重庆市第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试文数试题Word版含解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列函数是奇函数的是（ ）
A ． ()f x x x =
B ．()lg f x x =
C ．()22x
x
f x -=+ D ．3
()1f x x =-
【答案】A 【解析】
试题分析：A ．()()f x x x f x -=-=-，则函数()f x 为奇函数，满足条件． B ．函数的定义域为(0,)+∞，不关于原点对称，函数为非奇非偶函数． C ．()()22
x x
f x f x --=+=，则函数为偶函数．
D ．3
()1f x x -=--，则()()f x f x -≠-且()()f x f x -≠，则函数为非奇非偶函数， 故选：A
考点：函数奇偶性的判断
2．已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若()(1)a i i bi ++=，则a bi +=（ ） A ． ﹣1+2i B ． 1+2i
C ． 1﹣2i
D ． 1+i
【答案】B
考
点：复数的运算
3．已知命题p ：∃x 0∈R ，sinx 0=；命题q ：∀x ∈R ，x 2
﹣x+1＞0．则下列结论正确的是（ ）
A ． 命题是p ∨q 假命题
B ． 命题是p ∧q 真命题
C ． 命题是（¬p）∨（¬q）真命题
D ． 命题是（¬p）∧（¬q）真命题
【答案】C 【解析】
试题分析：命题p ：因为1sin 1x -≤≤，故不存在x R ∈，使sin x =
p 为假；
命题q ：1430∆=-=-<，故x R ∀∈，都有2
10x x ++>为真．
∴，命题是“p q ∨”是真，命题“p q ∧”是假命题，命题是“()()p q ⌝∨⌝”真命题，命题“()()p q ⌝∧⌝”是假命题． 故选：C
考点：复合命题的真假
4．已知
0,,cos 2παα⎛⎫
∈=
⎪⎝
⎭
cos()6πα+等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
试题分析：
0,,cos 2παα⎛⎫∈=
⎪⎝⎭
sin α∴===,
因此，11cos cos cos sin sin 66622πππααα⎛
⎫
+
=-=-= ⎪
⎝
⎭．故选：A 考点：两角和与差的余弦函数
5．设x R +
∈，向量()()1,1,,2a b x ==-，且10a b +=，则a b ⋅=（ ）
A ． ﹣2
B ． 4
C ． ﹣1
D ． 0
【答案】D 【解析】
试题分析： 向量()()1,1,,2a b x ==-，且10a b +=，=
解得2x =或0x =（舍去，因为x R +
∈）．则(1,1)(2,2)220a b ⋅=⋅-=-=．故选：D ． 考点：平面向量数量积的运算
6．函数y =R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ． [0，+∞） B ． [﹣1，0）∪（0，+∞）
C ． （﹣∞，﹣1）
D ． [﹣1，1） 【答案】A 【解析】
试题分析:∵函数y =R ，
∴①当0a =，只需保证1
2
x >，即可使得函数y =R ； ②当0a ≠时，0
440a a >⎧⎨
+≥⎩
．解得0a >，
综上知实数a 的取值范围是[0,)+∞，故选：A ． 考点： 函数的值域 7．已知函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x
f x x x x ≥⎧=⎨
<⎩
，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上递增 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 的值域为[1,1]-
【答案】C 【解析】
试题分析：结合函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x
f x x x x
≥⎧=⎨
<⎩的图象，可得该函数为周期函数，不是奇函
数，在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上没有单调性，值域为2⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
，故选C ．
考点： 三角函数的周期性及其求法
8．在ABC ∆中，若AB AC AB AC +=-，2,1,,AB AC E F ==为BC 边的三等分点，则AE AF ⋅=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
试题分析：若AB AC AB AC +=-，则
2222
22AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，
即有0AB AC ⋅=，,E F 为BC 边的三等分点， 则()()
1133AE AF AC CE AB BF AC CB AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+
⋅+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
2221122
25210(14)033339
9999AC AB AC AB AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++⋅=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故
选B ． 考点：
9．函数()f x = ）
A ．2,,()6
3k k k Z π
πππ⎡⎤+
+
∈⎢⎥⎣
⎦ B ．,,()3k k k Z πππ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
C ．,,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦ D ．2,,()33k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
【答案】D
考点：三角函数图象和性质. 10．曲线sin 1sin cos 2x y x x =
--在点,04M π⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线的斜率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】 【解析】
试题分析:因为
sin 1
sin cos 2
x y x x =
--22
