微积分（刘迎东）第九章习题答案

9.1 二重积分的概念与性质
习题9.1
1. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：
（1）
()2
D x y d σ+⎰⎰与()3
D
x y d σ+⎰⎰
，其中积分区域D 为由x 轴、y 轴与直线
1x y +=所围成。

解：因为在D 上，()()23x y x y +≥+，所以()()2
3
D
D x y d x
y d σσ+≥
+⎰⎰⎰⎰。

（2）
()2
D x
y d σ
+⎰⎰与
()3
D x
y d σ
+⎰⎰，其中积分区域D 为由圆周
()
()2
2
212x y -+
-=所围成。

解：因为在D 上，()()2
3
x y x y +≤+，所以()()2
3
D D x y d x
y d σσ+≤
+⎰⎰⎰⎰。

（3）
()ln D
x y d σ+⎰⎰
与
()2
ln D
x y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰
，其中积分区域D 为三角形闭区域，
三顶点分别为()()()1,0,1,1,2,0.
解
：
因为
在
D
上
，
()(
)2
l
n l
n x
y x y +≥
+⎡⎤⎣⎦
，所以
()()2
l
n l n D
D
x
y d x y d σσ+≥
+⎡⎤⎣
⎦
⎰⎰
⎰⎰。

（4）
()ln D
x y d σ+⎰⎰
与
()2
ln D
x y d σ
+⎡⎤⎣⎦⎰⎰
，
其中
(
)
{}
,
35,0
1D x
y
x y =
≤≤≤
≤。

解：
因为在
D
上
，
()(
)2
l
n l
n x
y x y +≤
+⎡⎤⎣⎦
，所以
()()2
l
n l n D
D
x
y d x y d σσ+≤+⎡⎤⎣
⎦
⎰⎰
⎰⎰。

2. 利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）()D
I x y x y d σ=
+⎰⎰
，其中(){}
,01,01.D x y x y =
≤
≤≤≤
解：在D 上，()02xy x y ≤+≤，所以0 2.I ≤≤ （2）2
2
s in
s in
D
I x y d σ=
⎰⎰
，其中(){},0,0.D x y x y ππ
=
≤
≤≤≤
解：在D 上，2
2
0s in s in 1x y ≤≤，所以2
0.I π≤≤ （3）()1D
I x y d σ=
+
+⎰⎰，其中(){}
,01,02.D x y x y =
≤
≤≤≤
解：在D 上，114x y ≤++≤，所以28.I ≤≤
（4）()2
249D
I x
y d σ=
++⎰⎰，其中()
{}
22
,4.D x y x y
=
+≤
解：在D 上，22134925x y ≤++≤，所以52100.I ππ≤≤ 9.2 二重积分的计算法 习题9.2
3. 计算下列二重积分：
（1）
()2
2
D x
y
d σ
+⎰⎰，其中(){},1,1.D x y x y =≤≤
解：()()111
2
2
2
2
2
1
1
1282.33D
x y
d d x x y
d y x d x σ---⎛⎫+=
+=
+=
⎪⎝
⎭⎰⎰⎰
⎰
⎰ （2）
()32D
x y d σ
+⎰⎰，其中D 为由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域。

解：()()()2
22
2
203232422.3
x D
x y d d x x y d y x x d x σ-+=
+=
+-=
⎰⎰⎰
⎰
⎰
（3）
()3
23
3D x
x y y
d σ
++⎰⎰，其中(){},01,01.D x y x y =≤≤≤≤
解：()()1
11
3
23
3
23
3
20
3133 1.24D
x x y y
d d x x
x y y
d y
x x d x σ
⎛⎫++=
++=
++= ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰
⎰
⎰
（4）
()c o s D
x x y d σ+⎰⎰
，其中D 为顶点分别为()()0,0,,0π和(),ππ的三角形闭
区域。

解：()()()0
03c o s c o s sin 2sin .2
x
D
x x y d d x x x y d y x x x x d x π
π
πσ+=
+=
-
=-⎰⎰⎰
⎰⎰
（5）
x y
D
y e d x d y ⎰⎰
，其中D 由2,2,1x y x y ===所围成。

解：()4
2
2
2
21112
2
2.2
x y
x y
y
D
y
e
y e d x d y d y y e d x e
e d y e =
=
-=
-⎰⎰⎰
⎰⎰
（6）
2
D
x y d x d y ⎰⎰
，其中D 由()2
,202
p x y
p x p =
=<所围成。

解：2
6
2
2
5
2
2
22
2
.8821y
p
p
p
p
D
p
p
y p y
p
x y d x d y d y x y d x d y p --⎛⎫=
=
-= ⎪
⎝⎭
⎰⎰⎰
⎰⎰
（7）
x y
D
e
d x d y +⎰⎰
，其中D 由0,1,0,1x x y y ====所围成。

解：()1
1
1
1
2
2 1.x y
x y
x x
D
e d x d y d x e
d y e
e
d x e
e +++=
=
-=-+⎰⎰⎰
⎰⎰
（8）
()s in D
x x y d x d y +⎰⎰
，其中D 由0,,0,2
x x y y π
π====
所围成。

