华东师大版九年级数学上册 22

华东师大版九年级数学上册第 22章一元二次方程

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22.2 一元二次方程的解法

1. 直接开平方法和因式分解法

预习目标

1．认识形如x2＝m(m≥0)，(ax＋b)2＝m(m≥0)类型的方程，并会用直接开平方法解方程；掌握用因式分解法解一元二次方程．2．掌握利用直接开平方法和因式分解法把二次方程转化为一次方程，渗透转化、化归思想．

预习要点

1．将方程x2＝m(m≥0)转化为两个一次方程：___________________；

将方程(ax＋b)2＝m(m≥0)转化为两个一次方程：

____________________________．

2．因式分解：①提公因式法；②公式法：

平方差公式：_______________________；

完全平方公式：_____________________.

预习自测

1．一元二次方程x2－25＝0的解是( )

A．x＝5 B．x＝－5

C．x＝5或－5 D．x＝0或5

2．方程3x2＋2x＝0的根是______________．方程(x＋1)2＝2的根是________________．

3．解下列方程：

(1)x2－45＝0；

(2)(x－4)2－2(x－4)＝0.

新知引入

1．工人师傅为了修屋顶，把一架梯子靠在墙上，梯子长5米，梯子底端离墙的距离为3米，问墙高是多少米？

解：设墙高是x米，

依题意列方程：____________________.

2．知识回顾：

(1)如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，记作________．

(2)将下列各式分解因式．

①5x2－4x＝____________；

②x2－16＝____________；

③x2＋6x＋9＝____________．

(3)解方程：x2＝16.

合作探究

探究一

解下列方程：

(1)4x2－25＝0；(2)(x－1)2－9＝0.

请考虑以下问题：

1．可以直接开平方解这两个方程吗？

2．把方程转化为x2＝m(m≥0)或者(ax＋b)2＝m(m≥0)的形式．3．用直接开平方法解方程．

探究二

解下列方程：

(1)x2＝3x；(2)x－2－x(x－2)＝0.

请考虑以下问题：

1．可以用因式分解法解这两个方程吗？2．这两个方程具有什么结构特征？

3．利用因式分解法解方程．

新知应用

例1 方程(3x－2)(x＋1)＝0的解是( )

A．x＝2

3

B．x＝－1

C．x1＝－2

3

，x2＝1 D．x1＝

2

3

，x2＝－1

例2 解下列方程．(1)5x2＝4x；

(2)2(2x＋1)2－16＝0.

课堂小测

1．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程(x－3)2＝4的根，则此三角形的周长为( )

A．17 B．11

C．15 D．11或15

2．解下列方程：

(1)x(x－2)＝3x；

(2)4x2－12x＋9＝1.

3．解方程：(2x－3)2＝(x＋1)2.

4．解关于x的方程：(x－5)2－a＝0.

课堂小结

1．本节课学习了什么知识？

2．用直接开平方法、因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么？

3．用直接开平方法、因式分解法解一元二次方程体现了哪些重要的数学思想？

参考答案

22.2 一元二次方程的解法

1. 直接开平方法和因式分解法

预习要点

1．x＝m，x＝－m；

ax＋b＝m，ax＋b＝－m

2．a2－b2＝(a＋b)(a－b)；

a2±2ab＋b2＝(a±b)2

预习自测

1．C

2．x1＝0，x2＝－2

3；

x1＝2－1, x2＝－2－1

3． (1) 解：x1＝35，x2＝－3 5.

(2) 解：x1＝4，x2＝6.

新知引入

1．x2＋32＝52

2．(1)x＝±a

(2)①x(5x－4) ②(x＋4)(x－4)

③(x＋3)2

(3)解：x1＝4, x2＝－4.

合作探究

探究一：

1．不可以，但是可以通过变形后再开平方．

2．(1)x 2＝254； (2)(x －1)2＝9.

3. (1)x 1＝52，x 2＝－5

2；

(2)x 1＝4，x 2＝－2.

探究二：

1．可以．(1)x (x －3)＝0；

(2)(x －2)(1－x )＝0.

2．它们都有公因式．

3. (1)x 1＝0，x 2＝3；

(2)x 1＝2，x 2＝1.

新知应用

例1.D

例2. (1) 解：x 1＝0，x 2＝4

5.

(2) 解：x 1＝22－12，x 2＝－2

2－1

2.

课堂小测

1．C

2． (1) 解：x 1＝0，x 2＝5. (2) 解：x 1＝2，

x 2＝1.

3. 解：x 1＝4，x 2＝23

. 4．解：当a ≥0时，方程的解为x 1＝a ＋5，

x 2＝－a ＋5；

当a <0时，方程无解．

课堂小结

1. 用直接开平方法、因式分解法解一元二次方程．

2. (1)平方根的定义；

(2)如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．

3. 整体思想，转化、化归思想．