曲线、曲面积分方法小结

求曲线、曲面积分的方法与技巧
一.曲线积分的计算方法与技巧
计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。

例一．计算曲线积分⎰+L
xdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点
)0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

解1：A O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==,
2,2
x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212
dx x
x x dy --=
⎰+L
xdy ydx dx x
x x x x x ⎰--+
-=2
2
2
]2)1(2[
dx x
x x x dx x
x x x x
x x ⎰
⎰
--+----=20
2
20
2
2
2)1(2)1(220
.00442=--=
分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解2：在弧A O
上取)1,1(B 点，
B O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11,
2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12
dy y y dx -= A B 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==,
11,
2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12
dy y y dx --= ⎰+L
xdy ydx dy y y y dy y y y ⎰⎰-++--
+--+-=0
1
22
21
2
2
2)111()111(
dy y
y ⎰
-=10
2
212dy y ⎰--10
2
12dy y
y ⎰
-=10
2
21210
2
12y
y --dy
y
y ⎰
--+10
2
212
.0)011(2=---=
分析：解2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。

不同的是以y 为参数时，路径L 不能用一个方程表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。

解3：A O
的参数方程为,sin ,cos 1θθ=+=y x L 由,A B O →→θ由,0→π
.cos ,sin θθθθd dy d dx =-=
⎰+L
xdy ydx θθθθπd ]cos )cos 1(sin [02
++-=⎰θ
θθπ
d ]2cos cos [0
--=⎰
.0)2sin 21
sin (0=--=πθθ
解4：A O
的极坐标方程为,cos 2θ=r 因此参数方程为
,cos 2cos 2θθ==r x ,cos sin 2sin θθθ==r dy L 由,A B O →→θ由
,02
→π
.)sin (cos 2,cos sin 422θθθθθθd dy d dx -=-=
⎰
+L
xdy ydx θθθθθθπd )]sin (cos cos 4cos sin 8[2
2220
2
2-+-=⎰.
0)2214342213(4]cos 4cos 3[44220=⋅⋅⋅-⋅⋅=+=⎰π
πθθθπ
d
分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。

可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解5：添加辅助线段AO ，利用格林公式求解。

因
,
,x Q y P ==,011=-=∂∂-∂∂y
P
x Q 于是 ⎰
⎰⎰+-=+AO
L D dxdy xdy ydx ,0
而
⎰
⎰==+AO
dx xdy ydx 0
2
,00
故得=
+⎰L
xdy ydx ⎰
+AO
L .0=-
⎰
AO
分析：在利用格林公式dxdy y
P
x Q dy y x Q dx y x P D
L
)(
),(),(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰将所求曲线积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线,采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但Q P ,必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。

L 是D 的正向边界曲线。

解5中添加了辅助线段,AO 使曲线AO L +为正向封闭曲线。

解6：由于,
,x Q y P ==,1=∂∂=∂∂y
P
x Q 于是此积分与路径无关，故 ⎰+L
xdy ydx ⎰+=
OA
xdy ydx .
00)0,2()
0,0(2
==+=⎰⎰dx xdy ydx
分析：由于Q P ,在闭区域D 上应具有一阶连续偏导数，且在D 内
,y
P
x Q ∂∂=∂∂因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在L 上的积分为在
OA 上积分，注意O 点对应L 的起点。

一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分路径，可使原积分得到简化。

解7：由全微分公式),(xy d xdy ydx =+
⎰+L
xdy ydx .0)()
0,2()
0,0()0,2()
0,0(===⎰
xy
xy d
分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。

例二．计算曲线积分⎰-+-+-C
dz y x dy z x dx y z ,)()()(其中C 是曲线
⎩⎨
⎧=+-=+,
2,
122z y x y x 从z 轴正向往z 轴负向看C 的方向是顺时针的。

