【数学】广东省化州市2020届高三上学期第一次模拟考试 数学(理)

广东省化州市2020届高三上学期第一次模拟考试
理科数学
本试卷6页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 将条形码横贴在答题卡相应的“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各題目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答題卡的整洁，考试结束后，将试卷和答題卡一并交回。

第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)己知集合 A= {0<)1(log |2-x x }，B= {3|≤x x },则=)(B A C R I = (A) (-∞,l] (B) (2,3) (C) (2,3] (D) (-∞,l]∪[2,3] (2)设z i i
z ,11-+=
是的共轭复数，则=⋅z z
(A) -1 (B) i (C) 1 (D) 4
(3)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G, H, M(如图所示)，则四棱锥M-EFGH 的体积为
A.121
B. 41
C. 21
D. 3
1
(4)“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”,其中China 又可以简写为CN,从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有 (A) 360种 （B)480 种 （C)600种 （D)720种
(5)等比数列{n a }的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知463
,4763=
=S S =1，则8a 的值是
(A) 28 (B) 32 (C) 35 (D) 41
(6)己知)(x f 定义在区间[-1,1]上，且满足)()(x f x f -=-，当0<x 时，)1()(-=x x x f 则关于m 的不等式0<)1()1(2
m f m f -+-的解集为 (A) [0,1) (B) (-2,1) (C) (-2,
2) (D) (0,2)
(7)已知双曲线)0>0,>(1:22
22b a b
y a x C =-的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离
心率为 (A)
2
(B) 3 (C) 5 (D)
25
(8)美丽的“勾股树”是以一个直角三角形的每一边向外作正方形而得到的.如图所示，图1是第1代“勾 股树”，重复图1的作法，得到图2,为第2代“勾股树”，以此类推，己知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和 分别为 (A) 2n-l ；n (B) 2n-1
; n+1 (C) 2n+1
,n
(D) 2n+l
-1;n+1
(9)函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中2
|<|0,>π
ϕA )的图象如图所示，为了得到x A x f 3sin )(=的
图象，只需将)(x f 的图象
(A)向右平移
4π
个单位长度 (B)向左平移4π
个单位长度
(C)向右平移12π
个单位长度
(D)向左平移12
π
个单位长度
(10)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”， 亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3个全等的三角形与中间的一个小等边
三角形
拼成的一个大等边三角形，设若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 (A)
134 (B) 135 (C) 269 (D)
263 (11)形如1
||1
-=
x y 的函数因其图像类似于汉字中的“0”字，故我们把其生动地称为 “囵函数”.
若函数)1(log )(2
++=x x x f a (1a 0,>≠a )有最小值，则“冏函数”与函数||log x y a =的图像交
点个数为 (A)1
(B) 2 (C) 4 (D) 6
(12)设函数e R a a x e e x g x
,()1()(∈--+=为自然对数的底数)，定义在R 上的函数)(x f 满足
2)()(x x f x f =+-,且当0≤x 时，x <)('x f ;令2
2
1)()(x x f x T -
=,己知存在)1()(0x T x T x -≥∈，且0x 为函数)(x g y =的一个零点，则实数a 的取值范围为 (A) ),2(+∞e
(B) ),(+∞e (C) ),[+∞e (D) ),2[+∞e
第II 卷
本试卷包括必考题和选考题两部分.第（13)题〜第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22)题〜第（23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. (13)己知⊥+=)(,1||,则=⋅ .
(14)设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-≤+-2021x y x o
y x ,则y x z 32+=的最小值为 .
(15)若数列{n a }的通项公式为12+=n a n ,令n
n a a a b +++= (1)
21，则数列{n b }的前项和
为 .
(16)在四面体ABCD 中，AB=1，BC = CD = 3，AC = 2,当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为 .
三、解答本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(一）必考题：共60分.
