重庆一中2015-2016学年度春期高三下高考适应性考试数学文科卷(5月30) 图片版
重庆市第一中学2016届高三数学5月模拟考试试题 文
2016年重庆一中高2016级高三下期高考模拟考试数 学 试 题 卷（文科） 2016.5数学试题共 4 页。
满分 150 分。
考试时间 120 分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：（共12小题,每小题5分,共50分） 1.若集合{|0}A x x =≥，且B A ⊆，则集合B 可能是（ ）A ． {1，2}B ． {x|x ≤1}C ．{-1,0,1}D ．R2.已知i为虚数单位，若复数z i i -=，则|z|=（ ） ．3.计算的结果等于（ ）A. -122D. 12 4.已知p ：m=-2； q 直线l 1：2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l 2：(m-3)x+2y-5=0垂直,则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既非充分又非必要条件 5.已知圆22104x ymx ++-=与抛物线x2=4y 的准线相切，则实数m=（ ） AC ．D 6.已知实数x ，y 满足条件002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则使不等式22x y +≥成立的点（x ，y ）的区域的面积为（ ） A ． 1 B ． 34 C ．12D ．147.设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线30ax y ++=有相同的方向向量,则a 等于（ ） A ．-12 B ． 12C. -2 D ．2 8.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn ”表示m 除以n 的余数），若输入的m ，N 分别为495，135，则输出的m=( ) A ．0 B ．5 C ．45 D ．909.函数()(0,1)f x a a =>≠的定义域和值域都是[0,1]，5log 6a -= ( )A ．1B ．2C ．3D ．410.双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ,则双曲线的离心率是（ ） A. B.C. D.11.已知A ，B ，C 是半径为1的球面上三个定点,且AB=AC=BC=1,高为2P-ABC 的顶点P 位于同一球面上,则动点P 的轨迹所围成的平面区域的面积是（ ） A .16π B. 13π C. 12π D. 56π 12.设函数3()(33)x xf x e x x ae x =-+--,若不等式()f x ≤0有解,则实数a 的最小值为（ ）A ．2e -1 B ．2-2e C ．1+2e 2D ．1-1e二、填空题：（共4个小题，每小题5分 共20分）13.将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 ． 14.如右图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1 内一动点，则三棱锥P-ABC 的正（主）视图与侧（左）视图的面积的比为 ．15.梯形ABCD 中，AB ∥CD,AB=6,AD=DC=2,若AD DC ⊥， 则AC BD ⋅=．16.已知等差数列{}n a 的公差3755(0,1),cos(2)cos(2)2sin2a a d a d a d +∈--+=， ，且 5sin 0a ≠,当且仅当n=10时，数列{}n a 的前n 项和S n 取得最小值，则首项a 1的取值范围是____________. 三、解答题：（共70分） 17. （本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别为△三个内角A 、B 、C 的对边，sin sin ()sin a A b B c b C =+-. （Ⅰ）求A;（Ⅱ）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1cos 1a A =，且248a a a 、、成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和S n.18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 1的中点． （Ⅰ）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；（Ⅱ）若CC 1＝CB 1，CA ＝CB ，平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ， 求证：AB 平面CMN ．)如下：(Ⅰ)请完成样本数据的茎叶图(在答题卷中)；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论);(Ⅱ)从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率;(Ⅲ)经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间[11，15] (单位:秒)之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率． 20．（本小题满分12分）给定椭圆2222:+1(0,0)x y C a b a b=>>，称圆C 1：x 2＋y 2＝a 2＋b 2为椭圆C 的“伴随圆”．已知椭圆C 的离心率为32，且经过点(0，1)． （Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）若过点P (0，m )(m ＞0)的直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且l 被椭圆C 的伴随圆C 1所截得的弦长为2，求实数m 的值．21.（本小题满分12分）已知函数22()a ln x ()a f x x a R x=++∈. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)若对任意,(0,)m n e ∈且m n ≠，有()()1f m f n m n-<-恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若MC=BC ． （Ⅰ）求证：△APM∽△ABP；（Ⅱ）求证：四边形PMCD 是平行四边形．23.（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=OM: 3πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设f(x)=|x-1|++x+1|．（Ⅰ）求f(x)≤x+2的解集；（Ⅱ）若不等式|1||21|()||a af xa+--≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围.2016年重庆一中高2016级高三下期高考模拟考试数学答案（文科） 2016.51--5 ACDAB 6--10 ABCCB 11--12 DD12.解：化简≤0可得从而令，求导以确定函数的单调性，从而解得.≤0可化为，令，则故当，即时，有最小值，故当时，时，；故有最小值,故实数的最小值为，故选D13.13 14.1 15.-8 16.17.解:（Ⅰ）∵由正弦定理得：,……3分再由余弦定理知:所以………………6分（Ⅱ）因为，由（1）知，所以，……………… 7分又因为成等比数列，所以，因为数列为等差数列，所以，………………………9分又因为公差，所以解得，所以数列的通项公式设，则数列的通项公式，所以前项和………… 10分………… 12分18.证明：（Ⅰ）取A 1C 1的中点P ，连接AP ，NP ．因为C 1N ＝NB 1，C 1P ＝PA 1，所以NP ∥A 1B 1，NP ＝21A 1B 1 ………………… 2分 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ．故NP ∥AB ，且NP ＝21AB ． 因为M 为AB 的中点，所以AM ＝21AB ．所以NP ＝AM ，且NP ∥AM ．所以四边形AMNP 为平行四边形．所以MN ∥AP ． ……………… 4分 因为AP 平面AA 1C 1C ，MN 平面AA 1C 1C ，所以MN ∥平面AA 1C 1C ……………… 6分 （Ⅱ）因为CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB ．因为CC 1＝CB 1，N 为B 1C 1的中点，所以CN ⊥B 1C 1． ………………………… 8分 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ∥B 1C 1，所以CN BC ．因为平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，平面CC 1B 1B ∩平面ABC ＝BC ．CN 平面CC 1B 1B ，所以CN ⊥平面ABC ，因为AB 平面ABC ，所以CN ⊥AB ． ………………… 10分 因为CM 平面CMN ，CN 平面CMN ，CM ∩CN ＝C ，所以AB ⊥平面CMN ． ………………………………… 12分19．解:(Ⅰ)茎叶图…………3分从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛较好． ………………4分(Ⅱ)设事件A 为：甲的成绩低于12.8，事件B 为：乙的成绩低于12.8， 则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为……………7分(Ⅲ)设甲同学的成绩为，乙同学的成绩为，则，如图阴影部分面积即为………………10分所以，甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率为 ………12分20．解：（Ⅰ）记椭圆C 的半焦距为c ．由题意得，解得 ………………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆C 的方程为4x2＋y 2＝1，圆C 1的方程为x 2＋y 2＝5．显然直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k，即……… 6分因直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组（*）有且只有一组解．由（*）得.从而．化简，得①………… 8分因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离．即②………… 10分由①②，解得因为，所以．…………… 12分21.解:(Ⅰ)由题………………2分（1）当时，，所以在上递增……………3分（2）当时，由得，得所以在上递减，在上递增……………4分（3）当时，由得，得所以在上递减，在上递增……………5分综上，时，在上递增,时，在上递减，在上递增,时，在上递减，在上递增……………6分(Ⅱ)若，由得若，由得令，所以在上单调递减………8分又（1）当时，，不符合题意；（2）当时，由得，得（3）所以在上递减，在上递增所以即………10分（3）当时，在上，都有所以在上递减，即在上也单调递减综上，实数的取值范围为……………12分22.解：证明：（1）是圆的切线，是圆的割线，是的中点，，，又，∽，，即．，，，∽…………………………5分(2)即∽,…………………8分是圆O的切线,即,所以四边形是平行四边形. ………10分23.解：（Ⅰ）圆的普通方程为，又,所以圆的极坐标方程为…………………………5分（Ⅱ）设，则由解得，……………………7分设，则由解得，………9分所以…………………………10分24.解:(1)由得:……………3分解得所以的解集为…………………5分（Ⅱ）当且仅当时，取等号．…………………………8分由不等式对任意实数恒成立，可得解得：或．故实数的取值范围是………10分。
重庆市2016届高考适应性数学试卷(文科)(解析版)(解析版)
2016年重庆市高考适应性数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={0，1，2}，B={x∈R|（x+1）（x+2）＜0}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知（1﹣i）z=2+i，则z的共轭复数=（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i3．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，a2=5，则{a n}的前4项和为（）A．9 B．22 C．24 D．324．已知非零向量，的夹角为，且||=1，|﹣2|=1，则||=（）A．B．1 C．D．25．为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用K2独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，则下列说法正确的是（）A．有95%的把握认为“X和Y有关系”B．有95%的把握认为“X和Y没有关系”C．有99%的把握认为“X和Y有关系”D．有99%的把握认为“X和Y没有关系”6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2截y轴所得线段与截直线y=2x+b所得线段的长度相等，则b=（）A．B．±C．D．±8．执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（）A．﹣7 B．﹣5 C．2 D．99．设等比数列{a n}的前6项和S6=6，且1﹣为a1，a3的等差中项，则a7+a8+a9=（）A．﹣2 B．8 C．10 D．1410．设x0为函数f（x）=sinπx的零点，且满足|x0|+|f（x0+）|＜33，则这样的零点有（）A．61个B．63个C．65个D．67个11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在半径为1的球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，则该三棱锥的底面ABC上的高为（）A．B． C． D．12．设曲线y=f（x）与曲线y=x2+a（x＞0）关于直线y=﹣x对称，且f（﹣2）=2f（﹣1），则a=（）A．0 B．C．D．1二、填空题13．若f（x）=2x+a•2﹣x为奇函数，则a=．14．若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为．15．若以F1（﹣，0），F2（，0）为焦点的双曲线过点（2，1），则该双曲线的标准方程为．16．若f（x）=x3﹣3x+m有且只有一个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且cos（B+C）=﹣sin2A．（1）求A；（2）设a=7，b=5，求△ABC的面积．18．从甲、乙两部分中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示．（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并比较两组数据的分散程度（只需给出结论）；（Ⅱ）甲组数据频率分别直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅲ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）若AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离．20．如图，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，O是坐标原点，|OF|=，过F作OF的垂线交椭圆于P0，Q0两点，△OP0Q0的面积为．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若过点M（﹣，0）的直线l与上、下半椭圆分别交于点P，Q，且|PM|=2|MQ|，求直线l 的方程．21．设f（x）=（ax+b）e﹣2x，曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为x+y﹣1=0．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+xlnx，证明：当0＜x＜1时，2e﹣2﹣e﹣1＜g（x）＜1．请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多选，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文科预测卷及答案(重庆卷)
