【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复习题含答案

【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复
习题含答案
work Information Technology Company.2020YEAR
概率论与数理统计计算题（含答案）
计算题
1.一个盒子中装有6只晶体管，其中2只是不合格品。

现作不放回抽样，接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，1只是不合格品；（3）至少有1只是合格品。

1-2,9-2.设甲，乙，丙三个工厂生产同一种产品，三个厂的产量分别占总产量的20%，30%，50%，而每个工厂的成品中的次品率分别为5%，4%，2%，如果从全部成品中抽取一件，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率。

3.设随机变量X 的分布函数为1(1), 0
() 0, 0x x e x F x x -⎧-+>=⎨≤⎩，试求：（1）密度函
数()f x ；（2）(1)P X ≥，(2)P X < 。

4.二维随机变量(,)X Y 只能取下列数组中的值：1
(0,0),(1,1),(1,),(2,0)3
--，且取
这些组值的概率分别为1115
,,,312612。

求这二维随机变量分布律，并写出关于X
和关于Y 的边缘分布律。

5. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，试求下列事件的概率：（1）其中恰好有一位精通英语；（2）其中恰好有两位精通英语；（3）其中有人精通英语。

6.某大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品。

在使用者中，假定有90人的药检呈阳性，而在未使用者中也有5人检查为阳性。

如果一个运动员的药检是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率是多少？
7.设随机变量X 的密度函数为||(),x f x Ae x R -=∈，试求：（1）常数A ；（2）
(01)P X << 。

8. 设二维随机变量(X ，Y)的分布律为
求：(1)(X ，Y)关于X 的边缘分布律；(2)X+Y 的分布律．
9． 已知A B ⊂，()0.36P A =，()0.79P B =，求()P A ,()P A B -,()P B A -。

10．设某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的70%，10%，20%，成品中次品的百分比分别为2%，3%，5%，求检测的次品，是甲车间生产的概率。

11．确定常数C ，使得2()(0,1,2,3)3k C
P X k k ===成为某个随机变量X 的分布
律，并求( 1.2)P X ≤。

12．设~(1,16),X N -(0.5)0.6915,Φ=(1)0.8413Φ=，求(3)P X >。

13．设球体的直径X 服从(2,5)上的均匀分布,求体积Y 的概率密度。

14．已知随机变量(X,Y)甲、乙两种情形的联合分布: 甲
分别求出 X 、Y 的边缘分布，并根据结果说明联合分布与边缘分布的关系。

15. 设随机变量X ，Y 的联合分布如下图，求以下随机变量的分布律：
16. 已知A B ⊂，()0.2P A =，()0.6P B =，求(+)P A B ,()P A B -，()P AB 。

17.设某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一零件，各个车间的产量分别占总产量的10%，50%，40%，成品中次品的百分比分别为4%
，2%，3%，求检测为次品，是丙车间生产的概率。

18.确定常数C ，使得()(0,1,2,3)2k
C
P X k k ===成为某个随机变量X 的分布律，并求( 2.5)P X ≤。

19. 设随机变量X ，Y 的联合分布如下图，求以下随机变量的分布律： （1）2X Y +, （2）X
Y
.
20.设~(1,4),X N -(0.5)0.6915,Φ=(1.5)0.9332Φ=，求(2)P X >。

21. 设A B ⊂,()0.4,()0.6,P A P B ==求：
B B ⋃（1）P(A),P(),(2)P(A B),(3)P(A ) 22. 袋子中有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5。

从中同时取出3个球，记X 为取出的球的最大编号，求X 的分布率。

23. 某种产品分别由甲、乙、丙三厂生产，甲厂产量占50%，次品率为0.01，乙厂产量占30%，次品率为0.02，丙厂产量占20%，次品率为0.05，求： （1）该产品的次品率；
（2）若任取一件，该件是次品，求这件次品来自甲厂的概率。

24.设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan F x A B x
x =+-∞<<+∞
求：（1）常数A 和B ；（2）X 落入（-1，1）的概率；（3）X 的密度函数
()f x
25. 设B A ,是两个事件，已知5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，试求
)(B A P -及).(A B P -
26. 发报台分别以概率0.6，0.4发出信号""•和""-，由于通信受到干扰，当发出""•时，分别以概率0.8和0.2收到""•和""-，同样，当发出信号""-时，收报台分别以0.9和0.1的概率收到""-和。