解：()()()20
sin sin sin co s 2.D
x x y d xd y d x x x y d y x x x d x π
π
π
π+=
+=
+=-⎰⎰⎰
⎰
⎰
（9）
()2
2
s in c o s D
x y x y
d x d y +⎰⎰
，其中{}2
2
1.D x
y
=+≤
解：区域关于x 轴对称，被积函数是y 的奇函数，所以()2
2
s in c o s 0.D
x y x y
d x d y
+=⎰⎰
（10） ()3
2
2
s in D
x x y
d x d y +⎰⎰，其中{}2
2
2.D x
y
y =+≤
解：区域关于y 轴对称，被积函数是x 的奇函数，所以()3
2
2
s in 0.D
x x y
d x d y
+=⎰⎰
（11）
D
y xd y ⎰⎰，其中D 为单位圆22 1.x y +≤
解：()
1
1
2
2
2
2
1
1
2321.3
45
D
y
x d y d x y
y x d x --=
=
-=
⎰⎰⎰
⎰
⎰
（12） (
)D
x y
d x d y +⎰⎰，其中D
为 1.x y +≤
解：(
)()1
112
00
488.3
x D
x y
d x d y
d x x d y x x d x -+==-=
⎰⎰
⎰⎰
⎰
（13） ()2
2
D
x
y
d x d y +⎰⎰
，其中D
为由22221,2x y x y x +=+=所围区域的公共部
分。

解：(
)1
2c o s 2
2
3
3
32
3
2238D
x y d x d y d r d r d r d r π
π
θ
π
πθ
θ
⎛
⎫+=+
=-
⎪⎝
⎭
⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰
（14） ()2
2
s in D
x y
d x d y +⎰⎰，其中D
为2
2
2
2
4.x y
π
π≤+≤
解：
()()2222
2
2
2
2
2
2
1
1s in s in c o s c o s 42
2
c o s c o s 4.
D
x y
d x d y d r r d r d π
π
π
π
θ
ππ
θπ
π
π
⎛⎫+=
=
-
⎪⎝⎭=-⎰⎰
⎰
⎰⎰
（15）
D
xd y ⎰⎰，其中D 为2
2
2
.x y R +≤
解：3
3
220
2.3
3
R
D
R R x d y d d r d π
π
πθ
θ=
=
=
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
（16）
D
xd y ⎰⎰，其中D 为()22
0.x y
R x R +≤>
解：
()()c o s 200
3
3
3
20
221s in
34.
3
9
R D
x d y d d r
R R d π
θ
π
θ
θθπ
==-=
-⎰⎰
⎰
⎰
⎰
（17） ()2
D
x
x y d x d y +⎰⎰
，其中D 由1,2,,2x y x y y x y x +=+===所围成。

解：做变换,x y u y v
x
+=⎧⎪⎨=⎪⎩，则,11u x v u v y v ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩()
()()
()
()
2
2
2
1
11,,111u
v v x y u
v u
u v v v
v -
++∂=
=
∂+++，所以
()()
()
3
2
2
2
2
3
3
1
1
1
1525.96
141D
u
x x y d x d y d v d u d v v v +=
=
=
++⎰⎰
⎰
⎰
⎰
（18） ()3
3
D
x
y d x d y +⎰⎰
，其中D
由22222,3,,2x y x y x y x y ====所围成。

解：做变换2
2
,
x
u y y v x
⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
，则2
1
33
1233
,x u v y u v
⎧=⎪⎨⎪=⎩，()()11
2
23333
221
13333
2
1,13
3,3
1233
u v u v
x y u v u v u v
-
-
--
∂==
∂，所以
()22
2
31
3
3
3
1
2
2
2
7149.3
8
72144D
u v u v
u u x
y
d x d y d u d v d u ⎛⎫++==
+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰
⎰⎰
4.
画出积分区域，并计算下列二重积分： （1）D
σ⎰⎰，其中D 为由两条抛物线2
y y x
=
=所围成的闭区域。

解：2
7
1
1
4
40
26.355D
x
d x y x x d x σ⎛⎫=
=
-=
⎪⎝⎭
⎰⎰⎰
⎰
⎰
（2）2
D
x y d σ⎰⎰，其中D 为由圆周22
4x y +=
及y 轴所围成的右半闭区域。

解：4
2
2
2
2
2
2
2
642.215D
y x y d d y y d x y d y σ--⎛⎫=
=-= ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰
⎰
⎰ （3）x y
D
e
d σ+⎰⎰，其中(){},:
1D x y x y =
+≤。

解：
()()0
11
11
10
1
1
21
1
21
1
1.
x x x y
x y
x y
D
x
x x x e
d d x e
d y d x e
d y
e
e
d x
e e
d x
e e
σ+-+++----+---=
+
=
-+-=-
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
（4）()2
2
D
x
y x d σ+-⎰⎰，其中D 为由直线2,y y x ==及2y x =所围成的闭区域。

解：()()2
2
2
2
2
2
320
2
19313.2486y
y
D
x y x d d y x
y x d x y y d y σ⎛⎫
+-=
+-=
-= ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰
⎰⎰
(5)
()1s in
D
x y d σ+⎰⎰，其中D 为顶点分别为()()()0,0,1,0,1,2和()0,1的梯形闭区域。

