“等腰三角形问题”的前世今生

“等腰三角形问题”的前世今生
——“和倍问题”在等腰三角形中的变化解析（小学数学四下内容）等腰三角形是一种特殊的三角形，就像正方形是特殊的平行四边形一样，它
在三角形的世界中也有自己不可替代的地位，关于她的谜题也特别引人入胜——“等腰三角形问题”。

一、缘起——等腰三角形的产生与性质
“等腰三角形问题”说来话长，首先要从等腰三角形的性质说起。

（一）三角形的共性
作为一种特殊的三角形，等腰三角形自然也具备三角形的一般特性：
1、由三条线段首尾相连围成（三角形的定义）；
2、有3个顶点，3条边，3个角（三角形的特征）；
3、任意两边的和大于第三边（三角形的三边关系）——因为要能“围成”，就必须两边和大于第三边；
4、三个内角的和是180°（三角形内角和）——三角形可以由平行四边形分割而来，而平行四边形可以转化成长方形，内角和是360°。

（二）等腰三角形的产生
在三角形产生之后，人们自然而然地按它的特征将它分类，
按角的大小可分成“锐角三角形”（三个角都是锐角的三角形）、
“直角三角形”（有一个角是直角的三角形）、“钝角三角形”（有一个角是钝角的三角形），按边的长短可分成“不等边三角形”（三条边互不相等的三角形）、“等腰三角形”（有两条边相等的三角形）、“等边三角形”（三条边都相等的三角形），等腰
三角形应运而生。

从概念可以看出，等边三角形是特殊的等腰三角形，
而正是等腰三角形这种介乎于一般与特殊之间的“特殊三
角形”，才不会像等边三角形那么循规蹈矩（三条边相等，
三个角都是60°，一定是锐角三角形），而有最复杂也最
迷人的别样风采。

（三）等腰三角形的特性
等腰三角形既可以是锐角三角形，也可以是直角三角
形、钝角三角形。

由于两边相等，它具有以下特性：
1、两腰相等。

相等的两条边由于形象特殊，被命名
为“腰”，而第三条边则叫做“底”，与和高垂直的那个底
意义是不同的。

2、两底角相等。

“底角”指的是与“底”相邻的两个
内角，而两“腰”所夹的角叫做“顶角”。

——取底边中
点，与顶角顶点连接，形成的两个三角形三边长都相等，等腰三角形简易表示法
等腰三角形的组成
取底边中点，分成两个完全相等的直角三角形
应该是完全相同的。

因此等腰三角形具有许多特殊性质，而与“等腰三角形问题”相关最重要的就是“两底角相等”（此外还有“三线重合”等）。

3、是轴对称图形。

理由同上。

二、前世——你做过的“等腰三角形问题”
了解了等腰三角形的性质，你肯定想知道什么是“等腰三角形问题”。

其实，你早就见过并做过这类题目，不信请看：
（一）两层书架问题
例题：书架上有两层图书，一共有360本，如果把下层的书拿40本到上层，则下层书的数量变成上层的2倍。

请问两层书原来各有几本？
分析：把下层的书拿到上层，两层书的总数是不会改变的。

解答：
上层原来有： 120－40＝80（本）
下层原来有：
经过验算，80＋280＝360（本），确实如此，得到答案。

答：上层原来有80本书，下层原来有280本书。

（二）父子岁数问题
例题：父子两人今年共54岁，3年前父亲岁数是儿子的5倍。

请问今年父子各是几岁？
分析：父子两人今年共54岁，3年前父子两人各少3岁，总和也可以知道。

解答：
儿子今年是：8＋3＝11（岁） 给完后360本，包括上层
的1倍和下层的2倍，共3
倍。

3倍总和是360，因此
用360÷3求出1倍的数量
（上层得到40本后的量）
360÷（2＋1） ＝360
÷3 ＝
120（本） 120×2＋40
＝240＋40
＝280（本）
3年前父子两人的岁数
也分为6倍，其中儿子1
倍，父亲5倍，因此用48
÷6求出1倍的量（儿子3
年前的岁数）
（54－3×2）÷（5＋1） ＝48÷6 ＝8（岁）
父亲今年是：8×5＋3＝43（岁）
经过验算，11＋43＝54（岁），确实如此，得到答案。