2015年重庆市高考数学（文科）模拟试卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.212i1i +(-)＝( )．A ．11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i2- 2. 等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n =（ ）A ． n （n+1）B ． n （n ﹣1）C ．D ．3．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[20,30）内的概率为（A ）0.2 （B ）0.4（C ）0.5 （D ）0.64．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )．A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b5. 执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4] B．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5]6. 函数f （x ）在x=x 0处导数存在，若p ：f ′（x 0）=0：q ：x=x 0是f （x ）的极值点，则（ ）A ． p 是q 的充分必要条件B ． p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ． p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ． p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．1 8 92 1 2 2 7 93 0 0 3 图8. 已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，00A(x ,)y 是C 上一点，|AF|=0x ，0x =（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 4 D ． 89. 关于x 的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a = （A ）52 （B ）72 （C ）154 （D ）15210. 已知函数32(x)ax 31f x =-+，若f （x ）存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围是（ ） A ． （2，+∞） B ． （1，+∞） C ． （﹣∞，﹣2） D ． （﹣∞，﹣1）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. 设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.12. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅＝__________.13. 函数f （x ）=sin （x+φ）﹣2sin φcosx 的最大值为 ．14．设0απ≤≤，不等式28(8sin )cos20x x αα-+≥对x R ∈恒成立，则α的取值范围为 ．15. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 _________ ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n N +∈． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T ．17.（本小题满分13分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．18.(本小题满分13分)四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．19. (本小题满分12分)设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．20. (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．21.（本小题满分12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．2015年重庆市高考数学（文科）模拟试卷参考答案1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】A10.【答案】C11.【答案】255 -12.【答案】213.【答案】114.【答案】5 [0,][,] 66πππ15.【解析】2 316.【解析】(1)由题设知{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n＝3n－1，S n＝1313n--＝12(3n－1)．(2)b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，所以公差d＝5，故T20＝20×3＋20192⨯×5＝1 010.17.【解析】(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.所以80039000,100130,65000,130150.X XTX-≤<⎧=⎨≤≤⎩(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.18.【解析】（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．19.【解析】（1）f′（x）=（x＞0），∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+，∴=．①当a时，则，则当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即，解得；②当a＜1时，则，则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，而=+，不符合题意，应舍去．③若a＞1时，f（1）=，成立．综上可得：a的取值范围是．20.【解析】(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝3.OA，又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋21故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.21.【解析】（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2﹣﹣a2=0，则，解得e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，故=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=。
2015-2016学年重庆一中高二(下)期中考试数学(文)试题(解析版)
2015-2016学年重庆一中高二（下）期中考试数学（文）试题一、选择题1．已知{}{}A x x y yB A ∈==-=,cos ,1,0,1π，则=⋂B A （ ） A ．{}1,1- B ．{}1,0C ．{}0D ．∅ 【答案】A【解析】试题分析：对于集合B ，1x =-或1时,1y =-,0x =时,1y =,所以{}1,1B =-,{}1,1A B =- ,故选A ．【考点】集合交集的运算． 2．“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要 【答案】B【解析】试题分析：当p q ∨为真时,则p 或q 至少有一个为真，不能得到p ⌝为假；当p ⌝为假时,p 为真,则p q ∨为真,所以p q ∨为真≠>p ⌝为假, p ⌝为假⇒p q ∨为真, “p q ∨为真”是“p ⌝为假”的必要不充分条件,选B ． 【考点】1．逻辑联结词；2．充分必要条件． 3．已知复数12z =-，则||z z +＝（ ） A．12-B．12-+ C．12+ D．12 【答案】D【解析】试题分析：122z =--,1z ==,所以13122z z i i +=-+-,选D ．【考点】1．共轭复数；2．复数的模．4．设3log 2a =,5log 2b =,2log 3c =,则（ ）A ．a c b >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】试题分析：因为331log 2log 2a =>=,3log 31a <=,112a <<,551log 2log ,2b =<=又22log 3log 21c =>=,所以c a b >>,选B ．【考点】利用单调性比较对数大小．5．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为5-，则输出y 的值是（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．14【答案】A【解析】试题分析：当输入x 的值为5-时,满足3x >,则38x x =-=,满足3x >,则35x x =-=,满足3x >,则32x x =-=,不满足3x >,,所以1122log log 21y x ===-,则输出y 的值为1-,选A ．【考点】程序框图．6．直线2100x y +-=过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -= B ．221205x y -= C ．221520x y -= D ．221916x y -= 【答案】B【解析】试题分析：直线2100x y +-=与x 轴交点坐标为(5,0),所以双曲线的一个焦点为(5,0),而渐近线方程为b y x a =±,有已知条件有2225(2)1c b a c a b=⎧⎪⎪-⨯=-⎨⎪=+⎪⎩,解得22205a b ⎧=⎨=⎩,所以双曲线方程为221205x y -=,故选B ． 【考点】1．双曲线的几何性质；2．两直线垂直的条件．7．为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可将函数x y 3sin 2=的图象（ ）A ．向左平移4π个单位B ．向右平移4π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位【答案】D【解析】试题分析：sin 3cos3)3()412y x x x x ππ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦，所以将函数y x =的图象向左平移12π得到函数sin3cos3y x x =+的图象． 【考点】函数图象的平移两角和的正弦公式的逆用．【易错点晴】本题主要考查函数图象的左右平移,属于易错题．有的学生看错题意,看成由函数sin3cos3y x x =+的图象得到函数y x =的图象,选B 或C ；有的学生是在平移这一步出错,以为是向左平移4π个单位,选择A 答案．结论:将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平移ϕω个单位,得到函数sin ()sin()y x x ϕωωϕω⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦的图象．8．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f -=+，若4)2(-=f ，则=))6((f f （ ）A ．4B ．4-C ．41D ．41- 【答案】C【解析】试题分析：因为[]1(4)(2)2()(2)f x f x f x f x +=++=-=+，所以函数()f x 的周期为4,则11((6))((2))(4)(0)(2)4f f f f f f f ==-==-=,选C ． 【考点】1．函数周期的求法；2．求函数值． 9．已知函数2()x f x a-=，()log a g x x =（其中0a >且1a ≠），若(5)(3)0f g ⋅->，则()f x ，()g x 在同一坐标系内的大致图象是（ ）【答案】C【解析】试题分析：由(5)(3)0f g -<有3log 30a a ⋅<，而30a >，所以log 30a <，则01a <<，将函数x y a =的图象向右平移2个单位得到函数2()x f x a -=的图象，保留函数log a y x =的图象，再将函数log a y x =的图象作关于y 轴对称的图象，即可得到函数()log a g x x =的图象．再结合01a <<,故选C ． 【考点】1．函数图象的平移变换；2．函数图象的对称变换．10．已知△ABC 中，||10,16,BC AB AC D =⋅=- 为边BC 的中点，则||AD等于（ ）A ．6B ．3C ．4D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：因为B C A C =- ,所以2222()2B C A C A B A C A B A C A B=-=+-⋅,所以2268AC AB += ,而1()2AD AB AC =+ ,2221(2)94AD AB AC AB AC ∴=++⋅=,则3AD = ,选B ．【考点】1．向量数量积的运算；2．向量模的求法．11．已知函数())20162016log 20162x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．()0,+∞ D ．(),0-∞【答案】A【解析】试题分析：由复合函数的单调性有，函数()f x 在定义域R 上为增函数，且2016()2016log )20162x x f x x --=+-+，222016()()log )44f x f x x +-=-+=，所以不等式(31)()4f x f x ++>等价于(31)()()()f x f x f x f x ++>+-，则(3+1)()f x f x >-，由函数的单调性有31x x +>-，解得14x >-，选A ．【考点】1．函数单调性的判断；2．函数奇偶性的判断；3．解不等式．【思路点晴】本题主要考查了函数的性质,如单调性、奇偶性等,属于中档题．利用复合函数的“同增异减”判断函数()f x 的单调性; 由函数()f x 的解析式求出()f x -,利用()f x -与()f x 的关系得到恒等式()()4f x f x +-=,不等式(31)()4f x f x ++>等价于(31)()()()f x f x f x f x ++>+-，则(3+1)()f x f x >-,由函数()f x 的单调性解出x 的范围．12．定义域为[1,2-]的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x x f -=2)(．若方程m x f =)(有6个根，则m 的取值范围为（ ）A ．)41,(--∞ B ．），（81-41- C ．)161,81(-- D ．)0,161(- 【答案】D【解析】试题分析：由(1)2()f x f x +=，当[)1,0x ∈-时，2211111()(1)(1)(1)22222f x f x x x x x =+=+-+=+,当12x =-时，取最小值18-；当[)2,1x ∈--时, 211131()(1)(2)24442f x f x f x x x =+=+=++,当32x =-时，取最小值116-，画出函数()f x 的草图如下,当1016m -<<，()y f x =与y m =的图象有6个交点，则方程()f x m =有6个根,选D ．【考点】1．求函数的解析式；2．数形结合思想．【易错点晴】本题主要考查利用已知条件,求函数的解析式,以及利用数形结合思想求方程的根,属于中档题．本题错的主要地方是学生不会求[)1,0x ∈-和[)2,1x ∈--上的解析式,还有利用数形结合思想根据方程()f x m =有6个根,求实数m 的取值范围．求根的个数转化为两个函数的图象交点的个数问题,画图象得出答案．二、填空题 13．函数()ln(1)f x x =-的定义域是 ．【答案】(]14，【解析】试题分析：要使函数()f x 由意义，则234010x x x ⎧-++≥⎨->⎩，解得14x <≤，故函数()f x 定义域为(]1,4． 【考点】函数的定义域．14．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED ,则sin CED ∠= ．【解析】试题分析：记CEB α∠=,则4CED πα∠=-,在Rt CEB ∆中，1,2BC BE ==,由勾股定理有CE =,所以sin 5α==，cos α==，由两角差的正弦公式有sin sin()sin )4CED πααα∠=-=-==． 【考点】1．勾股定理；2．两角差的正弦公式．15．已知定义在()0,+∞上函数()f x 满足2132()f x f x x⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值是．【答案】【解析】试题分析：在2132()()f x f x x -=中,用1x 代替x ,则有212()()3f f x x x-=,联立22132()()12()()3f x f x x f f x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得222()(0)f x x x x =+>,由基本不等式有222()f x x x =+≥=当且仅当222x x =,即x =时等号成立．故()fx 的最小值为【考点】1．函数解析式的求法；2．基本不等式求最值．【思路点晴】本题主要考查了求函数的解析式及利用基本不等式求最小值,属于中档题．在求函数()f x 的解析式时, 用1x 代替x ,则相应的x 变成了1x,联立方程组,分别把()f x ,1()f x看成整体,求出函数()f x 的解析式; 在利用基本不等式求最值时,当两正数积为定值,它们的和有最小值,还有注意等号成立的条件． 