(17)(本小题满分12分）在锐角△ABC 中，a, b, c 分别为角A ，B ，C.所对的边，且A c a sin 23=. (1)确定角C 的大小： (2)若7=
c ，且△ABC 的面积为
2
3
3，求b a +的值. (18)(本小题满分12分）如图所示，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AA1
⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，
22,1201110====∠B A AA AB BAD ，
(1)若W 为CD 中点，求证：AM 丄平面; (2)求直线DD1与平面A1BD 所成用的正弦值.
19. (本小题满分12分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(I)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
(II)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. (20)(本小题满分12分）己知直线2-=x 上有一动点过点Q,作直线1l 垂直于y 轴，动点P 在1l 上，且满足0=⋅OQ OP (O 为坐标原点），记点P 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程；
(2)己知定点)0,2
1(),0,21
(N M -,A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求⊥△MBD 的内切圆半径r 的取值范围. (21) (本小题满分12分）
已知函数)0(ln )(≠+=a x x a x f b
.
(1)当b = 2时，讨论函数)(x f 的单调性：
(2)当a + b = 0， b>0时，对任意],1[,21e e
x x ∈,都有2|)()(|21-≤-e x f x f 成立，求实数b 的取值范围.
(二)选做题共10分
请考生在第（22)题和第（23)题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号，并用2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑.
(22)(本小题满分10分）选修4-坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为θθ
θ(sin cos 3⎩⎨
⎧==y x 为参数)，以坐标原点为极点，以
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22)4
sin(=+
π
θρ.
(I)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(II)设点P 在C1上，点Q 在C2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标. (23)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 已知函数R m x m x x f ∈-+-=|,12|||)(. (1)当m = l 时，解不等式2<)(x f ;
(2)若不等式x -3<)(x f 对任意1,0[]∈x 恒成立，求实数m 的取值范围.
2020年高考化州市第一次模拟考试
数学试卷（理科）参考答案及评分标准
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
（1）【解析】 由集合2{|log (1)0}{|12}A x x x x =-<=<<，则{|1R C A x x =≤或2}x ≥，
又{|3}B x x =≤，所以(,1][2,3]R C A B ⋂=-∞⋃.
（2）【解析】()()()
2
1i 1i i 1i 1i 1i z ++===--+，则i z =-v
，故()i i 1z z ⋅=⋅-=，故选C ．
（3）答案：A
解析：因为E ，F ，G ，H 分别为各个面的中心，显然E ，F
G ，H 四点共面，截面如图所示．显然四边形EFGH 为正方 形，且边长为2
2， 所以S
正方形EFGH ＝22×22＝12.
另外易知点M 到平面EFGH 的距离为正方体棱长的一半，即1
2，所以四棱锥M －EFGH 的体积V ＝13×12×12＝1
12.
（4）解析：根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有C 45＝5种选法，再将“ea”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A 55＝120种情况，则不同的排列有5×120＝600种，故选C.
（5）解析：当q ＝1时，显然不符合题意；当q ≠1时， ⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝74①，
a 1（1－q 6）1－q ＝634②，
②÷①，得1＋q 3＝9，∴q 3＝8， 即q ＝2，代入①，解得a 1＝14， ∴a 8＝1
4×27＝32.
（6）解析：当＜0时，f ()＝(－1)，则f ()在[－1，0]上单调递减． 又f ()在[－1，1]上是奇函数，∴f ()在 [－1，1]上单调递减． ∴由f (1－m )＋f (1－m 2)<0得f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，
∴⎩⎨⎧－1≤1－m ≤1，
－1≤m 2－1≤1，1－m >m 2－1，
解得0≤m ＜1， ∴原不等式的解集为[0，1)．故选A .
（7）【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为b y x a
=±，
可得
2d b a =
==，可得c =，可得离心率c
e a
=
C ． （8）解析：当n ＝1时，正方形的个数为20＋21＝3； 当n ＝2时，正方形的个数为20＋21＋22＝7； …，
∴第n 代“勾股树”所有正方形的个数为20＋21＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1.
∵最大的正方形面积为1，∴当n ＝1时，由勾股定理知所有正方形的面积的和为2； 当n ＝2时，由勾股定理知所有正方形的面积的和为3； …，
∴第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为n ＋1. 故选D.