答：儿子今年是11岁，父亲今年是43岁。

（三）“和倍问题”的一般解法
从上面2类例题可以看出，“和倍问题”就是一类知道两个数（或几个数）的和与它们之间的倍数关系，要求它们各自多少的问题，其关键就在于弄清楚一共有几倍，每个数又各占几倍。

解决“和倍问题”的一般方法就是：用“加起来的总和”去除以“加起来的总倍数”，以得到其中的1倍是多少，再算出几倍是多少。

三、今生——“等腰三角形问题”的N 种变化
在“等腰三角形问题”中，“和倍问题”变得比较复杂了，因为这时候不是两个量比较，而是三个量（三个角、三条边），但是题目的解法不变，仍然要找“总和”与“总倍数和”。

幸好等腰三角形的性质为我们解决了这个难题：“总和”就是内角和180°或给定的三边总和（周长），“总倍数和”可以由“两底角相等”或“两腰相等”算出来。

（一）利用“底角相等”的性质算角
1、底角与顶角的关系一定
例题：在一个等腰三角形中，底角比顶角大15°，请问这个三角形的三个角各是几度？
分析：等腰三角形两个底角相等，也就是说，如果把顶角看作1倍的话，底角就是1倍还多15°，而有两个这样的底角。

解答：
顶角是50°，底角是50°＋15°＝65°，检验50
°＋65°＋65°＝180°。

OK ！ 注：因为本来就是从180°算出来的，因此只要计算没错，一般是不会错误的。

答：这个三角形的三个角各是50°、65°、65°。

2、底角与顶角的关系不定
例题：在一个等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍多20°，求三个角各几度？
分析：题中只说了两个角的关系，并没确定是哪两个角，因此有两种可能：顶角比底角的2倍多20°或者是底角比顶角的2倍多20°。

因为等腰三角形两个底角相等，我们分别进行计算。

三角形内角和180°，减去2个多出来
的15°后，就可以分成3倍，顶角1
倍，2个底角各1倍。

因此用150°除
以3得出1倍的量（顶角）
（180°－15°×2）÷（1＋1＋1） ＝150°÷3 ＝50°
（180°－20°）÷（2＋1＋1） ＝160°÷4
＝40°
三角形内角和180°，减去1个多出
来的20°后，就可以分成4倍，顶角
2倍，2个底角各1倍。

因此用160°除以4得出1倍的量（底角） （180°－20°×2）÷（2＋2＋1） ＝140°÷5
＝28°
三角形内角和180
°，减去2个多出
来的20°后，就可以分成5倍，顶角
1倍，2个底角各2倍。

因此用140°除以5得出1倍的量（顶角）
解答：（1）顶角比底角的2倍多20°
底角是40°，顶角是40°×2＋20°＝100°，验算加起来确实是180°，正确。

这是一个等腰钝角三角形。

（2）底角比顶角的2倍多20°
顶角是28°，底角是28°×2＋20＝76°，验算加起来确实是180°，正确。

这是一个等腰锐角三角形。

答：三个角各是100°、40°、40°或者是28°、76°、76°。

3、关系不定中的特殊题目
在关系不定的题目中，有时可能是两个底角之间的关系，让人出乎意料之外。

例题：在一个等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍少40°，求三个角各几度？
分析：除了“顶角比底角的2倍少40°”、“底角比顶角的2倍少40°”两种情况以外，还可能是“底角比另一个底角的2倍少40°”。

解答：前面两种可能性的解法参考前面，过程就不赘述了，答案是70°、55°、55°和52°、64°、64°。

也有可能是“底角比另一个底角的2倍少40°”，因为两个底角相等，可以直接看出底角应该是40°，则顶角是180°－40°×2＝100°
答：三个角各是70°、55°、55°或52°、64°、64°或100°、40°、40°。