16．函数()f x 在[],a b 上有定义，若对任意[]12,,x x a b ∈，有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+，则称()f x 在[],a b 上具有性质Q ．设()f x 在[]1,3上具有性质Q ，现给出如下命题：①若()f x 在2x =处取得最小值1，则()1f x =，[]1,3x ∈； ②对任意[]3,1,,,4321∈x x x x 有[])()()()(41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≥+++③()f x 在[]1,3上的图像是连续不断的；④()2f x在⎡⎣上具有性质Q ；其中真命题的序号是 ． 【答案】①②【解析】试题分析：对于①,在[]1,3上,[](4)1(2)()()(4)22x x f f f x f x +-=≤+-,所以得到max max ()(4)2()()(2)1(4)()(2)1f x f x f x f x f f x f x f +-≥⎧⎪≤==⎨⎪-≤==⎩,故()1f x =,即对任意的[]12,1,3x x ∈,()1f x =,①正确；对于②，对任意[]1234,,,1,3x x x x ∈,有1234123411()()22()()42x x x x x x x x f f ++++++=341212341111()()(()())(()())222222x x x x f f f x f x f x f x ++⎡⎤⎡⎤≤+=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]12341()()()()4f x f x f x f x =+++，即[])()()()(41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≥+++，故②成立；对于③,用反例,1(),13()34,3xx f x x ⎧≤<⎪=⎨⎪=⎩满足性质Q ,但图象不连续,故③错误；对于④,反例:()f x x =-满足性质Q ,但22()f x x =-不满足性质Q ,故④错误．故真命题有①②．【考点】1．抽象函数及应用；2．利用导数求函数在闭区间上的最值．【方法点晴】本题主要考查对新定义的理解、抽象函数及应用,属于压轴题．本题已知条件给出在[],a b 具有性质Q 的函数的特征:对任意[]12,,x x a b ∈，有[]12121()()()22x x f f x f x +≥+,再根据题设条件,逐个地进行判断,说明一个结论错误,举出反例即可,若是说明一个结论正确,要证明对所有的情况成立．三、解答题17．已知函数)1(log )(2-=x x g ，)1(log )(21+=x x f ．（1）求不等式)()(x f x g ≥的解集；（2）在（1）的条件下求函数)()(x f x g y +=的值域． 【答案】（1）{x x ≥；（2）)2log 3⎡-⎣．【解析】试题分析：（1）化为把不等式化为同底的对数，利用单调性求出解集，注意原函数的定义域；（2）利用对数的性质，将()()y g x f x =+化为21log 1x y x -=+，再根据单调性，求出范围．试题解析：（1）由)()(x f x g ≥ 得)1(log )1(log 22+-≥-x x 则有 2-2≤≥x x 或 又01;01>->+x x ∴不等式)()(x f x g ≥的解集为 {}2≥x x ．（2）=+=)()(x f x g y ,11log )1(log )1(log 222+-=+--x x x x 可证得函数11log 2+-=x x y 在{}单调递增；2≥x x )223(log 22-=∴取得最小值时，y x [).0),223(log 2-∈∴y【考点】1．利用单调性解对数不等式；2．对数的运算性质．18．为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =-； （2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）【答案】（1）ˆ8.4 1.2y x =-；（2）年产量为2.67吨时,年利润z 取得最大值．【解析】试题分析：（1）先算出,x y 等,代入公式求出ˆˆ,b a ；（2）利用二次函数性质求出最大值．试题解析：解:（1）()11234535x =++++=，8.4)24567(51=++++=y6051=∑=i i i y x ;;55512=∑=i i x;2.14.8,4.8;2.1x y a b -==-=直线方程为代入公式解出：.67.2,4.62.12)2.14.8()2(2最大时，当z x x x x x x z =+-=--=【考点】1．回归直线方程的确定；2．二次函数的最大值．19．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的*n N ∈，都有24(1)n n S a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n tS e ≥对任意的*n N ∈恒成立，求实数t 的最大值．【答案】（1）21n a n =-；（2）实数t 的最大值为24e ．【解析】试题分析：（1）利用n n a S 与的关系求出通项公式；（2）通过恒成立转化为求2ne n的最小值．试题解析：解：（1）当2n ≥时，2211444(1)(1)n n n n n a S S a a --=-=+-+22112()n n n n a a a a --∴+=-，又{}n a 各项均为正数12n n a a -∴-=；1)1(41211=⇒+=a a a数列{}n a 是等差数列，21n a n ∴=-；（2）2n S n =，若n ntS e ≥对于任意的*n N ∈恒成立，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤2min n e t n法（一）：令2n e b n n =，;1)1()1(,2)1(22212>+=+=≥++n n e n n e b b n n n n n 单调递增， 因4,4min ,4;222221e t e n e e b e b n ≤∴=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴==，所以数t 的最大值为.42e【考点】1．利用n n a S 与的关系求出通项公式；2．恒成立问题的转化．20．若曲线22122:1(0),(0)x y C a b y a b +=>>≤的离心率e =且过点P 1)-，曲线22:4C x y =，自曲线1C 上一点A 作2C 的两条切线,切点分别为,B C ．（1）求曲线1C 的方程； （2）求ABC S ∆的最大值．【答案】（1）221(0)164x y y +=≤；（2）最大值为2． 【解析】试题分析：（1）利用椭圆中,,a b c 的关系222a b c -=及离心率c e a ==得出2a b =，由1)P -在椭圆上，求出4,2a b ==；（2）由导数几何意义，分别表示出切线,AB AC 的方程，联立方程求出交点A 的坐标，由点到直线的距离公式，求出A 点到直线BC 的距离表达式，而直线BC 的距离可以联立直线与抛物线方程，由弦长公式求出，根据二次函数求出ABC S ∆的最大值．试题解析：（1）由题意有222221211a b c c e a a b ⎧-=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩,求出4,2a b ==,所以曲线1:C 221(0)164x y y +=≤ （2）设BC l :y kx b =+ 联立方程24x yy kx b⎧=⎨=+⎩2440x kx b --=,12124,4x x k x x b +==-，;2'4422x y x y y x =⇒=⇒= 421)(24:2111121x x x y x x x x y l AB -=⇒-=- 同理 421:222x x x y l AC -= 得12121()2:14x x x A y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(2,)A k b -,所以2241164k b +=,224(02)k b b +=≤≤，A BC d -=12x x -=12BC x =-322213322224()1174(4)4(())242ABCS x b k bb b b∆=-=+=+=-+=--+≤当1,2b k==时取等号．【考点】1．求椭圆的方程；2．切线方程的表示；3．点到直线距离公式；4．二次函数求最值．【方法点晴】本题主要考查了求椭圆标准方程及直线与抛物线位置关系的应用,计算量大,属于压轴题．对于（1）,由已知条件可直接求出；在（2）中,由于,B C是切点,直线,AB AC的斜率可用,B C两点的坐标表示,求出直线,AB AC的方程,再求出A点坐标, ,B C间的距离用弦长公式求得,最后算面积时,利用二次函数,求出最大值．21．已知函数2()(2)2lnf x a x x=-+．（1）若1a=,求函数()f x的单调区间；（2）已知函数1()()44g x f x aa=-+(0)a≠，当[2,)x∈+∞时,函数()g x图象上的点均在不等式2xy x≥⎧⎨≥⎩所表示的平面区域内,求实数a的取值范围．【答案】（1）单调增区间为(0,)+∞,无单调减区间；（2）10,2e⎛⎤⎥⎝⎦．【解析】试题分析：（1）1a=,函数()f x的解析式确定,注意定义域,求导后,根据定义域求出增区间,无减区间；（2）由题意构造新函数()()p x g x x=-,且min()0p x≥,分情况讨论求出a的范围．试题解析：（1）1a=时，2()(2)2ln,f x x x=-+定义域()0,+∞。
重庆市一中高三数学下学期5月月考试卷 文(含解析)
重庆一中2015届高三下学期5月月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．复数（1+i）2的虚部是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2i2．等差数列{a n}的前n项和S n，S3=6，公差d=3，则a4=（）A．12 B．11 C．9 D．83．已知直线l1：y=kx+1和直线l2：y=mx+m，则“k=m”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．认真阅读如图所示程序框图，则输出的S等于（）A．14 B．20 C．30 D．556．已知平面向量，满足||=1，||=2，且（）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．7．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是（）A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=09．函数 f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1 C．D．210．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．已知集合A={x|y=ln（3﹣x）}，则A∩N=．12．设a∈[0，10]，则函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数的概率为．13．实数x，y满足不等式组，则的取值范围是．14．若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是．15．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A）．如果集合A={（x，y）|x2+y2=4}，点P的坐标为，那么d（P，A）=；如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知数列{a n}满足a2=5，且其前n项和S n=pn2﹣n．（Ⅰ）求p的值和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5＜S5，求b1的取值范围．17．现从某100件中药材中随机抽取10件，以这10件中药材的重量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图，（Ⅰ）求样本数据的中位数、平均数，并估计这100件中药材的总重量；（Ⅱ）记重量在15克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取2件，求这2件中药材的重量之差不超过2克的概率．18．如图，在△ABC中，已知D为BC边上的中点，且cosB=，cos∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）若AD=5，求边AC的长．19．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC，AB⊥AC，M、N、Q分别是CC1，BC，AC 的中点，点P在线段A1B1上运动，且A1P=λA1B1．（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ．（2）若AC=1，试求三棱锥P﹣MNQ的体积．20．如图，某工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为π．设圆锥纸筒底面半径为r，高为h．（1）求出r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时的值．21．如图，过椭圆L的左顶点A（﹣3，0）和下顶点B且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P，当k=3时，△ABM 是直角三角形．（Ⅰ）求椭圆L的标准方程；（Ⅱ）（i）证明：存在实数λ，使得=λ；（ii）求|OP|的取值范围．重庆一中2015届高三下学期5月月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．复数（1+i）2的虚部是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：直接展开两数和的平方运算，化简后求得复数（1+i）2的虚部．解答：解：由（1+i）2=1+2i+i2=1+2i﹣1=2i，∴复数（1+i）2的虚部为2．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．等差数列{a n}的前n项和S n，S3=6，公差d=3，则a4=（）A．12 B．11 C．9 D．8考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列的前n项和公式化简S3=6，利用等差数列的性质即可求出a2的值，然后利用等差数列的性质表示出a4，把公差d和求出的a2的值代入即可求出值．解答：解：由S3==2a2=6，得到a2=3，则a4=a2+2d=3+6=8．故选D点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．3．已知直线l1：y=kx+1和直线l2：y=mx+m，则“k=m”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可．解答：解：若k=m=1时，两条直线重合，则l1∥l2不成立，若l1∥l2，则满足k=m≠1，即“k=m”是“l1∥l2”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键．4．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过椭圆的离心率，得到ab的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．解答：解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，可得，可得，解得，∴双曲线﹣=1的渐近线方程为：y=±x．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的基本性质，考查计算能力．5．认真阅读如图所示程序框图，则输出的S等于（）A．14 B．20 C．30 D．55考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞4，计算输出S的值即可．解答：解：由程序框图知：第一次运行S=1，i=1+1=2，不满足条件i＞4，循环，第二次运行S=1+4=5，i=2+1=3，不满足条件i＞4，循环，第三次运行S=5+9=14，i=3+1=4，不满足条件i＞4，循环，第四次运行S=14+16=30，i=4+1=5，满足条件i＞4，终止程序，输出S=30，故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．6．已知平面向量，满足||=1，||=2，且（）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先由（）⊥，得到•=﹣1，再根据向量的夹角公式，计算可得解答：解：设向量则与的夹角为θ，θ∈[0，π]∵（）⊥，∴（）•=0，即（）2+•=0，∴•=﹣1，∴cosθ===，∴θ=，故选：B点评：本题考查平面向量数量积的运算、夹角公式，属基础题7．