第二章轴心受压构件的弯曲失稳方喻飞

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例题 用里兹法求解例题2.1轴心受压构件的临界荷载Pcr。
例题2.1图 无限自由度轴心压杆
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y a1 l x x
假设压杆失稳时的变形曲线为
0 x 2l
x 0, y0 x l, y 0 x 2l , y 0
其满足边界条件，即
1 2l 2 2 U 0 EI y dx 4EIa1 l 2 1 2l 1 2 2l 7 2 3 2 2 V W P0 y dx Pa1 0 l 2x dx Pa1 l 2 2 3
U W
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（a）稳定平衡
（b）随遇平衡
（c）不稳定平衡
1 lM2 U 0 dx 2 EI
M EI y
1 l 2 U 0 EI y dx 2
W P
在压杆上任取一微段dx，变形后与轴x的夹角为θ， 微段dx弯曲前后在轴x上投影的长度差为 12
y2 y1
y2 0
x 2l , y 2
A2 cos l B2 sin l 0
A2 cos2 l B2 sin2 l 0
由第二式得
B1 / sin l
代入第三式，则可得到以A2、B2和δ为未知量联立方程组
lsin l A2 lcos l B2 lctg l 1 0 0 cos l A2 sin l B2 cos2 l A sin2 l B2 0 2
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1 lM2 U 0 dx 2 EI
M EI y
U 0 EI y 2 dx
l
1 2
W P
在压杆上任取一微段dx，变形后与轴x的夹角为θ， 微段dx弯曲前后在轴x上投影的长度差为
dx1 cos 2dx sin
2
2

2
dy tg y dx
l j 1
n


cij EI ix j x P i x j x dx
c11 c 21 c12 c 22


（i=1,2,3,…,n）
则上面的式子可改写为
c1n c 2n 0
a j c ij 0
j 1
（i=1,2,3,…,n）
n B l n l 0 a j j x i x dx a j 0 i x j x dx ai j 1 j 1
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• 则
令
n
l 0
a j 0 EI ix j x P i x j x dx 0
，且将 H c P / l
P 令 EI
2
代入式，则上式变为
y1 y1
2
2

l
x
（0≤x≤l） （l≤x≤2l）
2 y 2 2 y2
通解分别为
y1 A1cosx B1sinx

l
x
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y 2 A2 cosx B2 sinx
轴向力作用下产生的竖向位移
l1 1 cos 2l 1 cos
1 U K 2 2
取余弦函数的泰勒级数展式前两项，式变为
l1 1 cos 2l 1 cos
l1 2 / 2 2l 2 / 2 l1 / l1 2l / l 1 2 1 2l 2 2 l 1
2
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2.1 轴心受压构件的失稳类型
（a）弯曲失稳
（b）扭转失稳
（c）弯扭失稳
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2.2 轴心受压构件的弯曲失稳
轴心受压构件最简单的失稳形式是弯曲失稳， 为了避免发生弯曲失稳，首先必须确定轴心受压 构件的临界荷载值，然而求临界荷载并不简单， 主要体现在： 理想轴心受压构件在实际结构中并不存在，因 此在理想条件下求出的临界荷载值并不能直接用 于轴心受压构件的稳定设计。 轴心受压构件的弹性分析与弹塑性分析差别很 大。
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2.2.1 理想轴心受压构件的
弹性弯曲失稳
钢结构及构件稳定计算的主要目 的在于确定临界荷载值。确定理想轴 心受压构件的临界荷载的方法主要有 “静力法”和“能量法”。
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静力法
静力法即静力平衡法，即根据已发生了微小变形 后结构的受力条件建立平衡微分方程，然后解出临界 荷载。在建立理想轴心受压构件弯曲平衡方程时有如 下基本假定： ①构件是等截面直杆； ②压力始终沿构件原来轴线作用； ③材料符合虎克定律，即应力与应变成线性关系； ④构件符合平截面假定，即构件变形前的平截面在变形 后仍为平面； ⑤构件的弯曲变形是微小的，曲率可以近似地用挠度函 数的二阶导数表示。

n
x dx
2
B
l a i i 0 i 1 n
x dx
2
A P B
求P的极小值
P 0 a i
A B B A ai ai B
2
0
由于 B 0
A P B
A B P 0 a i a i
n n A l l 0 EI a j j x ix dx a j 0 EI ix j x dx ai j 1 j 1
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lsin l lcos l 得稳定方程 cos l sin l cos2 l sin2 l
sin l 0
lctg l 1
1 0 0
展开后 得到 则 最小根为：
sin l 2 lcos l sin l 0
l n
n n 2
2
a i i x dx i 1
2
A P B
2
令
A
l EI ai i 0 i 1

n
x dx
ln B 0 a i i x dx i 1
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令
A
l EI ai i 0 i 1
大大学学43经分析后得d为挠度大大学学44大大学学45值从实用角度似可以将p公式要求构件内部任何一点纤维都遵循相同的应力应变关系只有铝合金构件才满足要求对于实际的钢构件由于有各种初始缺陷如初偏心初弯曲和残余应力等在纵向各根纤维的应力应变关系并不相同这样就不能直接根据钢材在弹塑性阶段的应力应变关系确定轴心受压构件的切线模量屈曲荷载而必须考虑初始缺陷的影响
dx
l Pcr 0
y dx
2
Pcr

l 2 EI y dx 0 l 2 y dx 13 0

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用静力法确定图2.2所示单自由度体系的临 界荷载Pcr。假定杆ab和bc的抗弯刚度EI=∞
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[解] 此题中体系应变能的增量为弹簧应变能的增量
2
1 1 2dx sin 2dx tg 2dx tg y 2 dx 2 2 2 2
2