解：
()()()()()1
11
1s in
1s in
11c o s 132s in 2s in 1c o s 2c o s 1.
2
x D
x y d d x x y d y x x x d x
σ++=
+=
+
-++=
-+-+⎰⎰⎰
⎰
⎰
（6）()2
2
D
x
y
d σ-⎰⎰，其中(){},0s in ,0D x y y x x π=≤≤≤≤。

解：()()s in 2
2
2
2
23
2
140s in s in .39
x D
x
y
d d x x
y
d y
x x x d x π
π
σ
π
⎛⎫-=
-=
-=-
⎪⎝⎭
⎰⎰⎰
⎰
⎰
(7)
()2
369D
y
x y d σ+-+⎰⎰，其中()
{}2
2
2
,D x y x y R
=+≤。

解：由对称性
()22
2
22
4
2
4
22
369992299.824
R
D D
x y
r y
x y d d d r d r R R
R d R π
π
σσθ
θπ⎛⎫
⎛⎫
++-+=
+=
+
⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
⎛⎫⎛⎫=
+=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰
5. 如果二重积分(),D
f x y d x d y ⎰⎰的被积函数(),f x y 是两个函数()1f x 及()2f y 的乘
积，即()()()12,f x y f x f y =⋅，积分区域(){},,D x y a x b c y d =≤≤≤≤，证明此二重积分等于两个单积分的乘积，即
()(
)()()1212
.b
d
D
a c
f x f y d xd y f x d x f y d y ⎡⎤
⎡⎤
⋅=⋅⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
⎰⎰⎰⎰ 证明：
()()()()()()()()()12
122
1
12.b
d b
d D
a
c
a
c
b
d
a c
f x f y d x d y
d x f x f y d y
f y d y
f
x d x
f x d x f y d y ⋅=
⋅=
⎡⎤
⎡⎤
=⋅⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
6. 化二重积分
(),D
I f
x y d σ=
⎰⎰
为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 为： （1） 由直线y x =及抛物线2
4y x =所围成的闭区域； 解：(
)()24
4
4
,,.y
y x
I d x f
x y d y
d y f
x y d x =
=
⎰
⎰
⎰
⎰
（2） 由x 轴及半圆周()2
22
0x y r y +=≥所围成的闭区域； 解：(
)(
)0
,,.r
r
r
I d x f
x y d y
d y f
x y d x -=
=
⎰
⎰
⎰
（3） 由直线,2y x x ==及双曲线()2
10y x x
=
>所围成的闭区域；
解：()()()2
1
2
2
21111
1
2
,,,.x
y
x
y
I d x f
x y d y
d y f
x y d x
d y f
x y d x =
=
+
⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰
（4） 环形闭区域(){}2
2
,14x y x y ≤+≤；
解：
(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)1
1
1
2
1
1
2
1
121
1
2
1
11
,,,,,,,,.
I d x f
x y d y
d x f
x y d y
d x f
x y d y
d x f
x y d y
d y f x y d x d y f
x y d x d y f
x y d x
d y f
x y d x --------=
+
+
+=
+++
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰
（5） 以()()()()0,0,2,0,2,1,0,1O A B C 为顶点的矩形； 解：()()2
1
1
20
,,.I d x f
x y d y
d y f
x y d x =
=
⎰
⎰⎰
⎰
（6） 以()()()0,0,1,0,1,1O A B 为顶点的三角形； 解：()()1
1
1
,,.x y
I d x f
x y d y
d y f
x y d x =
=
⎰
⎰
⎰
⎰
（7） 以()()()()0,0,2,0,3,,,O A a B a a C a a 为顶点的平行四边形； 解：
()()()()230
2220
,,,,.
a
x a
a a
a a
a
x a
a y a
y
I d x f x y d y
d x f
x y d y
d x f
x y d y
d y f
x y d x -+=+
+
=
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
（8） 由1,1,0x y y x y +=-==所围成的区域； 解：()()()0
1111
11
00
1
,,,.x x
y y I d x f
x y d y d x f
x y d y
d y f
x y d x +----=
+=
⎰
⎰
⎰⎰⎰
⎰
（9） 由2
,2y x x y =+=所围成的区域； 解：()(
)(
)2
1
21
4
22
1
,,,.x y x
I d x f
x y d y d y f
x y d x d y f
x y d x ---=
=
+
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
（10） 由2
2
,4y x y x ==-所围成的区域；
解：()(
)(
)2
2
42
4
2
,,,.x x
I x f
x y d y d y f
x y d x d y f
x y d x -=
=
+
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
（11） 由2,2,20xy y x y x ==-=所围区域的第一象限部分； 解：
()()()()2
1
22
1
2
22122
1
2
2
,,,,.
x
x x
x y
y
y
y I d x f
x y d y
d x f
x y d y
d y f
x y d x d y f
x y d x =
+
=
+⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
7. 设(),f x y 在D 上连续，其中D 为由直线,y x y a ==及()x b b a =>所围成的闭区域。