（二）利用“两腰相等”的性质算边
1、腰与底的关系一定
例题：在一个等腰三角形中，周长20，底比腰少4，请问三边长各是多少？ 分析：等腰三角形两腰相等，也就是说，如果把腰看作1倍的话，底就是1倍还少4（当然也可以把底看做1倍，腰就是1倍还要多4，而在这个三角形中，有2个这样的腰，算式不同，解法类似，答案相同。

请参照利用“底角相等”的性质算角中底角与顶角的关系一定的第一题解答过程。

）
三角形三边和是20，添上1个少掉的4后，就可以分成3倍，底1倍，2个腰各1倍。

因此用24除以
3得出1倍的量（腰） （20＋4）÷（1＋1＋1）
＝24÷3
＝8
（46＋2×2）÷（2＋2＋1） ＝50÷5 ＝10
三角形三边和46，添上2个少掉的2
后，就可以分成5倍，底1倍，2条
腰各2倍。

因此用50除以5得出1
倍的量（底）
（46＋2）÷（2＋1＋1） ＝48÷4 ＝
12 三角形三边和46，添上1个少掉的2
后，就可以分成4倍，底2倍，2条
腰各1倍。

因此用48除以4得出1
倍的量（腰）
解答：
腰长8，底就是8－4＝4。

验算时，不仅要验算三边长加起来是否是周长，还要验算三边是否能构成三角形（即是否符合三角形三边关系）。

4＋8＞8，可以组成三角形，答案成立。

答：这个三角形的三条边的长度各是8、8、4。

2、腰与底的关系不定
例题：在一个等腰三角形中，周长46，有一条边比另一条边的2倍少2，求三边长各是多少？
分析：题中只说了两条边的关系，并没确定是哪两条边，因此有两种可能：腰比底的2倍少2或者是底比腰的2倍少2。

因为等腰三角形两腰相等，我们分别进行计算。

解答：（1）腰比底的2倍少2
底是10，腰是10×2－2＝18，验算加起来确实是46，且10＋18＞18，正确。

这是一个等腰锐角三角形。

（2）底比腰的2倍少2
腰是12，底是12×2－2＝22，验算加起来确实是46，且12＋12＞22，正确。

这是一个等腰钝角三角形。

（你可以画画看）
答：这个三角形的三条边的长度各是18、18、10或者12、12、22。

3、关系不定中的特殊解法
（38－4×2）÷（2＋2＋1） ＝30÷5 ＝6 三角形三边长，减去
2个多出来的4
后，就可以分成5倍，底1倍，2条
腰各2倍。

因此用30除以5得出1
倍的量（底）
与算角相同，在算边时关系不定的题目中，有时也可能是两条腰之间的关系（题目略，一般很少考到——其实我一时也想不出合适的数字），而根据“两边之和大于第三边”的特性，有时还可以直接判断关系。

例题：在一个等腰三角形中，周长38，有一条边比另一条边的2倍多4，求三边长各是多少？
分析：按照题意，似乎应该有“腰比底的2倍多4”、“底比腰的2倍多4”两种情况，但是仔细想想，两腰相等，底还可能比两腰加起来再多4吗？显然不行，否则底比两腰加起来还长，不符合三角形三边关系，这种情况可以直接排除。

于是这题不用分析两种情况，直接用“腰比底的2倍多4”做就可以了。

解答：
底长6，腰长6×2＋4＝16，验算加起来确实是38，且6＋16＞16，正确。

这是一个等腰锐角三角形。

了解了“等腰三角形问题”的前世今生，你是否对他有更多了解了呢？其实他就像会七十二变的美猴王，但只要你抓住他的尾巴——三角形的共性与等腰三角形的特性，并掌握和倍问题的一般解法，再加上画图帮助理解，相信你遇到变化得再复杂的这类问题也能手到擒来，对么？：）
Edited by hcj0131
2013-6-7。