高中数学讲义微专题24 恒成立问题——最值分析法(含恒成立综合习题)

微专题24 恒成立问题——最值分析法
最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题。

此方法考研学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功。

是导数中的难点问题。

一、基础知识： 1、最值法的特点：
（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参 （2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论
2、理论基础：设()f x 的定义域为D
（1）若x D ∀∈，均有()f x C ≤（其中C 为常数），则()max f x C ≤ （2）若x D ∀∈，均有()f x C ≥（其中C 为常数），则()min f x C ≥ 3、技巧与方法：
（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作： ① 观察函数()f x 的零点是否便于猜出（注意边界点的值） ② 缩小参数与自变量的范围：
通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）
观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围
（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性。

如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号。

（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内。

二、典型例题：
例1：设()2
22f x x mx =-+，当[)1,x ∈-+∞时，()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围
思路：恒成立不等式为2
220x mx m -+-≥，只需(
)
2
min
220x mx m -+-≥，由于左端是
关于x 的二次函数，容易分析最值点位置，故选择最值法
解：恒成立不等式为2
220x mx m -+-≥，令()222g x x mx m =-+-则对称轴为x m =
（1）当1m ≤-时，()g x 在[)1,-+∞单调递增，()()min 11220g x g m m ∴=-=++-≥ 3m ∴≥-即[]3,1m ∈--
（2）当1m >-时，()g x 在()1,m -单调递减，在(),m +∞单调递增 ()()2
2
min 22021g x g m m m m m ∴==-+-≥⇒-≤≤
(]1,1m ∴∈- 终上所述：[]3,1m ∈-
小炼有话说：二次函数以对称轴为分解，其单调性与最值容易分析。

所以二次恒成立不等式往往可考虑利用最值法，此题中对称轴是否在区间内将决定最值的取值，故以此为分类讨论点。

思路二：从另一个角度看，本题,m x 容易进行分离，所以也可考虑参变分离法 解：()2
2
220212x mx m x m x -+-≥⇔+≤+
（1）1
2102x x +>⇒>-时，则2min
221x m x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭ (由于m 系数符号未定，故分类讨论进行参
变分离）
令21,0t x t =+>（换元时注意更新新元的取值范围）
则()
2
2212
2
29194=
2121
44t x t t t x t
t t -++-+⎛⎫==+-≥ ⎪+⎝⎭
（2）1
2102
x x +=⇒=-
，不等式对任意的m 均成立 （3）1
2102x x +<⇒<-，2max
221x m x ⎛⎫+≥ ⎪+⎝⎭(注意不等号变号！！） 令21,10t x t =+-≤<,则()
2
2212
229194=
232144t x t t t x t
t t -++-+⎛⎫==+-≤- ⎪+⎝⎭
3m ∴≥-
综上所述：[]3,1m ∈- 小炼有话说：
（1）此题运用参变分离法解题并不简便，不仅要对x 分类讨论，还要处理一个分式函数的最值，所以两个方法请作一对比
（2）最后确定m 的范围时，是将各部分结果取交集，因为分类讨论是对x 进行的，m 的取值要让每一部分必须同时成立才可，所以是“且”的关系，取交集
例2：已知函数()2ln x f x a x x a =+-，对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式
()()121f x f x a -≤-恒成立，则a 的取值范围是___________
思路：若不等式恒成立，则()()
12max
1a f x f x -≥-，()1f x 与()2f x 差的最大值即为
()f x 最大值与最小值的差。

所以考虑求()2ln x f x a x x a =+-在[]0,1的最大最小值，()()'ln 2ln 1ln 2x x f x a a x a a a x =+-=-+，若1a >，则10,ln 0x a a ->>，所以
()1ln 0x
a
a ->，若01a <<，则10,ln 0x a a -<<，所以()1ln 0x a a ->。

而20x ≥，
所以无论a 为何值，
()'0f x >，则()f x 在[]
0,1单调递增。

()()()()max min 10ln f x f x f f a a -=-=-，从而1ln a a a -≥-，解得a e ≥
答案：[),e +∞
例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围
思路一：恒成立的不等式为ln 1a x x +>即ln 10a x x -+>,令()ln 1g x a x x =-+观察到两点特征：(1)()g x 导函数易分析单调性，（2）()10g =,对单调性会有一定要求进而限制参数a 的取值。

所以考虑使用最值法求解。

解：()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+ ∴只需()min 0g x >即可，()10g = ()'
1a a x g x x x -=
-=，令()'00a x g x x a x
->⇒>⇒<（分析()g x 的单调性） 当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <=
(思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处起
()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以1a ≤时导致()g x 在1
x =处开始单减，那么一定不符合条件。

由此请体会零点对参数范围所起的作用） 当1a >时，分x
a =是否在()1,e 中讨论（最小值点的选取）
若1a e <<，单调性如表所示
()()1010
g a e g e ≥⎧⎪∴⇒≥-⎨≥⎪⎩ 1e a e ∴-≤< （（1）可以比较
()()1,g g e 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦。