cos (sin cos )(cos sin )sin 1(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--'∴==++， 2
4
11
2
(sin
cos )44
x y ππ
π
='=
=
+，故选B ． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
11．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意12x x ≠，都有
11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+则称函数()f x 为“H 函数”．给出下列函数：
①3
1y x x =-++；
②()32sin cos y x x x =--； ③1x y e =+；
④ln ,0
()0,0
x x f x x ≠⎧=⎨=⎩．
其中函数式“H 函数”的个数是（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1
【答案】C 【解析】
试题分析：∵对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，
∴不等式等价为()[]1212()()0x x f x f x -->恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数． ①3
1y x x =-++；2
31y x '=-+，则函数在定义域上不单调．②32(sin cos )y x x x =--
；
32(cos sin )304y x x x π⎛
⎫'=-+=-+> ⎪⎝
⎭，函数单调递增，满足条件．③1
x y e =+
为增函数，满足条件．④ln ,0()0,0
x x f x x ≠⎧=⎨=⎩，当0x >时，函数单调递增，当0x <时，函
数单调递减，不满足条件．
综上满足“H 函数”的函数为②③，故选C ． 考点：函数单调性的性质；函数的图象．
12．已知点(0,1)A ，曲线C ：ln y a x =恒过定点B ，P 为曲线C 上的动点且AP AB ⋅的最小值为2，则a =（ ） A ． ﹣2 B ． ﹣1
C ． 2
D ． 1
【答案】D 【解析】
试题分析：曲线C ：ln y a x =恒过点B ，则令1x =，可得0y =，即(1,0)B ，又点(0,1)A ，设(,ln )P x a x ，
则ln 1()AP AB x a x f x ⋅=-+=，由于()ln 1f x x a x =-+在（0，+∞）上有最小值2， 且(1)2f =，故1x =是()f x 的极值点，即最小值点．()1a x a
f x x x
-'=-
=
， 0,()0a f x '<>恒成立，()f x 在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；
当0,(0,)a x a >∈a ＞0，时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)a 是减函数，在(,)a +∞是增函数，所以()f x 有最小值为()2f a =，即ln 12a a a -+=，解得1a =；故选D ． 考点：平面向量数量积的运算．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.） 13．计算：10cos 3
π
= ． 【答案】12
- 【解析】 试题分析：10221cos
cos 4cos 3332ππππ⎛
⎫=-==- ⎪⎝⎭
考点：运用诱导公式化简求值 14．函数1
()1
f x x =
-在[,]a b 上的最大值为1，最小值为，则a b += ．
【答案】6 【解析】
试题分析：由题意，1a >，则
1111,,2,4,6113
a b a b a b ==∴==∴+=--； 1a <时，
11
13
a =-，不成立． 考点：函数的最值及其几何意义．
15．小明在做一道数学题目时发现：若复数111cos sin z i αα=+，222cos sin z i αα=+，
333cos sin z i αα=+（其中123,,R ααα∈），则()()121212cos sin z z i αααα⋅=+++，
()()232323cos sin z z i αααα⋅=+++，根据上面的结论，可以提出猜想：
123z z z ⋅⋅= ．
【答案】()()123123cos sin i αααααα+++++ 【解析】
试题分析：∵当复数111cos sin z i αα=+，222cos sin z i αα=+时，
()()121212cos sin z z i αααα⋅=+++，
()()()()()
123121233123123cos sin cos sin cos sin z z z i i i αααααααααααα∴⋅⋅=+++⋅+=+++++⎡⎤⎣⎦.
考点：归纳推理．
16．已知G 点为ABC ∆的重心，且AG BG ⊥，若112tan tan tan A B C
λ
+=
，则实数λ的值为 ． 【答案】
14
【解析】
试题分析：如图，连接CG ，延长交AB 于D ，由于G 为重心，故D 为中点，
1
,2
AG BG DG AB ⊥∴=
， 由重心的性质得，3CD DG =，即3
2
CD AB =
，
由余弦定理得，
2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠,2222cos BC BD CD AD CD ADC
=+-⋅⋅∠，
,ADC BDC AD BD π∠+∠==，222222AC BC AD CD ∴+=+，2222219
522AC BC AB AB AB ∴+=
+=, 又因为112tan tan tan A B C λ+=，cos cos 2cos sin sin sin A B C
A B C λ+=
， 22
(sin cos cos sin )sin sin 2sin sin cos 2sin sin cos 2cos A B A B C C AB A B C A B C BC AC C λ+∴===⋅⋅
22222221
54
AB AB BC AC AB AB AB ===+--
考点：向量在几何中的应用．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．已知2
:8200p x x --≤；2
2
:11q m x m -≤≤+． （Ⅰ）若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围；
（Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）⎡⎣;（Ⅱ）(,3]
[3,)-∞-+∞.