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，分别柱体体积和锥体体积，相减可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，其直观图如下图所示：柱体的底面面积S==8，高为4，体积为32，锥体的底面面积S==4，高为4，体积为，故组合体的体积V=32﹣=，故选：C．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是（）A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：当直线AB与直线CM垂直时，∠ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此时直线l的方程．解答：解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标C为（3，4），∵M（1，2），∴k CM==1，∴k AB=﹣1，则此时直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0．故选：D．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r 时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时∠ACB最小是解本题的关键．9．函数 f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1 C．D．2考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：化简已知函数换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，由导数法判单调性可得当t=时，y取最大值，代值计算可得．解答：解：化简可得f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx=cos3x+1﹣cos2x﹣cosx令cosx=t，则t∈[﹣1，1]，换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，求导数可得y′=3t2﹣2t﹣1=（3t+1）（t﹣1），令y′=（3t+1）（t﹣1）＜0可解得﹣＜t＜1，令y′=（3t+1）（t﹣1）＞0可解得t＜﹣或t＞1，∴函数y=t3﹣t2﹣t+1在（﹣1，﹣）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴当t=时，y取最大值故选：C点评：本题考查三角函数的最值，换元后由导数法判单调性是解决问题的关键，属中档题．10．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△A BC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．解答：解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以tan∠BGA=，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．点评：由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．已知集合A={x|y=ln（3﹣x）}，则A∩N={0，1，2}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：首先，求解函数y=ln（3﹣x）的定义域，即得集合A，然后，求解A∩N即可．解答：解：∵函数y=ln（3﹣x），∴3﹣x＞0，∴x＜3，∴集合A={x|x＜3}，∴A∩N={0，1，2}，故答案为：{0，1，2}．点评：本题重点考查了函数的定义域的求解方法、集合的交集运算等知识，属于基础题．12．设a∈[0，10]，则函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数，可得a＞2，结合a∈[0，10]，以长度为测度，即可求概率．解答：解：∵函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数，∴a＜2，∵a∈[0，10]，∴函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数的概率为=．故答案为：．点评：本题考查概率的计算，考查函数的单调性，确定测度是关键．13．实数x，y满足不等式组，则的取值范围是．考点：简单线性规划；斜率的计算公式．专题：数形结合．分析：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．解答：解：约束条件对应的平面区域如下图示：表示可行域内的点（x，y）（0，0）与A（2，2）与点（﹣1，1）连线的斜率由图可知的取值范围是[﹣1，]，故答案为：[﹣1，]．点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．14．若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是5．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：将条件3x+y=5xy进行转化，利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值．解答：解：由3x+y=5xy得，∴4x+3y=（4x+3y）（）=，当且仅当，即y=2x，即5x=5x2，∴x=1，y=2时取等号．故4x+3y的最小值是5，故答案为：5点评：本题主要考查基本不等式的应用，将条件进行转化，利用1的代换是解决本题的关键．15．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A）．如果集合A={（x，y）|x2+y2=4}，点P的坐标为，那么d（P，A）=2；如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为8π．考点：两点间距离公式的应用．专题：新定义；直线与圆．分析：集合A={（x，y）|x2+y2=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，且P在圆外，则有d（P，A）=|PO|﹣r，计算即可得到．对于D={P|d（P，A）≤1}，讨论P在圆上和圆外及圆内，得到P的轨迹，运用圆的面积公式计算即可得到．解答：解：集合A={（x，y）|x2+y2=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，点P的坐标为，由|PO|=4＞2，即有P在圆外，那么d（P，A）=|PO|﹣r=4﹣2=2，如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，若点P在圆上满足集合D，P在圆外，则为介于圆心为O，半径分别为2，3的圆环，其面积为9π﹣4π=5π，P在圆内，则为介于圆心为O，半径分别为1，2的圆环，其面积为4π﹣π=3π，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为5π+3π=8π．故答案为：2，8π．点评：本题考查点和圆的位置关系，主要考查两点距离的最小值，理解点P到集合A的距离的新定义，并运用是解题的关键．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知数列{a n}满足a2=5，且其前n项和S n=pn2﹣n．（Ⅰ）求p的值和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5＜S5，求b1的取值范围．考点：等比数列的性质；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意，得S1=p﹣1，S2=4p﹣2，利用a2=5，S2=a1+a2，可得S2=4p﹣2=p﹣1+5，即可求p的值；再写一式，两式相减，即可求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求出T n，利用T5＜S5，建立不等式，即可求b1的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意，得S1=p﹣1，S2=4p﹣2，因为 a2=5，S2=a1+a2，所以 S2=4p﹣2=p﹣1+5，解得 p=2．…所以．当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，…得．…验证知n=1时，a1符合上式，所以a n=4n﹣3，n∈N*．…（Ⅱ）由（Ⅰ），得．…因为 T5＜S5，所以，解得．…又因为b1≠0，所以b1的取值范围是．…点评：本题考查数列的性质和综合应用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．17．现从某100件中药材中随机抽取10件，以这10件中药材的重量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图，（Ⅰ）求样本数据的中位数、平均数，并估计这100件中药材的总重量；（Ⅱ）记重量在15克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取2件，求这2件中药材的重量之差不超过2克的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据茎叶图数据直接求样本数据的中位数、平均数即可；！（Ⅱ）列举从10件中药材的优等品中随机抽取2件的所有基本事件，找出2件优等品的重量之差不超过2克所包含的事件，利用古典概型概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）样本数据的中位数是，样本数据的平均数是=15；根据样本数据估计总体的思想可得，这100件中药材重量的平均数是15克，因此，估计这100件中药材的总重量约为100×15=1500克．（Ⅱ）这10件中药材的优等品的重量有17克、18克、20克、21克、23克．从10件中药材的优等品中随机抽取2件，所有基本事件有：（17，18），（17，20），（17，21），（17，23），（18，20），（18，21），（18，23），，，（21，23）共10个．记“2件优等品的重量之差不超过2克”为事件A，则事件A的基本事件有：（17，18），（18，20），），，（21，23）共4个．∴P（A）==．∴这2件中药材的重量之差不超过2克的概率为．点评：本题考查茎叶图、平均数、中位数、古典概型等知识，以及数据处理能力，样本估计总体的数学思想．属于中档题．18．如图，在△ABC中，已知D为BC边上的中点，且cosB=，cos∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）若AD=5，求边AC的长．考点：解三角形的实际应用；余弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：（1）先求出sinB=，sin∠ADC=，利用sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B），即可求出结论；（2）在△ABD中，由正弦定理求得BD，在△ADC中，由余弦定理，求得AC．解答：解：（1）因为cosB=，所以sinB=，…又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=，…所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB==；…（2）在△ABD中，由正弦定理，得，即，解得BD=，…故DC=，从而在△ADC中，由余弦定理，得AC2=AD2+DC2﹣2AD•DCcos∠ADC=所以AC=．…点评：解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系．19．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC，AB⊥AC，M、N、Q分别是CC1，BC，AC 的中点，点P在线段A1B1上运动，且A1P=λA1B1．（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ．（2）若AC=1，试求三棱锥P﹣MNQ的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）建立空间直角坐标系，设出棱长，得到点的坐标，由向量数量积证得答案；（2）把三棱锥P﹣MNQ的体积转化为A1﹣MNQ的体积，即N﹣A1MQ的体积，则三棱锥P﹣MNQ 的体积可求．解答：（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=AB=AC=a，则A（0，0，0），M（0，a，），N（），Q（），A1（0，0，a），B1（a，0，a），再设P（x，0，a），由A1P=λA1B1，得，即（x，0，0）=λ（a，0，0），即x=λa，∴P（λa，0，a），∵，，，∴，则AM⊥平面PNQ；（2）解：由（1）可知，P在线段A1B1上移动时三棱锥P﹣MNQ的体积一定，不妨取A1为P，由AA1=AB=AC=1，得，MQ=，A1到MQ的距离为，∴=，QN=，则==．点评：利用向量知识解决立体几何问题的优点在于用代数化的方法解决立体几何，解题的关键在于用坐标表示空间向量，是中档题．20．如图，某工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为π．设圆锥纸筒底面半径为r，高为h．（1）求出r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时的值．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：导数的综合应用；空间位置关系与距离．分析：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=，进而由圆锥纸筒的容积为π，得到r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，求出圆锥侧面积的表达式，利用导数法，求出h=时S最小，进而得到答案．解答：解：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=，由该圆锥纸筒的容积为π，则=π，即r2h=3，故r与h满足的关系式为r2h=3；…（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，设该纸筒的侧面积为S，则S=πrl，其中l为圆锥的母线长，且l=，所以S=πr=π=π=π，（h＞0 ），…设f（h）=（h＞0 ），由f′（h）=+3=0，解得h=，当0＜h＜时，f′（h）＜0；当h＞时，f′（h）＞0；因此，h=时f（h）取得极小值，且是最小值，此时S亦最小；…由r2h=3得====，所以最省时的值为．…点评：本题考查的知识点是旋转体，导数法求函数的最值，是立体几何与导数的综合应用，难度中档．21．如图，过椭圆L的左顶点A（﹣3，0）和下顶点B且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P，当k=3时，△ABM 是直角三角形．（Ⅰ）求椭圆L的标准方程；（Ⅱ）（i）证明：存在实数λ，使得=λ；（ii）求|OP|的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据当k=3时，△ABM是直角三角形，左顶点A（﹣3，0）和下顶点B，求出b的值，即可求椭圆L的标准方程；（Ⅱ）（i）设两直线l1，l2的方程分别为y=k（x+3）和y=kx﹣1，求出C，D的坐标，可得P的坐标，即可得到存在实数λ，使得=λ；（ii）确定P的轨迹方程，可得|OP|的最小值，即可求|OP|的取值范围．解答：（Ⅰ）解：由题意，∵当k=3时，△ABM是直角三角形，左顶点A（﹣3，0）和下顶点B∴，∴b=1，∴椭圆L的标准方程为；（Ⅱ）（i）证明：设两直线l1，l2的方程分别为y=k（x+3）和y=kx﹣1，其中k≠0，则M （0，3k），N（，0）．y=k（x+3）代入椭圆方程可得（1+9k2）x2+54k2x+81k2﹣9=0，方程一根为﹣3，则由韦达定理可得另一根为，∴C（，）．同理D（，）∵两直线l1，l2平行，∴可设=t，=t，从而可得P（，）∴=（，）∵=（3，3k），∴存在实数λ=1+3k，使得=λ；（ii）∵=（，），∴消去参数可得P的轨迹方程为x+3y﹣3=0，∴|OP|的最小值为d==∴|OP|的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
重庆一中2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)【解析版】