1 l 2 01 cos dx 0 y dx 2
l
P l 2 W P 0 y dx 2

l EI 0
y
2
势能驻值原理与平衡方程是等价的，用该原理可以解决复 杂结构的弹性稳定问题。如很多结构很难直接建立平衡方 程，则可以先写出结构总势能，即可得到平衡方程。还可 以先假定构件挠曲线形状，给出挠曲线方程，将其代入总 势能解出临界荷载。若给出的挠曲线方程满足几何边界条 件，称求解临界荷载的方法为里兹（Ritz）法 ；若给出的 挠曲线方程不仅满足几何边界条件，而且满足自然边界条 件，则称其为迦辽金（Galerkin）方法。 16
c11 a1 c12 a 2 c1n a n 0 c 21 a1 c 22 a 2 c 2 n a n 0 c n1 a1 c n 2 a 2 c nn a n 0
c n1 c n 2 c nn
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例题2.1
确定图中所示轴心受压构件的临界荷载Pcr。
例题2.1图 无限自由度轴心压杆
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[解] 由于ac、ab两段杆的受力不同， 因此需要分别列出平衡微分方程。
P y1 H c l x 0 EI y1
ac段： cb段：
P y 2 0 EI y 2
n个根中的最小根即为所求 的临界力。
此法也称为铁摩辛柯—里兹法（Timoshenko-Ritz Method），所得 的近似解是精确解的一个上限。因为假设的变形曲线式减少了结构 的自由度（从无限自由度→有限自由度），相当于对体系增加了某 24 些约束，所以按此法求得的临界力比实际的大。
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结 构 稳 定 理 论
结构稳定理论
张系斌
长江大学土木工程学院
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第二章 轴心受压构件失稳
轴心受力构件在钢结构中应用广泛， 如桁架、网架中的杆件，工业厂房及高层 钢结构的支撑，操作平台和其它结构的支 柱等。对轴心受压构件同样应按承载能力 极限状态和正常使用极限状态设计。就第 一类极限状态而言，除了一些较短的轴心 受力构件因局部有孔洞削弱，需要验算净 截面强度，一般情况，轴心受力构件的承 载力是由稳定条件决定的，即应满足整体 稳定和局部稳定要求。本章着重讨论轴心 受力构件的整体稳定问题。
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当杆件的变形曲线采用表中的级数形式前若干项时， 一般求解临界力可采用下面的步骤： 设满足位移边界条件的变形曲线方程
y a i i x
i 1
n
式中ai是任意参数。
P

l EI 0
l 0
a i ix dx i 1
则
由于
U V
2 4EIa1 l
7 2 3 Pa1 l 3
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U V
2 4EIa1 l
7 2 3 Pa1 l 3
0
因a1≠0 ，得
d 0 d a1
Pcr
4EIl 7l 3
3
1.714EI l2
用能量法计算的结果比静力法（精确法）的大26.2%[(1.714— 1.358)/1.358=26.2%]。说明假定的变形曲线与实际曲线尚有较 大差别，采用改进的曲线方程就可以得到较精确的解。
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x 引入边界条件，则有 l x 0 , y1 0 A1 0 y 2 A2 cosx B2 sinx
y1 A1cosx B1sinx

x l , y1 0
B1sin l 0
B1cos l
l A2 sin l B2 cos l
2 2
则
1 1 W P P 2l l 1
2
Pcr Kll1 / l 2l1
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势能驻值原理求解临界荷载 势能驻值原理指：受外力作用的结构，当位移有微小 变化而总势能不变，即总势能有驻值时，结构处于平衡 状态。其表达式
0
l
tg l 2 l
（n）
2 lcos l sin l 0
经过试算，得方程 tg l 2 l 的最小根
l 1.1655 （p）
比较式（n）和式（p），临界荷载为
Pcr
l
l
2
EI
2

1.358EI l
2
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能量法
能量法是求解稳定承载力的一种 近似方法。用能量法求解临界荷载的途 径主要有能量守恒原理和势能驻值原理。 能量守恒原理即：保守体系处在平衡状 态时，贮存在结构体系中的应变能等于 外力所做的功。计算临界力的基本方程
例题2.3
用能量法求解图中竖直杆在自重作用下的临界荷载。
例题2.3图 自重作用下的竖直杆
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变形曲线取三角级数的前两项
x 3x y a1 1 cos a 2 1 cos 2l 2l
则
3a2 3x y sin sin 2l 2l 2l 2l