函数的图像和性质

学案3 函数的图像和性质
一．基础自测
1．（2010山东4）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=
（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)3
解析：因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以f(0)=0,可求得b=-1,f(-1)=-f(1)=-2(2+2+b)=-3 答案：A 2．(2010天津南开区调研)已知ab ＝1，函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )
解析：∵ab ＝1，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a >1，0<
b <1，a x
为增函数，－log b x 为增函数0<a <1，b >1，a x
为减函数，－log b x 为减函数. 答案：B
3. 不等式1－x 2
<x ＋a 在x ∈[－1,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2)
B ．(－1，2)
C ．[2，＋∞)
D ．(2，＋∞) 解析：设y =1－x 2，y =x +a ，在同一直角坐标系内作出y =1－x 2的图象，再将函数y =x 的图象沿y 轴方向上、下平行移动，如右图所示，考查在x ∈[-1,1]上，使不等式1－x 2<x +a 恒成立． 答案：D
4．(2010·山东烟台调研)已知函数y ＝f (x )(x ∈R)满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时， f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点即为图象的交点如图，由图象可知有6个交点． 答案：C
5.(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋1，x <1，
x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，
则实数a 等于( )
A.12
B.4
5
C ．2
D ．9 解析：f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋1，x <1，
x 2＋ax ，x ≥1.∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵f (0)＝2≥1，∴ f (f (0))＝22＋2a ＝4a ，
∴a
＝2，故选C.
答案：C
6．2010天津10）设函数2
()2()g x x x R =-∈，()4,(),
()(),().g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-≥⎩
则()
f x
的值域是 A ．9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢
⎥⎣⎦ B ．[0,)+∞ C ．9[,)4-+∞ D ．9,0(2,)4⎡⎤
-⋃+∞⎢⎥⎣⎦
解析:本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。

依
题
意
知
22
2
2
2(4),2()2,2
x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪=⎨--≥-⎪⎩，
2
2
2,12
()2,12
x x x f x x x x ⎧+<->⎪=⎨---≤≤⎪⎩或 答案:D
7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1
f (x )
，当
2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (1.5)＝________.
解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1
f (x ＋2)
＝f (x )∴T ＝4，
∴f (1.5)＝f (1. 5－4)＝
f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5.
答案：2.5
8．(2010·重庆)已知函数f (x )满足：f (1)＝1
4
，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则
f (2 010)＝________.
解析：解法一：∵当x ＝1，y ＝0时，f (0)＝12；当x ＝1，y ＝1时，f (2)＝－1
4
；当x ＝2，y ＝1
时， f (3)＝－12x ＝2，y ＝2时，f (4)＝－14；当x ＝3，y ＝2时，f (5)＝1
4；当x ＝3，y ＝3
时，f (6)＝12；当x ＝4，y ＝3时，f (7)＝14；当x ＝4，y ＝4时，f (8)＝－1
4
；…
∴f (x )是以6为周期的函数，∴f (2 010)＝f (0＋335×6)＝f (0)＝1
2
.
解法二：∵f (1)＝1
4
，4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，
∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π3x ，∴f (2 010)＝12
cos ⎝⎛⎭⎫π3 2 010
＝12. 答案：1
2
二．考点与方法
1.函数的三要素：定义域、值域、对应关系
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同是才表现同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数。

2.函数的性质 （1）单调性
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，且1x <2x ，都有
()1f x <()2f x 成立，则()f x 在D 上是增函数（都有()1f x >()2f x 成立，则()f x 在D 上
是增函数）。

（2）奇偶性
对于定义域内的任意x （定义域关于原点对称），都有()f x -＝－()f x 成立，则()f x 为奇函数（都有()f x -＝()f x 成立，则()f x 为偶函数）。

