西南交大大物试卷答案04A

《大学物理》作业 No 4 能量、能量守恒定律
一、选择题
1. 一个质点同时在几个力作用下的位移为)S I (654k
j i r
+-=∆, 其中一个力为恒
力)S I (953k
j i F
+--=，则此力在该位移过程中所作的功为
[ A ] J 76)A (
J 19)B ( J 71)C (
J 76)D (-
解：由功的定义，F
力的功为
(J)67542512)654()953(=++-=+-⋅+--=∆⋅=k j i k j i r F A
2. 一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力
)(0j y i x F F
+=作用在质点上。

在该质点从坐标原点运动
到)2,0(R 位置过程中，力F
对它所作的功为
[ B ] 20)A (R F 202)B (R F 2
03)C (R F
2
04)D (R F
解：由功的定义，F
力的功为
⎰⎰⎰+=⋅=y F x F r F A y x d d d
2020
000
02d d R F y y F x x F R
=+=⎰
⎰
3. 对功的概念有以下几种说法：
(1) 保守力作正功时，系统内相应的势能增加。

(2) 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。

(3) 作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作的功的代数和必然为零。

在上述说法中：
[ C ] (A) (1)、(2)是正确的； (B) (2)、(3)是正确的；
(C) 只有(2)是正确的； (D) 只有(3)是正确的。

解： (1) 不对。

0,时0,<∆>∆-=p p E A E A 保保，势能减小。

(2) 正确。

保守力的定义就是沿任意一闭全回路径作功为零。

(3) 不对。

一对力虽然大小相等方向相反，但两质点的位移并不一定大小相等方向相反，所以一对力的功的代数和不一定为零。

只有两质点的间距不变时，作用力和反作用力功的代数和才为零。

4. 对于一个物体系统来说，在下列条件中，那种情况下系统的机械能守恒？ [ C ] (A) 合外力为0； (B) 合外力不作功；
(C) 外力和非保守内力都不作功； (D) 外力和保守力都不作功。

解：系统机械能守恒的条件是0=+非保内外A A ，当0=外A ，0=非保内A 时满足守恒条件。

5. 一个作直线运动的物体，其速度v 与时间t 的关系曲线如图所示。

设时刻t 1至t 2间外力作功为W 1；时刻t 2至t 3间外力作的功为W 2；时刻t 3至t 4间外力作功为W 3，则 [ C ] (A)0,0,0321<<>W W W
(B)0,0,0321><>W W W (C)0,0,0321><=W W W
(D)0,0,0321<<=W W W
解：根据质点的动能定理 k E W ∆=
v t t 间，~21不变, 0,01==∆W E k 所以 减小v t t 间，~320 ,02<<∆W E k
增大v t t 间，~430
,03>>∆W E k
6. 在如图所示系统中(滑轮质量不计，轴光滑)，外力F
通过不可伸长的绳子和一劲度系数-1
m
N 200⋅=k 的轻弹簧缓慢
地拉地面上的物体，物体的质量g M k 2=。

初始时弹簧为自
然长度，在把绳子拉下cm 20的过程中，F
所做的功为(重
力加速度g 取-2
s
m 10⋅)
[ C ] (A) J 2 (B) J 1
(C) J 3 (D) J 4
(E)J 20
解：外力刚向下拉时，弹簧伸长，物体M 未被拉起，直到弹簧伸长0x 时，M 拉起并向上匀速运动。

(m)1.0200
10
20=⨯==
k Mg x 于是，物体在整个过程中受力函数为 ⎩⎨
⎧≤≤=≤≤=2
.01.0201.00x Mg x kx
f 因物体缓慢上升，外力F 的功等于物体受力f 的功，为
(J)321d d d 2
.01
.01
.00
2
.00
=+=+==⎰
⎰
⎰
x Mg x x k x f A
O
二、填空题
1. 有一劲度系数为k 的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为m 的小球。

先使弹簧为原长，而小球恰好与地接触。

再将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离地面为止。

在此过
程中外力所作的功为 k g m 22
2。

解：设小球刚离开地面时伸长量为0x ，由mg kx =0知k
mg
x =0 在此过程中外力的功为⎰
=
==
2
202)(21d x k mg x k x x k A
2. 下列物理量：质量、动量、冲量、动能、势能、功中与参照系的选择有关的物理量是 动能、动量、功 。

(不考虑相对论效应)
解：在经典力学中，质量与参考系无关；动量v m p = , v
与参考系有关，所以p
与参
考系有关；冲量t F t F I 和，
d ⎰
=
都与参考系无关，所以I 与参考系无关；动能 22
1
mv E k =
因v 与参考系有关而有关；势能与物体间的相对位置有关，与参考系无关；功⎰⋅=r F A d 因位移r
d 与参考有关而有关。

3. 一质量为m=5kg 的物体，在0到10秒内，受到如图所示的变力F 的作用，由静止开始沿x 轴正向运动，而力的方向始终为x 轴的正方向，则10秒内变力F 所做的功 4000 J 。