（9）【解析】由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故3ω=，
又函数的图象的第二个点是π
,04⎛⎫ ⎪⎝
⎭，∴π3π4ϕ∴⨯+=，∴π
4
ϕ=， ∴()πsin 34
f x A x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，故()ππsin 3sin 3124g x A x A x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
， ∴只需将函数()f x 的图形要向右平移
π
12
个单位，即可得到()g x 的图象，故选C ． （10）【解析】在ABD ∆中，6AD =，2BD =，120ADB ∠=︒，
由余弦定理，得AB ==
所以
DF AB ==
，所以所求概率为24
13DEF ABC S S ∆∆==. （11）解析：令u ＝2＋＋1，则函数y ＝log a u (a >0，a ≠1)有
最小值．
∵u ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋122＋34≥3
4，
∴当函数y ＝log a u 是增函数时，在u ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，＋∞上有最小
值，
∴a ＞1.此时“囧函数”y ＝1
|x |－1与函数y ＝log a ||在同一坐标系内的图像
如图所示，由图像可知，它们的图像的交点个数为4. （12）【解析】∵()()2f x f x x -+=，
∴()()()()()()()2221102
2
T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， ∴()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()0T x f x x ''=-<，
∴()T x 在(),0-∞上单调递减，∴()T x 在R 上单调递减．
∵存在()(){}01x x T x T x ∈≥-，∴()()001T x T x ≥-，∴0
01x x ≤-，即01
2
x ≤． 令()()e e x h x g x x x a =-=--，12
x ≤，
∵0x 为函数()()h x g x x =-的一个零点，∴()h x 在12
x ≤时有一个零点．
∵当12x ≤时，()1
2e e e e 0x h x =-≤-='，∴函数()h x 在1
2
x ≤时单调递减，
由选项知0a >，1
02
e
-
<<
， 又∵e
e
e e 0e e h e
a --⎛⎛-=---=> ⎪ ⎪
⎝
⎭⎭，
∴要使()h x 在12x ≤时有一个零点，只需使11e e 022h a ⎛⎫
=-
-≤ ⎪⎝⎭
，解得e
a ≥， ∴的取值范围为e ,⎡⎫
+∞⎪⎢
⎪⎣⎭
，故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． (13) 1- (14) 8 (15) 323
42(1)(2)
n n n +-++
(16) 6π
（13）【解析】由()+⊥a b a 得()0+⋅=a b a ，得20+⋅=a a b ，∴1⋅=-a b ，故答案为1-．
（14）【解析】画出不等式组10
202x y x y x -+≤⎧⎪
-≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域，如图阴影部分所示，
由图形知，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值； 由10
20x y x y -+=⎧⎨
-=⎩
，求得()1,2A ；∴23z x y =+的最小值是21328⨯+⨯=．故答案为8．
（15）解析：由等差数列的通项公式与一次函数的关系可知，数列{a n }是首项为3，公差为2 的等差数列，
∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)， ∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋2，
故数列{b n }的前n 项和T n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－
1
n ＋1＋
1n －1n ＋2
)＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32（n ＋1）（n ＋2）.
（16）【解析】∵1AB =，BC =AC 222AB AC BC +=，
∴ABC △是以BC 为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为BC = 当CD ⊥平面ABC 时，四面体ABCD 的体积取最大值，
此时，其外接球的直径为2R =
因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为()2
24ππ26πR R =⨯=． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（一）必考题：共60分.
（17）（本小题满分12分）
解（12sin c A =及正弦定理得，
sin
sin a A
c C ==
----------------2分
sin 0,sin A C ≠∴=
Q
-------------------------4分
ABC ∆Q 是锐角三角形，3C π
∴=
-------------------------6分
（2）解法1
：.3
c C π
==
Q 由面积公式得
1sin 623ab ab π==即 ①
-------------------------8分 由余弦定理得
22222cos
7,73
a b ab a b ab π
+-=+-=即 ②
----------------------10分
由②变形得
25,5a b =+=2
（a+b)故 -------------------------12分 解法2：前同解法1，联立①、②得
2222766a b ab a b ab ab ⎧⎧+-=+⇔⎨
⎨==⎩⎩＝１３
-------------------------8分 消去b 并整理得4213360a a -+=
解得2249a a ==或 -------------------------10分 所以23
32a a b b ==⎧⎧⎨
⎨
==⎩⎩
或故5a b += -------------------------12分 （18）（本小题满分12分）
【解析】（1）∵四边形ABCD 为菱形，120BAD ∠=︒，
连结AC ，则ACD △为等边三角形，
又∵M 为CD 中点，∴AM CD ⊥，由CD AB ∥， ∴AM AB ⊥， -------------------------3分 ∵1AA ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ， ∴1AM AA ⊥，
又∵1AB AA A =I ，∴AM ⊥平面11AA B B ． -------------------------6分 （2）∵四边形ABCD 为菱形，120BAD ∠=︒，11122AB AA A B ===， ∴1DM =
，AM =
∴90AMD BAM ∠=∠=︒， -------------------------7分 又∵1AA ⊥底面ABCD ，
分别以AB ，AM ，1AA 为轴、y 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，
()10,0,2A 、()2,0,0B 、()
1,3,0D -、113,,222D ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，
∴113,,222DD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u u r ，()
3,3,0BD =-u u u
r ，()12,0,2A B =-u u u u r ，---------9分
设平面1A BD 的一个法向量(),,x y z =n ，
则有10330332200BD x y y x z x z A B ⎧⋅=-+=⎪⇒⇒==⎨
-=⋅=⎪
⎩⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u u r n n ， 令1x =，则()1,3,1=n ， -------------------------11分
∴直线1DD 与平面1A BD 所成角θ的正弦值1111
sin cos ,5
DD DD DD θ⋅===⋅u u u u r
u u u u r u u u u r n n n ．------12分 （19）（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)设顾客所获的奖励额为(单位：元)．
① 依题意，P (＝60)＝C 11C 13C 24
＝1
2， --------2分 即顾客所获的奖励额为60元的概率为1
2. ②依题意，的所有可能取值为20，60.
P (＝60)＝12，P (＝20)＝C 23C 24＝1
2， ---------------4分 故的分布列为
所以顾客所获的奖励额的数学期望为E ()＝20×12＋60×1
2＝40(元)．-------6分 (Ⅱ)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为60000
1000＝60(元)，所以先寻找
数学期望为60元的可能方案．
对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元；
如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，
因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.
--------------------8分
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为1(单位：元)，则1的分布列为
所以1的数学期望为E(1)＝20×1
6＋60×
2
3＋100×
1
6＝60(元)，
1的方差为D(1)＝(20－60)2×
1
6＋(60－60)2×
2
3＋(100－60)2×
1
6＝
1600
3
(元)．
对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为2(单位：元)，则2的分布列为
所以2的数学期望为E(2)＝40×1
6＋60×
2
3＋80×
1
6＝60(元)，
----------------10分
2的方差为
D (2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×1
6＝
400
3(元)．
由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2的奖励额的方差比方案1的小，顾客所获的奖励额相对均衡，所以应该选择方案2. -------------------------12分
（20）（本小题满分12分）
【解析】（1）设点(),P x y ，则()2,Q y -，
∴(),OP x y =u u u r
，()2,OQ y =-u u u r
．
∵0OP OQ ⋅=u u u r u u u r
， -------------------------2分 ∴220OP OQ x y ⋅=-+=u u u r u u u r
， 即22y x =． -------------------------4分
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，直线BD 与轴交点为E ，直线AB 与内切圆的切点为T ．
设直线AM 的方程为12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则联立方程组2122y k x y x
⎧⎛
⎫=+⎪ ⎪
⎝⎭⎨
⎪=⎩
得(
)
2
22
2
204
k k x k x +-+=，
∴1214
x x =且120x x <<，∴121
2x x <<，
∴直线AN 的方程为1
11122
y y x x ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭-， -------------------------6分 与方程22y x =联立得2222
2111111122024
y x y x x x y ⎛⎫-+-++= ⎪⎝
⎭
， 化简得221111122022
x x x x x ⎛⎫-++= ⎪⎝
⎭
，
解得1
1
4x x =
或1x x =．
∵321
1
4x x x =
=， ∴BD x ⊥轴， ----------------8分 设MBD △的内切圆圆心为H ，则点H 在轴上且HT AB ⊥． ∴2211222MBD
S x y ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭△，且MBD △
的周长22y ，
∴22211122222MBD
S y r x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅=⋅+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
△，--------------10分
∴22
1x y r ⎛⎫+ ⎪=
=
，
令212
t x =+，则1t >，
∴r 在区间()1,+∞上单调递增，
则1r >
=，
即的取值范围为)1,+∞． -------------------------12分 （21）（本小题满分12分）
【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．
当2b =时，()2
ln f x a x x =+，∴()22x a
f x x
+'=．-------------------------1分
①当0a >时，()0f x '>，∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增． ②当0a <时，令()0f x '=
，解得x = -------------------3分
当0x <()0f x '<，∴函数()f x
在⎛
⎝
上单调递减；
当x >()0f x '>，∴函数()f x
在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增．
综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；
当2b =，0a <时，函数()f x 在⎛
⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增.-6分
（2）∵对任意1x ，21
,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，都有()()12e 2f x f x -≤-成立， ∴()()()()12max min f x f x f x f x -≤-， ∴()()max min e 2f x f x -≤-成立， ∵0a b +=，0b >时，()ln b f x b x x =-+， ∴()(
)1
b b x f x x
-'=
．
当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，
∴()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递减，在[]1,e 单调递增， --------------8分 ()()min 11f x f ==，1e e b f b -⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，()e e b f b =-+，
设()()1e e e 2e b b
g b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭
，()0b >，
()e e 220b b g b -'=+->=．
∴()g b 在()0,+∞递增，∴()()00g b g >=，
∴()1e e
f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，可得()()max e e b
f x f b ==-+， ∴e 1e 2b b -+-≤-，即e e 10b b --+≤， -------------------------10分 设()e e 1b b b ϕ=--+，()0b >，()e 10b b ϕ'=->在()0,b ∈+∞恒成立． ∴()b ϕ在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=， ∴不等式e e 10b b --+≤的解集为(]0,1．
∴实数b 的取值范围为(]0,1． -------------------------12分
（22）（本小题满分10分）
解：(1)曲线C 1的普通方程为x 2
3＋y 2＝1. 将曲线C 2的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝2 2
展开得ρsin θ＋ρcos θ＝4， 把ρcos θ＝，ρsin θ＝y 代入，
得曲线C 2的直角坐标方程为＋y －4＝0. ------------------5分 (2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos θ，sin θ)．
∵C 2是直线，∴|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (θ)的最小值． d (θ)＝
|3cos θ＋sin θ－4|2
＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－2，
当且仅当sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π3＝1，即θ＝2π＋π
6(∈)时，d (θ)取得最小值，最小值为2，
此时3cos θ＝3×32＝32，sin θ＝1
2，
即P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，12 --------------------10分
（23） (本小题满分10分) 【答案】（1）403x x ⎧
⎫
<<⎨⎬⎩⎭
；（2）{}02m m <<．
【解析】（1）当1m =时，()121f x x x =-+-，
∴()123,21,
1232,
1x x f x x x x x ⎧
-<⎪⎪
⎪
=≤≤⎨⎪
->⎪⎪⎩
， ()2f x <即求不同区间对应解集，
∴()2f x <的解集为403x x ⎧
⎫<<⎨⎬⎩
⎭
． ---------------------5分
（2）由题意，()3f x x <-对任意的[]0,1x ∈恒成立，
即321x m x x -<---对任意的[]0,1x ∈恒成立，
令()12,02
321143,1
2
x x g x x x x x ⎧
+≤<⎪⎪=---=⎨⎪-≤≤⎪⎩，
∴函数y x m =-的图象应该恒在()g x 的下方，数形结合可得02m <<．----------10分。