解1：设∑表示平面2=+-z y x 上以曲线L 为边界的曲面，其中∑的正侧与
L 的正向一致，即∑是下侧曲面，∑在xoy 面上的投影区域xy D ：.122=+y x 由斯托克斯公式
⎰-+-+-C
dz y x dy z x dx y z )()()(⎰⎰
∑
---∂∂
∂∂∂∂=y
x z x y z z y x dxdy
dzdx dydz
⎰⎰⎰⎰∑
-=-==xy
D dxdy dxdy .222π
解2：利用两类曲面积分间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另一形式求得出
⎰-+-+-C
dz y x dy z x dx y z )()()(dS y
x z
x y
z z y x ⎰⎰
∑
---∂∂
∂∂∂∂=γβα
cos cos cos ⎰⎰∑
++=,)cos 200(dS γ
而平面∑：2=+-z y x 的法向量向下，故取},1,1,1{--=,
3
1cos -=γ于是上式.21)1(13
23
21
222π-=+-+-=
-=
⎰⎰⎰⎰
∑
≤+dxdy dS y x
分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积
分计算的。

在利用斯托克斯公式dz R Qdy Pdx R
Q P z y x dxdy
dzdx dydz L ⎰⎰⎰
++=∂∂
∂∂∂∂
∑
计算时首先应验证函数R Q P ,,在曲面∑连同边界L 上具有一阶连续的偏导数，且L 的正向与∑的侧符合右手规则。

在计算空间曲线积分时，此法也是常用的。

解3：将积分曲线用参数方程表示，将此曲线积分化为定积分。

设
,cos θ=x ,sin θ=y 则,sin cos 22θθ+-=+-=y x z θ从.02→π
⎰-+-+-C
dz y x dy z x dx y z )()()(
+--+--=⎰θθθθθπcos )sin 2cos 2()sin )(cos 2[(0
2
θθθθθd )]cos )(sin sin (cos +-
⎰--+=π
θθθθθ20
2]2cos cos 2)cos (sin 2[d
.2]2cos 1sin 2[20
πθθθπ
-=--=⎰d
例三．计算,)2(2
2
ds z y x ++⎰Γ
其中Γ为曲线⎩⎨
⎧=++=++)
2(.0)
1(,
2222z y x R z y x
解1：由于当积分变量z y x ,,轮换位置时，曲线方程不变，而且第一类曲线积分与弧的方向无关，故有
⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓ=++===.3)(3122
222
2
2
ds R ds z y x ds z ds y ds x
由曲线Γ是球面2222R z y x =++上的大圆周曲线，其长为.2R π故
.3
4
232)(3222R R R ds y x ππ=⋅=
+⎰
Γ
由于Γ关于原点对称，由被积函数为奇函数，得 .0=⎰Γ
ds z 于是
.34)2(32
2R ds z y x π=++⎰Γ
解2：利用在Γ上，2222R z y x =++，
原式⎰⎰⎰⎰Γ
Γ
Γ
Γ
+-=+-++=zds ds z ds R ds z z z y x 2)2(222222
再由对称性可得R R ds z π2322
⋅=⎰Γ
（同解1）
，于是 上式.3
4
02232322
R R R R R πππ=⋅+⋅-⋅= 分析：以上解1解2利用对称性，简化了计算。

在第一类曲线积分的计算中，当积分变量在曲线方程中具有轮换对称性（即变量轮换位置，曲线方程不变）时，采用此法进行计算常常是有效的。

例四．求,2
2⎰
+-L
y
x xdy
ydx 其中L 为椭圆曲线19)1(22=+-y x 上在上半平面内从)0,4()0,2(B A →-的弧。

解：添加辅助线 l 为222ε=+y x 的顺时针方向的上半圆周以及有向线段
DB AC ,
，其中ε是足够小的正数，使曲线222ε=+y x 包含在椭圆曲线
19
)1(22
=+-y x 内。