求(1) 收报台收到信号""•的概率；(2) 当收到""•时，发出""•的概率。

27. 已知某商店经销商品的利润率X的密度函数为
(1), 01 ()
0,
a x x
f x
-<<
⎧
=⎨
⎩其他
，
求（1）常数a；（2）D(X)
28. 设随机变量,X Y独立同分布，且
1
(1,)
4
X B，记随机变量Z X Y
=+，求Z
的分布律
29．袋内放有2个伍分的，3个贰分的和5个壹分的钱币，任取其中5个，求钱额总数超过一角的概率。

30．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19，求：
（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？
（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
31．已知1班有6名男生，4名女生；2班有8名男生，6名女生。

求下列事件的概率：
（1）随机抽1个班，再从该班中随机选一学生，该生是男生；
（2）合并两个班，从中随机选一学生，该生是男生。

32．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01。

今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。

33．一口袋有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。

从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。

34．设随机变量X的分布函数为
00
()
1(1)0
x
x
F x
x e x
-
≤
⎧
=⎨
-+>
⎩
，求：
（1）(1)P X ≤，（2）(2)P X ≥，（3）X 的密度函数。

35．某人上班所需的时间(30,100)X
N （单位：min ）,已知上班时间为8：
30，他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。

36．国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：t ）上服从均匀分布。

若每售出一吨，可获得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。

问应组织多少货源，才能使平均收益最大。

37. 假定某工厂甲，乙，丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的
45%,35%,20%。

若各车间的次品率依次为4%,2%,5%，现在从待出厂产品中检
查出1个次品，试判断它是由丙车间生产的概率。

38．甲,乙两名射手在一次射击中得分(分别用ξ, η表示)的分布律如表1,表2所示. 试比较甲乙两射手的技术.
39．两个相互独立的事件A 与B ，A 与B 都不发生的概率为1
9 ，A 发生B 不发
生的概率与A 不发生B 发生的概率相等，求(),()P A P B 。

40．设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为
(34), 0,0
(,) 0 x y ke x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他
，
求(1)系数k ；（2）(01,02)P X Y ≤≤≤≤；（3）证明X 与Y 相互独立。

41．某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布
2(72,)N σ，且96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60
至84分之间的概率。

（(1)0.8413,(2)0.9772φφ==）
42．国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：t ）上服从均匀分布。

若每售出一吨，可获得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。

问应组织多少货源，才能使平均收益最大。

43. 设随机变量X 的概率密度为,
02;()2
0,.
x x f x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤=其他
试求：（1）(),()E X D X ；（2）(23)D X -；（3）{}01P X <<。

四、综合题
1.设随机变量,X Y 独立同分布，且1
(1,)4
X
B ，（1）记随机变量Z X Y =+，
求Z 的分布律；（2）记随机变量max(,)U X Y =，求U 的分布律。

2.某商店经销商品的利润率X 的密度函数为2(1), 01
() 0, x x f x -<<⎧=⎨⎩其他
，求
()E X ，()D X 。

3.某人上班路上所需时间(30,100)X
N （单位：min ），已知上班时间是
8:30，他每天7:50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周(以5天计)最多迟到一次的概率。

4. 设随机变量X 的分布函数是
0,1,0.3,10,
()0.5,
01,0.712,1,
2.
x x F x x x x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩ (1) 求随机变量X 的分布律; (2)若随机变量2Y X =, 求()E Y 。

5. 甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船至少有一艘在停靠泊位时需要等待的概率。

6. 设随机变量,X Y 的联合分布如右表 且,X Y 相互独立，求,a b 的值.
7. 已知二维随机变量(,)X Y 联合分布律为
（1）求数a ； （2）证明：X 与Y 不相互独立。

8.一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色. 现以,,A B C 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，证明：,,A B C 两两独立，而 ,,A B C 不相互独立。

9-.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为,
0,
(,)0,,
x e y x f x y -⎧<<<+∞=⎨
⎩其他
求:(1)随机变量X 的边缘概率密度;
(2)概率P {X+Y≤1}。