证明
()(),,.b
x b
b a
a
a
y
d x f
x y d y
d y f
x y d x =
⎰
⎰
⎰
⎰
证明：()()(),,,.b
x
b
b a
a
D
a
y
d x f x y d y f
x y d d y f
x y d x σ
=
=
⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
8. 改变下列二次积分的积分次序： （1）()1
,.y
d y f x y d x ⎰⎰
解：()()11
1
,,.y x
d y f x y d x d x f
x y d y =
⎰⎰⎰
⎰
（2）()2
220
,.y y
d y f
x y d x ⎰⎰
解：()(
)2
224
00
2
,,.y x
y
d y f
x y d x d x f
x y d y =
⎰⎰
⎰
（3）(
)1
,.d y f x y d x ⎰
解：(
)(
)11
01
,,.d y f
x y d x
d x f
x y d y -=
⎰⎰
⎰
（4）(
)2
1
2,.x
d x f
x y d y -⎰⎰
解：(
)(
)21
11
20
2,,.x
y
d x f
x y d y
d y f
x y d x --=
⎰⎰
⎰
⎰
（5）()ln 1
,.e
x d x f
x y d y ⎰
⎰
解：()()ln 1
1
,,.y
e x e e
d x f x y d y d y f
x y d x =⎰⎰⎰
⎰
(6)
()sin 0
sin
2
,.x x d x f
x y d y π
-⎰
⎰
解：()()()sin 0
1a rc sin 0
sin
1
2a rc sin 0a rc sin 2
,,,.x y
x y
y
d x f
x y d y
d y f
x y d x d y f
x y d x π
π
π----=
+⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰
（7）(
)()
14
420,.y d y f
x y d x -⎰⎰
解：(
)()
()2
14
40
40
2
24
,,.y x
x d y f
x y d x
d x f
x y d y ---+=
⎰⎰
⎰
⎰
(8)
()()1
23
30
01
0,,.y y d y f x y d x d y f x y d x -+⎰
⎰
⎰⎰
解：()()()1
23
32
300
1
2
,,,.y y x
x
d y f
x y d x d y f
x y d x
d x f
x y d y --+=
⎰⎰
⎰⎰
⎰
⎰
(9)
()1
1
,.d x f
x y d y ⎰
解：()()()2
1
11
2
1
,,,y d x f
x y d y
d y f
x y d x d y f
x y d x =
+⎰⎰
⎰
⎰⎰
.
(10)
()()00,0.a
x d x f
x y d y a >⎰
⎰
解：()()0
,,.a
x
a
a y
d x f x y d y d y f
x y d x =
⎰⎰⎰
⎰
.
(11)
()2
3
1
,.x x
d x f
x y d y ⎰
⎰
解：()()2
3
11
,,.x x
d x f
x y d y
d y f
x y d x =
⎰⎰
⎰
.
（12）()0
,.a y
d y f
x y d x -⎰
解：()()()2
00
,,,.a
a a y
a
x
x
d y f
x y d x
d x f
x y d y
x f
x y d y ---=
+
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
.
(13)
()2
1
11
,.x x x
d x f
x y d y +-+⎰
⎰
解：()()()
2
110
2
11
1
4
,,,.x x x
y d x f x y d y
d y f
x y d x
d y f
x y d x +-+-
-=
+
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
.
9. 证明
()
()()()
()0
00.a
y
a
m a x m a x d y e
f
x d x
a
x e
f x d x --=
-⎰
⎰⎰
证明：()
()()
()0
a
y
m a x m a x D
d y e
f
x d x
e
f
x d σ--=
⎰⎰⎰⎰
，其中D 为0,,x
y a y x ===围成的区
域，所以()
()()
()()()
()0
0.a y
a
a
a
m a x m a x m a x x
d y e
f
x d x d x e
f
x d y a x e
f
x d x ---=
=
-⎰
⎰⎰
⎰⎰
10. 应用二重积分证明：由射线,θαθβ==与曲线()r r θ=所围扇形区域D 的面积为
()2
1.2
r d β
α
θθ⎡⎤⎣⎦⎰
证明：()
()2
1.2
r D
S d d r d r r d β
θβ
α
α
σθ
θθ=
=
=
⎡⎤⎣⎦⎰⎰
⎰⎰
⎰
11. 求心脏线()1co s r a θ=+所围区域的面积。

解：()
2
22
2
1
31c o s .2
2
a S a
d ππθ
θ=
+
=
⎰
12. 将二重积分
2
2
x y x
y f d x d y x +≤⎛⎫
⎪⎝⎭
⎰⎰
表示成定积分。