由于 2
22
222222)
()()(y x y x y x y y y x x x +-=+∂∂=+-∂∂， 由格林公式，有.
0=+++⎰
⎰⎰
⎰
-DB
l
AC
L
设,cos ,sin θεθε==x y 有
⎰
+-l
y x xdy ydx 22,cos sin 0
2
2222πθεθ
εθεπ
=--=⎰d
再由
,022=+-⎰
AC
y x xdy ydx .022=+-⎰DB
y x xdy ydx 于是 =+-⎰
L
y
x xdy
ydx 2
2.2
2π=+-⎰
l
y
x xdy
ydx 分析：利用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑被积函数和所考虑的区域是不是满足格林公式的条件。

由于本题中在)0,0(点附近
,22y x y P +=
2
2y x x
Q +-=无定义，于是采用在椭圆内部)0,0(附近挖去一个小圆，
使被积函数在相应的区域上满足格林公式条件。

这种采用挖去一个小圆的方法是常用的，当然在内部挖去一个小椭圆也是可行的。

同时在用格林公式时，也必须注意边界曲线取正向。

例五．求八分之一的球面0,0,0,2222≥≥≥=++z y x R z y x 的边界曲线的重心，设曲线的密度.1=ρ
解：设边界曲线L 在三个坐标面内的弧段分别为,,,321L L L 则L 的质量为
.2
3
423R R ds ds m L
L
ππρ=⋅
===⎰⎰ 设边界曲线L 的重心为),,(z y x ，则
}0{1
123
1
⎰⎰⎰⎰++==
L L L L xds ds xds m xds m x dx x
R x x m xds m R L ⎰⎰--+==
02
22)(1221 R x R m R dx x R R x m R 0
2
202
222--=-=⎰
.342
32222ππR R R m R ===
由对称性可知.34π
R z y x =
==
分析：这是一个第一类曲线积分的应用题。

在计算上要注意将曲线L 分成三个部分：,,0,0:221x R z R x y L -=≤≤=,,0,0:222x R y R x z L -=≤≤=
.,0,0:223y R z R y x L -=≤≤=另一方面由曲线关于坐标系的对称性，利用可
z y x ==简化计算。

二.曲面积分的计算方法与技巧
计算曲面积分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三换”的法则，将第一类曲面积分转化为求二重积分、利用“一投，二代，三定号”的法则将第二类曲面积分转化为求二重积分，利用高斯公式将闭曲面上的积分转化为该曲面所围区域上的三重积分等。

例六．计算曲面积分⎰⎰∑
,zdS 其中∑为锥面22y x z +=在柱体x y x 222≤+内
的部分。

解：∑在xOy 平面上的投影区域为:D x y x 222≤+，曲面∑的方程为
.),(,22D y x y x z ∈+=
因此 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=
'+'++=∑
D
y x D
dxdy y x dxdy z z y x zdS .2)()(12222
22 对区域D 作极坐标变换⎩⎨⎧==,sin ,
cos θθy r x 则该变换将区域D 变成),(θr 坐标系中的区
域,cos 20,2
2
:),(θπ
θπ
θ≤≤≤
≤-
r D r 因此
.9
32
cos 3822322
cos 20
222===+⎰⎰⎰
⎰⎰
--π
ππ
πθ
θθθd dr r d dxdy y x D
分析：以上解是按“一投，二代，三换”的法则，将所给的第一类曲面积分化为二重积分计算的。

“一投”是指将积分曲面∑投向使投影面积不为零的坐标面。

“二代”是指将∑的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。

“三换”是指将dS 换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素，即,)()(
122dxdy y
z
x z dS ∂∂+∂∂+=或,
)()(122dzdx z y x y dS ∂∂+∂∂+=或.)()(
122dxdz z
x
y x x dS ∂∂+∂∂+=上解中的投影区域在xOy 平面上，因此用代换
,)()(
122dxdy y
z
x z dS ∂∂+∂∂+=由于投影区域是圆域，故变换成极坐标计算。