X Y 0 1 2 1
1/6 1/18 1/9 3
1/3
a
b
Y X 1 2 4 -1 1/24 3/24
2/24 0 2/24 a
4/24 2
2/24
3/24
1/24
10. 司机通过某高速路收费站等候的时间X （单位：分钟）服从参数为λ=5
1
的指数分布.（1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p ；（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y 表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y 的分布律，并求P{Y ≥1}.
五、证明题
1.设,A B 为任意随机事件，证明：()()()()P A B P A P B P AB =+-。

2.某次大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药物。

在使用者中，假定有90人的药物检查呈阳性，而未使用者中也有5人检验结果呈阳性。

试证明：如果一个运动员的药物检查结果是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率超过90%。

3. ,,A B A B 若事件独立，证明事件独立。

4. 设二维随机变量（X ，Y ）具有密度函数2()4, 0,0
(,) 0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他
证明：X 与Y 是否相互独立。

5．设随机变量(0,1)X N ~，()x Φ是其分布函数，证明()1()x x Φ-=-Φ。

6. 设事件AB 发生，则事件C 一定发生，证明()()()1P A P B P C +-≤。

7. 若随机变量X 服从2(,)N μσ，试证X Y μ
σ
-=服从(0,1)N 。

六、分析题
1. 随机抽样谢村和杨村的半年收入分别如下（万元）：
试用数学期望、方差、中位数，说明两个村的富裕程度。

2.（8分）已知随机变量(X,Y)甲、乙两种情形的联合分布:
分别求出 X 、Y 的边缘分布，并根据结果说明联合分布与边缘分布的关系。

3. 随机抽样谢村和杨村的月收入分别如下（万元）：
试用数学期望、方差、中位数，说明两个村的富裕程度。

七、应用题
1. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min ）服从1
5
λ=的指数分
布，其密度函数为15
1,0
()50,x e x f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩
其他，某顾客在窗口等待服务，若超过
10min ，他就离开。

（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中只有一次未等到服务的概率。

2.某保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需交付保险费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔金，已知该市人员一年内发生生大人身事故的概率为0.005（假设每人发生事故是相互独立的），现有5000人参加此项保险，求保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元的概率是多少？
((0.25)0.5987,(0.45)0.6736,(0.75)0.7734,(1.0025)0.8419注：）Φ=Φ=Φ=Φ=
3. 设随机变量X服从参数1
λ的指数分布，即X～)1(E，现在对X进行3次独
=
立观测，求：（1）X的观测值大于1的概率；（2）至少有2次观测值大于1的概率．
4.对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量。

设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.75，0.2。

若学校共有1000名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布，求有1名家长来参加会议的学生数不多于777的概率.
（注：(0.25)0.5987,(0.45)0.6736,(0.75)0.7734,(1.97)0.9756.
Φ=Φ=Φ=Φ=）
三、计算题
1、解：设A 表示取到的都是合格品，则24262
()5
C P A C ==
设B 表示取到的一个合格品一个次品，则 11422
62!8
()15
C C P B C == 设C 表示至少有是一个合格品，则 2814
()()()51515
P C P A P B =+=
+=
2、解： 设A ，B ，C 表示产品来自甲乙丙三个工厂，D 表示抽到次品，则有以下概率
()0.2,()0.3,()0.5P A P B P C ===(|)0.05,(|)0.04,(|)0.02P D A P D B P D C ===
由全概率公式，得 ()0.20.050.30.040.50.020.032P D =⨯+⨯+⨯= 由贝叶斯公式，得
0.20.0550.30.046(|)(|)0.032160.03216P A D P B D ⨯⨯=
= == 0.50.035
(|)0.03216
P C D ⨯==
3、解：（1） 0
()()0 0x xe x f x F x x -⎧>'==⎨≤⎩
（2） 2
(1)1(1)1(1)P X P X F e
≥=-<=-=， （3） 2
2
1(2)(2)1(12)13P X F e e
-<==-+=- 4、解：由已知可得联合分布律为：
1
3 0 0 2 512
5、解：设A 表示恰好有一位精通英语，则 12233
53
()5
C C P A C == 设B 表示恰好有2位精通英语，则 12323
53
()10
C C P B C == 设C 表示有人精通英语，则 339
()()()51010
P C P A P B =+=+=
6、解： 设A 表示服用违禁药，B 表示检查呈阳性，则有以下概率
51
()0.1,(|)0.9,(|)900180
P A P B A P B A ===
=
由全概率公式，得 119
()0.10.90.9180200
P B =⨯+⨯=
由贝叶斯公式，得0.10.918
(|)1919200
P A B ⨯=
= 7、解：（1） 0
1()2x
x f x dx Ae dx Ae dx A +∞
+∞
--∞
-∞
==+=⎰
⎰⎰
1
2
A ∴=
（2） 1
0111(01)(1)22x P X e dx e
-<<==-⎰
8、解：由已知可得X 的边缘分布律为：
由已知可得X+Y 的分布律为
9. 解：
(1) ()1()10.360.64P A P A =-=-=， .
(2) ()()0P A B P -=∅=，()()()0.43P B A P B P A -=-=。