解：由图可知，物体受力为⎩⎨
⎧≤≤≤≤=10
520
5
08)(t t t
t F
0 ~ 5 秒内应用动量定理0d 855
0-=⎰mv t t 得)s (m 205
5412
5-⋅=⨯=
v 5 ~ 10 秒内再应用动量定理
5
1010
d 20mv mv t t -=⎰
)s (m 4020205
)
510(201510-⋅=+=+-=
v v
根据质点的动能定理，10秒内变力的功为
(J)4000405210212210=⨯⨯=-=
mv A
4. 一长为l ，质量为m 的匀质链条，放在光滑的桌面上，若其长度的1/5
悬挂于桌边下，
将其慢慢拉回桌面，需做功 50/mgl 。

解：设桌面为重力势能零势面，以向下为坐标 轴正向。

在下垂的链条上坐标为x 处取质量元
x l
m m d d =
，将它提上桌面，外力反抗重力作 功x gx l
m
gx m A d d d =⋅=，将悬挂部分全部拉到桌面上，外力作功为50
d 5/0mgl
x gx l m A l ⎰== 5. 一质量为m 的质点在指向圆心的平方反比力2/r k F -=的作用下，作半径为r 的圆周运动，此质点的速度=v
)(/r m k 。

若取距圆心无穷远处为势能零点，它的机
械能=E )2/(r k - 。

解：由牛顿第二定律r v m r
k 2
2=-可得质点的速度大小mr
k
v =。

以无穷远处为势能零点，质点的势能为⎰⎰
∞∞
-=-=⋅=r r
p r
k
r r k r F E d d 2
质点的动能为r
k
mv E k 2212==
所以质点的机械能 r
k
r k r k E E E p k 22-=-=+=
6. 一弹簧原长m 1.00=l ，劲度系数1
m N 50-⋅=k ，其一端固定在半径为R = 0.1m 的半圆环的端点A ，另一端与一套在半
圆环上的小环相连。

在把小环由半圆环中点B 移到另一端C 的过程中，弹簧的拉力对小环所作的功为 -0.207 J 。

解：根据保守力的功与势能的关系p E A ∆-=，
弹簧拉力的功为 ])(2
1
)(21[
22B c l k l k A ∆-∆-= 将0045sin ,2l R
l l R l B c -=
∆-=∆
代入上式，得 207.0])1.045
sin 1.0(5021)1.01.02(5021[2
2-=-⨯--⨯⨯⨯-=
A (J)
三、计算题
1. 一人从10m 深的井中提水，起始时桶中装有10kg 的水，桶的质量为1kg ，由于水桶漏水，每升高1m 要漏去0.2kg 的水。

求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功。

A
解：如图所示，以井中水面为坐标原点，以竖直向上为y 正方向。

因为匀速提水，所以人的拉力大小等于水桶和水的重量，它随升高的位置面变化而变化，在高为y 处，拉力为 kgy mg F -=
式中 ,kg 11)110(=+=m 1m kg 2.0-⋅=k 。

人作功为
(J)
980d )8.92.08.911(d )(d 10
=⨯-⨯=-==⎰
⎰⎰y
y y kgy mg y F A h
2. 某弹簧不遵守胡克定律，若施力F ，则相应伸长为x ，力与伸长的关系为
(S I)4.388.522x x F +=，求：
(1) 将弹簧从定长m 50.01=x 拉伸到定长m 00.12=x ，外力所需做的功;
(2) 将弹簧横放在水平光滑的桌面上，一端固定，另一端系一个质量为17kg 的物体，然后将弹簧拉伸到一定长m 00.12=x ，再将物体由静止释放，求当弹簧回到
m 50.01=x 时，物体的速率。

(3) 此弹簧的弹力是保守力吗？
解：(1) 由功的定义，力F 的功为
(J)
31d )4.388.52(d d 0
.15
.0221
2
1
=+=⋅=⋅=⎰⎰⎰
x
x x x F r F A x x x x
(2) 弹性力的大小等于外力的大小，即2
4.388.52)(x x x F f +==，对物体应用动
能定理：02
1d )4.388.52(d d 20.15
.02
2121-=+=⋅=⋅=⎰⎰⎰mv x x x x f r f A x x x x 得物体的速率 )s (m 91.117
31
221-⋅=⨯==m A v (3) 因为
⎰=⋅0d x f ，所以弹力是保守力。

3. 一链条总长为l ，质量为m ，放在桌面上，并使其一端下垂，下垂一端的长度为a 。

设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为μ，令链条由静止开始运动，则
(1) 到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？ (2) 链条离开桌面时的速度是多少？
解：(1) 以桌面为坐标原点，竖直向下为x 轴正方向。

在某一时刻，竖直下垂的长度为x ，桌面对链条的摩擦力大小为 g x l l
m
f )(-=μ
链条离开桌面的过程中，摩擦力作功为
2
)(2d )(d d a l l
m g x
g x l l
m
x f r f A a a f --=--=-=⋅=⎰⎰⎰μμ
负号表示摩擦力作负功。

(2) 以链条为研究对象，由质点系的动能定理 2022
121mv mv A A f p -=
+ 式中p A v ,00=为重力作的功 )(21d 2
2a l mg l
x xg l m A a p -==
⎰
由22222
1
)(21)(2mv a l mg l a l l m =-+--μ得链条离开桌面时的速率为 222
)()[(a l a l l
g v ---=μ。