解：
()
2
2
2
c o s 220
2
2
c o s ta n s in .c o s 2
x y x
f
y r f d x d y d f r d r d x r π
π
θ
π
π
θθθθ
θθ-
-
+≤⎛⎫
⎛⎫==
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
13. 求()2
2
2
2
,:0,0,0.D
y d x d y D x y x a x y b b a αββα≤≤≤≤+≤>>>>⎰⎰
解：
33
a rc ta n a rc ta n 2
a rc ta n a rc ta n 3
3
s in s in 3.3
b
D
a
b a y d x d y d r d r d b a β
β
α
α
θ
θθθ⎛⎫
-=
=
⎪⎝⎭
⎛
⎫
- =
⎝
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
14. 求2
2
2
a rc ta n
,:.D
y d x d y D x y
R x
+≤⎰⎰
解：由对称性，a rc ta n
0.D
y d x d y x
=⎰⎰
15. 求()
3/2
2
22
,:0,0.D
d x d y
D x a y a a
x y
≤≤≤≤++⎰⎰
解：()
()
4c o s 3/2
3/2
2
22
2
2
2.6a
D
d x d y
r
d d r a
a
x y
a
r
π
θπ
θ
==
+++⎰⎰
⎰
⎰
16. 计算
()2
2
.x y x y
x y d x d y +≤++⎰⎰
解：做变换
1,212
u x v y ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩，则
1,212
x u y v ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩，
()()
10, 1.
1
,x y u v ∂=
=∂()()2
2
2
2
12
1x y x y
u v x y d x d y
u v d u d v
+≤++≤
+=
++⎰⎰
⎰⎰，由对称性，
()2
2
12
0u v u
v d u d v +≤
+=⎰⎰，所以
()2
2
2
2
12
.2
x y x y
u v x y d x d y d u d v π
+≤++≤
+=
=
⎰⎰
⎰⎰
17. 计算
()4
4
2
2
1
.x y x
y
d x d y +≤+⎰⎰
解
：
(
)4
4
2
2
3
224
4
1
2
22
24
4
2
2
2
1
4c o s sin 1
1
1ta n 111ta n ()111ta n 1()2
x y x
y
d x d y
d d r d x x d d x d x d x x
x
x
x x
x ππ
π
θ
θ
θθ
θθθ
+≤+∞
+∞
+∞
+==
++++=
=
=
=-
=
+++-
+⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
18. 引进变量替换,x y u y vx +==将积分(),(:0,0,1D
f x y d x d y D x y x y ≥≥+≤⎰⎰的公
共部分）化为变量,u v 的累次积分。

解：做变换,x y u y v x
+=⎧⎪⎨=⎪
⎩，则,11u x v u v y v ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩()
()()
()
()
2
2
2
1
11,,111u
v v x y u
v u
u v v v
v -
++∂=
=
∂+++，所以
()()
1
2
,,.111D
u u v u f
x y d x d y
d u f d v v v v +∞⎛⎫=
⎪++⎝⎭+⎰⎰
⎰
⎰
19. 求曲线()2
22
2
,,,0,0y p x y q x x a y x b y p q a b ====<<<<所围区域的面积。

解：D
S d σ=
⎰⎰。

做变换2
2
,
x
u y y v x
⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
，则21
33
1233
,x u v y u v
⎧=⎪⎨⎪=⎩，()()11
2
23333
221
13333
2
1,133,3
1233
u v u v
x y u v u v u v
-
-
--
∂==
∂，
所以()()
1.3
3
b
q D
a
p
b a q
p S d d u d v σ--=
=
=
⎰⎰
⎰
⎰
20. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线2,x y y x +==和x 轴所围成，其面密度
()22
,x y x y μ=+，求该薄片的质量。

解：()()1
21
2
2
2
2
2
30
88444.333y D
y
m x y
d d y x y
d x y y y d y σ-⎛⎫=
+=
+=
-+-= ⎪
⎝⎭
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
21. 计算由四个平面0,0,1,1x y x y ====所围成的柱体被平面0z =及236
x y z ++=截得的立体的体积。

解：()()1
1
1
976236232.22D V x y d d x x y d y x d x σ⎛⎫
=
-
-=
-
-=
-= ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰
⎰
⎰
22. 求由平面0,0,1x y x y ==+=所围成的柱体被平面0z =及抛物面2
2
6x y z +=-截
得的立体的体积。

解：
()()3
1
1122
2
2
2
174176652.3
36x D
x V x y
d d x x
y
d y x x d x σ
-⎛⎫=
-
-=
--=--+= ⎪
⎝⎭⎰⎰⎰
⎰
⎰
23. 求由曲面222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体的体积。

解：联立2
2
22
2,
62z x y z x y
⎧=+⎪⎨=--⎪⎩得投影区域()
{}
22
,,02.D x y x y
=
+≤
所以()
)22
222
2
622636.D
V x
y x y
d d r r d r
π
σ
θ
π=
----=
-=⎰⎰⎰
⎰
24. 画出积分区域，把积分(),D
f x y d x d y ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域
D
为
（1）(){}()2
2
2
,0.x y x y a a
+≤>
解：()()20
,co s ,sin .a
D
f x y d xd y d f
r r rd r π
θ
θθ=
⎰⎰⎰
⎰
（2）(){}2
2
,2.x y x y x +≤
解：()()2c o s 20
2
,c o s ,s in .D
f x y d x d y d f
r r r d r π
θ
π
θ
θθ-
=
⎰⎰⎰
⎰
（3）(){}2
2
2
2
,,x y a x y b
≤+≤其中0.a b <<
解：()()20
,c o s ,sin .b
D
a
f x y d xd y d f
r r rd r π
θ
θθ=
⎰⎰⎰
⎰
（4）(){},01,01.x y y x x ≤≤-≤≤
解：()()1
2co s sin 0
,co s ,sin .D
f x y d xd y d f
r r rd r π
θθθ
θθ+=
⎰⎰⎰
⎰
（5）(){}2
,1,11.x y x y x ≤≤-≤≤ 解：
()()()()2
2
sin 4c o s 0
31
sin 4sin c o s 30
4
4
,c o s ,s in c o s ,s in c o s ,s in .
D
f
x y d x d y
d f
r r r d r
d f
r r r d r
d f
r r r d r π
θ
θπ
θ
π
θθππθ
θθθ
θθθ
θθ=
++
⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰
（6）(){}()2
2
,0,x y x y a x a +≤>
解：()()c o s 20
2
,c o s ,s in .a D
f x y d x d y d f
r r r d r π
θ
π
θ
θθ-
=
⎰⎰⎰
⎰
（7）(){}()22,0,x y x y b y b +≤> 解：()()sin 0
,co s ,sin .b D
f x y d xd y d f
r r rd r π
θ
θ
θθ=
⎰⎰⎰
⎰
(8)由22224,8,,2x y x x y x y x y x +≥+≤≥≤所围区域的公共部分。