10. 解：设事件C B A ,,分别为甲乙丙车间生产的产品，事件=D {次品}， 由全概率公式得：)|()()|()()|()()(C D P C P B D P B P A D P A P D P ++=
0.70.020.10.030.20.05=2.7%=⨯+⨯+⨯
由贝叶斯公式得：()()()14
()()()27
P A P D A P AD P A D P D P D =
== 11.解：由条件得：11112()113927C +++=，则 27
80
C = ；
且( 1.2)=(0)(1)P X P X P X ≤=+=2721
(1)0.9803⨯=+=.
12.解： (3)1(3)1(33)P X P X P X >=-≤=--≤≤
31131
1()444X P -+++=-≤≤1[(1)(0.5)]1(1)1(0.5)0.4672=-Φ-Φ-=-Φ+-Φ=
13. 解：由于直径X 服从[2,5]上均匀分布,所以其概率密度函数为
1
,[2,5]
()3
0,X x f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它
. 而两随机变量有316y x π=，则其反函数为 1/31/36
()()x h y y π==，
且其导数的绝对值为'1/32/3
2()=()9h y y π
-， 由性质得Y 的概率密度
1/3
2
164125(),[,]936()0,Y y y
f y πππ⎧∈⎪=⎨⎪⎩
其它
解：情形甲、乙中，X 、Y 14.
的
边缘分布都分别为：
甲、乙两种情形的联合分布不同，但X 、Y 的边缘分布却相同，因此他们的关系是：联合分布决定边缘分布，但边缘分布不能决定联合分布。

15. 解: (,)X Y 的分布律列出下表：
所以，（1）X Y -的分布律为：
（2）XY 的分布律为：
16. 解：因为A B ⊂
(1) (+)()0.6P A B P B ==，
(2) ()()0P A B P -=∅=， ()=()()()0.4P AB P B A P B P A -=-=。

17. 解：设事件C B A ,,分别为甲乙丙车间生产的产品，事件=D {次品}， 由全概率公式得：
)
|()()|()()|()()(C D P C P B D P B P A D P A P D P ++=0.10.040.50.020.40.03=2.6%=⨯+⨯+⨯
由贝叶斯公式得：
()()()6
()()()13
P CD P C P DC P C D P D P D =
== 18.解：由条件得： 1111()11248C +++=，则 8
15
C = ；
且1814
( 2.5)1(3)181515
P X P X ≤=-==-⨯=
19.解: (,)X Y 的分布律, 列出下表：
… (4分)
所以，（1）2X Y +的分布律为：
（2）XY 的分布律为： 20.解：
(2)1(2)1(22)P X P X P X >=-≤=--≤≤21121
1(
)222
X P -+++=-≤≤ 1[(1.5)(0.5)]1(1.5)1(0.5)
0.3753=-Φ-Φ-=-Φ+-Φ=
21. 解：
1()1-()1-0.40.6()1-()1-0.60.4P A P A P B P B === ===（） (2)()()0.6P A B P B ⋃==
(3)()(-)()-()()-()0.6-0.40.2P AB P B A P B P BA P B P A =====
22. 解 ：3511{3},10P X C ===23353{4},10C P X C ===2
4356
{5},10
C P X C ===
于是X 的分布律为
23.解：用B 表示产品是次品，A 1表示甲厂的产品，A 2表示乙厂的产品，A 3表示丙厂的产品。