重庆一中2015届高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x∈R|x﹣1≥0}，B={x∈R||x|≤2}，则A∩B=（）A．{x∈R|﹣2≤x≤2} B．{x∈R|﹣1≤x≤2} C．{x∈R|1≤x≤2} D．{x∈R|﹣1≤x≤1} 2．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，且a3+a5=40，则{a n}的公比q=（）A．±5 B．±4 C．D．±23．（5分）设p，q是两个命题，则“p，q均为假命题”是“p∧q为假命题”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要4．（5分）已知函数f（x）=a x+a（a＞0，a≠1）的图象过点（0，3），则函数g（x）=f（x）﹣4的零点是（）A．1B．2C．3D．45．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出实数k的值为4，则框图中x的值是（）A．4B．16 C．24 D．1206．（5分）下列函数的图象关于y轴对称的共有（）个①y=②y=x2③y=2|x|④y=|lnx|A．0B．1C．2D．37．（5分）一简单多面体的三视图如图所示，则该简单多面体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）已知C，D是圆A：（x+1）2+y2=1与圆B：x2+（y﹣2）2=4的公共点，则△BCD 的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）空间直角坐标系中，已知原点为O，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），在三棱锥O﹣ABC中任取一点P（x，y，z），则满足的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=，a=log3162，b=，则以下结论正确的是（）A．f（a）＜f（b）＜0 B．f（b）＜f（a）＜0 C．0＜f（a）＜f（b）D．0＜f（b）＜f（a）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数（i是虚数单位），则z的实部是．12．（5分）已知，若，则实数m=．13．（5分）某幼儿园中班共36个小朋友的身高（单位：厘米）测量结果如下频率分布直方图所示，该班小朋友牛牛的身高118cm，他所在的身高段共有个小朋友．14．（5分）已知f（x）=sinxsin（x+），，则f（x）的最小值为．15．（5分）已知点P在双曲线=1（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线上的两个焦点，=0，且△F1PF2的三条边的长度成等差数列，则此双曲线的离心率的值为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）已知数列{a n}满足，且a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，证明：（n∈N*）．17．（13分）一中学某班（共30人）一次数学小测验（满分100分）的成绩统计如下茎叶图所示（Ⅰ）求该班学生成绩的中位数与极差；（Ⅱ）用分层抽样的方法从表中[70，80），[80，90），[90，100]三个分数段的成绩中抽取一个容量为6的样本，各分数段应抽取几人成绩？（Ⅲ）从[90，100]分数段中任取两个成绩，求其值相差不小于3的概率．18．（13分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0 （Ⅰ）若b=7，a+c=13，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=（m∈R），若f（x）在x=4处的切线与直线16x+7y=0垂直．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）令g（x）=kxe x，对∀x1∈（0，+∞），∀x2∈（0，1），总有f（x1）≥g（x2），求实数k 的取值范围．20．（12分）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P，Q，D，E分别是所在棱的中点，F，G是分别BB1，CC1上的点，满足=3．（Ⅰ）证明：PQ∥平面DEFG；（Ⅱ）若该三棱柱的所有棱长为2，求四棱锥Q﹣DEFG的体积．21．（12分）半椭圆和半圆x2+y2=b2（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0，如图所示，曲线C交x轴于A，B两点，交y轴负半轴于点G．椭圆的离心率为，F是它的一个焦点，点P是曲线C位于x轴上方的任意一点，且△PFG的周长是．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若M是半圆x2+y2=b2（y≤0）除A，B外任意一点，C（﹣b，a），D（b，a），连接MC，MD分别交AB于点E，F，求|AE|2+|BF|2的取值范围．[来源:学。
重庆市第一中学2016届高三下学期高考适应性考试数学(
数学试题卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合()(){}420x x x A =-+<，{}3,1,1,3,5B =--，则AB =（ ）A ．{}1,1,3-B ．{}3,1,1,3--C ．{}1,1,3,5-D ．{}3,5-2.若实数b 满足：()()312bi i ++-是纯虚数，则b =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 3.已知1sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 2x =（ ） A ．13- B ．13 C ．79- D ．794.对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下散点图．下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（ ）个 ①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高②该同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分 ③该同学的数学成绩与考试次号具有线性相关性，且为正相关A ．0B ．1 C ．2 D ．35.已知向量()1,0a =，()0,1b =，若()()3ka b a b +⊥-，则实数k =（ ） A ．3- B ．3 C ．13- D ．136.已知函数()32f x ax bx cx d =+++的导函数()f x '的图象如右图所示，则()f x 的图象最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．7.设120.6a =，140.5b =，lg0.4c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<8. 一简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体最大的面的面积等于（ ）A ．2B ．C ．D ．9.执行如右图所示程序框图，若输入的1x =，则输出的a ，b 的值依次是（ ）A ．2，0B ．0，2C ．1-，1-D ．1，110.三棱柱111C C AB -A B 的各个顶点都在球O 的球面上，且C 1AB =A =，C B ，1CC ⊥平面C AB ．若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ）A ．16 B ．13 C ．12D ．111.已知双曲线C :22221y x a b -=（0a >，0b >）的两焦点为1F ，2F ，A 是该双曲线上一点，满足：12122F 2F FF A -A =，直线2FA 交双曲线C 于另一点B ，且25F 3A =AB ，则直线2F A 的斜率为（ ） A． B． C． D．±12.已知函数()11,11x f x x x x -≤≤=-<->⎪⎩或，且函数()()2g x f x kx k =-+有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A．0k ≤≤ B ．103k -≤≤或k = C．k ≤13k =-D．133k -≤≤-或0k = 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知31x y +=（0x >，0y >），则xy 的最大值是 ．14.设实数x ，y 满足10230260x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则32x y -的最小值是 ．15.三角形C AB中，AB =C 2B =，C 60∠A B =，则C ∠BA = ． 16.一条斜率为1的直线与曲线：x y e =和曲线：24y x =分别相切于不同两点，则这两点间的距离等于 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：13a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18.（本小题满分12分）下表是某校某班（共30人）在一次半期考试中的数学和地理成绩（单位：分）将数学成绩分为两个层次：数学I （大于等于100分）与数学II （低于100分），地理也分为两个层次：地理I （大于等于67分）与地理II （低于67分）．（I ）根据这次考试的成绩完成如下22⨯联表，运用独立性检验的知识进行探究，可否有99.9%的把握认为“数学成绩与地理成绩有关”？（II ）从数学与地理成绩分属不同层次的同学中任取两名，求抽到的同学数学成绩都为层次I 的概率．可能用到的公式和参考数据：2K 的统计量：()()()()()()22a b c d ad bc a b c d a c b d +++-K =++++独立性检验临界值表（部分）：19.（本小题满分12分）如图所示的四棱锥CD P -AB 中，C AB =B =D DC A ==D 2P =，C AB ⊥B ，E ，F 分别是C ∆PA 与CD ∆P 的重心．（I ）证明：F//E 平面CD AB ； （II ）若三棱锥FD P -E 的体积为427，证明：D P ⊥平面CD AB ．20.（本小题满分12分）M 是椭圆:T 22221x y a b+=（0a b >>）上任意一点，F 是椭圆T 的右焦点，A 为左顶点，B 为上顶点，O 为坐标原点，已知F M 的最大值为3+3（I ）求椭圆T 的标准方程；（II ）求∆ABM 的面积的最大值．21.（本小题满分12分） 已知函数()22ln f x x x =-．（I ）讨论()f x 的单调性并求最大值；（II ）设()()212ln x g x xe a x x x =----，若()()0f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B 是圆O 上两点，延长AB 至点C ，满足2C 2AB =B =，过C 作直线CD 与圆O 相切于点D ，D ∠A B 的平分线交AB 于点E ． （I ）求AE 的长；（II ）若D 60∠BA =，求D ∆B E 的面积．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系中，曲线1C :()2sin cos ρθθ=+与曲线2C :1ρ=交于点()11,ρθA ，()22,ρθB ，其中1θ，[)2,θππ∈-．（I ）求12ρρ+与12θθ+的值；（II ）求极点O 与点A ，B 组成的三角形面积．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a x =-+-． （I ）解关于a 的不等式()12f ≥；（II ）若关于x 的不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．2016年重庆一中高2016届高考适应性考试数学答案（文科）一、选择题 ACCDDA DBBCAB 二、填空题13.112 14.53- 15.6π三、解答题17.解：（I ）设数列{}n a 的公差为d （0d ≠），由题，有21134a a a ⋅=，即()()23312332d d d +=+⇒=()()()()11113113112212421224212n n n n n n ⎛⎫=+--=--=- ⎪++++++⎝⎭…………12分 18.解：（I ）由题可得如下22⨯联表假设数学成绩与地理成绩无关，由公式得()223011151336451610.82814161218224⨯-⨯K ==≈>⨯⨯⨯根据所给参数可知数学成绩与地理成绩无关的概率小于0.1%故而有99.9%的把握认为“数学成绩与地理成绩有关”．…………………6分（II ）数学与地理成绩分属不同层次的同学中共有4人，任取两名枚举可得共有6种情况； 抽到的同学数学成绩都为层次I 共3种， 则所求概率为3162=．…………………12分 19.解：（I ）如图所示，延长PE 交C A 于点G （即为C A 中点），延长F P 交CD 于点H （即为CD 的中点），由题E ，F 分别是C ∆PA ，CD ∆P 的重心，则G ∆P H 中，有F 2G 3PE P ==P PH ，则F//G E H ，则F//E 平面CD AB …………………6分（II ）由C AB =B =D DC A ==D 2P =，C AB ⊥B ，得C A DG 2=，则CD 12222S ∆A =⋅⋅=，FD FD G FD G CD CD 221114V V V V V 23999327h P-E E-P -P -P P-A =====⋅⋅=，则2h =，由D 2P =，故D P ⊥平面CD AB …………………12分20.解：（I ）由椭圆性质可知2F c a cx a x a c a M M ⎛⎫M =-=- ⎪⎝⎭，其中0c >，222c a b =-， 因为[],x a a M ∈-，故[]F ,a c a c M ∈-+，则33a c a c ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩…………………4分 故2224b a c =-=，椭圆T 的方程为22194x y +=…………………5分（II ）由题知直线AB 的方程为223y x =+，设直线:l 23y x m =+与椭圆T 相切于x 轴下方的点0M （如上图所示），则0∆ABM 的面积为∆ABM 的面积的最大值0S ．…………………7分222222222310410934994194y x m m m m m x x m x y ⎧=+⎪⎛⎫⎪⇒++-=⇒∆=-⋅-=⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩此时，直线AB 与直线l32+=AB = (11)分(0321312S +==…………………12分21.解：（I ）由题有0x >，()222x f x x-'=可知，()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减；…………………4分()f x 的最大值为()11f =-…………………5分（II ）由题有()()2010x x f x g x xe ax x e ax +=--≥⇔--≥ 令()1x h x e ax =--，则()x h x e a '=-，…………………6分当1a ≤时，当0x >时，()0h x '>，则()h x 单调递增，则()()00h x h >=，即()()0f x g x +≥恒成立，故1a ≤…………………10分当1a >时，当()0,ln x a ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，则()()00h x h <=，则()()0f x g x +≥不能在()0,+∞上恒成立．综上：实数a 的取值范围是1a ≤…………………12分 22.解：（I ）由题可知CD D ∠B =∠AB ，D D ∠E A =∠E B ， 又C D D D ∠E =∠AE +∠E A ，DC D DC ∠E =∠E B +∠B 故C D DC ∠E =∠E ，故CD C =E …………………3分又2CD C C 3=B⋅A =，即CD =，故C E =故AE 的长为3…………………5分（11）因为直线CD 与圆O 相切于点D ，则CD D C ∠B =∠A ，则CD C D ∆B ∆A ∽则D CD D D D C 3B ==⇒A =A A ，设D m B =，D A =，D ∆AB 中，由余弦定理得22344cos60m m m =+-，解之得1m =，由（I ）知1BE =，故所求D ∆B E 的面积为)1112⋅=…………………10分23.解：法一：（I ）由题易知12112ρρ+=+=…………………2分1θ，2θ为方程()2sin cos 1θθ+=的两解．即sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 因为1θ，[)2,θππ∈-，由sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（(),x ππ∈-）的图象可知 122πθθ+=…………………5分（II ）由上述推理知，不妨设120θθ<<()122121111sin sin 2244244448S ππρρθθθθOAB ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-+=--⋅=⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦……… …………10分法二：（I ）1C ，2C 的直角坐标系方程为：1C :()()22112x y -+-=，2C :221x y +=，作出图象可知OA ，OB 关于y x =对称， 因为1θ，[)2,θππ∈-，故12112ρρ+=+=，122πθθ+=（II ）易知直线AB 的方程为2210x y +-=，则O 到直线ABAB ==积为128⋅= 24.解：（I ）()12112f a a =-+-=-，224a a -≥⇒≥或0a ≤…………………4分（II ）当2a >时，()31,21,1231,1a x a x a f x x a x x a x ⎧-->⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪-++<⎪⎪⎩作出图象可知()f x 的最小值为12622a a f a ⎛⎫=-≥⇒≥ ⎪⎝⎭，则此时6a ≥；…………………7分当2a ≤时，()31,11,1231,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-->⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪-++<⎪⎩，作出图象可知()f x 的最 小值为12222a a f a ⎛⎫=-+≥⇒≤- ⎪⎝⎭，则此时2a ≤-综上：2a ≤-或6a ≥…………………10分。
重庆市第一中学2016届高三下学期高考适应性考试试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B考点：集合运算与指、对数函数的性质.2.在等比数列中，，，则（）A． B． C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，又因为，所以，，故选C.考点：等比数列的通项公式.3.复数（其中为虚数单位），则下列说法中正确的是（）A．在复平面内复数对应的点在第一象限 B．复数的共轭复数C．若复数（）为纯虚数，则 D．复数的模【答案】C【解析】试题分析：复数，所以在复平面内对应的点为在第四象限内，所以A错误；其共轭复数为，所以B错误；当为纯虚数时，，所以C正确；，所以D错误，故选C.考点：复数的运算与复数的有关概念.4.设双曲线（）的渐近线方程为，则其离心率为（）A． B． C．D．【答案】A考点：双曲线的简单几何性质.5.如果满足，，的锐角有且只有一个，那么实数的取值范围是（）A． B． C．D．或【答案】B【解析】试题分析：当,即时，三角形为直角三角形，不合题意；当即时，三角形只有一解，其中要使为锐角三角形，应有，所以实数的取值范围是，故选B.考点：正弦定理解三角形.6.已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（）A． B． C．D．【答案】D考点：向量的线性运算与几何概型.7.一个四面体的三视图都是等腰直角三角形，如图所示，则这个几何体四个表面中最小的一个表面面积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为正方体中如下图所示的三棱锥，其中点为棱的中点，其侧面中面积最小的是与,其面积为，故选C.考点：简单几何体的三视图.8.右边程序框图的算法思路源于数学著名《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的，分别为，，则输出的（）A． B． C．D．【答案】C考点：程序框图9.下面给出的命题中：①已知函数，则；②“”是“直线与直线相互垂直”的必要不充分条件；③已知随机变量服从正态分布，且，则；④已知，，则这两圆恰有条公切线．其中真命题的个数是（）A． B． C．D．【答案】B考点：微积分基本定理、平面内两直线垂直的条件、圆与圆的位置关系及正态分布.10.已知抛物线的焦点为，点，过点且斜率为的直线与交于，两点，若，则（）A． B． C．D．【答案】D【解析】考点：直线与抛物线的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了考生的运算能力，属于中档题.本题解答的关键是对条件的应用，在直线与圆锥曲线的位置关系中通常利用向量的数量积转化为两交点坐标间的关系，通过整理方程组得到关于参数的方程.整理时，要主要两交点在直线上，利用直线方程和韦达定理得到的关系式，这样可以减小运算量，提高解题速度.11.如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段的中点，则三棱锥的外接球的体积是（）A． B． C．D．【答案】A【解析】试题分析：由题意可知,取的中点，连接,在直角中，,所以点在平面内的射影是的外心，即为的中点，设三棱锥的外接球的球心为，由球的截面性质可得，即，解得，所以其外接球的体积为,故选A.考点：棱锥与球的组合体及球的体积.【方法点睛】本题主要考查了棱锥与球的组合体，球的截面性质及球的体积，考查了考生的空间想象能力属于中档题.本题解答的关键是根据已知条件求得,从而判断点在平面内的射影位置，而又是直角三角形，其外心位于斜边的中点上，据此可知三棱锥外接球的球心在上，根据球的截面性质得到球的半径，求得其体积.12.已知常数，定义在上的函数满足：，，其中表示的导函数．若对任意正数，都有，则实数的取值范围是（）A． B． C．D．【答案】C考点：利用导数研究函数的单调性、函数的思想.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数的思想，属于难题.本题解答的关键是根据条件变形为，构造函数，得到函数的表达式，根据商的求导法则求导，再次构造函数，并根据条件得到其单调性，把不等式转化为不等式，求得答案.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.在的展开式中，含项的系数是．（用数字作答）【答案】考点：二项式展开式的通项公式.14.已知实数，满足，则的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域如下图所示的阴影部分.因为表示可行域内的点到连线的斜率，由可得,所以的取值范围是.考点：简单的线性规划.15.如图，对大于等于的自然数的次幂进行如下方式的“分裂”，如的“分裂”中最大的数是，的“分裂”中最大的数是，那么的“分裂”中最大的数是．（写出算式即可）【答案】考点：归纳推理.【方法点睛】本题主要考查了归纳推理，考查考生的归纳推理能力，属于中档题.归纳推理的一般步骤是：先通过观察给出的个别情况发现某些相同的性质，再从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性的（真）命题.根据上述步骤本题中通过观察给出的，，的分裂数，得到其最大分裂数与幂底数的关系为，问题就可以解决了.16.已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为．【答案】【解析】考点：平面向量的数量积运算及不等式的性质.【方法点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算及不等式的性质，考查了考生的推理能力和利用所学知识解集问题的能力，属于中档题.本题解答的难点是根据已知条件构造向量的数量积表达式，利用可设为轴上的单位向量，再根据，，设出的坐标，即可引入变量，由找到变量的关系，最后根据不等式的性质求出的最小值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数（，，）的部分图象如图，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为原点，且，，．（I）求函数的解析式；（II）将函数图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的最大值．【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（I）由余弦定理求得，再求得，据此求出点坐标为，即得振幅和周期，把代入可得；（II）根据平移规则可知，通过三角恒等变换化简可得，当时，，根据图象找出最大值点，求得最大值.考点：余弦定理与三角恒等变换及三角函数的图象.18.（本小题满分12分）如图所示的茎叶图，记录了甲、乙两名射击运动员训练的成绩（环数），射击次数各为次．（1）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性；（2）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为，求的数学期望．【答案】（1）甲运动员的射击水平更稳定；（2）.【解析】考点：样本平均数与方差及其数学意义，互斥事件与相互独立事件的概率及二项分布. 19.（本小题满分12分）如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，，．（1）若，求证：平面；（2）若，，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）因为，平面，所以，可知四边形为正方形，所以，在中，由余弦定理、勾股定理可得，平面，所以，由线面垂直的判定定理可证得平面，所以，平面；（2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，分别求得平面，的法向量，根据二面角的余弦值为，即可求得的值，通过变换顶点即可求得三棱锥体积.所以…………………12分考点：空间中的垂直关系证明及空间向量求二面角和棱锥的体积.20.（本小题满分12分）已知椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，、分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于、的动点，且面积最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在一定点（），使得过定点的直线与曲线相交于、两点，且为定值？若存在，求出定点和定值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）定点为，定值为．考点：椭圆的方程及直线与椭圆位置关系中的定点、定值问题.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆位置关系中的定点、定值问题，考查了考生的推理能力和运算能力，属于难题.本题解答的难点是（2）中证明定值和定点的存在性，处理的一般策略是先根据特殊情况求得定值和定点，然后证明求得的定点和定值也适合一般情况，证明时通过直线与椭圆方程构成的方程组，利用韦达定理证明.21.（本小题满分12分）已知函数，曲线在处的切线方程为．（1）求实数的值；（2）设（为自然对数的底数），表示的导函数，求证：对于的图象上不同两点，，，存在唯一的，使直线的斜率等于．【答案】（1）；（2）证明见解析.试题解析：（1）由题意得，，所以，…………………2分（2）．，，，即，…………………6分设，则是关于的一次函数，故要在区间证明存在唯一性，只需证明在上满足．下面证明之：，，为了判断，的符号，可以分别将，看作自变量得到两个新函数，，讨论他们的最值：，将看作自变量求导得，考点：导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性及二分法等.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性及二分法判断函数零点的存在性，考查了函数与方程的思想和方法及学生的推理、运算能力，属于难题.本题解答的难点是是第二问中把证明“存在唯一的，使直线的斜率等于”转化为证明“函数，在区间证明存在唯一解”，根据其单调性进一步转化为证明，分别研究函数，的单调性得到其符号，从而得到证明.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆是的外接圆，，是边上的高，是圆的直径．过点作圆的切线交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）.（2）解：因为是圆的切线，所以，又，，所以，，因为，，所以．所以，得，在中，由余项定理可得，所以，又在中，，所以．考点：圆的切线性质、三角形相似的证明和应用及余弦定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同两点，．（1）若，求线段中点的坐标；（2）若，其中，求直线的斜率．【答案】（1）；（2）.所以，点的坐标为．（2）将代入，得，因为，，所以．得．由于，故．所以直线的斜率为．考点：直线的参数方程与椭圆参数方程及其在研究直线与椭圆位置关系中的应用.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设．（1）求不等式的解集；（2）若存在实数满足不等式，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.考点：绝对值不等式的解法与不等式的有解问题.。
重庆市第一中学高考数学5月模拟试卷 文(含解析)
重庆一中2015届高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合 A={x∈R|x﹣1≥0}，B={x∈R||x|≤2}，则A∩B=（）A．{x∈R|﹣2≤x≤2}B．{x∈R|﹣1≤x≤2}C．{x∈R|1≤x≤2}D．{x∈R|﹣1≤x≤1} 2．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，且a3+a5=40，则{a n}的公比q=（）A．±5B．±4C．D．±23．（5分）设p，q是两个命题，则“p，q均为假命题”是“p∧q为假命题”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要4．（5分）已知函数f（x）=a x+a（a＞0，a≠1）的图象过点（0，3），则函数g（x）=f（x）﹣4的零点是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出实数k的值为4，则框图中x的值是（）A．4 B．16 C．24 D．1206．（5分）下列函数的图象关于y轴对称的共有（）个①y=②y=x2③y=2|x|④y=|lnx|A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）一简单多面体的三视图如图所示，则该简单多面体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）已知C，D是圆A：（x+1）2+y2=1与圆B：x2+（y﹣2）2=4的公共点，则△BCD的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）空间直角坐标系中，已知原点为O，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），在三棱锥O﹣ABC中任取一点P（x，y，z），则满足的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=，a=log3162，b=，则以下结论正确的是（）A．f（a）＜f（b）＜0 B．f（b）＜f（a）＜0 C．0＜f（a）＜f（b）D．0＜f（b）＜f（a）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数（i是虚数单位），则z的实部是．12．（5分）已知，若，则实数m=．13．（5分）某幼儿园中班共36个小朋友的身高（单位：厘米）测量结果如下频率分布直方图所示，该班小朋友牛牛的身高118cm，他所在的身高段共有个小朋友．14．（5分）已知f（x）=sinxsin（x+），，则f（x）的最小值为．15．（5分）已知点P在双曲线=1（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线上的两个焦点，=0，且△F1PF2的三条边的长度成等差数列，则此双曲线的离心率的值为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）已知数列{a n}满足，且a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，证明：（n∈N*）．17．（13分）一中学某班（共30人）一次数学小测验（满分100分）的成绩统计如下茎叶图所示（Ⅰ）求该班学生成绩的中位数与极差；（Ⅱ）用分层抽样的方法从表中[70，80），[80，90），[90，100]三个分数段的成绩中抽取一个容量为6的样本，各分数段应抽取几人成绩？（Ⅲ）从[90，100]分数段中任取两个成绩，求其值相差不小于3的概率．18．（13分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0 （Ⅰ）若b=7，a+c=13，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=（m∈R），若f（x）在x=4处的切线与直线16x+7y=0垂直．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）令g（x）=kxe x，对∀x1∈（0，+∞），∀x2∈（0，1），总有f（x1）≥g（x2），求实数k的取值范围．20．（12分）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P，Q，D，E分别是所在棱的中点，F，G是分别BB1，CC1上的点，满足=3．（Ⅰ）证明：PQ∥平面DEFG；（Ⅱ）若该三棱柱的所有棱长为2，求四棱锥Q﹣DEFG的体积．21．