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足：
cos sin sin )cos 0c B C c B C ⋅++=．
（Ⅰ）求C 的大小；
（Ⅱ）若c =a b +的最大值，并求取得最大值时角,A B 的值．
【答案】(Ⅰ）23π;（Ⅱ）()max 2a b +=;6
A B π==. 【解析】
试题分析：(Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用及正弦定理化简已知等式可得：
sin sin sin C A A C =，结合范围0A π<<，可得tan C =，从而解得C 的值．
（Ⅱ）由正弦定理可得2sin 3a b A π⎛
⎫
+=+
⎪⎝
⎭
，由20,
,,3333A A ππππ⎛⎫⎛⎫
∈+∈ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，可求
sin 3A π⎤⎛
⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦
，即可得解．
试题解析：（Ⅰ）由cos sin sin )cos 0c B C c B C ⋅++=.
可得sin()sin c B C C +=，所以sin sin c A C =，
由正弦定理可得：sin sin sin C A A C =，
因为0A π<<，所以sin 0A >，从而sin C C =，
即tan C =23
C π
= …6分 （Ⅱ）由正弦定理：sin sin sin a b c A B C ==，可得2sin sin a b
A B
==，
所以：
()12sin sin 2sin sin 2sin cos 2sin 3223a b A B A A A A A ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛
⎫+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭
,
又因为3
A B π
+=
，得：20,
,,3333A A ππππ⎛⎫
⎛⎫∈+∈ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，sin 3A π⎤⎛
⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，
所以a b ⎤+∈
⎦，所以()max 2a b +=，此时32
A ππ
+
=
，即6
A B π
==
…12分
考点：余弦定理；正弦定理．
19．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当
(0,12]x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点(10,80)A ，过点(12,78)B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中(40,50)C ．根据专家研究，当注意力指数大于62时，
学习效果最佳．
（1）试求()y f x =的函数关系式；
（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．
【答案】（1）[]2
1(10)80,(0,12]
()290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩
；
（2）老师在(4,28)x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳． 【解析】
试题分析：（1）当(0,12]x ∈时，设2
()(10)80f x a x =-+，把点（12，78）代入能求出解析式；当[]12,40x ∈时，设y kx b =+，把点(12,78)B 、(40,50)C 代入能求出解析式． （2）由（1）的解析式，结合题设条件，列出不等式组，能求出老师就在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳
试题解析： （1）当(0,12]x ∈时，设2()(10)80f x a x =-+ …（1分） 过点（12，78）代入得，12a =-
,则2
1()(10)802
f x x =--+ …（3分） 当[]12,40x ∈时，设y kx b =+，过点(12,78)B 、(40,50)C
得1
90
k b =-⎧⎨
=⎩，即90y x =-+ …（6分）
则的函数关系式为[]2
1(10)80,(0,12]
()290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩
…（7分）
（2）由题意得，2
012
,1(10)80622
x x <≤⎧⎪
⎨--+>⎪⎩或12409062x x <≤⎧⎨-+>⎩…（9分） 得412x <≤或1228x <<，428x << …（11分）
则老师在(4,28)x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．…（12分）
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．
20．某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x B ωφ=++（0,0,2
A π
ωφ>><）在某一个
周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
（Ⅰ）请求出上表中的123,,x x x ，并直接写出函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）将()f x 的图象沿x 轴向右平移个单位得到函数()g x ，若函数()g x 在[]0,x m ∈（其中(2,4)m ∈上的值域为⎡⎣，且此时其图象的最高点和最低点分别为P 、Q ，求OQ
与QP 夹角θ的大小． 【答案】（Ⅰ）123x =-，243x =，3103x =；()23f x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
；（Ⅱ）56π.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由五点作图的第二点和第四点列式求出,ωφ的值，则函数解析式可求，再由五点作图的第一、三、五点求解123,,x x x 的值；
（Ⅱ）求出平移后的函数解析式，结合()g x 在[]0,x m ∈（其中(2,4)m ∈
上的值域为
⎡⎣求得图象的最高点和最低点分别为P 、Q 的坐标，代入向量的夹角公式得答案． 试题解析： （Ⅰ）由图表可知，1327332πωφπωφ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2
3πωπφ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
．
由102
3x π
π
+
=，得12