（1）112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++
0.50.010.30.020.20.05=⨯+⨯+⨯0.021=。

（2）1111()()()0.50.01
()24%()()0.021
P A P B A P A B P A B P B P B ⨯=
==≈， 24. 解：(1)由()0F -∞=，()1F +∞=有：0212
A B A B ππ⎧
-=⎪⎨⎪+=⎩ 解之有：12A =，1
B π
=
(2)1
(11)(1)(1)2
P X F F -<<=--=
(3)21()()(1)f x F x x π'==+
25.解： 因为 )()()()(AB P B P A P B A P -+= ，
所以)()()(B P A P AB P += )(B A P -4.08.07.05.0=-+= 于是，)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=- 1.04.05.0=-=
3.04.07.0)()()()(=-=-=-=-AB P B P AB B P A B P .
26.解： 记 =B {收到信号""•}，=A {发出信号""•}
(1) )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=
52.004.048.01.04.08.06.0=+=⨯+⨯= (2) 13
12
52.08.06.0)()|()()|(=⨯==
B P A B P A P B A P .
12100
12310012234100211
(1)
()(1)()|1222
111
2()()2(1)2()|233
111
()2(1)2()|346
()f x dx a x dx a x x a a E X xf x dx x x dx x x E X x x dx x x D X +∞
-∞+∞-∞=-=-==∴= ==-=-= =-=-= =E() ⎰⎰⎰⎰⎰27.解：()X 22111
-=-=
638
E (X)（）
28.解：由题可以得X,Y 的分布列为
Z 的可能取值为0,1,2，且X 与Y 相互独立，所以
P(Z=0)=P(X=0，Y=0)= P(X=0)P(Y=0)= 339
4416
⨯=
P(Z=1)=P(X=0，Y=1)+ P(X=1，Y=0)= P(X=0)P(Y=1)+ P(X=1)P(Y=0)
=31316
444416⨯+⨯=
P(Z=2)=P(X=1，Y=1)= P(X=1)P(Y=1)= 111
4416⨯=
分布律为：
29．解：设={5}A 取个钱币钱额超过壹角，于是有5
10n C =。

由题意可知，当取两个5分币，其余的三个可以任取，其种数为：
232212122323232352352528
C C C C C C C C C C C C +++=
而当取一个5分币，2分币至少要取2个，其种数为：
131122
2
35235C C C C C C + 因此有利于事件A 的基本事件总数：
23131122
2
8235235126m C C C C C C C C =++= 故 5
101261
()2
P A C =
= 30．解：记 {}A =某人的资金投入基金，{}B =某人的资金投入股票， 则P （A ）=0.58，P （B ）=0.28，P （AB ）=0.19 （1）0.19
0.3270.58
P P A P ==（AB ）
（B ）=
（A ）；
（2）0.19
0.6780.28
P P B P ==（AB ）（A ）=（B ）。

31．解：（1）记{}{}{}12B A A ===该生是男生，取自1班，取自2班， 已知 12681014
P A P A （B ）=
，（B ）=，
所以 ，()()()i i P B P A P B A =∑161841
21021470
=⨯+⨯=。

（2）147
2412
P =（B ）=
32．解：记{}{}{}12B A A ==中途停车修理，=货车，客车，则12B BA BA =。

由贝叶斯公式有1111122P A P B P A A （A ）P （B ）
（A ）=
（A ）P （B ）+P （A ）P （B ）
2
0.0230.821
0.020.0133⨯==⨯+⨯。

33. 解：依题意X 可能取的值为-3，1，2，则
111
326
P P P ==（X=-3）=，（X=1），（X=2）
X 的分布律为31
2111326X
-⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
，
分布函数为03131
3
512612
x x F
x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩
（x ）=。

34. 解：（1）11(1)(1)1(11)12P X F e e --≤==-+=-； （2）2(2)1(2)1(2)3P X P X F e -≥=-<=-=
（3）由分布函数()F x 与密度函数()f x 的关系，可得在()f x 的一切连续点处
有`
()()f x F x =，因此0()0
x
xe x f x -⎧>=⎨
⎩其他。

