2019-2020学年高中人教版数学a版高一必修1(45分钟课时作业与单元测试卷)：第18课时指数函数图象及应用_word

答案：D

解析：函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩

⎪⎨⎪⎧

a x

，x >0，－a x

，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，因为

0<a <1，所以函数递减；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x (x <0)的图象关于x 轴对称，函数递增．

13．(15分)函数f (x )＝1

2

(a x ＋a －x )(a >0，且a ≠1)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，419. (1)求 f (x )的解析式；

(2)证明 f (x )在[0，＋∞)上是增函数．

解：(1)∵f (x )的图象过点⎝

⎛⎭⎫2，419， ∴12(a 2＋a －

2)＝419，即12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＝419. 整理得9a 4－82a 2＋9＝0，解得a 2＝9或a 2＝1

9

.

又a >0，且a ≠1，∴a ＝3或a ＝1

3

.

当a ＝3时，f (x )＝12

(3x ＋3－

x )；

当a ＝13时，f (x )＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x ＋⎝⎛⎭⎫13－x ＝12

(3x ＋3－x

)

综上可知，所求解析式为f (x )＝12

(3x ＋3－

x )．

(2)设x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，则

f (x 1)－f (x 2)＝12(31x ＋31x －)－12(32x ＋32x

－)

＝

.

∵0≤x 1≤x 2，∴31x －32x <0，且312x x

＋ >1. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[0，＋∞)上是增函数．