2023-2024学年广东省深圳市罗湖区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年广东省深圳市罗湖区八年级（上）期末
数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列四个数中，是无理数的是（）
A．3.14B．C．D．0
2．（3分）下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（）
A．2，3，4B．3，4，5C．5，6，7D．7，8，9 3．（3分）根据下列描述，能够确定一个点的位置的是（）
A．学校图书馆前面B．凤凰电影院3排6座
C．和谐号第2号车厢D．北偏东40°方向
4．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.2环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（3分）已知一次函数y＝x﹣1，则该函数的图象是（）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线a与出射光线b平行．若入射光线a与镜面AB的夹角∠1＝45°，则∠4的度数为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则
∠ECD等于（）
A．40°B．45°C．50°D．55°
8．（3分）下列命题是真命题的是（）
A．同旁内角互补B．相等的角是对顶角
C．4的算术平方根是±2
D．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
9．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五
寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以AB为边作正方形ABCD，点C的坐标（﹣7，3）在一次函数y＝kx+6上，一次函数与x轴交于点E，与y轴交于点F，将正方形ABCD沿x轴向右平移a个单位长度后，点D刚好落在直线
EF上，则a的值为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝．
12．（3分）比较大小：．（填“＞”、“＝”或“＜”）
13．（3分）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为．
14．（3分）如图，直线y＝2x+6与直线l：y＝kx+b交于点P（﹣1，m），则方程组的解为．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是△ABC外的一个点，连
接AD，BD，且AD＝2，∠ADB＝135°，四边形ACBD的面积是，则BD的长为．
三、解答题（共7小题，共55分，其中16题6分，17题8分，18题6分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分）
16．（6分）计算：
（1）；（2）（1﹣）2+3．
17．（8分）解方程组：
（1）；（2）．
18．（6分）杭州亚运会开幕式惊艳了世界，这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多都来自高校．在志愿者招募之时，A，B两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从这两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的综合测试成绩进行整理和分析，下面给出部分信息．综合以上信息，解答下列问题：
A，B两所大学被抽取的志愿者测试成绩的平均分、中位数、众数如下表：
学校平均分中位数众数
A校a b95
B校93.595c
（1）填空：a＝，b＝，c＝；
（2）B校志愿者的成绩的扇形统计图中的圆心角α＝°，请补全A校志愿者的成绩的条形统计图；
（3）如果你是组委会成员，你倾向招哪所大学的志愿者？请说明理由．
19．（8分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”
活动，某中学计划从体育用品商场购买乒乓球拍和乒乓球用于学生社团活动．若购买2副球拍和3盒乒乓球则共需75元；若购买3副球拍和2盒乒乓球则共需100元．
（1）求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的价格．
（2）学校计划采购乒乓球拍20副和乒乓球30盒．元旦期间，商场搞促销活动：甲商场全部商品打9折出售，乙商场买2副乒乓球拍送一盒乒乓球，请问在哪个商场采购合算？
请说明理由．
20．（8分）如图，已知直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，M为线段OB上一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）求直线AM的函数表达式．
21．（9分）我们学习了平移、旋转、轴对称等图形变换，这些图形变换不仅可以应用到精美的图案设计上，还可以解决生活实际问题．
【图案设计】
如图1，在平面直角坐标系中，A（3，4），B（1，2），C（5，1）．
（1）作出△ABC关于y轴的对称图形△DEF，并标注出点D，E，F；
【拓展应用】
（2）如图1，点P是x轴上一动点，并且满足PA+PB的值最小，请在图中找出点P的
位置（保留作图痕迹），并直接写出PA+PB的最小值为．
【实际应用】
（3）如图2，某地有一块三角形空地ABC，已知∠ABC＝45°，G是△ABC内一点，连接GB后测得GB＝20米，现当地政府欲在三角形空地ABC中修一个三角形花坛GMN，点M，N分别是AB，BC边上的任意一点（不与各边顶点重合），请问△GMN的周长最少约多少米？（保留整数）（≈1.41，≈1.73）
22．（10分）【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为8cm，宽为4cm．
（1）【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片ABCD和EFGQ摆成图1的形状，点A与点E重合，边AD与边EF重合，边AB，QE在同一直线上．请判断：△ACG的形状为．
（2）【解决问题】如图2，在（1）的条件下，小明将长方形EFGQ绕点A顺时针转动m°（转动角度小于45°），即∠DAF＝m°，边EF与边CD交于点M，连接BM，BN平分∠MBC，交CD于点N，∠AMB+∠AMC＝180°，求∠CBN的度数．
（3）【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形EFGQ绕点A顺时针转动一周，若边EF 所在的直线恰好经过线段BQ的中点O时，连接BF，FQ，请直接写出△BFQ的面积．
2023-2024学年广东省深圳市罗湖区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】根据有理数和无理数的定义，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案．【解答】解：对于选项A，3.14是有理数，不合题意；
对于选项B，是有理数，不合题意；
对于选项C，是无理数，符合题意；
对于选项D，0是有理数，不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的意义，熟练掌握有理数和无理数的定义是解决问题的关键．
2．【分析】根据勾股定理的逆定理对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案．【解答】解：对于选项A，
∵22+32＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴选项A中的数据作为三角形三边长，不是直角三角形，故该选项不符合题意；
对于选项B，
∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴选项B中的数据作为三角形三边长，是直角三角形，故该选项符合题意；
对于选项C，
∵52+62＝61，72＝49，
∴52+62≠72，
∴选项C中的数据作为三角形三边长，不是直角三角形，故该选项不符合题意；
对于选项D，
∵72+82＝113，92＝81，
∴72+82≠92，
∴选项D中的数据作为三角形三边长，不是直角三角形，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
3．【分析】根据确定一个点的位置必须有两个数据来判断．
【解答】解：A选项中，学校图书馆前面，不能确定具体的一个点，故不符合题意；
B选项中，凤凰电影院3排6座，能确定具体的一个点，故符合题意；
C选项中，和谐号第2号车厢，不能确定具体的一个点，故不符合题意；
D选项中，北偏东40°方向，不能确定具体的一个点，故不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了坐标确定位置的问题，关键知道确定一个点的位置必须有两个数据来判断．
4．【分析】根据方差的意义“方差越小越稳定”，比较方差大小，选择方差最小的即可．
【解答】解：∵，，，，
∴，
∴甲的方差最小，
∴射击成绩最稳定的是甲，
故选：A．
【点评】本题主要考查了方差的意义，熟记方差的意义“方差越小越稳定”是解题的关键．
5．【分析】先由y＝x﹣1得该一次函数是过点（1，0）和点（0，﹣1）的一条直线，由此对题目中给出的四个选项逐一进行判断即可得出答案．
【解答】解：对于y＝x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1，当y＝0时，x＝1，
∴一次函数y＝x﹣1是过点（1，0）和点（0，﹣1）的一条直线，
对于选项A，符合题意；
对于选项B，函数的图象经过点（﹣1，0）和点（0，1），故该选项不符合题意；
对于选项C，函数的图象经过点（1，0）和点（0，1），故该选项不符合题意；
对于选项D，函数的图象经过点（﹣1，0）和点（0，﹣1），故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解决问题的关键．
6．【分析】在图中标注∠5，∠6，由AB∥CD，直线a∥直线b，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出∠2＝∠3，∠5＝∠6，再结合∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6＝180°，即可求出∠4的度数．
【解答】解：在图中标注∠5，∠6，如图所示．
∵AB∥CD，直线a∥直线b，
∴∠2＝∠3，∠5＝∠6．
又∵∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6＝180°，
∴∠4＝∠1＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．7．【分析】根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可．【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．
8．【分析】利用平行线的性质、对顶角的定义、算术平方根的定义及三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意；
C、4的算术平方根是2，故原命题错误，是假命题，符合题意；
D、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
9．【分析】根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x﹣y＝4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴．
∴所列方程组为．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．【分析】由点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k值，进而可得出直线EF的函数解析式，过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，则△OAB≌△MBC及△OAB≌△NDA，利用全等三角形的性质，可求出点D的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点D平移后的横坐标，结合平移前点D的横坐标，即可求出结论．
【解答】解：∵点C的坐标（﹣7，3）在一次函数y＝kx+6上，
∴3＝﹣7k+6，
解得：k＝，
∴直线EF的函数解析式为y＝x+6.