35. 解：（1）由题意知某人路上所花时间超过40 min ，他就迟到了，因此所求概率为
4030
(40)1(
)1(1)10.84130.158710
P X φφ->=-=-=-= （2）记Y 为5天中某人迟到的次数，则Y 服从5,0.1587n p ==的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为
05455(1)(0.1587)(0.8413)0.1587(0.8413)0.81901P Y ⎛⎫⎛⎫
≤=⨯+⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
36. 解：设随机变量Y 表示平均收益（单位：万元），进货量为 a t ，
3()3X a X x a
Y a x a --<⎧=⎨
≥⎩
则 4000200011
()(4)320002000
a
a E Y x a dx a dx =-+⎰⎰
21
(2140008000000)2000
a a =
-+-。

要使得平均收益()E Y 最大，所以令2'(2140008000000)0a a -+-=，得
3500a =t 。

37．解：设321,,A A A 分别表示“产品为甲，乙，丙车间生产的”，
B 表示“产品为次品”，则321,,A A A 构成一个完备事件组。

依题意，有
%20)(%,35)(%,45)(321===A P A P A P
%5)|(%,2)|(%,4)|(321===A B P A B P A B P
由贝叶斯定理，有7
2
)
|()()
|()()|(3
1
333=
=
∑=i i
i
A B P A P A B P A P B A P 38．解：1.25.031.024.01=⨯+⨯+⨯=）（ξE
2.2
3.036.021.01=⨯+⨯+⨯=）（ηE
乙的技术好
39. )(-
-
-
⋅B A P 9
1
=，)()(B A P B A P ⋅=⋅-
-
A 与
B 相互独立，-
∴A 与-
B ，A 与-
B ，-
A 与
B 都相互独立
由))(1)(()()()(B P A P B P A P B A P -==⋅-
-
)())(1()()()(B P A P B P A P B A P -==⋅-
-
得
)()(B P A P =
又由9
1))(1))((1()()()(=--==⋅-
-
-
-
B P A P B P A P B A P 得
3
2
)()(=
=B P A P 40. 解： (1) 由联合密度函数的性质，得
(34)340
1(,)x y x y f x y dxdy ke dxdy k e dx e dx +∞
+∞
+∞
+∞
+∞+∞
-+---∞
-∞
===⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
34001212
x y k k e e +∞+∞--==
12k ∴=
（2）12
340
(01,02)12x y P X Y e dx e dx +--≤≤≤≤=⎰⎰
12
34380
(1)(1)x y e e e e ----==--
（3）343012 03 0()(,)0 0 0 0x y x X e
dy x e x f x f x y dy x x +∞
---+∞
-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨
≤⎩
⎪≤⎩⎰⎰ 344012 04 0()(,)0 0 0 0x y y Y e
dx y e y f y f x y dx y y +∞
---+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨
≤⎩
⎪≤⎩⎰⎰ (,)()()X Y f x y f x f y ∴=X ∴与Y 相互独立。

41. 解：本题中72,u σ=未知， 由(96)0.023P X ≥=，得24
()0.977φσ
=，查表得
24
2,σ
=即12σ=。

则2(72,12)X
N 。

84726072
(6084)(
)()1212
P X φφ--≤≤=- (1)(1)0.6826φφ=--=
42. 解：设随机变量Y 表示平均收益（单位：万元），进货量为 a t ，
3()3X a X x a
Y a x a --<⎧=⎨
≥⎩
则 4000200011
()(4)320002000
a
a E Y x a dx a dx =-+⎰⎰
21
(2140008000000)2000
a a =
-+-。

要使得平均收益()E Y 最大，所以令2'(2140008000000)0a a -+-=，
得3500a =t 。

43、解：(1)E(X)=⎰+∞
∞-dx x xf )(=⎰⋅
2
2x x dx=3
4
)(E 2X =⎰+∞∞
-dx x f x )(2=⎰⋅
2
22
x
x dx=2 ∴D(X)=)(E 2X -2)]([X E =2-2)34(=9
2
（2）D(2-3x)=D(-3x)=9D(X)=9⨯9
2=2 (3)P{0<x<1}=⎰⎰==10104
1
2)(dx x dx x f
四、综合题 1、解：
2、解：1
201
()()
(22)3E X xf x dx x x dx +∞
-∞==-=⎰
⎰
122
2301()()(22)6
E X x f x dx x x dx +∞-∞==-=⎰⎰
22111
()()[()]6918
D X
E X E X ∴=-=-=
3、解：（1）因为上班时间服从(30,100)X N ，所以迟到的概率为
4030
(40)1(40)1(
)1(1)0.158710
P X F -≥=-=-Φ=-Φ= （2）设一周内迟到次数为Y ，则(5,0.1587)Y B ，至多迟到一次的概率为
(1)(1)(0)P Y P Y P Y ≤==+=
4550.15870.84130.84130.819=⨯⨯+=
4、解：
()0.510.34 1.7E Y =⨯+⨯=
2、解：1201
()()(22)3
E X xf x dx x x dx +∞
-∞==-=⎰
⎰ 1222301
()()(22)6
E X x f x dx x x dx +∞-∞==-=⎰⎰
22111
()()[()]6918
D X
E X E X ∴=-=-=
5、解：设甲乙到达时刻分别记为X,Y ，则如果有船需要等待，X,Y 应该满足
||6X Y -≤
所以有船需要等待的概率为222
24187
()
P A -==
6.解： 由于右表是,X Y 又,X Y 相互独立，所以ij i j p p p =⨯
即 111=()18318a +, 联立解得: 12
,99
a b ==
7. 解：
（1）a 满足3
3
111ij i j p ===∑∑，得61
244
a =
=； （2）114p •=
,21124p •=,1212324
p p p ••=≠⨯
即不满足ij i j p p p ••=⨯, 所以X 与Y 不相互独立。

8.证明： 由题意知，
1()()()2P A P B P C ===
，1()()()4
P AB P BC P CA === 容易验证:
111
()()(),()()(),()()()444P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C ======，
所以,,A B C 两两独立； 但是，11
()()()(),48
P ABC P A P B P C =
≠= 所以,,A B C 不相互独立。

9、解：（1）()(,)X f x f x y dy +∞-∞
=⎰
当0
0()(,)=x
x x X x f x f x y dy e dy xe +∞---∞
>==⎰⎰时，
0()0X x f x ≤=当时，, 0
()0 0
x X xe x f x x -⎧>=⎨≤⎩
（2） 1
10(1)(,)x x y x y y x
P X Y f x y dxdy e dxdy -+≤+≤<<+≤=
=
⎰⎰
⎰⎰
10.511
2
12y x y
dy e dx e e --
--==+-⎰⎰
10、解：(1)151,0
()50,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
, P{X>10}=21010
51515
1-∞+∞+--==⎰e e dx e x x
(2) P{Y≥1}=1-)0(P 2=1-4222020
2
2)1()(-----=-e e e e C 五、证明题 1- 证明：
()()A B A B A A B AB =-=-且(),A B AB B AB -=∅⊇
()()()()()()P A B P A P B AB P A P B P AB ∴=+-=+-
2-证明：设{}{}.A B ==服用违禁药品，药检是阳性则根据已知有
5
()0.1,(|)0.9,(|),900
P A P B A P B A === 由全概率公式得，
5
()()(|)()(|)0.10.90.90.095900
P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯= 由贝叶斯公式，得 ()(|)0.10.9
(|)0.94740.9()0.095
P A P B A P A B P B ⨯=
==>
因此，如果一个运动员的药物检查结果是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率达94.74%，超过90%。

3(-)()-() P AB P B AB P B P AB ==证明：（
）,,()()() A B P AB P A P B =独立，所以
(-)()-()()-()()P AB P B AB P B P AB P B P A P B ∴===（）()(1())()()P B P A P B P A =-=
,A B 由事件相互独立的定义可知事件独立。