解：()()a rc ta n 2
8c o s 4c o s 4
,c o s ,sin .D
f x y d x d y d f
r r rd r θ
π
θ
θ
θθ=
⎰⎰⎰⎰
（9）由()2222
,0x y a x x y a y a +≤+≤>所围区域的公共部分。

解：
()()()sin 40
c o s 20
4
,c o s ,s in c o s ,s in a D
a f
x y d x d y
d f
r r r d r
d f
r r r d r
π
θ
π
θ
πθ
θθθ
θθ=
+⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰
25. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： （1）()1
1
,;d x f x y d y ⎰⎰
解：
()()()1
1
1
4c o s 0
12sin 0
4
,c o s ,s in c o s ,s in .
d x f
x y d y
d f
r r r d r
d f
r r r d r πθπ
θπθ
θθθ
θθ=
+⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰
（2
）(
2
;x d x f
d y ⎰⎰
解：(
()2
23
c o s 00
4
.x
d x f
d y d f
r rd r π
θπ
θ
=⎰⎰
⎰
⎰
（3）(
)1
1,;x
d x f
x y d y -⎰⎰
解：(
)()11
21010
c o s sin ,c o s ,sin .x
d x f
x y d y
d f
r r rd r π
θθ
θ
θθ-+=
⎰⎰
⎰
⎰
（4）()2
1
,;x d x f
x y d y ⎰⎰
解：()()2
2
1
14c o s s in 0
c o s ,c o s ,s in .x
d x f
x y d y
d f
r r r d r π
θθθ
θ
θθ=
⎰⎰
⎰
⎰
26. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： （1）
)22
2
.a d x x
y
d y +⎰
⎰
解：
)4
22c o s 2
2
3
44
220
34c o s .4
a a a d x x
y
d y d r d r a d π
π
θ
πθ
θθ+==
=
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
（2）0
.a x d x y ⎰⎰
解
：
()(
)()()32
4
c
3
2
3
3
3
3444
2
2
2
2
3
222
3
22
3c o s c o s 111
1
s in 3c o s 3
(1s in )
3
(1)
12
111111
2121111111
1
12111a
a
x
a
d x y d r d r d a
a
a
a
d d d x d x x x
x a
d x x x x x a
x x x π
π
θ
π
π
θ
θ
θ
θθθθ
θ=
=
⎫
=
=
=
=
+
⎪---+⎝⎭
⎫
=
++⋅⎪ ⎪-+-+⎝
⎭
=
+++
--+⎰
⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰
⎰((20
3
1ln 3.
12
d x
x a
⎫⎪ ⎪
+⎝
⎭
=
++⎰
（3）()
2
11
2
2
2
.x x
d x x
y
d y -
+⎰⎰
解：(
)
2
2
s in 112
2
442
c o s 2
00
s in 1.c o s x x
d x x y
d y d d r d π
θ
π
θθθ
θθ
-
+=
=
=
-⎰⎰
⎰
⎰
⎰
（4）
)2
2
.a
d y x
y
d x +⎰
解：)4
4
2
2
3
220
.4
8
a a
a
a
d y x
y
d x d r d r d π
π
πθ
θ+==
=
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
27. 设(),f x y 在闭区域(){}2
2
,,0D x y x y y x =+≤≥上连续，且
()()8
,,.D
f
x y f
x y d x d y π
=
⎰⎰
求(),f x y 。

解：
()(
)()()s in 20
8
,,8
2,,6
9
D
D
D
D
D
f
x y d x d y f
x y d x d y d x d y
d f
x y d x d y r d r
f
x y d x d y
π
θ
π
π
θ
π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
⎛⎫
=
=
-
-
⎪⎝
⎭
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
所以()1,.12
9
D
f x y d x d y π
=
-
⎰⎰，
()
28,.3
9f x y π
=-
+
28. 利用极坐标计算下列各题：
（1）22
,x y
D
e
d σ+⎰⎰其中D 为由圆周22
4x y
+=所围成的闭区域。

解：()22
2
4
22
24
11.2x y
r
D
e e
d d
e r d r d e
π
π
σθ
θπ+⎛⎫-=
=
=- ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰
⎰
⎰
(2)
()2
2
ln 1,D
x y
d σ++⎰⎰
其中D
为由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的
闭区域。

解：()()1
2
2
2
220
1ln 2
1ln 1ln 1ln 2.22
4D
x y
d d r r
d r
d π
π
σ
θ
θπ⎛⎫⎛⎫++=
+=
-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰
⎰
⎰
（3）a rc ta n
,D
y d x
σ⎰⎰其中D 为由圆周22
2
2
4,1x y
x y
+=+=及直线0,y y x ==所围成
的在第一象限内的闭区域。