（3）周期性
周期函数()f x 的最小正周期T 必须满足下列两个条件： ● 当x 取定义域内的每一个值是，都有()f x T +=()f x ; ●
T 是不为零的最小正数.
一般地,若T 为()f x 的周期,则nT(n ∈Z)也为()f x 的周期,则()f x =()f x nT +. (4)最值
一般地,设函数y=()f x 的定义域为I,如果存在实数M 满足: ● 对于任意的x ∈I,都有()f x ≤M(()f x M ≥);
●
存在0x I ∈,使()0f x M =,那么称M 是函数y=()f x 的最大值(最小值).
4.函数单调性的判定方法
(1)定义法:取值,作差,变形,定号,作答.
其中变形是关键,常用的方法有:通分、配方、因式分解. (2)导数法
(3)复合函数的单调性遵循”同增异减”的原则. 4.函数奇偶性的判定方法
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. (2)对于定义域内的任意一个x.
若都有()f x -＝()f x ,则()f x 为偶函数; 若都有()f x -＝－()f x ,则()f x 为奇函数; 若都有()f x -－()f x =0,则()f x 为偶函数; 若都有()f x -+()f x =0,则()f x 为奇函数. 4.函数的图象
对于函数的图象要会作用,识图,用图.
作函数图象有两种基本方法:一是描点法,二是图象变换法,其中图像变换有(1)平移变换 (2)伸缩变换,(3)对称变换. 三．典例展示
例1．已知xy ＜0，并且4x 2
-9y 2
=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．
【思维启迪】 4x 2-9y 2=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy ＜0呢？ 【解析】000x xy y >⎧<⇔⎨
<⎩0
x y >⎧⎨
<⎩或
所以
因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．
【探究提高】本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：
(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．
(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．
变式训练：1. （2009宣武区）设函数,)
0(log )0(2)(⎩⎨
⎧>≤=x x x x f x 则)]21([f f =_________21
例2．（2010山东理数）函数y =2x
-2
x 的图像大致是
【思维启迪】特殊值验证排除法
【解析】因为当x=2或4时，2x
-2x =0，所以排除B 、C ；当x=-2时，2x -2
x =
1
4<04
-，故排除D ，所以选A 。

答案：A 探究提高：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思
维能力。

变式训练：已知f(x+199)=4x2＋4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．
分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得
求得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2．
说明：函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的，是“互相利用”关系，函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途．
例3．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log
3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
2
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
【思维启迪】欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．
(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
3＞0，即f(3)＞f(0)，
(2)解：f(3)=log
2
又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)，k·3x＜-3x+9x+2，
32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．
R恒成立．
【思维启迪】问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，
把问题转化成二次函数f(t)=t 2-(1+k)t+2对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：
分离系数由k ·3x ＜-3x +9x +2得
上述解法是将k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖． 变式训练：（2010崇文区）下列命题中：
①若函数()f x 的定义域为R ，则()()()g x f x f x =+-一定是偶函数；
②若()f x 是定义域为R 的奇函数,对于任意的x ∈R 都有()(2)0f x f x +-=,则函数
()f x 的图象关于直线1x =对称；
③已知1x ,2x 是函数()f x 定义域内的两个值，且12x x <，若12()()f x f x >，则()f x 是减函数；
④若f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x +2)也为奇函数，则f (x )是以4为周期的周期函数.
其中正确的命题序号是________．①④ 四．提炼升华 1．图象变换法
作图是学习和研究函数的基本功之一，变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称、翻折等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及性质，准确把握基本函数的图象特征． 2．数形结合方法 函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察图形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等，数形结合，借助于图象与函数的对应关系研究应用函数的性质，其本质是函数图象的性质反映了函数关系；函数关系决定了函数图象的性质．
3．数形结合思想 这是中学数学中的重要的数学思想方法之一．数形结合的应用大致分两类：一是以数解形，即借助数的精确性、深刻性来阐明形的某些属性；二是以形辅数，即借助形的几何直观性、形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探求解题途径，获得问题结果的重要工具，而利用函数的图象可研究函数的性质、不等式的解及含参数的有关问题. 五、巩固提高 <一>选择题
1．函数y ＝ln cos x (－π2< x < π
2
)的图象是( )
解析：本小题主要考查复合函数的图像识别．
y ＝ln cos x (－π2< x < π
2
)是偶函数，可排除B 、D ，由cos x ≤1⇒ln cos x ≤0排除C ，选
A. 答案：A
2. （2010上海）.若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ） （A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2） 解析：04
1
47lg )47()75.1(,2lg )(<-==-+=f f x x x f 由构造函数 02lg )2(>=f 知0x 属于区间（1.75，2）
答案: D
3．(2009·山东)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A ．f (－25)<f (11)<f (80)
B ．f (80)<f (11)<f (－25)
C ．f (11)<f (80)<f (－25)
D ．f (－25)<f (80)<f (11)
解析：∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f [(x －4)－4]＝－f (x －4)＝－[－f (x )]＝f (x )，
∴f (x )是以8为周期的周期函数． f (80)＝f (8×10)＝f (0)，
f (11)＝f (3＋8)＝f (3)＝－f (3－4)＝－f (－1)＝－[－f (1)]＝f (1)， f (－25)＝f [8×(－3)－1]＝f (－1)＝－f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上递增，∴f (0)<f (1)．
又∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴f (1)>0，∴－f (1)<0， ∴－f (1)<f (0)<f (1)，f (－25)<f (80)<f (11)．
答案：D
4.（2010江西9）给出下列三个命题： ①函数11cos ln 21cos x y x -=
+与ln tan 2
x y =是同一函数； ②若函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，则函数
()2y f x =与()1
2
y g x =
的图像也关于直线y x =对称； ③若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()(2)f x f x =-，则()f x 为周期函数。

其中真命题是
A. ①②
B. ①③
C.②③
D. ②
解析:考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。

考虑定义域不同，①错误；排除A 、B ，验证③, ()[2()](2)f x f x f x -=--=+,又通过奇函数得()()f x f x -=-，所以f （x ）是周期为2的周期函数，选择C 。

答案:C
5.(2010·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是
( )
A ．(22，＋∞)
B ．[22，＋∞)
C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞)
解析：f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由图知f (a )＝f (b )，则有0<a <1<b ，
∴f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ，即－lg a ＝lg b ，得a ＝1
b
，
∴a ＋2b ＝2b ＋1
b 令g (b )＝2b ＋1b g ′(b )＝2－1
b
2，显然b ∈(1，＋∞)时，g ′(b )>0，∴g (b )在(1，＋∞)上为增
函数，得g (b )＝2b ＋1
b
>3，故选C.
答案：C
<二>填空题
6.(2010·全国Ⅰ)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是
________． 解析x 2
－|x |＋a 是偶函数，图象如图所示．
由图可知y ＝1与y ＝x 2
－|x |＋a 有四个交点，
需满足a －14<1<a ，∴1<a <5
4.
答案：1<a <5
4
7.（2010重庆理数）已知函数()f x 满足：()1
14
f =
，()()()4f x f y f x y =+ ()(),f x y x y R +-∈，则()2010f =_____________.
解析：取x=1 y=0得2
1)0(=
f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故()2010f =f(0)= 2
1
答案：
2
1 8．(情景题)一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如下图甲、乙所示．某天 0点到6点，该水池的蓄水量如下图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：
① 0点到3点只进水不出水； ② 3点到4点不进水只出水； ③ 4点到6点不进水不出水；
则一定能确定正确的论断序号是________．
解析：由题中图丙，可知0点到3点时水增加速度等于2个进水口的进水速度，则①正
确；3点到4点时“一进一出”，所以②错误；③与已知(至少打开一个水口)不符． 答案：①
9.（2010天津理）设2()1f x x =-，对2,3x ⎡⎫∀∈+∞⎪⎢⎣⎭，2
4()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭
成立，则实数m 的取值范围是 . 答案：D
解析：本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。

依据题意得22222214(1)(1)14(1)x m x x m m ---≤--+-在3
[,)2x ∈+∞上恒定成立，
即2
22
13241m m x x -≤--+在3[,)2
x ∈+∞上恒成立。

当32x =时函数2321y x x =--+取得最小值53
-，
所以
221543m m -≤-，即22(31)(43)0m m +-≥，解得m ≤或m ≥ 温馨提示：本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解
<三>解答题
10．在直角坐标平面中，已知点P 1(1,2)，P 2(2,22
)，对平面上任一点A 0，记A 1为A 0关于点P 1的对称点，A 2为A 1关于点P 2的对称点．
(1)求向量A 0 A 2→
的坐标；
(2)当点A 0在曲线C 上移动时，点A 2的轨迹是函数y ＝f (x )的图象，其中f (x )是以3为周期的周期函数，且当x ∈(0,3]时，f (x )＝lg x ．求以曲线C 为图象的函数在(1,4]上的解析式． 解析：(1)设A 0(x ，y )，根据已知条件A 1(2－x,4－y )，A 2(2＋x,4＋y )，
∴A 0 A 2→
＝(2,4)．
(2)∵f (x )为以3为周期的周期函数，且f (x )＝lg x ，x ∈(0,3]，
当x ∈(3,6]时，x －3∈(0,3]．f (x )＝f (x －3)＝lg (x －3)，
由(1)知⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＝2＋x ，
y 2＝4＋y .当1<x ≤4时，3<x 2≤6，
由y 2＝lg(x 2－3)得4＋y ＝lg (x －1)，
即y ＝lg(x －1)－4，(1<x ≤4)．
11．(2009·江苏镇江)已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m 、n ∈
[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f (m )＋f (n )
m ＋n
>0.
(1)解不等式f ⎝⎛x ＋
12<f (1－x )；
(2)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围．
解析：(1)任取x 1、x 2∈[－1,1]，且x 2>x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)
x 2＋(－x 1)
·(x 2
－x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )是增函数．
f ⎝⎛⎭⎫x ＋12
<f (1－x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤x ＋12≤1，－1≤1－x ≤1，
x ＋12<1－x
⇔0≤x <1
4
，
即不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f (1－x )的解集为⎣⎡⎭
⎫0，14. (2)由于f (x )为增函数，∴f (x )的最大值为f (1)＝1，
∴f (x )≤t 2－2at ＋1对a ∈[－1,1]、x ∈[－1,1]恒成立⇔t 2－2at ＋1≥1对任意a ∈
[－1,1]恒成立⇔t 2
－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立． 把y ＝t 2－2at 看作a 的函数，
由a ∈[－1,1]知其图象是一条线段， ∴t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立
⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2×(－1)×t ≥0，t 2－2×1×t ≥0⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
t 2＋2t ≥0，t 2－2t ≥0 ⇔⎩⎪⎨
⎪
⎧
t ≤－2或t ≥0t ≤0或t ≥2
，⇔t ≤－2，或t ＝0，或t ≥2.
12．（2009丰台区）已知函数f ( x ) = 3x , f ( a + 2 ) = 18 , g ( x ) =λ· 3ax – 4x 的定义域为[0，1]。

（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若函数g ( x )在区间[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围。

解法一：（Ⅰ）由已知得 3a +2 = 18⇒3a
= 2⇒a = log 32 …………… 3分 （Ⅱ）此时 g ( x ) =λ· 2x
– 4x
……………………………… 6分 设0≤x 1＜x 2≤1，因为g ( x )在区间[0，1]上是单调减函数 所以
g ( x 1 ) = g ( x 2 ) =()1
222x x -()
12
22
x x --λ≤0成立 … 10分
即 λ≤22x +12x
恒成立 由于22x
+12x
＞20 + 20 = 2
所以 实数λ的取值范围是λ≤2 ……………………………… 13分 解法二：（Ⅰ）由已知得 3a +2 = 18⇒3a = 2⇒a = log 32 …………… 3分 （Ⅱ）此时 g ( x ) =λ· 2x – 4x ……………………………… 6分 因为g ( x )在区间[0，1]上是单调减函数
所以有 g ( x )′=λln2 · 2x – ln 4 · 4x = ln 2[2 · (2x )2 +λ · 2x ] ≤0成立…10分 设2x = u ∈[ 1 , 2 ] 上成立等价于 – 2u 2 +λu ≤0 恒成立。

因为u ∈[ 1 , 2 ]
只须
λ≤2u 恒成立，………………………… 13分
所以实数λ的取值范围是λ≤2 (14)。