过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BAD＝90°．
∵∠ABO+∠OAB＝90°，∠ABO+∠MBC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠OAB＝∠MBC．
在△OAB和△MBC中，
，
∴△OAB≌△MBC（AAS），
∴OB＝MC＝3，OA＝MB＝7﹣3＝4，
∴点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（﹣3，0）．
同理，可证出△OAB≌△NDA（AAS），
∴AN＝BO＝3，DN＝AO＝4，
∴ON＝OA+AN＝4+3＝7，
∴点D的坐标为（﹣4，7）．
当y＝7时，x+6＝7，
解得：x＝，
∴a＝﹣（﹣4）＝．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．【分析】根据立方根的定义即可求解．
【解答】解：＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了立方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．
12．【分析】首先比较出与的平方的大小关系，然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出与的大小关系即可．
【解答】解：＝50，＝27，
∵50＞27，
∴＞．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．
13．【分析】由勾股定理求出CD2＝64，AB2＝AF2+BF2＝CD2＝64，再由正方形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图．∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＝CE2﹣DE2＝102﹣62＝64，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＝AF2+BF2＝CD2＝64，
∴阴影部分的面积之和＝AF2+BF2＝AB2＝64，
故答案为：64．
【点评】本题考查的是勾股定理以及正方形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键．
14．【分析】将点P（﹣1，m）代入y＝2x+6，求出m的值，即可得点P的坐标，根据两函数图象交点的横纵坐标的值为两函数解析式组成的方程组的解可得答案．
【解答】解：将点P（﹣1，m）代入y＝2x+6，
得m＝﹣2+6＝4，
∴点P坐标为（﹣1，4），
∴方程组的解为．
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程（组），熟知两函数图象交点的横纵坐标的值为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键．
15．【分析】过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，证出ED＝BD，设ED＝EB＝x，得出DB＝x，AE＝2+x，由四边形ACBD的面积求出x＝1，则可得出答案．
【解答】解：过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵∠ADB＝135°，
∴∠EDB＝45°，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝BD，
设ED＝EB＝x，
∴DB＝＝x，AE＝2+x，
∴AB2＝BE2+AE2＝x2+（2+x）2＝2x2+4x+4，
过点C作CF⊥AB于点F，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴CF＝AB，
∴，
∵四边形ACBD的面积是，
∴，
∴（x﹣1）（x+5）＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣5（舍去），
∴DE＝1，
∴BD＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（共7小题，共55分，其中16题6分，17题8分，18题6分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分）
16．【分析】（1）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加法法则进行计算，再根据二次根式的除法法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式的性质和完全平方公式进行计算，再二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝5；
（2）（1﹣）2+3
＝1﹣2+3+
＝4﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
17．【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
将①代入②得：x+2x＝12，
解得：x＝4，
将x＝4代入①得y＝8，
则原方程组的解是；
（2），
①+②得5x＝10，
解得：x＝2，
将x＝2代入①得：y＝3，
则原方程组的解是．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，此题的关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较典型，难度适中．
18．【分析】（1）先求出A校90分的人数，再根据平均数公式求a即可，根据中位数和众数的定义即求出b、c的值；
（2）用360°乘80分所占的百分比即可求出圆心角α，根据A校90分的人数补全条形统计图即可；
（3）依据表格中平均数、中位数、众数比较做出判断即可．
【解答】解：（1）A校90分的人数为20﹣1﹣1﹣9﹣4＝5（人），
∴a＝＝93.5，
将A校被抽取的20名志愿者分数按从小到大的顺序排列后，第10，11个数据分别为95，95，
所以中位数b＝＝95，
由扇形统计图可知B校志愿者的成绩100分的百分比最大，
所以众数c＝100，
故答案为：93.5，95，100；
（2）B校志愿者的成绩的扇形统计图中的圆心角α＝360°×（1﹣20%﹣15%﹣20%﹣40%）＝18°，
补全A校志愿者的成绩的条形统计图：
故答案为：18；
（3）倾向招B所大学的志愿者，
理由如下：∵两所大学的平均分和中位数都相等，但B所大学众数大于A所大学的众数，∴倾向招B所大学的志愿者．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数的意义是正确解答的前提，从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
19．【分析】（1）设出每副乒乓球拍和每盒乒乓球的价格，再列二元一次方程组，解出即可；
（2）分别求出在甲商场和乙商场购买的价格，再比较即可得出在哪个商场采购合算．【解答】解：（1）设每副乒乓球拍的价格为x元，每盒乒乓球的价格为y元，
根据题意，得，
解得，
答：每副乒乓球拍的价格为30元，每盒乒乓球的价格为5元；
（2）在甲商场采购合算．
理由如下：
在甲商场采购：（20×30+30×5）×0.9＝675（元），
在乙商场采购：20×30+（30﹣）×5＝700（元），
∵675＜700，
∴在甲商场采购合算．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，弄清题目中的等量关系并列出方程组是解题的关键．
20．【分析】（1）令x＝0可得点B的坐标，令y＝0可得点A的坐标；
（2）先根据勾股定理求AB的长，由折叠可得BM＝B'M＝4，设OM＝x，则BM＝B'M＝8﹣x，由勾股定理列式得：x2+42＝（8﹣x）2，解方程可得x的值，利用待定系数法求AM的解析式；
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+8＝8，
∴B（0，8），
当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0）；
（2）∵A（6，0），B（0，8），
∴AB＝＝10，
∴AB′＝AB＝10，
∴B′（﹣4，0），
设OM＝x，则B′M＝BM＝BO﹣MO＝8﹣x，B′O＝AB′﹣AO＝10﹣6＝4
∴x2+42＝（8﹣x）2
x＝3
∴M（0，3）
设AM：y＝kx+b，
则，解得，
∴直线AM的解析式为y＝﹣x+3．
【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及折叠的性质、待定系数法、勾股定理等知识．在（1）中利用函数与坐标轴的交点列方程是解题的关键，在（2）中求得M点的坐标是解题的关键．
21．【分析】（1）分别作点A，B，C关于y轴的对称点D，E，F，连接DE、EF、DF，则△DEF就是所求的图形；
（2）作点B关于x轴的对称点G，连接AG交x轴于点P，连接BP，则PB＝PG，所以PA+PB＝PA+PG＝AG，此时PA+PB的值最小，即可由A（3，4），G（1，﹣2），求得AG
＝＝2，于是得到问题的答案；
（3）分别作点G关于直线AB、BC的对称点L、H，连接LH分别交AB、BC于点M，N，连接GL、GH、GM、GN、BL、BH，则GM+GN+MN＝LM+HN+MN＝LH，此时△GMN的周长最小，可求得∠LBH＝∠GBL+∠GBH＝2（∠ABG+∠CBG）＝90°，再根据勾股定理求得LH＝＝20≈28（米），则△GMN的周长最少约28米．【解答】解：（1）如图1，分别作点A，B，C关于y轴的对称点D，E，F，连接DE、EF、DF，
△DEF就是所求的图形.