解：2
2
440
1
33a rc ta n
.264D
y d d r d r d x
π
π
θπσθ
θθ⎛⎫
=
=
= ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰
⎰
⎰
29. 选用适当的坐标计算下列各题： （1）22
,D
x
d y
σ⎰⎰
其中D 为由直线2,x y x ==及曲线1x y =所围成的闭区域。

解：()222
2
3
1
2
2
1
1
9.4
x
D
x
x
x d d x d y x
x d x y
y
σ=
=
-=
⎰⎰
⎰
⎰⎰
(2)
,D
σ⎰⎰
其中D 为由圆周22
1x y
+=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭
区域。

解：2
20
.8
4
D
d d r π
π
π
σθ
=
=
-
⎰⎰
⎰
⎰
（3）()2
2
,D
x
y
d σ+⎰⎰其中D
为由直线(),,,30y x y x a y a y a a ==+==>所围成的闭
区域。

解：()()3
332
2
2
2
224
214.3a
y a D
a
y a
a
a x
y
d d y x
y
d x a y a y d y a σ
-⎛⎫+=
+=-+= ⎪
⎝⎭⎰⎰
⎰
⎰
⎰
（4
）,D
σ⎰⎰其中D 为圆环形闭区域()
{}2
22
2
,x y a
x y
b
≤+≤。

解：()22
3
3
2.3
b
D
a
d r d r b
a
π
πσθ
=
=
-⎰⎰
⎰
⎰
30. 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线2ρθ=上一段弧02πθ⎛⎫
≤≤
⎪⎝
⎭
与直线2
π
θ=
所围
成，其面密度为()22
,x y x y μ=+。

求此薄片的质量。

解：5
23
4
220
4.40
D
m d d r d r d π
π
θ
π
μσθ
θθ=
=
=
=
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
31. 求由平面()0,0,0y y kx k z ==>=以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在
第一卦限内的立体的体积。

解：3
a rc ta n 0
a rc ta n .3
k
R
D
R k
V d d r σθ
=
=
=
⎰⎰
⎰
⎰
32. 计算以x O y 面上的圆周22x y a x +=围成的闭区域为底，而以曲面22z x y =+为顶的曲
顶柱体的体积。

解：()44
4
c o s 2
2
3
220
2
2
c o s 3.4
32
a D
a a V x
y
d d r d r d π
π
θ
π
π
θ
πσ
θ
θ-
-
=
+=
=
=
⎰⎰⎰
⎰
⎰
33. 作适当的变换，计算下列二重积分： （1）
()()2
2
s in
,D x
y x y d x d y -+⎰⎰其中D 为平行四边形闭区域，它的四个顶点是
()()(),0,2,,,2πππππ和()0,π；
解：做变换,x y u x y v +=⎧⎨-=⎩，则,2
2
u v x u v
y +⎧
=⎪⎪⎨
-⎪=⎪⎩()()
1
1,12211,2
2
2
x y u v ∂==-
∂-，所以
()
()2
2
3
2
4
332
2
s in s in s in
.2
3
3
D
v u
u
x y x y d x d y
d u d v d u π
π
π
ππ
π
ππ
--+=
=
=
⎰⎰⎰⎰
⎰
（2）22
,D
x y d x d y ⎰⎰其中D 为由两条双曲线1x y =和2xy =，直线y x =和4y x =所围成
的在第一象限内；
解：做变换,x y u
y v x
=⎧⎪
⎨=⎪⎩，
则
x y ⎧=⎪⎨⎪=
⎩()
(
)
1
322
1,2
1.,2u v x y u v v
-
-
∂=
=∂，所以
2
2
4
2
22
2
1
1
1
7ln 2ln 2.23
D
u
x y d x d y d u d v u d u v
=
=
=
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
(3)
,y
x y
D
e
d x d y +⎰⎰
其中D 为由x 轴、y 轴和直线1x y +=所围成的闭区域；
解：做变换,x y u y v
+=⎧⎨
=⎩，则,x u v y v
=-⎧⎨
=⎩()
()11, 1.
1
,x y u v -∂=
=∂，所以
()1
1
0011.2
y
v
u
x y
u D
e e
d x d y d u
e d v e u d u
+-=
=
-=
⎰⎰
⎰
⎰⎰
（4）22
22,D
x y d x d y a b ⎛⎫+ ⎪
⎝⎭⎰⎰
其中()2
2
22,1.x y
D x y a b ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭
解：做变换c o s ,
s i n x a r y b r θθ
=⎧⎨
=⎩，则
()()
c o s s i n
,.s i n c o s
,a a r x y a b r b b r r θθθθθ
-∂=
=∂，所以
2
2
21
23
220
.4
2
D
x y a b a b
d x d y d a b r d r d a b π
π
πθ
θ⎛⎫
+==
=
⎪⎝⎭
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
34. 求由下列曲线所围成的闭区域D 的面积：
（1）D 为由曲线334,8,5,15x y x y x y x y ====所围成的第一象限部分的闭区域；
解：做变换3,x y u x y v =⎧⎨=⎩，则3
1
22
1122
,x u v y u v
--⎧=⎪⎨
⎪=⎩()()113
32
2
2
2
3111222
2
3
1,12
2.,2112
2
u v u v
x y u v v
u v u
v
-
-
---
-∂==
∂-，所以
8
154
5
12ln 3.2D
d x d y d u d v v
=
=⎰⎰
⎰
⎰
（2）D 为由曲线3
3
3
3
,4,,4y x y x x y x y ====所围成的第一象限部分的闭区域；
解：做变换3
3,
y
u x x v y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
，则31
88
1388,x u v y u v ----⎧=⎪⎨⎪=⎩()()11
1
3988
8
8
3
3
9311122
888
8
3
1,1
8
8.,1388
8
u v u
v
x y u v u v u v u v
-
------
-
--
∂==
∂--，
所以4
4
3
3
1
1
22
1
1.8
8D
d x d y d u d v u v =
=
⎰⎰⎰
⎰
35. 设闭区域D 由直线1,0,0x y x y +===所围成，求证
1c o s sin 1.2D
x y d x d y x y ⎛⎫-= ⎪
+⎝⎭
⎰⎰
证明：做变换,x y u x y v +=⎧⎨-=⎩，则,22u v x u v
y +⎧
=⎪⎪⎨
-⎪=⎪⎩()()11,12
2.11,2
2
2x y u v ∂==-
∂-，所以
1
1
c o s 1c o s s in 1s in 1.2
2
u D
u
v x y u d x d y d u d v u d u x y -⎛⎫ ⎪
⎛⎫-⎝⎭
=
=
=
⎪+⎝⎭
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
36. 选取适当的变换，证明下列等式： （1）()()1
1
,D
f x y d xd y f
u d u -+=
⎰⎰⎰
其中闭区域()
{}
,1.D
x y x y =
+≤
证明：做变换,x y u x y v +=⎧⎨-=⎩，则,22u v x u v
y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩()()11,12
2.11,2
2
2x y u v ∂=
=-
∂-，所以
()()
()1
11
1
1
1
.2
D
f
u f
x y d x d y d u d v f
u d u ---+=
=
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
（
2
）
(
)()
12,
D
f
a x
b y
c
d x d y u
c d u -++=⎰⎰
⎰
其中
()
{}
2
2
,1,D x y x y
=
+≤且22
0.a b
+≠
证明：做变换,
a x
b y b x a y ⎧+=⎪
⎨-+=⎪⎩，则
x b u a v y ⎧
=⎪⎪
⎨
+⎪=⎪⎩
()(
)
, 1.,x y u v ∂==∂，所以
(
)(
)
(
)
()
1
111
2.
D D
f
a x
b y
c d x d y f
u c d u d v
d u f
u
c d v u
c d u --++==
+=⎰⎰
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
9.3 三重积分 习题9.3
37. 化三重积分(),,I f x y z d x d y d z
Ω
=
⎰⎰⎰为三次积分，其中积分区域Ω分别为：
（1） 由双曲抛物面x y z =及平面10,0x y z +-==所围成的闭区域。