由于最小值只会在
1,x x e ==处取得，所以让它们均大于
0即可。

（2）由于1,x
x e ==并不在()1,e 中，所以求得的只
是临界值，临界值等于零也符合条件） 若a
e ≥，则()g x 在()1,e 上单调递增，()()10g x g ∴>=，符合题意
综上所述：1a e ≥-
小炼有话说：此题在1a >的情况也可不分类讨论，因为从单调区间分析来看，在()1+∞，中
x a =是极大值点，不可能是最小值，所以无论x a =是否在()1,e ，最小值（或临界值）均
只会在边界处产生，所以只需()()
10
10g a e g e ≥⎧⎪∴⇒≥-⎨
≥⎪⎩即可 思路二：不等式 ln 10a x x -+>中a 与x 便于分离，所以只要分离后的x 的函数易分析出单调性，那么就可考虑运用参变分离法 解：1ln 10ln x a x x a x --+>⇒>
，令()1ln x g x x
-=，则只需()max a g x >即可 ()()
'
2
1ln 1ln x x
g x x -+
=
（单调性受分子影响，但无法直接分析）
令()1
ln 1h x x x
=-+
，()10h =（()h x 求导函数，便不含ln x ，可分析单调性，且零点找
到，所以方法二可继续进行） ()'
22111
()01,x h
x x e x x x
-=
-=>∈ ()h x ∴在()1,e 上单调递增 ()()10h x h ∴>= （体会零点配合单调性对确定函数符号的作用）
'
()g x ∴0>，()g x 在()1,e 上单调递增
()()1g
x g e e ∴<=- 1a e ∴≥- （()g x 无最大值，只有临界值，故可取等号）
小炼有话说：第一点是分析'
()g x 时由于''
()g x 形式复杂并没有对'
()g x 直接求导，而是把分子拿出来分析。

因为我们只关心导函数的符号，而分母符号恒正，所以要体会导函数的符号是对原函数的单调性最有价值的。

第二点是体会零点与单调性合作可确定函数的符号，这也是分析()h x 的重要原因
例4： 已知()11ax
x f x e x
-+=
-，若对任意的()0,1x ∈，均有()1f x >，求a 的取值范围 思路：恒成立不等式为111ax
x e x
-+>-，可参变分离但函数比较复杂，所以考虑利用最值法来
分析。

发现0x =时，左右两边刚好相等。

这也为最值分析提供方向 解：令()111ax
x g x e x
-+=
--，()00g = （()g x 从0x =起应单调递增） ()()
2'
2
2
1ax ax a g x e x --+=
⋅- 令()'0g x >，即22202ax a ax a -+>⇒>-
下面分情况讨论：
0a =时，()'0g x >恒成立，()g x ∴在()0,+∞单调递增
()()()0,1,00x g x g ∴∀∈>= 0a <时，2221a x a a -<
=- 2
11a
-> ()0,1x ∴∈，()'0g x >恒成立，()g x ∴在()0,+∞单调递增 ()()()0,1,00x g x g ∴∀∈>=
0a >时，222
1a x a a ->
=- 2a ∴≤时，22
a x a
->恒成立，()g x ∴在()0,+∞单调递增 ()()()0,1,00x g x g ∴∀∈>=
2a >时，22
a x x a ->
⇒>
()g x ∴在⎛ ⎝单调减，在⎫⎪⎭单调递增
(),(0)0x g x g ⎛∴∈<= ⎝，不符题意，舍去
综上所述：2a ≤
小炼有话说：本题导函数形式简单，所以直接对参数进行分类讨论与取舍
例5： 已知函数()2
1x
f x e x ax =---对任意的[)0,x ∈+∞，均有()0f x ≥，求实数a
的范围
思路：此题可用最值法求解，先做好准备工作，()00f =，所以函数要从0x =开始增，求导观察特点：
解：()00f = '
()21x
f x e ax =--（不易直接出单调性，但是发现其中()'00f =，且()'
f x 再
求一次导，其导函数容易分析单调性。

进而可解）
()'00f = ()''2x f x e a =-，令()''0f x >即2x e a >，下面进行分类讨论：
（1）当0a ≤时，()''
0f
x >，()'f x ∴单调递增。

()()''00f x f ∴>=
()f x ∴单调递增，()()00f x f >=，满足条件
（此处为此题最大亮点，体会三点：①单调性与零点是如何配合来确定()()'
,f x f
x 的符号的；②
每一步的目的性很强，
()'f x 的作用就是以符号确定()f x 的单调性，所以解题时就关注()'f x 的符
号。

而符号的确定同样要靠二阶导数与一阶导函数的零点配合来得到；③ ()()',f x f x 的零点是同一
个，进而引发的连锁反应）
（2）当0a >时，ln2x a >（ln2a 可正可负，而[)0,x ∈+∞，所以讨论 ln2a 的符号） ① 当1ln 2002
a a ≤⇒<≤时，ln2x a >恒成立，即()''
f x 恒大于零，则： ()'
f
x 单调递增。

()()''00f x f ∴>=
()f x ∴单调递增，()()00f x f >=，满足条件
② 当1
ln 202
a a >⇒>
，则()0,ln2x a ∈时，()''0f x <即()'f x 在()0,ln2a 单调递减，()()'
'
00f x f
∴<= ()f x ∴在()0,ln2a 单调递减，()()00f x f <=，不符题意，故舍
去
综上所述：1
2
a ≤
时，()0f x ≥恒成立 小炼有话说：这道题的重要特点在于()()',f x f x 的零点是同一个，进而会引发“连锁反应”。

大家在处理多次求导问题时，一定要清楚每一层导数的目的是什么，要达到目的需要什么，求出需要的要素。

例6：已知函数()ln 1f x x a x =+-，a R ∈ （1）求函数()f x 的单调区间
（2）若()ln 20x
f x x
+≥对于任意的[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围 解：（1）()'
1a x a f x x x
+=+=()0x >
令()'
0f
x >即0x a +>
① 当0a ≥时，()'
0f
x >恒成立。

()f x ∴在()0,+∞单调递增
② 当0a <时，解得x a >-
（2）思路：恒成立不等式为22ln 20x a x x
+-+
≥，即222ln 2ln 0x ax x x x +-+≥ 若参变分离，分离后的函数较为复杂（也可解决）。