（12分）半椭圆和半圆x2+y2=b2（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0，如图所示，曲线C交x轴于A，B两点，交y轴负半轴于点G．椭圆的离心率为，F是它的一个焦点，点P是曲线C位于x轴上方的任意一点，且△PFG的周长是．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若M是半圆x2+y2=b2（y≤0）除A，B外任意一点，C（﹣b，a），D（b，a），连接MC，MD分别交AB于点E，F，求|AE|2+|BF|2的取值范围．重庆一中2015届高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合 A={x∈R|x﹣1≥0}，B={x∈R||x|≤2}，则A∩B=（）A．{x∈R|﹣2≤x≤2}B．{x∈R|﹣1≤x≤2}C．{x∈R|1≤x≤2}D．{x∈R|﹣1≤x≤1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接计算即可．解答：解：A={x∈R|x﹣1≥0}={x∈R|x≥1}，B={x∈R||x|≤2}={x∈R|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={x∈R|1≤x≤2}，故选：C．点评：本题考查集合的交集运算，注意解题方法的积累，属于基础题．2．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，且a3+a5=40，则{a n}的公比q=（）A．±5B．±4C．D．±2考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a1=2，且a3+a5=40，∴2q2+2q4=40，解得q2=4，解得q=±2．故选：D．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）设p，q是两个命题，则“p，q均为假命题”是“p∧q为假命题”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故“p，q均为假命题”是“p∧q为假命题”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题真假之间的关系是解决本题的关键．4．（5分）已知函数f（x）=a x+a（a＞0，a≠1）的图象过点（0，3），则函数g（x）=f（x）﹣4的零点是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：把点（0，3）代入函数f（x）=a x+a求出a的值，代入g（x）=f（x）﹣4，再由g （x）=0求出函数的零点．解答：解：因为函数f（x）=a x+a（a＞0，a≠1）的图象过点（0，3），所以a0+a=3，解得a=2，则函数g（x）=f（x）﹣4=2x﹣2，由g（x）=2x﹣2=0得，x=1，所以函数g（x）的零点是1，故选：A．点评：本题考查函数的定义，以及待定系数法求函数的解析式，属于基础题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出实数k的值为4，则框图中x的值是（）A．4 B．16 C．24 D．120考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，当S=24时，不满足条件S≤x，退出循环，输出K的值为4，对比各个选项可得框图中x的值是16．解答：解：模拟执行程序框图，可得K=1，S=1满足条件S≤x，K=2，S=2满足条件S≤x，K=3，S=6满足条件S≤x，K=4，S=24此时，不满足条件S≤x，退出循环，输出K的值为4，对比各个选项可得框图中x的值是16．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．6．（5分）下列函数的图象关于y轴对称的共有（）个①y=②y=x2③y=2|x|④y=|lnx|A．0 B．1 C．2 D．3考点：奇偶函数图象的对称性．专题：函数的性质及应用．分析：本题即找出哪个函数是偶函数，在所给的4个选项中，只有②③中的函数是偶函数，其余的都不是偶函数，从而得出结论．解答：解：由题意可得，图象关于y轴对称的函数为偶函数．对于①y=，定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具奇偶性；对于②y=x2，则为幂函数，显然为偶函数；对于③y=2|x|，定义域为R，f（﹣x）=2|﹣x|=2|x|=f（x），则为偶函数；对于④y=|lnx|，定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不具奇偶性．故只有②③中的函数是偶函数，其余的都不是偶函数，故选C．点评：本题主要考查偶函数的定义和性质，判断函数的奇偶性，体现了转化的数学思想，属于中档题．7．（5分）一简单多面体的三视图如图所示，则该简单多面体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱台，结合台体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱台，其上下底面分别是以1和2和直角边长的等腰直角三角形，高为1，故上下底面的底面积分别为：和2，故棱台的体积V=（+2+1）×1=，点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．（5分）已知C，D是圆A：（x+1）2+y2=1与圆B：x2+（y﹣2）2=4的公共点，则△BCD的面积为（）A．B．C．D．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出公共弦方程，B到CD的距离，CD的距离，然后求解面积．解答：解：C，D是圆A：（x+1）2+y2=1与圆B：x2+（y﹣2）2=4的公共点，可得CD的方程为：2x+4y=0，即x+2y=0，圆B：x2+（y﹣2）2=4的圆心（0，2），半径为2，B到CD的距离为：=，|CD|==．△BCD的面积为：=．故选：B．点评：本题考查圆与圆的位置关系的应用，点到直线的距离以及三角形的面积的求法，考查计算能力．9．（5分）空间直角坐标系中，已知原点为O，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），在三棱锥O﹣ABC中任取一点P（x，y，z），则满足的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据几何概型的概率公式分别求出对应的体积进行求解即可．解答：解：∵原点为O，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），∴三棱锥O﹣ABC中的体积V==，对应的轨迹为以O为球心，半径r=的球体积的，则体积V==，则对应的概率P==，点评：本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应的体积是解决本题的关键．10．（5分）已知函数f（x）=，a=log3162，b=，则以下结论正确的是（）A．f（a）＜f（b）＜0 B．f（b）＜f（a）＜0 C．0＜f（a）＜f（b）D．0＜f（b）＜f（a）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数法，可分析出当x∈（0，2]，函数为增函数，进而由f（x）=，a=4+log32，b=2+log3，可得答案．解答：解：当x∈（0，2]，f（x）=2lnx﹣x，故f′（x）=≥0，此时函数为增函数，∵a=log3162=4+log32，∴f（a）=f（log32）b==4log32=log316=2+log3，∴f（b）=f（log3）又由f（1）=﹣1，∴f（log3）＜f（log32）＜f（1）＜0，即f（b）＜f（a）＜0，故选：B点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，对数的运算性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数（i是虚数单位），则z的实部是1．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简即可．解答：解：===1﹣2i，故答案为：1．点评：本题考查复数的基本概念，注意解题方法的积累，属于基础题．12．（5分）已知，若，则实数m=2．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量平行的坐标表示，计算即可．解答：解：∵，，∴，解得m=2，故答案为：2．点评：本题考查平面向量的坐标运算，注意解题方法的积累，属于基础题．13．（5分）某幼儿园中班共36个小朋友的身高（单位：厘米）测量结果如下频率分布直方图所示，该班小朋友牛牛的身高118cm，他所在的身高段共有6个小朋友．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，利用频率和为1，求出身高在115～120cm内的频率与频数即可．解答：解：根据频率分布直方图，得；身高在100～105cm和身高在115～120cm内的数据频率相等，根据频率和为1，得；身高在115～120cm内的数据频率为[1﹣（++）×5]=，所以，身高在115～120cm内的频数为36×=6．故答案为：6．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的关系，是基础题目．14．（5分）已知f（x）=sinxsin（x+），，则f（x）的最小值为．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数图象与性质求得最小值．解答：解：f（x）=sinxsin（x+）=sinx（sinx+cosx）=sin2x+sinxcosx=sin2x ﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∴当sin（2x﹣）=﹣1时，f（x）有最小值，故答案为：．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础公式的灵活运用．15．（5分）已知点P在双曲线=1（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线上的两个焦点，=0，且△F1PF2的三条边的长度成等差数列，则此双曲线的离心率的值为5．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，且分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=d，由此求得离心率的值．解答：解：设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，且分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m﹣d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=d，故离心率e==5，故答案为：5．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）已知数列{a n}满足，且a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，证明：（n∈N*）．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意和等差数列的定义判断出数列{a n}是等差数列，由等比中项的性质和条件列出方程，求出首项a1，代入等差数列的通项公式、前n项和公式化简；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出并化简，利用裂项相消法求出T n，由n的取值范围即可证明结论成立．解答：解：（Ⅰ）由得，数列{a n}是以2为公差的等差数列，∵a1，a4，a13成等比数列，∴，解得a1=3，则a n=a1+（n﹣1）d=2n+1，S n=3n+=n2+2n；（Ⅱ）由（I）得，===（），∴T n=[（1﹣）+（）+（）+…+（）+（）]=（1+﹣）=﹣则成立．点评：本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，以及裂项相消法求数列的和，是数列与不等式结合的题，属于中档题．17．（13分）一中学某班（共30人）一次数学小测验（满分100分）的成绩统计如下茎叶图所示（Ⅰ）求该班学生成绩的中位数与极差；（Ⅱ）用分层抽样的方法从表中[70，80），[80，90），[90，100]三个分数段的成绩中抽取一个容量为6的样本，各分数段应抽取几人成绩？（Ⅲ）从[90，100]分数段中任取两个成绩，求其值相差不小于3的概率．考点：分层抽样方法；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据茎叶图结合即可求该班学生成绩的中位数与极差；（Ⅱ）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．（Ⅲ）利用列举法，结合古典概型的概率公式进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）由茎叶图可知该班学生成绩的中位数为84，极差为96﹣70=26；（Ⅱ）∵三分数段的人数之比为10：15：5=2：3：1，故若用分层抽样的方法从表中[70，80），[80，90），[90，100]三个分数段的成绩中抽取一个容量为6的样本，各分数段应抽取2人，3人，1人．（Ⅲ）实验总情况共有10种，起成绩相差不小于3分的有（90，94），（90，96），（91，94），（91，96），（91，94），（91，96）共6种情况，故所求的概率为．点评：本题主要考查茎叶图的应用，分层抽样的应用，以及古典概型的计算，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．18．（13分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0 （Ⅰ）若b=7，a+c=13，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的取值范围．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，整理求得cosB，进而求得B．（Ⅱ）把转化为cosA的解析式，进而根据cosA的范围确定答案．解答：解：（Ⅰ）∵（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0，由正弦定理得（2sinC﹣sinA）cosB﹣sinBcosA=0，则2sinCcosB﹣sin（A+B）=0，求得cosB=，B=．由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即49=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，求得ac=40，∴三角形△ABC面积S=acsinB=10．（Ⅱ）=sin2A+sin（﹣A﹣）=sin2A+sin（﹣A）=﹣cos2A+cosA+1，A∈（0，），令u=cosA∈（﹣，1）y=﹣u2+u+1∈（，]．点评：本题主要考查了余弦定理和增弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理和余弦定理对边角问题进行转化．19．（12分）已知函数f（x）=（m∈R），若f（x）在x=4处的切线与直线16x+7y=0垂直．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）令g（x）=kxe x，对∀x1∈（0，+∞），∀x2∈（0，1），总有f（x1）≥g（x2），求实数k的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用f（x）在x=4处的切线与直线16x+7y=0垂直，可得f′（4）=﹣+=，即可求m的值；（Ⅱ）对∀x1∈（0，+∞），∀x2∈（0，1），总有f（x1）≥g（x2），可得f（x）min≥g（x）max，分类讨论，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=﹣+∵f（x）在x=4处的切线与直线16x+7y=0垂直，∴f′（4）=﹣+=，∴m=2；（Ⅱ）∵对∀x1∈（0，+∞），∀x2∈（0，1），总有f（x1）≥g（x2），∴f（x）min≥g（x）max，∵f′（x）=，∴x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）单调递增，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递减，∴f（x）min=f（1）=3，g′（x）=k（e x+xe x），k＞0，x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）单调递增，3≥g（x）max=ke，∴k≤；k＜0，x∈（0，1），g′（x）＜0，g（x）单调递减，3≥g（x）max=0，∴k＜0；k=0，3＞g（x）max=0，∴k≤．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P，Q，D，E分别是所在棱的中点，F，G是分别BB1，CC1上的点，满足=3．