例七．设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(2222>=++a a z y x 上，问R 为何值时，球面∑在定球面内部的那部分的面积最大？
解：不妨设∑的球心为),0,0(a ，那么∑的方程为,)(2222R a z y x =-++它
与定球面的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++,
)(,
2
2222
222R a z y x a z y x 即 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=+.2,4)4(2222222a R a z a R a R y x 设含在定球面内部的∑上那部分球面1∑在xOy 面上的投影区域为D ，那么
,4)
4(:2
2222
2
a R a R y x D -≤+且这部分球面的方程为
.),(,222D y x y x R a z ∈---=
则1∑的面积为
⎰⎰⎰⎰⎰⎰--='+'+==∑D
D
y x y
x R dxdy R dxdy z z dS S 2
2222
)()(11
220
22422
2
420
2
2
20
)
(2R a a
R
R a a R
r R R r
R rdr d R ----=-=⎰
⎰
πθπ
.2222a
R
a R -⋅
=π 以下只需求函数)(R S a
R
a R 2222-⋅
=π在]2,0[a 上的最大值。

由令,0)232(2)(2=-='a R R R S π得唯一驻点,34a R =且.04)3
4(<-=''πa
S 由问题的实际意义知)(R S 在34a R =
处取得最大值。

即3
4a R =时，1∑的面积最大，为.27
322
πa 分析：本题是第一类曲面积分的应用题，在计算中关键是利用了球面的对称性，和确定了含在定球面内部的∑上那部分球面1∑在xOy 面上的投影区域D 。

在此基础上，按上题分析中的“一投，二代，三换”的法则即可解得结果。

例八．计算曲面积分⎰⎰++S
zdxdy dydz z x ,)2(其中S 为有向曲面
),10(22≤≤+=z y x z 其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。

解1：设xy yz D D ,分别表示S 在yoz 平面，xoy 平面上的投影区域，则，
⎰⎰++S
zdxdy dydz z x )2(
dydz z y z dydz z y z yz
yz
D D )2())(2(2
2+--+-+-=
⎰⎰
⎰⎰dxdy y x xy
D )(22++⎰⎰ dydz y z yz
D ⎰⎰--=24.)(22dxdy y x xy
D ++⎰⎰
其中dy y dz y z dy dydz y z y D yz
32
10
211
12
2)1(342
⎰⎰⎰
⎰⎰-=-=--
令t y sin =，,4
2214334cos 342042
π
ππ
=⋅⋅⋅==-⎰⎰⎰
tdt dydz y z yz
D
又 ,2
)(20
1
222π
θπ
=
⋅=+⎰
⎰⎰⎰rdr r d dxdy y x xy
D
所以 .2
2
4
4)2(π
π
π
-
=+
⋅
-=++⎰⎰S
zdxdy dydz z x
分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，常按“一投，二代，三定号”法则将各单一型化为二重积分这里的“一投”是指将积分曲面∑投向单一型中已指定的坐标面。

“二代”是指将∑的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。

“三定号”是指依曲面∑的定侧向量，决定二重积分前的“+”，“-”符号，当∑的定侧向量指向坐标面的上（右，前）方时，二重积分前面取“+”，反之取“-”。

解2:利用γ
βαcos cos cos dxdy
dzdx dydz dS ===
化组合型为单一型. ⎰⎰⎰⎰++=++S
S
dxdy z z x zdxdy dydz z x .]cos cos )
2[()2(γ
α
因S 的法向量与z 轴正向的夹角为锐角,取},1,2,2{y x n --=
故有
,2cos cos x -=γ
α 于是
原式⎰⎰+-+=S
dxdy z x z x ])2)(2[(
⎰⎰
≤++++--=
1
2
222222.)]()(24[y x dxdy y x y x x x 因为
⎰⎰
≤+=+-1
2
222,0)(2y x dxdy y x x 所以 上式⎰⎰
≤+++-=
1
2
2222)](4[y x dxdy y x x
.2
)cos 4(4220
1
22π
θθπ
-
=+-=⎰
⎰rdr r r d
分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，也可利用公式
γ
βαcos cos cos dxdy
dzdx dydz dS ===
，先化组合型为统一的单一型，再按“一投，二代，三定号”法则将单一型化为为二重积分求得。