（2）如图1，作点B关于x轴的对称点G，连接AG交x轴于点P，连接BP，
点P就是所求的图形．
理由：∵PB＝PG，
∴PA+PB＝PA+PG＝AG，
∴此时PA+PB的值最小，
∵A（3，4），B（1，2），
∴G（1，﹣2），
∴AG＝＝2，
∴PA+PB的最小值为2，
故答案为：2．
（3）如图2，分别作点G关于直线AB、BC的对称点L、H，连接LH分别交AB、BC 于点M，N，连接GL、GH、GM、GN、BL、BH，
∵AB垂直平分GL，BC垂直平分GH，
∴GM＝LM，GN＝HN，
∴GM+GN+MN＝LM+HN+MN＝LH，
∴此时△GMN的周长最小，
∵LB＝GB＝20米，BA⊥GL，HB＝GB＝20米，BC⊥GH，
∴∠ABL＝∠ABG，∠CBH＝∠CBG，
∴∠GBL＝2∠ABG，∠GBH＝2∠CBG，
∴∠LBH＝∠GBL+∠GBH＝2（∠ABG+∠CBG）＝2∠ABC＝2×45°＝90°，
∴LH＝＝＝20≈20×1.41≈28（米），
答：△GMN的周长最少约28米．
【点评】此题重点考查图形与坐标、轴对称的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
22．【分析】（1）可推出AG＝AC，∠CAG＝90°，从而得出结果；
（2）作MX⊥AB于X，可推出BM＝AB，进而得出MX＝BM，从而∠ABM＝30°，进一步得出结果；
（3）当线段FE与BQ交于点O时，作BV⊥AF于V，可证得△EOQ≌△VOB，从而BV
＝EQ＝2，OV＝OE，进而得出∠BEF＝30°，从而得出AV＝BV＝4，进而得出OF＝8﹣2，进一步得出结果；当EF的延长线交BQ于点O时，同样得方法得出结果．【解答】解：（1）∵长方形纸片ABCD和EFGQ是两个完全相同的长方形，
∴AC＝AG，∠BAC＝∠GAF，
∴∠BAC+∠CAD＝∠GAF+∠CAD，
∴∠GAC＝∠BAD＝90°，
∴△ACG是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）如图1，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠BAM+∠AMC＝180°，
∵∠AMB+∠AMC＝180°，
∴∠BAM＝∠AMB，
∴BM＝AB＝4，
作MX⊥AB于X，
∴∠AXM＝90°，
∴四边形ADMX是矩形，
∴MX＝AD＝2，
∴MX＝BM，
∴∠ABM＝30°，
∴∠CBM＝60°，
∵BN平分∠MBC，
∴∠CBN＝；
（3）如图2，
当线段FE与BQ交于点O时，作BV⊥AF于V，
∵O是BQ的中点，
∴OB＝OQ，
∵∠QEF＝∠BVE＝90°，∠EOQ＝∠BOV，
∴△EOQ≌△VOB（AAS），
∴BV＝EQ＝4，OV＝OE，
∴BV＝EB，
∴∠BEF＝30°，
∴AV＝BV＝4，
∴OA＝2，
∴OF＝8﹣2，
＝S△BOF+S△FOQ＝OF•（AQ+BV）＝＝32﹣8，∴S
△BFQ
如图3，
当EF的延长线交BQ于点O时，
由上知：OE＝OV＝2，
∴OF＝EF+OE＝8+2，
＝S△BOF+S△FOQ＝OF•（AQ+BV）＝＝32+8，
∴S
△BFQ
综上所述：△BFQ的面积是32+8或32﹣8．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，全等三角形
的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形。