专训2常用构造中位线的五种方法

专训2常用构造中位线的五种方法

名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系.因此，当題目中给出三角形两边的中点吋，可以直接连出中位线：当題0中给出一边

的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线.

注蛙L连接两点构造三角形的中位线

L如图，点B为AC上一点，分别以片乩

边三角形BCE,点P, M,

(1)求证：PM=PN；

(2)求ZMPN的度数.

BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等CE

的中点.

I安浚逐已知角平分线+垂直构造中位线

2.如图，在MBC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD丄BD. 若

AB=12, 4C=18,求DM 的长.

N分别为AG AD.

3.如图，在△ABC中，己知AB=6, 4C=!0, 4D平分ZBAC, BD丄AD于点D 点£ 为BC 的中点，求DE的长•

注决丿？倍长法构造三角形的中位线

4.如图，在△ABC中，ZABC=90。，BA=BC,△BEF为等腰直角三角形，上BEF= 90。，M 为AF的中点，求证：ME=^F.

注诲吕？S知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线

5.如图，在△ABC 中，ZC=90。，CA=CB, E, F 分別为C/L CB 上一点，CE=CF, M, N分别为AF, BE的中点，求证：A£=迈MN・

［龙決念S知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线

6.如图，在△ABC中，AB=AC. AD丄BC于点D 点P是AD的中点，延长BP ^AC 于点N,求证：AN=^C,

答案

L (1)证明：如图•连接CD, AE 由三角形中位线定理可得PM 平行且等于PN 平行且等于^E.VAABD 和△8(?£是等边三角形，:.ABuDB, BE=BC, ZABD=ZCBE =60°,:，乙ABE =Z DBC ・

:.△ABEMDBC,

:.AE=DC ・：・PM=PN ・

(2)解：如图，设PM 交人£于八PN 交CD 于G. AE 交CD P

/1£交8/)于Q •由⑴

知△ABE 丝△%(?, :.乙 BAE =ZBDC ・

又 TZ DQH=ZBQA,

••• ZAHD=ZABD=60o,

•••ZF 〃G=120°・

易证四边形PFHG 为平行四边形，

•••ZMPN=120°・

2.解：如图，延长BD, CA 交于N ・

先(第1题

)

由题易知ZNAD =ZBAD, ••• △AND 丝△ABD

:.DN=DB. AN=AB ・ 又TM

为BC 的中点，

ADA/为△BNC 的中位线,

ZADN=ZADB=90°・又 AD=AD.

•••DM=HCpSN+AC)pC4B+AC)= 15.

3.解：如图，延长BD 交AC 于点F,

N B P

；

TAD 平分ZBAG

:.ZBAD =Z CAD.

T BD 丄AD. /. Z ADB= ZADF.

又VAD=4D, A A4Df(ASA)-

:.AF=AB=6. BD=FD ・

V4C=10,

:.CF=AC-AF= 10-6=4.

丫£为3＜：的中点，

•••»£是^5(?尸的中位线・

•••0£=尹=产4=2・

4. 证明：如图，延长FE 至N,使EN=EF ・连接BN, AN •易得ME=^・ •:EF=EN, ZBEF=9Q 。■:.BE 垂直平分 FN ・：・BF=BN ・：•乙BNF =Z BFN ••:^BEF 为 等腰直角三角形，ZBEF=90。，

••• ZBFN=45。••： ZBNF=45。,

••• ZFBN=9Q°,即 ZFB 冲 + Z/1BN=9O°・又「ZFBA + ZCBF=90°,

fBF=BN,

••• ZCBF= ZABN •在△BCF 和△BAN 中，i IBC=BA,

••• CF=AN ・：・ W 詁 CF ・

5. 证明：如图，取AB 的中点H.连接MH, NH,则NH 占E ・

•: CE=CF 、CA=CB, •••A£=BF ・

:.MXNH.

T 点M, H, N 分別为AF, AB, BE 的中点,

:.MM/BF 、NH//AE.

••• ZAHM= ZABC.乙BHN= ZBAC.

•••ZMNN=180°-(ZAHM+ ZBRN) = 180°-(ZABC+ZBAG=90°・

/. 4£=2NH=2 X 芈

Z CBF=ZABN,

（第4题）

6.证明：如图，取NC的中点乩连接DH,过点H作HE//AD,交BN的延长线于E. 74fi=4C AD丄BC,

••■D为BC的中点.

又TW为的中点，:.DH〃BN.

又•:PD//EH、•••四边形PDME是平行四边形.:.HEuPD.

又TP为AD的中点，.:AP=PD

:.AP=EH.

易证△APN丝:.AENH.

:.AN=NH=HC.