整数，当1,2,3b =时，都没有a 满足条件，
当4b =
时，此时8a <<，此时满足要求的a 的最小值为7，
注意到2a c b b
=-，则2
a b 也为整数，当7,4a b ==时不满足，则将,a b 扩大整数倍，当扩大4倍得到28,16a b ==，此时2
49a b =满足要求，则当28,16,33a b c ===时，是满足题意的三角形的最短边长，故三角形ABC 周长的最小值为28163377++=.
故△ABC 周长的最小值为77.。