3x =-． 由22
3x π
ππ+=，得243x =．
由
322
3x π
ππ+=，得3103x =．
()2
3f x x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；
（Ⅱ）将()f x 的图象沿x 轴向右平移
23
个单位得到函数()2
g x x π
=， 由于()g x 在区间[]0,m （其中(2,4)m ∈
）上的值域为⎡⎣
， 则3m ≥
，故最高点为P
，最低点为(3,Q ．
则(3,OQ =
，(QP =-，
则cos 2OP QP OP QP
θ⋅=
=-
⋅．0θπ≤≤，56
π
θ∴=． 考点：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．
21．定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期4，且(0,2)x ∈时，3()91
x
x f x =+．
（1）求()f x 在[]2,2-上的解析式；
（2）判断()f x 在(0,2)上的单调性，并给予证明；
（3）当λ为何值时，关于方程()f x λ=在[]2,2-上有实数解？
【答案】（1）1
,(0,2)33()0,0,21,(2,0)33x x x x
x f x x x --⎧∈⎪+⎪
∴==±⎨⎪⎪-∈-+⎩；（2）()f x 在(0,2)单调递减；
（3）
91822λ<<或19
282
λ-<<-或0λ=. 【解析】
试题分析：（1）可设(2,0)x ∈-，则(0,2)x -∈,由(0,2)x ∈时，31
()1
9133x x x x
f x ==++可求()f x -，再由奇函数的性质可求
（2）利用函数的单调性的定义进行证明即可
（3）转化为求解函数()f x 在[]2,2-上的值域，结合（2）可先求()f x 在(0,2)上的值域，然后结合奇函数的对称性可求在(2,0)-上的值域 试题解析：（1）设(2,0)x ∈-，则(0,2)x -∈
∵(0,2)x ∈时，31()19133x x x x f x ==++，1
()133
x
x
f x ∴-=+
由函数()f x 为奇函数可得，()()f x f x -=-，∴1()1
33
x
x
f x =-
+，∵(0)0f =，
又因为函数是周期为4的为奇函数，(2)(2)(2)f f f -=-=，(2)(2)0f f ∴--=，
1
,(0,2)33()0,0,2
1,(2,0)33
x x x x x f x x x --⎧∈⎪+⎪
∴==±⎨⎪⎪-∈-+⎩ （2）设1202x x <<<，令1()33x
x
g x =+
， 则211
2121212121133()()33333333x x x x x x x x x x g x g x --=+--=-+⋅1212
1(33)(1)33x x
x x =--⋅
∵1202x x <<<，∴12()()g x g x <，
∴函数()g x 在(0,2)单调递增，且()0g x >， ∴()f x 在(0,2)单调递减
（3）由（2）可得当02x <<时，1()33x x
f x -=+单调递减，故91
()822f x <<， 由奇函数的对称性可得，(2,0)x ∈-时，19
()282
f x -<<-
当0x =时，(0)0f =
∵关于方程()f x λ=在[2,2]-上有实数解，91822λ∴
<<或19
282
λ-<<-或0λ= 考点：函数与方程的综合运用；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；奇函数；函数的周期性． 22．设函数2
1()ln 2
f x x ax bx =-- （Ⅰ）当1
2
a b ==
时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）令21()()(03)2a
F x f x ax bx x x
=+++<≤其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜
率1
2
k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）当0a =，1b =-时，方程()f x mx =在区间2
[1,]e 内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．
【答案】（I ）()f x 的单调增区间(0,1)，函数f （x ）的单调减区间(1,)+∞；（II ）1
2
a ≥； （III ）11m e =+，或2211m e
≤<+. 【解析】
试题分析：（I ）先求导数()f x '然后在函数的定义域内解不等式()0f x '>和()0f x '<，
()0f x '>的区间为单调增区间，()0f x '<的区间为单调减区间．
（II ）先构造函数()F x 再由以其图象上任意一点()00,P x y 为切点的切线的斜率1
2
k ≤恒成立，知1()2f x '≤
恒成立，再转化为所以22
00max 1()2
a x x ≥-+求解． （III ）先把程()f x mx =有唯一实数解，转化为ln 1x
m x
=+有唯一实数解，再利用单调函
数求解．
试题解析： （Ⅰ）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞．（1分） 当12a b ==
时，211
()ln 42f x x x x =--， 111(2)(1)
()222x x f x x x x
-+-'=--=
． （2分） 令()0f x '=，解得1x =．
当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减．（3分）
所以函数()f x 的单调增区间(0,1)，函数f （x ）的单调减区间(1,)+∞． （4分） （Ⅱ）(]()ln ,0,3a
F x x x x
=+∈， 所以00201
()2
x a k F x x -'==≤，在区间(]0,3上恒成立，（6分） 所以(]2
00max 1(),0,32
a x x x ≥-
+∈a≥（﹣x 02+x 0） （7分）
当01x =时，20012x x -+取得最大值12．所以1
2
a ≥． （9分）
（Ⅲ）当0,1a b ==-时，()ln f x x x =+，
因为方程()f x mx =在区间2
1,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，
所以ln x x mx +=有唯一实数解．ln 1x
m x
∴=+， 设ln ()1x g x x =+
，则21ln ()x
g x x
-'=． 令()0g x '>，得0x e <<；()0g x '>，得x e >；
∴()g x 在区间[]1,e 上是增函数，在区间2
,e e ⎡⎤⎣⎦上是减函数，
222ln 2(1)1,()11e g g e e e ==+=+，1()1g e e =+，所以11m e =+，或2211m e
≤<+．
考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程．。