4. 2()22200(,)442,0()0,,x y x y x X f x y dy e dy e e dy e x f x +∞+∞+∞
-+----∞⎧===>⎪= ⎨⎪
⎩⎰⎰⎰证明：其它
22,0
()0,y Y e y f y -⎧> =⎨
⎩同理可得：其它
(,)()(),,,X Y X Y f x y f x f y x y =-∞<<+∞-∞<<+∞易见，因此与相互独立
5.
证明：2
2
(0,1) (),x N f x ξ
ξ-∴=的密度函数为()()f x f x ∴-=
()()()u t
x
x
x f t dt f u du =---∞
+∞
∴Φ-==--⎰
⎰
()1()1()x x
f u du f u du x +∞-∞
==-=-Φ⎰
⎰
6. 证明：由概率基本性质，因为AB C ⊂,有()()P AB P C ≤. 考虑到 ___
___
()()(),()()()P A P AB P A B P B P AB P A B =+=+ ， （
以及___
__
____
()()()1()P AB P A B P AB P AB ++=- 有
__
__
()()()[()()][()()]()P A P B P C P AB P A B P AB P A B P AB +-≤+++-
________
()()()1()1P AB P A B P A B P A B =++=-≤ 7证明：对任何实数y ，
{}{}P Y y P X y σμ≤=≤
+22
2
()22
t S y y
dt ds μσμ
σ--+--∞
==⎰
⎰
因 而 Y 服从(0,1)N 六．分析题
1. 解：数学期望和方差分别为：
11
()100 (020)
55i i E X x p ==⨯++⨯=∑22211
()100...0200055i i E X x p ==⨯++⨯=∑
22()()(())1600D X E X E X =-=
11
()5...352055i i E Y y p ==⨯++⨯=∑
222211
()5...3553055i i E Y x p ==⨯++⨯=∑
22()()(())130D Y E Y E Y =-=
由计算结果知道：()()E X E Y =，()()D X D Y >，而中位数0,20X Y μμ==,因此，
尽管两个村的平均半年收入相同，但杨村贫富差距更小，共同富裕程度更高。

2.解：情形甲、乙中，X 、Y 的边缘分布都分别为：
甲、乙两种情形的联合分布不同，但X 、Y 的边缘分布却相同，因此他们的关系是：联合分布决定边缘分布，但边缘分布不能决定联合分布。

3.解：数学期望和方差分别为：
11
()50...01055i i E X x p ==⨯++⨯=∑
22211
()50 (050055)
i i E X x p ==⨯++⨯=∑
22()()(())400D X E X E X =-=
11
()2...181055i i E Y y p ==⨯++⨯=∑
222211
()2...18127.255i i E Y x p ==⨯++⨯=∑
22()()(())27.2D Y E Y E Y =-=
由计算结果知道：()()E X E Y =，()()D X D Y >，而中位数0,10X Y μμ==,因此，
尽管两个村的平均月收入相同，但杨村贫富差距更小，共同富裕程度更高。

七、应用题
1. 解 （1）设随机变量X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X 服从5
1
=
λ的指数分布，且顾客等待时间超过10min 就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为
()⎰
∞
+--==≥10
25
5
110e dx e X P x
；
（2）设Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y 服从
2
,5-==e
p n 的二项分布，所求概率为
12
242245
(1)(1)5(1)P Y C e e e e ----==-=- 2. 解：设 X 为一年内发生重大人身事故的人数 ， 则X ～B （5000，0.005), np=25,np(1-p)= 24.875
近似地，
一年的收益为 0.016*5000-2X=80-2X 万元
由题可得：
3. 解：（1）X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,
00
,)(x x e x f x ，
11
1
1
)()1(-∞+-+∞
-+∞
=-===
>⎰⎰
e e dx e dx x
f X P x
x ；
（2）用Y 表示3次独立观测中X 观测值大于1的次数，则Y ～),3(1-e B ，
013
133112123)1()()1()()3()2()2(-----+-==+==≥e e C e e C Y P Y P Y P
3231223)1(3------=+-=e e e e e ．
()()20802402030P X P X ≤-≤=≤≤302520254.9875 4.9875--⎛⎫⎛⎫≈Φ-Φ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
20252530254.9875 4.9875 4.9875X P ---⎛⎫=≤≤ ⎪
⎝⎭
()()()1.0025 1.00252 1.002510.6839
=Φ-Φ-=Φ-=()
25~0,14.9875
X N -
4. , ~(1000,0.75),, 1777{777} = 1.9718(1.97)0.97Y Y b P X P P ≤=≤⎫≤≈Φ=⎬⎭
解：以记有一名家长来参加会议的学生数则则E(Y)=np= 750,D(Y)=np(1-p)=187.5
由棣莫弗－拉普拉斯定理知只有名家长来参加会议的学生数不多于的概率为56。