（Ⅰ）证明：PQ∥平面DEFG；（Ⅱ）若该三棱柱的所有棱长为2，求四棱锥Q﹣DEFG的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接BQ，CQ，解直角三角形可得BQ∥GD，CQ∥FE，然后利用面面平行的判定证明平面QBC∥平面DEFG；（Ⅱ）延长GD，FE，QA1，则三线必相交于一点O，把四棱锥Q﹣DEFG的体积转化为三棱锥G ﹣OQF的体积得答案．解答：（Ⅰ）证明：如图，连接BQ，CQ，取BB1中点M，连接QM，则△BMQ为Rt△，在Rt△BMQ中，tan∠QBM=，在Rt△GB1D中，tan∠GB1D==，∴∠∠QBM=∠GB1D，则BQ∥GD，同理可证CQ∥FE，又BQ∩CQ=Q，则平面QBC∥平面DEFG；（Ⅱ）延长GD，FE，QA1，则三线必相交于一点，设为O，∵D、E分别是所在棱的中点，故而DE∥FG，DE=，∴，又∵三棱柱的所有棱长为2，∴OQ=，G到平面OQF的距离等于B到平面ACC1A1的距离，而三角形ABC的边AC上的高线即为距离，也就是所求棱锥的高的值，∴=．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．21．（12分）半椭圆和半圆x2+y2=b2（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0，如图所示，曲线C交x轴于A，B两点，交y轴负半轴于点G．椭圆的离心率为，F是它的一个焦点，点P是曲线C位于x轴上方的任意一点，且△PFG的周长是．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若M是半圆x2+y2=b2（y≤0）除A，B外任意一点，C（﹣b，a），D（b，a），连接MC，MD分别交AB于点E，F，求|AE|2+|BF|2的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得b=c，即有G为椭圆的焦点，由椭圆的定义，可得a=2，b=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C（﹣1，），D（1，），设M（cosθ，sinθ），θ∈（π，2π），由直线AC方程可得E、F的坐标，运用两点的距离公式，结合三角函数的恒等变换和正弦函数的单调性，即可得到取值范围．解答：解：（Ⅰ）椭圆的离心率为，即有e==，由a2﹣b2=c2，可得b=c，故G为椭圆的一个焦点，即有F（0，c），G（0，﹣c），由椭圆的定义可得△PFG的周长为2a+2c=2+2，解得a=2，b=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C（﹣1，），D（1，），设M（cosθ，sinθ），θ∈（π，2π），则直线AC：y﹣=（x+1），令y=0，可得E（，0），同理求得F（，0），|AE|2+|BF|2=（）2+（）2===4•=﹣4（1+），令u=sinθ∈[﹣1，0]，|AE|2+|BF|2=﹣4（1+）是[﹣1，0]上的单调增函数．则|AE|2+|BF|2=∈[12﹣8，4）即为所求．点评：本题考查椭圆和圆的定义和方程的运用，主要考查椭圆的定义和圆的参数方程的运用，考查三角函数的恒等变换公式的运用和正弦函数的单调性的运用，属于中档题．。
2016届重庆市第一中学高三下学期高考适应性考试数学(文)试题
数学试题卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合()(){}420x x x A =-+<，{}3,1,1,3,5B =--，则A B = （ ） A ．{}1,1,3- B ．{}3,1,1,3-- C ．{}1,1,3,5- D ．{}3,5-2.若实数b 满足：()()312bi i ++-是纯虚数，则b =（ ） A ．1- B ．0 C ． D ．23.已知1sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 2x =（ ） A ．13- B ．13 C ．79- D ．794.对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下散点图．下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（ ）个 ①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高②该同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分 ③该同学的数学成绩与考试次号具有线性相关性，且为正相关A ．0B ．C ．2D ．35.已知向量()1,0a =，()0,1b =，若()()3ka b a b +⊥-，则实数k =（ ）A ．3-B ．3C ．13- D ．136.已知函数()32f x ax bx cx d =+++的导函数()f x '的图象如右图所示，则()f x 的图象最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．7.设120.6a =，140.5b =，lg 0.4c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<8. 一简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体最大的面的面积等于（ ）A ．2B ．C ．D ．9.执行如右图所示程序框图，若输入的1x =，则输出的a ，b 的值依次是（ ）A ．2，0B ．0，2C ．1-，1-D ．，10.三棱柱111C C AB -A B 的各个顶点都在球O 的球面上，且C 1AB =A =，C B =，1CC ⊥平面C AB ．若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ）A ．16 B ．13 C ．12D ．11.已知双曲线C :22221y x a b-=（0a >，0b >）的两焦点为1F ，2F ，A 是该双曲线上一点，满足：12122F 2F FF A -A =，直线2F A 交双曲线C 于另一点B ，且25F 3A =AB，则直线2F A 的斜率为（ ） A． B． C． D．±12.已知函数()11,11x f x x x x -≤≤=-<->⎪⎩或，且函数()()2g x f x kx k =-+有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A．0k ≤≤ B ．103k -≤≤或k = C．k ≤13k =-D．13k ≤≤-或0k = 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知31x y +=（0x >，0y >），则xy 的最大值是 ．14.设实数x ，y 满足10230260x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则32x y -的最小值是 ．15.三角形C AB中，AB =，C 2B =，C 60∠A B = ，则C ∠BA = ． 16.一条斜率为的直线与曲线：xy e =和曲线：24y x =分别相切于不同两点，则这两点间的距离等于 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：13a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18.（本小题满分12分）下表是某校某班（共30人）在一次半期考试中的数学和地理成绩（单位：分）将数学成绩分为两个层次：数学I （大于等于100分）与数学II （低于100分），地理也分为两个层次：地理I （大于等于67分）与地理II （低于67分）．（I ）根据这次考试的成绩完成如下22⨯联表，运用独立性检验的知识进行探究，可否有99.9%的把握认为“数学成绩与地理成绩有关”？（II ）从数学与地理成绩分属不同层次的同学中任取两名，求抽到的同学数学成绩都为层次I 的概率．可能用到的公式和参考数据：2K 的统计量：()()()()()()22a b c d ad bc a b c d a c b d +++-K =++++独立性检验临界值表（部分）：19.（本小题满分12分）如图所示的四棱锥CD P -AB 中，C AB =B =，D DC A ==D 2P =，C AB ⊥B ，E ，F 分别是C ∆PA 与CD ∆P 的重心．（I ）证明：F//E 平面CD AB ； （II ）若三棱锥FD P -E 的体积为427，证明：D P ⊥平面CD AB ．20.（本小题满分12分）M 是椭圆:T 22221x y a b+=（0a b >>）上任意一点，F 是椭圆T 的右焦点，A 为左顶点，B 为上顶点，O 为坐标原点，已知F M 的最大值为3+3 （I ）求椭圆T 的标准方程；（II ）求∆ABM 的面积的最大值．21.（本小题满分12分） 已知函数()22ln f x x x =-．（I ）讨论()f x 的单调性并求最大值；（II ）设()()212ln xg x xe a x x x =----，若()()0f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B 是圆O 上两点，延长AB 至点C ，满足2C 2AB =B =，过C 作直线CD 与圆O 相切于点D ，D ∠A B 的平分线交AB 于点E ． （I ）求AE 的长；（II ）若D 60∠BA = ，求D ∆B E 的面积．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系中，曲线1C :()2sin cos ρθθ=+与曲线2C :1ρ=交于点()11,ρθA ，()22,ρθB ，其中1θ，[)2,θππ∈-．（I ）求12ρρ+与12θθ+的值；（II ）求极点O 与点A ，B 组成的三角形面积．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a x =-+-． （I ）解关于a 的不等式()12f ≥；（II ）若关于x 的不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．2016年重庆一中高2016届高考适应性考试数学答案（文科）一、选择题 ACCDDA DBBCAB 二、填空题13.112 14.53- 15.6π三、解答题17.解：（I ）设数列{}n a 的公差为d （0d ≠），由题，有21134a a a ⋅=，即()()23312332d d d +=+⇒=()()()()11113113112212421224212n n n n n n ⎛⎫=+--=--=- ⎪++++++⎝⎭…………12分 18.解：（I ）由题可得如下22⨯联表假设数学成绩与地理成绩无关，由公式得()223011151336451610.82814161218224⨯-⨯K ==≈>⨯⨯⨯根据所给参数可知数学成绩与地理成绩无关的概率小于0.1%故而有99.9%的把握认为“数学成绩与地理成绩有关”．…………………6分（II ）数学与地理成绩分属不同层次的同学中共有4人，任取两名枚举可得共有6种情况； 抽到的同学数学成绩都为层次I 共3种， 则所求概率为3162=．…………………12分 19.解：（I ）如图所示，延长PE 交C A 于点G （即为C A 中点），延长F P 交CD 于点H （即为CD 的中点），由题E ，F 分别是C ∆PA ，CD ∆P 的重心，则G ∆P H 中，有F 2G 3PE P ==P PH ，则F//G E H ，则F//E 平面CD AB …………………6分（II ）由C AB =B =，D DC A ==D 2P =，C AB ⊥B ，得C A =DG 2=，则CD 12222S ∆A =⋅⋅=，FD FD G FD G CD CD 221114V V V V V 23999327h P-E E-P -P -P P-A =====⋅⋅=，则2h =，由D 2P =，故D P ⊥平面CD AB …………………12分20.解：（I ）由椭圆性质可知2F c a cx a x a c a M M ⎛⎫M =-=- ⎪⎝⎭，其中0c >，222c a b =-， 因为[],x a a M ∈-，故[]F ,a c a c M ∈-+，则33a c a c ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩，解之得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩…………………4分 故2224b a c =-=，椭圆T 的方程为22194x y +=…………………5分（II ）由题知直线AB 的方程为223y x =+，设直线:l 23y x m =+与椭圆T 相切于x 轴下方的点0M （如上图所示），则0∆ABM 的面积为∆ABM 的面积的最大值0S ．…………………7分222222222310410934994194y x m m m m m x x m x y ⎧=+⎪⎛⎫⎪⇒++-=⇒∆=-⋅-=⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩此时，直线AB=…………………11分(01312S ==…………………12分21.解：（I ）由题有0x >，()222x f x x-'=x ()0,1()1,+∞()f x '+-()f x递增最大值递减可知，()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减；…………………4分()f x 的最大值为()11f =-…………………5分（II ）由题有()()2010xxf xg x xe ax x e ax +=--≥⇔--≥令()1xh x e ax =--，则()xh x e a '=-，…………………6分当1a ≤时，当0x >时，()0h x '>，则()h x 单调递增，则()()00h x h >=，即()()0f x g x +≥恒成立，故1a ≤…………………10分当1a >时，当()0,ln x a ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，则()()00h x h <=，则()()0f x g x +≥不能在()0,+∞上恒成立．综上：实数a 的取值范围是1a ≤…………………12分 22.解：（I ）由题可知CD D ∠B =∠AB ，D D ∠E A =∠E B ， 又C D D D ∠E =∠AE +∠E A ，DC D DC ∠E =∠E B +∠B 故C D DC ∠E =∠E ，故CD C =E …………………3分又2CD C C 3=B⋅A =，即CD =，故C E =故AE 的长为3…………………5分（11）因为直线CD 与圆O 相切于点D ，则CD D C ∠B =∠A ，则CD C D ∆B ∆A ∽则D CD D D D C B ==⇒A =A A ，设D m B =，D A =，D ∆AB 中，由余弦定理得22344cos 60m m m =+- ，解之得1m =，由（I ）知1BE =-，故所求D ∆B E 的面积为)1112-⋅=10分 23.解：法一：（I ）由题易知12112ρρ+=+=…………………2分1θ，2θ为方程()2sin cos 1θθ+=的两解．即sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为1θ，[)2,θππ∈-，由sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（(),x ππ∈-）的图象可知 122πθθ+=…………………5分（II ）由上述推理知，不妨设120θθ<<()122121111sin sin 22442S ππρρθθθθOAB ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-+== ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝…………………10分法二：（I ）1C ，2C 的直角坐标系方程为：1C :()()22112x y -+-=，2C :221x y +=，作出图象可知OA ，OB 关于y x =对称， 因为1θ，[)2,θππ∈-，故12112ρρ+=+=，122πθθ+=（II ）易知直线AB 的方程为2210x y +-=，则O 到直线AB，则AB ==，故所求面积为12⋅=24.解：（I ）()12112f a a =-+-=-，224a a -≥⇒≥或0a ≤…………………4分（II ）当2a >时，()31,21,1231,1a x a x a f x x a x x a x ⎧-->⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪-++<⎪⎪⎩作出图象可知()f x 的最小值为12622a a f a ⎛⎫=-≥⇒≥ ⎪⎝⎭，则此时6a ≥；…………………7分当2a ≤时，()31,11,1231,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-->⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪-++<⎪⎩，作出图象可知()f x 的最 小值为12222a a f a ⎛⎫=-+≥⇒≤- ⎪⎝⎭，则此时2a ≤-综上：2a ≤-或6a ≥…………………10分。