所以考虑最值法，观察当1x =时，左边的值为0，所以对左边的函数的单调性有所制约，进而影响参数a 的取值。

解：恒成立不等式等价于2
22ln 2ln 0x ax x x x +-+≥ 设2
()22ln 2ln g x x ax x x x =+-+，()10g =
()()'1421ln 2g x x a x x
=++-+
()'
1422123g a a =+-+=+ ()0g x ≥恒成立，()10g =
()'10g ∴≥ 否则若()'10g ∴<，由于()'g x 连续
所以必存在区间()1,m 使得()'0g x <，即()g x 在()1,m 单调递减 进而()01,x m ∃∈，()()010g x g <=，不符题意
（本质：()10g
=，所以要保证从1x =开始的一段小区间要单调增，进而约束导数符号）
32a ∴≥- （这是a 要满足的必要条件，最终结果应该是这一部分的子集，下面证3
2
a ≥-均满足条件
或者寻找一个更精确的范围）
下面证任意的3
2
a ≥-
均满足条件。

构造函数2
()23ln 2ln h x x x x x x =--+（3
2
a =-时的()g x ） 则()()()23ln 0g x h x a x x -=+≥
()()()1,,x g x h x ∴∀∈+∞≥，若要()0g x ≥恒成立，只需证明()0h x ≥即可 ()10h =
()'11
()431ln 243ln 5h x x x x x x x
=-+-+
=-+- ()'10h = ()()()2''
222
4113143140x x x x h x x x x x
+---=--==>成立 ()'h x ∴在()1,+∞单调递增，()()''10h x h ≥= ()h x ∴在()1,+∞单调递增，()()10h x h ≥=成立
3
2a ∴≥-时，[)()1,,()0x g x h x ∀∈+∞≥≥恒成立，符合题意
3
2
a ∴≥-
小炼有话说：
（1）()h x 的构造的()g x 的解析式可看为以a 为自变量的一次函数()G a ，且单调递增（ln 0x x >），所以对于3,2a ⎡⎫∈-
+∞⎪⎢⎣⎭，无论x 为何值，()32G a G ⎛⎫
≥- ⎪⎝⎭
，即()()g x h x ≥，与恒成立的不等式不等号方向一致。

（2）本题核心想法是利用不等式化参数函数为常值函数（函数的放缩），进而便于对参数a
取值范围的验证。

（3）归纳一下解决此题的方法：为最值法解恒成立问题的另一个方法——构造中间函数 首先先说考虑使用这个方法的前提：
① 以参数为自变量的函数结构简单（最好单调）
② 参数缩小后的范围，其不等式与含参函数不等号方向，以及单调性保持一致（在本题中
32
a ≥-
，而2
()22ln 2ln g x x ax x x x =+-+刚好关于a 单调递增，且要()0g x ≥。

故可引入()h x 位于()g x 与0之间） 其步骤如下：
① 代入自变量的特殊值缩小参数的取值范围（有可能就得到最终结果），记为A ② 因为最终结果A 的子集，所以只需证明A 均符合条件或者寻找更小的范围
③ 如果函数是关于参数的一次函数（或单调函数），可通过代入参数的边界值（临界值）构造新函数并与原函数比较大小
④ 证明新函数介于原函数与不等式右侧值之间，进而说明A 中的所有值均满足条件，即为最后结果
例7： 已知函数()2
12ln ,2f x a x ax x a R ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝
⎭
，若在区间()1,+∞上，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围
思路：考虑用最值分析法，但可考虑先利用1x =缩小a 的讨论范围 解：()11202f a a =-
-≤ 12
a ∴≥- ()()()()()2
'
2111212111222a x x a x ax f x a x a x x x -----+⎛⎫=--+==
⎪⎝⎭
令()'
0f
x <，即()()2110211a x a x --<⇒-<
（1）12102a a -≤⇒≤时，即11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，()'
0f x <恒成立 ()f x ∴在()1,+∞单调递减
()()10f x f ∴<≤ 满足条件 （2）12a >
时，()212ln 2f x a x ax x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，考虑44ln 02121a a f a a ⎛⎫
=> ⎪
--⎝⎭
，不符
题意，舍去
（注：这里需要对函数值进行估计，显然102a -
>，总有一个时刻，2122a x ax ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭大于零，进而
()0f x >，所以考虑代入特殊值来说明。

对于，所以构造时只需要21202a x ax ⎛
⎫--= ⎪⎝
⎭即可，解得
4121a x a =
>-，进而舍掉1
2
a >的情况） 例8：已知函数()1x ax
f x be =-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为
()2
10x e y e +--=。

其中 2.71828
e =为自然对数的底数
（1）求,a b 的值
（2）如果当0x ≠时，()12x k
f x e
-<恒成立，求实数k 的取值范围 解：（1）()()()
'
2
11x x x
a be be ax
f
x be
--=
-
()()()
()
'2
2
1111a be abe
a
f be be --∴=
=-
--，切线方程：()
()
2
2
1
11e
y x e e =-
+
--
()
()
2
2
1
11a
be e ∴-
=-
--，而()11a f be =
-且在切线中，1
1
y e =- ()()2
21111
11
a be e a be e ⎧
-=-⎪--⎪∴⎨⎪=⎪--⎩ 解得：11a b =⎧⎨=⎩ ()1
x
x
f x e ∴=
- （2）思路：恒成立不等式为：
2211x x
x k
e e -<
-，若参变分离，则分离后的函数过于复杂，不利于求得最值，所以考虑利用最值法，先变形不等式，由于21x
e -的符号不确定（以0
x =为界），从而需进行分类讨论。

当0x >时，不等式变形为：
()()21210x x k e xe k ---->，设()()()2121x
x g x k e
xe k =----，可观察到
()00g =，则若要0x >时，()0g x >，则需()'00g ≥，进而解出0k ≤，再证明0
k ≤时，()0g x >即可。