解3：以1S 表示法向量指向z 轴负向的有向平面)1(122≤+=y x z ，D 为1S 在
xoy 平面上的投影区域，则
⎰⎰⎰⎰-=-=++D
S dxdy zdxdy dydz z x .)()2(1
π
设Ω表示由S 和1S 所围成的空间区域，则由高斯公式得
⎰⎰⎰⎰⎰Ω
++-=++dv zdxdy dydz z x S S )12()2(1
⎰⎰⎰⎰--=-=1
3120
10
)(632dr r r dz rdr d r
πθπ
.2
3
]42[61042ππ-=--=r r
因此 .2)(23)2(π
ππ-=---=++⎰⎰S
zdxdy dydz z x
分析：利用高斯公式⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∑
∂∂+∂∂+∂∂=++dxdydz z
R
y Q x P dxdy R Qdzdx Pdydz )(
，可将曲面积分化为三重积分求得。

但必需满足R Q P ,,在闭区域Ω上有一阶连续的偏导数，∑是边界曲面的外侧。

本题中的曲面S 不是封闭曲面，故添加了1S ，使1S S 为封闭曲面，并使1S S 的侧符合高斯公式对边界曲面的要求。

例九：计算曲面积分,4)1(2)18(2yzdxdy dzdx y dydz y x I --++=⎰⎰∑
其中∑是由曲线⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-=0
,31,1x y y z 绕y 轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2
π 解：设⎩⎨⎧=≤+∑3
,2:221y z x 表示3=y 上与y 轴正向同侧的曲面，由∑和1∑所围
立体记为.Ω由高斯公式得
⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑Ω
=--++1,4)1(2)18(2dxdydz yzdxdy dzdx y dydz y x 因此.4)1(2)18(1
2yzdxdy dzdx y dydz y x dxdydz I --++-=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω
由于∑在xOz 面上的投影区域为.2:22≤+z x D 注意到1∑在xOz 面，yOz 面上的投影不构成区域，且在1∑上,3=y 从而,),(,31:22D y x y z x ∈≤≤++Ω
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=+--=D D
D D dxdz z x dxdz dxdz dxdz z x I )(1816)2(2222
.34236πππ=-
分析：∑是旋转曲面31,122≤≤++=y z x y 且指向外侧，在∑上补上曲面⎩
⎨⎧=≤+∑3,2:221y z x 指向与y 轴正向相同，那么由高斯公式就可将原式化成三重积分和1∑上的曲面积分进行计算。

例十．设空间区域Ω由曲面222y x a z --=与平面0=z 围成，其中a 为正常数。

记Ω表面的外侧为,S Ω的体积为,V 证明
.)1(2222V dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x S
=++-⎰⎰ 证明：设,),,(22yz x z y x P = ,),,(22z xy z y x Q -= ),1(),,(xyz z z y x R +=则
,22xyz x P =∂∂,22xyz y Q -=∂∂.21xyz z
R +=∂∂ 由高斯公式知
dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x S
)1(2222++-⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
ΩΩ+=++-=xyzdv dv dv xyz xyz xyz 2)2122(22
⎰⎰⎰Ω
+=.2xyzdv V
dxdy y x a xy dxdy xyzdz xyzdv a y x a y x y x a ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω≤+----==2222222222
)(][2220 ,2)(cos sin 2002223dr r a r d a ⎰
⎰-=πθθθ 由于,0cos sin 20=⎰θθθπ
d 则⎰⎰⎰Ω
=,0xyzdv 因此 .)1(2222V dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x S
=++-⎰⎰ 分析：由于求证的是给定的曲面积分等于某个区域的体积值，而高斯公式给出了曲面积分与该曲面包含的区域上的某个三重积分间的关系，考虑到体积值可用相应的三重积分表示，故选用高斯公式进行证明。