专训2常用构造中位线的五种方法

专训2常用构造中位线的五种方法
名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的 倍
分关系.因此，当題目中给出三角形两边的中点吋，可以直接连出中位线：当題0中给出 一边
的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线.

注蛙L连接两点构造三角形的中位线
L如图，点B为AC
上一点，分别以片乩

边三角形BCE,点P, M, (1) 求证：PM=PN； (2) 求ZMPN的度数. BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等
CE
的中点.

I
安浚逐已知角平分线+垂直构造中位线

2.如图，在MBC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD丄BD.
若

AB=12, 4C=18,求 DM
的长.

N分别为AG
AD.
3. 如图，在△ABC中，己知AB=6, 4C=!0, 4D平分ZBAC, BD丄AD于点D 点£ 为BC
的中点，求DE的长•

注决丿？倍长法构造三角形的中位线
4.如图，在△ABC中，ZABC=90。，BA=BC, △BEF为等腰直角三角形，上BEF= 90。，M
为AF的中点，求证：ME=^F.

注诲吕？ S知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线
5.如图，在△ABC 中，ZC=90。，CA=CB, E, F 分別为 C/L CB 上一点，CE=CF, M, N
分

别为AF, BE的中点，求证：A£=迈
MN・
［龙決念S知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
6.如图，在△ABC中，AB=AC. AD丄BC于点D 点P是AD的中点，延长BP ^AC 于点N,
求

证：AN=^C,
答案

L (1)证明：如图•连接CD, AE
由三角形中位线定理可得PM平行且等于PN

平行且等于^E.VAABD 和△8(?£是等边三角形，:.ABuDB, BE=BC, ZABD=ZCBE
=60°,:，乙ABE =Z
DBC・

:.△ABEMDBC,
:.AE=DC・：・PM=PN・
(2)解：如图，设PM交人£于八PN交CD于G. AE交CD P /1£交8/)于Q
•由⑴

知△ABE 丝△%(?,
:.乙 BAE =ZBDC・
又 TZ DQH=ZBQA,
••• ZAHD=ZABD=60o,
•••ZF〃G=120°・
易证四边形PFHG为平行四边形，
•••ZMPN=120°・

2.解：如图，延长BD,
CA交于N・

先(第1题)

由题易知
ZNAD =ZBAD,
•••
△AND 丝△ABD
:.DN=DB. AN=AB・
又
TM

为BC的中点，
ADA/
为△BNC的中位线,

ZADN=ZADB=90°・又 AD=AD.

•••DM=HCpSN+AC)pC4B+AC)= 15.
3.解：如图，延长BD交AC于点F,

N
B P

；
TAD
平分
ZBAG

:.ZBAD=Z CAD.
T BD丄AD. /. Z
ADB= ZADF.

又
VAD=4D, A A4Df(ASA)-
:.AF=AB=6. BD=FD・
V4C=10,
:.CF=AC-AF=
10-6=4.
丫£为3＜：的中点，
•••»£是^5(?尸的中位线・

•••0£=尹=产4=2・
4. 证明：如图，延长FE至N,使EN=EF・连接BN,
AN•易得ME=^・

•:EF=EN, ZBEF=9Q。■:.BE 垂直平分 FN・：・BF=BN・：•乙BNF =ZBFN••:^BEF
为 等腰

直角三角形，ZBEF=90。，
••• ZBFN=45。••：
ZBNF=45。,

••• ZFBN=9Q°,即 ZFB冲 + Z/1BN=9O°・又「ZFBA + ZCBF=90°,

fBF=BN,
••• ZCBF=
ZABN•在△BCF 和△BAN 中，i
IBC=BA,

••• CF=AN・：・
W詁 CF・

5. 证明：如图，取AB的中点H.
连接MH, NH,则NH占E・

•: CE=CF、
CA=CB, •••A£=BF・
:.MXNH.
T点M, H, N分別为AF,
AB, BE的中点,

:.MM/BF、NH//AE.
••• ZAHM= ZABC.乙BHN= ZBAC.
•••ZMNN=180°-(ZAHM+ ZBRN) = 180°-(ZABC+ZBAG=90°・

/. 4£=2NH=2 X
芈

Z CBF=ZABN,
（第
4
题）
6. 证明：如图，取NC的中点乩 连接DH,过点H作HE//AD,交BN
的延长线于 E.

74fi=4C AD
丄BC,

••■D为BC
的中点.

又TW为的中点，:.DH〃BN.
又•:PD//EH、•••四边形PDME是平行四边形.:.HEuPD.
又TP为AD的中点，.:
AP=PD
:.AP=EH.
易证△APN丝:.AENH.

:.AN=NH=HC.