正交变换的应用及数学方法论意义

指导教师:赵峰

2012年4 月25 日

原创性声明

本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.

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目录

引言 (1)

1 正交变换的定义 (1)

2 正交变换的性质 (2)

3正交变换法化二次标准型 (2)

3.1正交变换化二次标准型的步骤 (3)

3.2正交变换在二次标准型中的应用 (3)

4 正交变换在积分中的应用 (7)

4.1在多元积分学中的应用 (7)

4.2重积分在正交变换下形式不变性 (9)

4.3 正交变换在区面积分中的应用 (10)

5 正交变换的数学方法论的意义 (12)

5.1一般化 (12)

5.2代数化 (12)

5.3 模型化 (12)

结语 (13)

参考文献 (14)

致谢 (15)

摘要

正交变换是欧氏空间中一类重要的变换，是保持度量不变的变换，正因为它有这一特征，使正交变换在高等代数中起着重要的作用．不仅如此，它在其它领域也有着广泛的应用，如在积分应用中，在多重积分及其曲面积分等方面．本文简单的介绍了正交变换的定义及其性质，讨论了正交变换化二次标准型的步骤及其广泛应用，运用正交变换进行变量替换是将数学分析与代数方法结合的例证，证明了第一类曲面积分和重积分在正交变换下的不变性。因而可将其应用于简化多元函数积分计算．正交变换的此类应用充分体现了一般化、代数化、模型化的数学方法论。

关键词：正交变换；二次型；变量替换；重积分；曲面积分；数学方法论

Abstract

The orthogonal transformation, a transformation that maintains the measure invariable, is one of the most important transformations in the field of euclidean space.Benifiting from this feature, it plays an important role in the advanced algebra. Furthermore，it applies widely in many other fields，such as the applications of integration, like the multiple integrations , the surface integrations and so on.This paper introduces the definition and properties of the orthogonal transformation briefly,it also discusses the procedures and wide applications of the secondary standard of the orthogonal transformation,using the orthogonal transformation to make a variable substitution is a good instance to prove the perfect combination of the mathematical analysis and algebraic approach,it demonstrates the invariance of the the first class of the surface integrations and double integrations under the orthogonal transformation. Thus,the orthogonal transformation can be applied in( the numerical integration of simplifying the function of many cariables.This kind of application of the orthogonal transformation fully embodies such mathematical methodologies as the generalization，the algebraization, and the modeling.

Keyword：Orthogonal transformation; Quadratic ；Variable Substitution；Multiple integral；Surface integrals；Mathematical methodology

引 言

随着近代数学的发展,数学的各学科间的相互渗透显得越来越重要,特别是代数的方法运用更为突出,在现行的数学分析教材中,某些内容也注意到代数的方法的运用,但还需进一步加强, 将数学分析与代数方法结合, 是解决问题的途径之一, 更是培养学生数学能力的重要内容，有利于培养学生综合运用基础知识的能力。

我们在大学中学习了许多数学变换，接触了数学中的正交变换、仿射变换、摄影变换等，它们在数学中的应用非常的广泛，正交变换在数学分析、高等代数等学科中的解题有着很重要的应用。本文重点讨论了正交变换化二次标准型的方法进行归纳整理，以及利用正交变换解决一类多元函数积分问题，给出了利用正交变换求积的一种简单方法。把正交变换巧妙的应用到多元函数的积分中去,解决了多元函数积分中的一些应用难题,找到了线性代数与微积分的新切点.使得积分解题变得简单和灵巧。

1、 正交变换的定义

正交变换是欧式空间中一类重要的线性变换——保持向量的内积不变的变换。

定义 设A ∈End R (V)是欧几里得空间的线性变换，A 称为正交变换,如果它保持向量的内积不变，也就是说对任意的βα,V ∈，都有（).,(),βαβα=A A 因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的，由定义不难看出正交变换实际就是一个欧式空间到它自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换，在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此正交矩阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。

如果A 是正交矩阵，那么有AA -1=E,可知|A 2|=1，或者|A|=±1.因此，正交变换的行列式等于+1或者等于-1.行列式等于+1的正交变换通常称为旋转或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的。在三维空间中，detA=1