解：()()1
10
,,,,.x x y I f
x y z d x d y d z d x d y f
x y z d z -Ω
=
=
⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰
（2） 由曲面2
2
z x y =+及平面1z =所围成的闭区域。

解：(
)()2
2
1
11
,,,,.x y
I f
x y z d x d y d z
d x y f
x y z d z -+Ω
=
=
⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰
（3） 由曲面222z x y =+及22z x =-所围成的闭区域。

解：(
)()2
2
2
1
21
2,,,,.x
x y
I f x y z d x d y d z
d x y f
x y z d z --+Ω
=
=
⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
（4） 由曲面()222
2
0,
1,0x y c z x y c z a
b
=>+
==所围成的在第一卦限内的闭区域。

解：(
)()0
,,,,.x y
a
c I f x y z
d x d y d z
d x y f
x y z d z Ω
=
=
⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
38. 计算下列三重积分：
（1）2
,z d x d y d z Ω
⎰⎰⎰，其中Ω为两个球：2222x y z R ++≤和()222
20x y z R z R ++≤>的
公共部分。

解：由2
2
2
2
222
,2,
x y z R x y z R z ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩得.2R z =所以
()()2
2
2
2
20
02
2
2
2
2
2
5
20
2
592.
480
z
z
z
R
R
R
R D D D R
R R z d x d y d z d z z d x d y d z z d x d y d z z d x d y
z
R z z d z z
R
z
d z
R πππΩ=
=
+=
-+-=⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰
（2）()
2
2
2
222
ln 1,1
z x y z d x d y d z x y z Ω
++++++⎰⎰⎰，其中Ω为由球面222
1x y z
++=所围成的闭区
域。

解：由于Ω关于x O y 面对称，被积函数关于z 为奇函数，所以
()2
2
2
222
l n 1
0.1
z x y z d x d y d z x y z Ω
+++
=+++⎰⎰⎰
（3）()2
2
,y
z
d x d y d z Ω
+⎰⎰⎰
，其中Ω
为由x O y 平面上曲线2
2y x =绕x 轴旋转而成的曲面
与平面5x =所围成的闭区域。

解：旋转面方程为2
2
2y z x +=。

易得Ω在y O z 面上的投影区域
()
{}
22
0,,10D y z y z
=
+≤，所以
()()(
)22
5
2
2
2
2
2
2
2
2
222
30
250
55.223y z D
D
y
z
d x d y d z d y d z y
z
d x
y z r y z d y d z d r d r πθ
π+Ω
+=+⎛⎫⎫+=
-+=
-=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰。