河南省南阳市2019-2020学年数学高二下期末调研试题含解析

河南省南阳市2019-2020学年数学高二下期末调研试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较
高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有
n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，
设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则
n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
【答案】B 【解析】 【分析】
设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n n P C =-，由21P P ，得10.9
0.3n -， 由此能求出n 的最小值． 【详解】
李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，
有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1， 现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ， 设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，
则0
21(0.9)n n
P C =-， 21P P ，10.9
0.3n
∴-， 解得4n ≥．
n ∴的最小值是1．
故选B ． 【点睛】
本题考查实数的最小值的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的计算 公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 2．设2
a xdx =⎰
，则6
12ax x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的展开式中的常数项为（ ）
A ．20
B ．20-
C ．15-
D ．15
【答案】B 【解析】 【分析】
利用定积分的知识求解出a ，从而可列出展开式的通项，由620r -=求得3r =，代入通项公式求得常数项. 【详解】
2
20
21202a xdx x ===⎰ 66
112ax x x x ⎛⎫∴⎛⎫=- ⎪⎝ ⎪⎝⎭-⎭ 61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式通项公式为：()()66216611r
r r r r
r r T C x C x x --+⎛⎫=-=⋅- ⎪⎝⎭
令620r -=，解得：3r = ()3
3
46120T C ∴=⨯-=-，即常数项为：20-
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查二项式定理中的指定项系数的求解问题，涉及到简单的定积分的求解，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式的形式.
3．若函数()y f x =在x a =处的导数为()f'a ，则()()
lim
f a x f a x x 0
x
+--→为( )
A ．()f'a
B ．()2f'a
C ．
()f'a 2
D ．0
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的导数的极限定义进行转化求解即可． 【详解】
()()
()()()()
()()
()()
lim
lim
lim
lim
f a x f a x f a x f a f a f a x f a x f a f a x f a x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
x
x
+--+-+--+---→=→=→+→-
()()()f'a f'a 2f'a =+=，
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查函数的导数的计算，结合导数的极限定义进行转化是解决本题的关键．
4．变量,x y 满足约束条件0
{2200
x y x y mx y +≥-+≥-≤，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ）
A ．—2
B ．—1
C ．1
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
【详解】
将目标函数变形为2y x z =-，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当0m ≤时， 不满足题意；当0m >时，画出可行域，如图所示，
其中22(
,)2121m
B m m --．显然(0,0)O 不是最优解， 故只能22(
,)2121m B m m --是最优解，代入目标函数得4222121
m
m m -=--， 解得1m =，故选C ． 考点：线性规划． 5．给出下列命题：
①命题“若240b ac -<，则方程()2
00++=≠ax bx c a 无实根”的否命题；
②命题“在ABC ∆中，AB BC CA ==，那么ABC 为等边三角形”的逆命题； ③命题“若0a b >>330a b >>”的逆否命题；
④“若m 1≥，则()()2
2130mx m x m -+++≥的解集为R ”的逆命题；
其中真命题的序号为（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②④ D ．①②③
【答案】A 【解析】 【分析】
①写出其否命题，再判断真假；②写出其逆命题，再判断真假；③根据原命题与逆否命题真假性相同，直接判断原命题的真假即可；④写出其逆命题，再判断真假. 【详解】
①命题“若240b ac -<，则方程()2
00++=≠ax bx c a 无实根”的否命题为：
“若240b ac -≥，则方程()2
00++=≠ax bx c a 有实根”,为真命题，所以正确.
②命题“在ABC ∆中，AB BC CA ==，那么ABC 为等边三角形”的逆命题为：
“若ABC ∆为等边三角形，则AB BC CA ==”为真命题，所以正确.
③命题“若0a b >>，则330a b >>”为真命题，根据原命题与逆否命题真假性相同，所以正确. ④“若1m ≥，则()()2
2130mx m x m -+++≥的解集为R ”的逆命题为：
“若()()2
2130mx m x m -+++≥的解集为R ，则1m ≥”
当0m =时，230x -+≥不是恒成立的.
当0m ≠时,则()()2
41430m m m m >⎧⎪⎨∆=+-+≤⎪⎩
解得：1m ≥，所以正确. 故选：A 【点睛】
本题考查四种命题和互化和真假的判断，属于基础题.
6．某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有（ ） A ．80种 B ．90种
C ．120种
D ．150种
【答案】D 【解析】 【详解】 不同的分配方案有
种，选D.
7．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X ，则X 的可能取值为( ) A ．1,2，…，6 B ．1,2，…，7
C ．1,2，…，11
D ．1,2,3…
【答案】B 【解析】
从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X ，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球. 8．在复平面内，复数1
i
i -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】
化简复数，再判断对应象限. 【详解】
1111222
i i i i -+==---，对应点位于第四象限. 故答案选D 【点睛】
本题考查了复数的计算，属于简单题.
9．已知函数32()682f x x x x =-+-的图象上，有且只有三个不同的点，它们关于直线2y =-的对称点落在直线2y kx =-上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(1,8)(8,)-⋃+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,8)(8,1)-∞-⋃-
【答案】D 【解析】 【分析】
可先求2y kx =-关于2y =-的对称直线，联立对称直线和32()682f x x x x =-+-可得关于x 的函数方
程，采用分离参数法以及数形结合的方式进行求解即可 【详解】
设直线2y kx =-关于2y =-的对称函数为()g x ，则()2g x kx =--，因为()g x 与()f x 有三个不同交
点，联立()32
()682
2f x x x x g x kx ⎧=-+-⎪⎨=--⎪⎩
，可得3268x x k x x -+-=，
当0x =时显然为一解， 当0x ≠时，有268k x x =-+-，
0,8x k ≠∴≠-
画出2
68y x x =-+-的图像，可知满足y k =与2
68y x x =-+-有两交点需满足1k <
综上所述，实数k 的取值范围是(,8)(8,1)-∞-⋃- 答案选D 【点睛】
本题考察了直线关于对称直线的求法，函数零点中分离参数、数形结合、分类讨论等基本知识，对数学思
维转化能力要求较高，特别是分离参数与数形结合求零点问题，是考察重点
10．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>
的焦距为12y x =±，则焦点到
渐近线的距离为（ ） A ．1 B
C ．2
D
．【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据双曲线的焦距得到c =.
【详解】
由题知：2c =
，c =
，2F .
2F 到直线20x y -=
的距离1d =
=.
故选：A 【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于简单题. 11．以(1,3)A ，(5,1)B -为端点的线段的垂直平分线方程是 A ．38=0+x y - B ．3=+0+4x y C ．36=0+x y - D ．3=+0+3x y
【答案】B 【解析】 【分析】
求出AB 的中点坐标，求出AB 的垂直平分线的斜率，然后求出垂直平分线方程． 【详解】
因为(1,3)A ，(5,1)B -，
所以AB 的中点坐标(2,2)-，直线AB 的斜率为311
153
-=+， 所以AB 的中垂线的斜率为：3-，
所以以(1,3)A ，(5,1)B -为端点的线段的垂直平分线方程是23(2)y x -=-+，即340x y ++=． 故选：B 【点睛】
本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线方程的求法，考查计算能力．
12．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B •曼德尔布罗特( Benoit.Mandelbrot )在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图,则第13行的实心圆点的个数是( )
A ．55个
B ．89个
C ．144个
D ．233个
【答案】C 【解析】
分析：一一的列举出每行的实心圆点的个数，观察其规律，猜想：21a a a n n n ++=+，得出结论即可，选择题我们可以不需要完整的理论证明． 详解： 行数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 球数 0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
101211321532,853,1385=+=+=+=+=+=+，，，，由此猜想：21a a a n n n ++=+，故选C ．
点睛：观察规律，把行数看成数列的项数n ，个数看作数列的项n a ，尽可能的多推导前面有限项看出规律．
二、填空题：本题共4小题
13．设函数222
()()x x x a e e f x x a
-++-=+，已知()26f =，则()2f -=_________. 【答案】4- 【解析】 【分析】
对()f x 分离常数后，通过对比()2f 和()2f -的表达式，求得()2f -的值.
【详解】
依题意()2221x x ax e e f x x a -+-=++，()2222
22222222216,522a e e a e e f a a --⋅+-⋅+-=+==++，
()22
22
22211542a e e f a
-⋅+--=-=-=-+. 【点睛】
本小题主要考查函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.
14．已知某运动队有男运动员4名，女运动员3名，若现在选派3人外出参加比赛，则选出的3人中男运动员比女运动员人数多的概率是_________. 【答案】22
35
. 【解析】 【分析】
将所求事件分为两种情况：2男1女，3男，这两个事件互斥，然后利用古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式可求出所求事件的概率. 【详解】
事件“选出的3人中男运动员比女运动员人数多”包含事件“2男1女”和事件“3男”， 由古典概型概率公式和互斥事件的概率加法公式可知，
事件“选出的3人中男运动员比女运动员人数多”的概率为2134343
722
35
C C C C +=， 故答案为2235
. 【点睛】
本题考查古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式的应用，解题时要将所求事件进行分类讨论，结合相关公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.
15．已知() y f x =为R 上的连续可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x
'+>，
则函数()()1
g x f x x
=+的零点有__________个． 【答案】1 【解析】 【分析】 令()()1
0g x f x x
+==得()1f x x =-，即()1xf x =-，然后利用导数研究函数()xf x 的单调性和极值，
即可得到结论． 【详解】 令()()1
0g x f x x
+
==，得()1f x x =-，
即()1xf x =-，即零点满足此等式
不妨设()()h x xf x =，则()()()h x f x xf x '=+'． ∵当0x ≠时，()()0f x f x x
'+
>，
∴当0x ≠时，()()
0xf x x
f x '+>，
即当0x >时，()()0xf x f x '+>，即()0h x '>，此时函数()h x 单调递增， 当0x <时，()()0xf x f x '+<，即()0h x '<，此时函数()h x 单调递减， ∴当0x =时，函数()h x 取得极小值，同时也是最小值()00h =， ∴当0x ≠时，()0h x ≥，∴()1h x =-无解，即()1xf x =-无解， 即函数()()1
0g x f x x
+==的零点个数为1个，故答案为1． 【点睛】
本题主要考查函数零点个数的判断，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较多． 16．已知,0a b >，则4b a a a b
++的最小值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】
4411
1b a b b a a b a a
+=++-++，利用基本不等式求解即可． 【详解】
解：44,0,11131b a b a b b a a b a a >∴+=++-≥=++
， 当且仅当4
11b b a
a
+=
+，即1a b ==时取等号。

故答案为：1． 【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，关键要变形凑出积为定值的形式，属基础题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．对某种书籍每册的成本费y （元）与印刷册数x （千册）的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
其中1i i x ω=，6
1
16i i ωω==∑.
为了预测印刷20千册时每册的成本费，建立了两个回归模型：y a bx =+，d
y c x
=+. （1）根据散点图，你认为选择哪个模型预测更可靠？（只选出模型即可）
（2）根据所给数据和（1）中的模型选择，求y 关于x 的回归方程，并预测印刷20千册时每册的成本费.
附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归方程ˆˆˆv
u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：12
2
1
ˆn
i i i n
i
i u v nuv
u
nu β
==-=-∑∑，ˆˆv u α
β=-. 【答案】 (1) 模型d
y c x
=+更可靠. (2) y 关于x 的回归方程为8
ˆ 1.2y
x
=+.当20x 时，该书每册的成本费ˆ 1.6y
=（元）. 【解析】 【分析】 【详解】
分析：(1)根据散点呈曲线趋势，选模型d y c x
=+更可靠. (2)根据公式求得ˆd
，根据ˆˆv u αβ=-求得ˆc ，最后求自变量为20 对应的函数值. 详解：（1）由散点图可以判断，模型d
y c x
=+更可靠. （2）令1
x
ω=
，则y d c ω=+， 则6
16
22
1
6 4.8
80.ˆ60
6i i i i i y y
d ωωωω==-==
=-∑∑. ∴ 4.2ˆˆ20.37758 1.2c
y d ω=-=-⨯=，
∴y 关于ω的线性回归方程为 1.28ˆy
ω=+. 因此，y 关于x 的回归方程为8
ˆ 1.2y x
=+. 20, 1.6.x y ==
点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(),x y .
18．某市为迎接“国家义务教育均衡发展”综合评估，市教育行政部门在全市范围内随机抽取了n 所学校，并组织专家对两个必检指标进行考核评分.其中x y 、分别表示“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”两项指标，根据评分将每项指标划分为A (优秀)、B (良好)、C (及格）三个等级，调查结果如表所示.例如：表中“学校的基础设施建设”指标为B 等级的共有2021243++=所学校.已知两项指标均为B 等级的概率为0.21.
（1）在该样本中，若“学校的基础设施建设”优秀率是0.4，请填写下面22⨯列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关；
师资力量（优秀） 师资力量（非优秀） 合计 基础设施建设（优秀）
基础设施建设（非优秀） 合计
（2）在该样本的“学校的师资力量”为C 等级的学校中，若18,1115a b ≥≤≤，记随机变量a b ξ=-，求ξ的分布列和数学期望.
附:()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】 【分析】
（1）依题意求得n 、a 和b 的值，填写列联表，计算K 2，对照临界值得出结论； （2）由题意得到满足条件的（a ，b ），再计算ξ的分布列和数学期望值． 【详解】 （Ⅰ）依题意得21
0.21n
=，得100n = 由
20120.4100
a
++=，得8a =
由20201122112100a b ++++++++=得15b =
师资力量(优秀) 师资力量（非优秀） 基础设施建设（优秀） 20 21 基础设施建设（非优秀）
20
39
()2
210020392021 2.23240604159
K ⨯-⨯=
=⨯⨯⨯.
因为2.027 2.232 2.706<<，
所以没有90﹪的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关. （Ⅱ）8a ≥,1115b ≤≤,得到满足条件的(),a b 有：()8,15，()9,14，()10,13，()11,12，()12,11 故ξ的分布列为
ξ
1 3 5 7
P
25
1
5 15 15
故135755555
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】
本题主要考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与数学期望问题，属于中档题． 19．如图，在四棱锥中，底面
是平形四边形，
平面
，点，分别为
,
的中点，且
，
.
（1）证明：平面；
（2）设直线与平面所成角为，当在内变化时，求二面角的平面角余弦值的取值范围.
【答案】 (1) 见解析;(2).
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据直线与平面平行的判定定理，需在平面内找一条与平行的直线.结合题设可取取中点，连接，易得四边形为平行四边形，从而得，问题得证.
（Ⅱ）思路一、首先作出二面角的平面角，即过棱BC上一点分别在两个平面内作棱BC的垂线.因为，点分别为的中点，则.连接，因为平面，所以AM是PM在面ABC内的射影，所以，所以即为二面角的平面角.再作出直线与平面所成的角，即作出AC在平面PBC内的射影.由，且得平面，从而平面平面.过点在平面内作于，根据面面垂直的性质知平面．连接，于是就是直线与平面所成的角．在及中，找出与的关系，即可根据的范围求出的范围. 思路二、以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量亦可求解.
试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连接，
因为点分别为的中点，所以
四边形为平行四边形，则又平面，平面
所以平面.
（Ⅱ）解法1：连接，因为，点分别为的中点，则
又平面，则所以即为二面角的平面角
又，所以平面，则平面平面
过点在平面内作于，则平面．
连接，于是就是直线与平面所成的角，即=．
在中，；
在中，，．
，
，．
又，．
即二面角取值范围为．
解法2：连接，因为，点分别为的中点，则
又平面，则所以即为二面角的平面角，设为
以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
于是，，，．
设平面的一个法向量为
，
则由
．
得
可取，又，
于是，
，
，．
又，．
即二面角取值范围为．
考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角.
20．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2a b =，1cos 4
A =. （1）求sin
B 的值；
（2）若ABC ∆15c 的值.
【答案】 (1)15
sin 8
B =;(2)4. 【解析】
分析：先根据1
cos 4
A =
，求得sinA 的值，再结合正弦定理求解即可；（2）先由cosA 的余弦定理可得c ，b 的关系，然后根据三角形面积公式即可求得c. 详解： （1）由1cos 4A =
得15sin A =， 由2a b =及正弦定理可得sin 15
sin b A B a =
=
.
（2）根据余弦定理可得2221
cos 24
b c a A bc +-==，
代入2a b =得22241
24
b c b bc +-=，整理得22260c bc b --=，即()()2320c b c b +-=，解得2c b =，
∴21115sin 1522ABC S ac B c ∆=
=⨯=，解得4c =. 点睛：考查正余弦定理解三角形的应用，三角形面积公式，对定理公式的灵活运用是解题关键，属于基础题.
21．已知函数，其中
．
Ⅰ当时，求曲线在点
处的切线方程；
Ⅱ当时，若在区间上的最小值为，求a 的取值范围；
Ⅲ若，
，且
，
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】（I ）；（II ）
；（III ）
.
【解析】 【分析】 Ⅰ 求出,由
的值可得切点坐标，求出
的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线
在点
处的切线方程；Ⅱ确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数确定函数的单调性，
利用单调性求得函数在区间
上的最小值为
，即可求的取值范围；Ⅲ设
，
则，对任意，
，
，且
恒成立，等价
于
在
上单调递增，由此可求的取值范围．
【详解】 Ⅰ当
时，
，
因为，，所以切线方程为
Ⅱ函数的定义域为
．
当
时，
，
令，即，所以或
当，即时，在上单调递增，
所以在上的最小值是
；
当
时，
在
上的最小值是
，不合题意；
当时，在上单调递减，
所以在上的最小值是，不合题意
综上可得
Ⅲ设
，则
，对任意，，，且
恒成立，等价于
在
上单调递增.
而，
当时，，此时在单调递增；
当时，只需在恒成立，因为
，只要，则需要，
对于函数，过定点
，对称轴
，只需
，即
综上可得
【点睛】
本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
22．已知函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m+1为幂函数，且为奇函数．
(1)求m 的值；
(2)求函数g (x )＝h (x )12()h x -x ∈[0]1
2
，的值域． 【答案】（1）m ＝0（2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【详解】
试题分析：（1）根据幂函数定义得m 2
－5m ＋1＝1，解得m ＝0或5，再根据幂函数为奇函数得m ＝0（2）换元将函数化为一元二次函数，结合自变量取值范围与定义区间位置关系确定函数最值，得函数值域
试题解析：解：(1)∵函数h(x)＝(m 2
－5m ＋1)x m+1为幂函数，∴m 2
－5m ＋1＝1，. 解得m ＝0或5 又h(x)为奇函数，∴m ＝0
(2)由(1)可知g(x)＝x ＋，x∈
，
令
＝t ，则x ＝－t 2＋，t∈[0,1]，
∴f(t)＝－t 2＋t ＋＝－ (t －1)2＋1∈
，故g(x)＝h(x)＋()12h x -，x ∈
的值域为
.。