将k 的范围缩至0k ≤时再证明0x <时，()0g x >即可。

解：由（1）可得恒成立的不等式为：2211x x
x k
e e -<
- 当0x >时，
()()22212111x x
x x
x k xe k e e e
-<⇔<--- ()()21210x x k e xe k ⇔----> 设()()()2121x x g x k e xe k =----，可得()00g =
()()()'22121x x g x k e x e =--+
若()'00g <，则00x ∃>，使得()00,x x ∈时，()'0g x <
()g x ∴在()00,x 单调递减 则()00,x x ∈时，()()00g x g <=与恒成立不等式矛盾 ()'00g ∴<不成立 ()'00g ∴≥ ()()'02120g k ∴=--≥解得：0k ≤
下面证明0k ∀≤均可使得0x >时，()0g x >
()()()()'22121211x x x x
g x k e x e e k e x ⎡⎤=--+=---⎣⎦
0k ≤ ()1110x x k e x e x ∴--->-->
()'0g x ∴> ()g x ∴在()0,+∞单调递增 ()()00g x g ∴>=，即不等式恒成立
当0x <时，
()()22212111x x x x
x k
xe k e e e
-<⇔>--- ()()()212100x
x k e xe k g x ⇔----<⇔<
0k ≤ ∴同理，()()'2110x x
g x e k e x ⎡⎤=--->⎣⎦
()g x ∴在(),0-∞单调递增 ()()00g x g ∴<=
即0k ≤时不等式在(),0x ∈-∞ 恒成立 综上所述，0k ≤
例9： 设函数()(1)x
f x ae x =+（其中 2.71828....e =），2
()2g x x bx =++，已知它们在
0x =处有相同的切线.
（1）求函数()f x ，()g x 的解析式；
（2）若对2,()()x kf x g x ∀≥-≥恒成立，求实数k 的取值范围.
解：（1）思路：由题意可知()(),f x g x 在0x =处有公共点，且切线斜率相同
()(),f x g x 在0x =处有相同的切线.
()()()()
''0000f g f g =⎧⎪∴⎨=⎪⎩ ()()()'2,2x f x ae x g x x b =+=+
22
24
a a a
b b ==⎧⎧∴⇒⎨⎨
==⎩⎩ ()()()221,42x f x e x g x x x ∴=+=++ （2）思路：恒成立不等式为()()
221420x ke x x x +-++≥，尽管可以参变分离但分离后关于x 的函数结构复杂，不易分析单调性。

所以考虑最值法 解：令()()()
22142x F x ke x x x =+-++，∴只需()min 0F x ≥
()()()()'2224212x x F x ke x x ke x =+--=-+ ()2x ≥-
令()'
01x
F x ke >⇒>
2,()0x F x ≥-≥均成立，()0220F k ∴=-≥ 1k ∴≥（上一步若直接求单调增区间，则需
先对k 的符号进行分类讨论。

但通过代入0x =（01e =，便于计算），解得了k 要满足的必要条件，从
而简化了步骤。

）
∴解得11
ln x e x k k >
⇒> [)2,x ∈-+∞ 下面根据1
ln x k
=是否在[)2,-+∞进行分类讨论：
① 2
1ln 2k e k
<-⇒>
()F x ∴在[)2,-+∞单调递增。

()()()22
2min 22220F x F ke e k e
-∴=-=-+=
-< 与已知矛盾（舍） ② 21
ln
2k e k
=-⇒= ()F x ∴在[)2,-+∞单调递增。

()()()22
2min 22220F x F ke e k e
-∴=-=-+=
-= 满足条件 ③ 21
ln 21k e k
>-⇒≤< 则
()21
ln min
1111ln 2ln 1ln 4ln 2k
F x F k e k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11ln
ln 20k k ⎛⎫
=-+≥ ⎪⎝⎭
恒成立，故满足条件 综上所述：2
1,k e ⎡⎤∈⎣⎦
小炼有话说：本道题的亮点在于代入0x =以缩小k 的范围，0x =并不是边界点，但是由于
()0F 易于计算（主要针对指数幂），且能够刻画k 的范围，故首选0x =
例10：（2011浙江,22）设函数()()2
ln ,f x x a x a R =-∈ （1）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a
（2）求实数a 的取值范围，使得对任意的(]0,3x e ∈，恒有()24f x e ≤成立.注：e 为自然对数的底数
解：（1）()
()()2
'
()2ln =2ln 1x a a f x x a x x a x x
x -⎛
⎫=-+
-+- ⎪⎝
⎭
x e =是()f x 的极值点
()()'30a f e e a a e e ⎛
⎫∴=--=⇒= ⎪⎝
⎭或3a e =，经检验符合题意
,3a e a e ∴==
（2）思路一：恒成立的不等式为()2
2
ln 4x a x e -≤，考虑选择最值法
当(]0,1x ∈时，无论a 为何值，不等式恒成立（()f x 的单调区间必然含参数，首先将恒成立
的部分剔除，缩小x 的取值范围以方便后期讨论）
'()f x =
()'()=2ln 1a f x x a x x ⎛
⎫-+- ⎪⎝
⎭，记()2ln 1a h x x x =+-
()()22ln 4f x x a x e =-≤恒成立，所以()()2
233ln34f e e a e e =-≤
33e a e ∴-
≤≤+a 的范围，便于分析讨论） ()()110,2ln 0h a h a a ∴=-<=>
()()001,,0x a h x ∴∃∈= （解不出具体的极值点，但可以估计其范围，利用零点存在性定理，
同时得到a 与0x 的关系：()000
210a
h
x x x =+-
=)
()h x 单调递增
()()()()001,,0;,,0x x h x x x a h x ∴∈<∈> ()()()()()()'
''001,,0;,,0;,,0x x f
x x x a f x x a f x ∴∈>∈<∈+∞<
若()()22
ln 4f x x a x e =-≤，只需()()()()2200022
ln 433ln 34
f x x a x e f
e e a e e ⎧=-≤⎪⎨=-≤⎪⎩
①②
由()000
2ln 1a h
x x x =+-
得0002ln a x x x =+代入①得：32
0004ln 41x x e x e ≤⇒<≤ (]0002ln 1,3a x x x e ∴=+∈
由②式得33e a e ∴≤≤+∴综上所述，3a e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
小炼有话说：本题有以下几处亮点：
1、特殊值代入法：这是本题最大的亮点，通过代入特殊的值缩小,x a 的范围，便于讨论，在有关恒成立的问题中，通过代入特殊点（边界点，极值点等）可以简化运算，提供思路，而且有一些题目往往不等关系就在自变量的边界值处产生
2、对极值点0x 的处理，虽无法求值，但可求出它的范围，进而解决问题 思路二：参变分离法：
当(]0,1x ∈时，无论a 为何值，不等式恒成立 考虑(]1,3x e ∈,则不等式()()
22
2
2
4ln 4ln e x a x e x a x
-≤⇔-≤(体会将
x 范围缩小后所带来的
便利）
x a x ⇔-
≤≤+
则只需max min
a x a x ⎧⎛
≥- ⎪
⎝⎪
⎨
⎛⎪≤+
⎪⎝⎩
成立
设(
)g x x =，()()()'
33
22
21102ln ln e e g x x x x x =+=+> ()g x ∴在(]1,3e 单调递增，()()(
)max 33g x g e e ∴==-
3a e ∴≥-
再设(
)h x x =+
()()()()()32
'
333
222
ln 2112ln ln ln x x e e e h x x x x x x x -=-=-= 令()'
0h x >即()3
2
ln x x e >,由左边可得x e =时，()32
ln x x e =，而()32
ln y x x =单调递
增，由此可得()1,x e ∈,()'
0h x <,(),3x e e ∈,()'
0h x >(单调性+根→符号）
∴()h x 在()1,e 单调增，在(),3e e 单调递减。

故()()min 3h x h e e =
=3a e ∴≤-
综上所述：3a e e ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
小炼有话说：思路二有另外几个亮点：
1、缩小自变量x 范围的作用：使ln x 为正，进而对后面的变形开方起到关键性作用
2、在处理()h x 的问题时，采取零点与单调性结合的方式来确定符号。

其中()32
ln y x x =的单调性可以快速判断。

y x =增，()32
ln y x =增，且两部分的函数值恒为正数，那么相乘后的解析式依然是增函数。

三、近年模拟题题目精选（三类方法综合）
1、已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x ≥时，())0f x x a =-≥，且对
x R ∀∈，恒有()()f x a f x +≥，则实数a 的取值范围是（ ）
A. []0,2
B. {}
[)02,+∞ C. 10,
16⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D. {}[)016,+∞
2、（2016，山东潍坊中学高三期末）已知函数()2x
f x x e =，当[]1,1x ∈-时，不等式
()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．1
,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C ．[),e +∞
D ．(),e +∞
3、（2014，辽宁）当[]2,1x ∈-时，不等式3
2
430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值
范围是（ ）
A. []5,3--
B. 96,8
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
C. []6,2--
D. []4,3--
4、（2014，新课标全国卷II ）设函数()x
f x m
π=
，若存在()f x 的极值点0x 满足
()2
22
0x f x m +<⎡⎤⎣
⎦，则m 的取值范围是（ ） A. ()(),66,-∞-+∞ B. ()(),44,-∞-+∞ C. ()
(),22,-∞-+∞ D. ()(),11,-∞-+∞
5、（2015，新课标I ）设函数()()21x
f x e x ax a =--+其中1a <，若存在唯一的整数
0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）
A. 3,12e ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭ B. 33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
6、（2014，辽宁）已知定义在[]0,1上的函数()f x 满足：
① ()()010f f ==
② 对所有的[],0,1x y ∈，且x y ≠，有()()1
2
f x f y x y -<
- 若对所有的[],0,1x y ∈，()()f x f y k -<恒成立，则k 的最小值为（ ） A.
12 B. 14 C. 12π D. 18
7、（2016，唐山一中）已知函数()2ln ()()x x b f x b R x +-=
∈，若存在1
[,2]2
x ∈，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是（ ）
A ．3
(,)2-∞ B ．9(,)4
-∞ C ．(,3)-∞ D ．(-∞
8、已知函数()()2
ln 1f x a x x =+-，在区间()0,1内任取两个不相等的实数,p q ，若不等
式
()()
111f p f q p q
+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A. [)15,+∞
B. [)6,+∞
C. (],15-∞
D. (],6-∞ 9
、
已
知
()()32ln ,2
f x x x
g x x ax x ==+-+，若对任意的
()()()'0,,22x f x g x ∈+∞≤+恒成立，则实数a 的取值范围是______
10≤0,0x y >>恒成立，则a 的取值范围是_____
11、若不等式()
2211x a x ->-对满足11a -≤≤的所有a 都成立，则x 的取值范围是___________
12、（2016，上海理工大附中一月考）已知不等式组22430
680
x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩的解集是关于x 的不
等式2
290x ax +-<解集的一个子集，则实数a 的取值范围是_______ 13、（2014，重庆）若不等式2
1
21222
x x a a -++≥+
+对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是_________
14、（2016，上海十三校12月联考）已知()2243,0
23,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩
，不等式
()()2f x a f a x +>-在[],1a a +上恒成立，则a 的取值范围是___________
15、已知函数|
|)(x e x f =，对任意的)1](,1[>∈m m x ，都有ex x f ≤-)2(，则最大的正整数m 为_______
16、关于x 的不等式2130ax x a -++≥的解集为(),-∞+∞，则实数a 的取值范围是______
17、（2016，内江四模）已知函数x e
x x f ||)(=
，1224)(2
1-++⋅+-=+m m m x g x x ，若R e x g f x M =>=}))((|{，则实数m 的取值范围是
18、（2016四川高三第一次联考）已知()220,ln a f x a x x ax >=-+，若不等式
()32e f x e ≤≤+对任意[]1,x e ∈恒成立，则实数a 的取值范围为_______
19、已知0,0x y >>，若
2287y x m m x y
+≥+恒成立，则实数m 的取值范围是________ 20、若不等式12a x y -≥+对满足2
2
5x y +=的一切实数,x y 恒成立，则实数a 的取值范围是________
21、已知0a >，函数2
(),()ln f x ax x g x x =-=. (1)若1
2
a =
，求函数()()2()p x f x g x =-的极值； (2)是否存在实数a ,使得()()f x g ax ≥恒成立？若存在,求出实数a 的取值集合；若不存在，请说明理由．
22、（2014，庆安高三期中）已知函数)0()(≠++
=x b x
a
x x f ，其中R b a ∈, （1）若曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数)(x f 的解析式； （2）讨论函数)(x f y =的单调性；
（3）若对于任意的]2,21[∈a ，不等式10)(≤x f 在]1,4
1[上恒成立，求b 的取值范围 23、（2016，抚顺一模）已知函数2
()ln ()f x x a x a R =-+∈。

（1）当2a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数2
()()22g x f x x x =-+，讨论函数()g x 的单调性；
（3）若（2）中函数()g x 有两个极值点12,x x 12()x x <，且不等式12()g x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围。

24、（2015，山东）设函数()()()
2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈ （1)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由 （2）若()0,0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围 25、（2015，新课标II ）设函数()2mx f x e x mx =+- （1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增
（2）若对于任意[]12,1,1x x ∈-，都有()()121f x f x e -≤-，求m 的取值范围 26、（2015，北京）已知函数()1ln
1x
f x x
+=- （1）求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程
（2）求证：当()0,1x ∈时，()323x f x x ⎛⎫
>+ ⎪⎝
⎭
（3）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫
>+ ⎪⎝⎭
对()0,1x ∈恒成立，求k 的最大值
27、（2016，苏州高三调研）已知函数()()()21x
f x e x ax a a R =--+∈，e 是自然对数
的底数
（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间
（2）① 若存在实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围 ② 若有且只有唯一整数0x ，满足()00f x <，求实数a 的取值范围
习题答案：
1、答案：D
解析：利用对称性可作出()f x 的图像，()f x a +可视为()f x 的图像向左平移a 个单位，则恒成立不等式的几何含义为()f x a +的图像始终在()f x 的上方，通过数形结合可得：若
0a >
，则16a a ≥⇒≥；若0a =，也满足()()f x a f x +≥。

所以a 的取值范围是
{}[)016,+∞
2、答案：D
解析：若()m f x >恒成立，则()max m f x >，()()'222x x x f x xe x e x x e =+=+，所以
()f x 在()1,0-单调递减，在()0,1单调递增。

()()1
1,1f f e e
-==，所以m e >
3、答案：C
解析：[)2,0x ∈-时，恒成立不等式等价于23
43
x x a x --≤
23
min
43x x a x ⎛⎫--∴≤ ⎪⎝⎭ 设()2343
x x f x x --= ()()()
()()3222'
6
44
243439189x x x x x x x x x f x x x x -----+-++∴=
==-
[)2,0x ∈- ()f x ∴在[]2,1--单调递减，在()1,0-单调递增 ()()min 12f x f ∴=-=-
当0x =时，可知无论a 为何值，不等式均成立
当(]0,1x ∈时，恒成立不等式等价于23
43
x x a x --≥
23
max
43x x a x ⎛⎫--∴≥ ⎪⎝⎭，同理设()2343x x f x x --= ()()()
'
4
91x x f
x x -+∴=-
()f x ∴在()0,1单调递增
()()max 16f x f ∴==- 6a ∴≥- 综上所述：[]6,2a ∈--
4、答案：C 解析：(
)'
cos
x
f
x m
m
π
π=
，令()'
0f
x =可得：
()cos
02
x
x
k k Z m
m
πππ
π=⇒
=
+∈
()2
m
x km k Z ∴=
+∈ ∴不等式转化为：2
2
22+3sin 2m km m km m m
π⎛⎫
+
⎪⎛⎫
⎝⎭+< ⎪⎝⎭
整理后可得：2
22132k m m ⎛
⎫+⋅+< ⎪⎝
⎭
k Z ∴∃∈，使得22
1132k m ⎡⎤⎛⎫-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
若0k ≠且1k ≠-，则2
1102k ⎛
⎫-+< ⎪⎝
⎭，不等式不能成立
∴只需0k =或1k =-时，不等式成立即可
()()23
3,22,4
m m ∴>⇒∈-∞-+∞ 5、答案：D
解析：()()()210121x x e x ax a a x e x --+<⇒->- 当1x =时，不等式不成立 当1x >时，可得21122111x x x
x a e e e x x -⎛⎫⎛⎫>=+>> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭，与1a <矛盾，故不成立
当1x <时，可得211211x x x a e e x x -⎛⎫⎛
⎫<=+
⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭
设()121x g x e x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭ ()()()()'2223112111x x x x x g x e e e x x x ⎡⎤-⎛⎫∴=+-=⎢⎥ ⎪-⎝⎭--⎢⎥⎣⎦
()g x ∴在(),0-∞单调递增，在()0,1单调递减 ()01g =
∃唯一的整数0x 使得()00f x <即()0a g x <，又()1,01a g <=
00x ∴=
()g x 在(),0-∞单调递增
()133122a g e e -∴≥-== 3,12a e ⎡⎫
∴∈⎪⎢⎣⎭
6、答案：B
解析：不妨设01y x ≤<≤
当12x y -≤
时，()()1124f x f y x y -<-≤ 当1
2
x y ->时，
()()()()()()10f x f y f x f f y f -=---⎡⎤⎣⎦
()()()()()11111
10122224
f x f f y f x y x y ≤-+-<
-+=--< 14k ∴≥
即min 1
4
k = 7、答案：B
解析：()()()
222'
22
12ln 1ln x x b x x b x x b x f x x x
⎡⎤
+----⎢⎥---⎣⎦== ()()()
2
222'
ln 1ln 2210x x b x x b x bx f x xf x x
x x
+-+---+∴+=
+=>
∴问题转变为：1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2
2210x bx -+>，即2max
212x b x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭
2max max 21119222224x x x x ⎛⎫+⎛
⎫=+=+= ⎪ ⎪
⋅⎝
⎭⎝⎭ 9
4
b ∴<
8、答案：A
解析：不妨设01q p <<<，则恒成立不等式等价于()()11f p f q p q +-+>- 即()()11f p p f q q +->+-，设()()1g x f x x =+-，则()g x 在()0,1单调递增
()()()()2
2ln 21ln 231g x a x x x a x x x =+-+-=+---
()'232
a
g x x x ∴=
--+ ()'0g x ∴≥对()0,1x ∈恒成立，即()()2232276a x x x x ≥++=++
设()2
276h x x x =++，可知()h x 在()0,1单调递增
()()115h x h ∴<= 15a ∴≥
9、答案：2a ≥
解析：恒成立不等式为：2
2ln 321x x x ax ≤++⇒max
112ln 32a x x x ⎛⎫≥
-- ⎪⎝⎭ 设()12ln 3g x x x x
=-- ()()()2'
222311213213x x x x g x x x x x +---∴=-+=-=-
令()'0g x >
定义域()0,x ∈+∞ 310x ∴+> ∴解得1x <
()f x ∴的单调区间为：
(
)()max 14g x g ∴==- 2a ∴≥-
10、答案：
a ≥
解析：恒成立不等式为
a
≥
，所以max a ≥
，由均值不等式可知：≤
⇒+≤=
，所以≤=a ≥11
、答案：((
)
2,131,2--
解析：恒成立不等式为：(
)
21210a x x --+<，设()()
2121f a a x x
=--+，则不等
式恒成立只需()
()22
102201
102002
f x x x f x x x ⎧-<⇒--+<⇒>⎪⎨<⇒-<⇒<<⎪⎩ 12x -<<
解得((
)
2,131,2x ∈---
12、答案：3a ≤-
解析：不等式组2
2430
680
x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩的解集为()2,3，由子集关系可将问题转化为()2,3x ∀∈，
不等式2
290x ax +-<恒成立，从而92a x x <
-恒成立，因为()9
2f x x x
=-为减函数，
所以()()33f x f >=-，从而3a ≤- 13、答案：11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
解析：若不等式恒成立，则()2
min 1
22122
a a x x +
+≤-++ 设()131,212123,223 1.2x x f x x x x x x x ⎧
+≥⎪⎪
⎪=-++=--≤<⎨⎪
--<-⎪⎪⎩
可知()min 15
22f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭
2215122101,222a a a a a ⎡⎤
∴++≤⇒+-≤⇒∈-⎢⎥⎣⎦
14、答案：(),2-∞-
解析：作出()f x 的图像可知()f x 为减函数，所以恒成立不等式等价于2x a a x +<-在[],1x a a ∈+恒成立，即()()max 221a x a >=+，解得：2a <- 15、答案：4
解析：作出函数()2
x g x e
-=和()h x ex =的图像，可知
()()11g h e ==，()()2444g e h e =<=，()()3555g e h e =>=，所以5m <，即m 的
最大整数值为4 16、答案：1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
解析：问题转化为x R ∀∈，2
130ax x a -++≥恒成立
222111333x x x a x x x +++∴≥==+++，设()21
,11412
310,1
x x g x x x x x ⎧⎪≠-+⎪
==⎨
++-+⎪+⎪
=-⎩ 可得：()()
(][)4
12,62,1x x ++
-∈-∞-+∞+
()10,2g x ⎛⎤
∴∈ ⎥⎝⎦
12a ∴≥
17、答案：[]2,0-
解析：(),0,0x
x x
x e f x x x e ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，作出函数图像可知若M R =，则()1g x <-
12()42211x x g x m m m +∴=-+⋅++-<-恒成立
即()
2
22
2220x x m m m -⋅-->对x R ∀∈恒成立
设()2,0,x
t t =∈+∞，()
22220t mt m m --+>恒成立
设()()
()()
2
2
2
2
222h t t mt m m t m m m =--+=--+，对称轴t m =
（1）当0m >时，()()()
2min 2010h x h m m m m ==-+>⇒-<<，不符题意 （2）当0m ≤时，()()()
202020h x h m m m >=-+≥⇒-≤≤ 综上所述：[]2,0m ∈- 18、答案：{}1e +
解析：令1x =可得：()11f e a e ≥⇒≥+
()()()2
'
22,0x a x a a f x x a a x x
-+=-+=->
由1a e ≥+可知：()f x 在[]1,e 上单调递增
()()22
11121
3232f e
a e a e e a e a e ae e f e e ≥⎧-≥≥+⎧⎧⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨--≤≤+-+≤+≤+⎩⎪⎩⎩ 1a e ∴=+
19、答案：[]8,1m ∈-
解析：若2287y x m m x y +≥+恒成立，则2
min 287y x m m x
y ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，由均值不等式可得：
288y x x y +≥=，所以278m m +≤解得：[]8,1m ∈- 20、答案：6a ≥或4a ≤-
解析：由2
2
5x y +=
可设[),0,2x y θ
θπθ
⎧=⎪∈⎨
=⎪⎩，恒成立不等式12a x y -≥+可知()max 12a x y -≥+
，而()25sin 5x y θθθϕ+=+=+≤，所以15
a -≥解得：6a ≥或4a ≤- 21、解析：（1）()2
12ln 2
p x x x x =
-- ()()()'1221x x p x x x x
+-∴=--
=， 可得()p x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增
()p x ∴的极小值为()22ln2p =-，无极大值
（2）设()()()()2
ln h x f x g ax ax x ax =-=--
()min 0h x ∴≥
()2'
21ax x h x x
--=，令()2
21,180q x ax x a =--∆=+>
()0q x ∴=有两不等实根12,x x ，其中121
02x x a
=-
<，不妨设120x x << ()h x ∴在()20,x 单调递减，在()2,x +∞单调递增
()()()2
2222min ln 0h x h x ax x ax ∴==--≥
由()20q x =可得：2
22222
1
2102x ax x ax x +--=⇒=
所以()22
22
11ln 022x x h x x -+=-≥ 令()()1ln 1ln 22
x
k x x x -=
-++ ()()()()
'12111
2121x x k x x x x x -+∴=---=-
++ ()k x ∴在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减 ()()210h x k ∴≤= ()20h x ≥
()2201h x x ∴=⇒=
代入到2
22210ax x --=可得：1a =
a ∴的取值集合为{}1
22、解析：（1）()23217f =⋅+= ()'
21a f
x x
=-
()()'227829213
4a f b a a b f ⎧
=++=⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩⎪=-=⎪⎩ ()89f x x x ∴=-+
（2）()2'
22
1a x a f x x x -=-=
当0a ≤时，可得()'
0f x ≥恒成立 ()f x ∴在()(),0,0,-∞+∞单调递增
当0a >时，令()'
0f
x >
可解得：x >
或x <()f x 的单调区间为：
（3）若10)(≤x f 在]1,41
[上恒成立，则只需max ()10f x ≤
由（2）可知()f x 在]1,41
[的边界处取得最大值
()13910444
9110f b a b a
f ⎧⎛⎫⎧
≤≤
-⎪⎪ ⎪∴⇒⎝⎭⎨⎨⎪⎪≤-≤⎩⎩
对任意的]2,21[∈a 恒成立 所以可得：7
4
b ≤
23、解析：（1）由()2
ln f x x a x =-+可得：()0,x ∈+∞
()'2a f x x x =-+
，当2a =时，()'
22f x x x
=-+ ()()
'
10
11f f ⎧=⎪⎨
=-⎪⎩ ∴切线方程1y =- （2）()2
2ln g x x x a x =-+
()2'
2222a x x a
g x x x x
-+=-+=
令()'0g x >，即2
220x x a -+>
① 14802
a a ∆=-≤⇒≥
时，2
220x x a -+≥恒成立 ()g x ∴在()0,+∞单调递增
② 当1
02
a ∆>⇒<
时，121122x x -+== 当1
02
a <<
时，120x x << ()f x ∴的单调区间为：
当0a ≤时，120x x <<
()g x ∴在10,2⎛+ ⎝⎭上单调递减，在12⎛⎫
++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递增 （3）由（2）可得：函数()g x 有两个极值点12,x x ，则01a <<，且121x x +=
12x x < 1211
0,122
x x ∴<<<<
恒成立不等式为：()12
g x m x ≤
，只需()12min
g x m x ⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
()()22
21111111111112
111222ln 2ln 112ln 111
x x x x x g x x x a x x x x x x x x -+--+===-++---
设()1112ln 012h x x x x x x ⎛
⎫=-+
+<< ⎪-⎝
⎭ ()()
()
'2
22ln 1x x h x x x -=
+- 由102
x <<
可得：()'
0h x <
即()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减
()13ln 222h x h ⎛⎫
∴>=-- ⎪⎝⎭
3ln 22m ∴≤--
24、解析：（1）2
()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞
21(21)(1)121()(21)111
a x x ax ax a
f x a x x x x -++++-'=+-==+++，
设2
()21g x ax ax a =++-， 当0a =时，1
()1,()01
g x f x x '==
>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 当0a >时，2
2
8(1)98a a a a a ∆=--=-， 若8
09
a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 若8
9
a >
时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <， 且1212x x +=-，而(1)10g -=>，则121
14
x x -<<-<，
所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增； 当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增. 因此此时函数()f x 有两个极值点；
当0a <时0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<， 所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减. 所以函数只有一个极值点。

综上可知当8
09
a ≤≤
时()f x 的无极值点；当0a <时()f x 有一个极值点；当89a >时，
()f x 的有两个极值点.
（2）由（1）可知当8
09
a ≤≤
时()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =，
则当(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意； 当
8
19
a <≤时，2(0)0,0g x ≥≤，()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =， 则当(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；
当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =， 则当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；
当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x
'=-
=>++， ()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，
于是2
2
()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a
>-时2
(1)0ax a x +-<， 此时()0f x <，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤. 25、解析：()'
2mx f x me x m =+-
可知()'
f
x 单调递增，且()'00f =
(),0x ∴∈-∞时，()'0f x < ()0,x ∈+∞时，()'0f x > ()f x ∴在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增
（2）若不等式()()121f x f x e -≤-恒成立 则()()
12max
1f x f x e -≤-
()f x 在[]1,1-连续
()f x ∴在[]1,1-有最大最小值
∴ ()()()()12max min max
f x f x f x f x -=-
由（1）可知()f x 在()1,0-单调递减，在()0,1单调递增
()()min 01f x f ∴==
()()(){}{}max 1,11,1m m f x f f e m e m -=-=+-++
()()()()()10111101m
m f f e e m e e m e f f e --≤-⎧⎧-≤-⎪⎪∴⇒⎨⎨+-≤---≤-⎪⎪⎩⎩。