湖北省荆州市某校高一(下)第一周周考数学试卷(有答案)

湖北省荆州市某校高一（下）第一周周考数学试卷
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在选择题答题卡内．
1. 300∘是 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
2. 已知点P(3, y)在角α的终边上，且满足y <0,cos α=3
5，则tan α的值等于（ ） A.−3
4 B.−4
3
C.4
3
D.3
4
3. 向量(AB →
+MB →
)+(BO →
+BC →
)+OM →
化简后等于（ ） A.BC →
B.AB →
C.AC →
D.AM →
4. 函数y =5tan (2x +1)的最小正周期为（ ） A.π4 B.π
2
C.π
D.2π
5. 已知sin α+cos α=1
3，则sin 2α＝（ ） A.−8
9 B.−1
2
C.1
2
D.8
9
6.
sin 47∘−sin 17∘cos 30∘
cos 17∘=( )
A.−√32
B.−12
C.12
D.√32
7. 将函数y =cos (2x +
4π
5
)的图象向右平行移动π
2个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的3倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ） A.y =3cos (4x −π
5) B.y =3cos (x −π
5) C.y =3sin (4x +π
5) D.y =3sin (x +π
5)
8. 在△ABC 中，A =15∘，则√3sin A −cos (B +C)的值为（ ）
A.√22
B.√32
C.√2
D.2
9. 若向量e 1→，e 2→是夹角为60∘的两个单位向量，则a →
=
2e 1
→+
e 2→
，b
→=−3e 1→+2e 2→
的夹
角为( ) A.30∘ B.60∘ C.120∘ D.150∘
10. 在△ABC 中，C >90∘，则tan A ⋅tan B 与1的关系为（ ）
A.tan A ⋅tan B >1
B.tan A ⋅tan B <1
C.tan A ⋅tan B =1
D.不能确定
二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上
计算：sin 80∘cos 55∘+cos 80∘cos 35∘=________．
已知向量b →
=(−1,0)，a →=(1,√3)，c →
=(−√3,k)．若b →
−2a →与c →
共线，则k =________．
已知向量a →
和b →
的夹角为120∘
，|a →
|=1，|b →
|=3，则|5a →
−b →
|=________．
若cos α=−45，α是第三象限的角，则sin (α+π
4)=________．
求值tan 20∘+tan 40∘+√3tan 20∘tan 40∘=________． 三、解答题（共6小题，满分75分）
设α，β均为锐角，cos α=17，cos (α+β)=−11
14，求cos β的值． 化简 （1）cos (α−π2
)
sin (
5π
2
+α)sin (α−π)cos (2π−α)；
（2）1
sin 10∘−√3
cos 10∘．
（1）已知a →
=(1, 0)，b →
=(1, 1)，λ为何值时，a →
+λb →
与a →
垂直； （2）已知|a →
|=4，|b →
|=2，a →
与b →
的夹角为1200
，求(a →
+2b →
)•(a →
−3b →
)．
已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(x ∈R , ω>0, 0<φ<π
2)部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)=f(x −π
12)−f(x +π
12)的单调递增区间．
已知向量a →
=(−1,cos x)，b →
=(3
2,sin x)． （1）当a →
 // b →时，求2cos 2x −sin 2x 的值；
（2）求f(x)=(a →
+b →
)⋅b →
在[−π
2，0]上的最大值．
已知函数f(x)=sin (x +
7π
4
)+cos (x −3π4
)，x ∈R
（1）求f(x)的最小正周期和最小值；
（2）已知cos (β−α)=4
5，cos (β+α)=−4
5.0<α<β≤π
2，求证：[f(β)]2−2=0．
参考答案与试题解析
湖北省荆州市某校高一（下）第一周周考数学试卷
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在选择题答题卡内． 1.
【答案】 D
【考点】
象限角、轴线角 【解析】
直接由270∘<300∘<360∘得答案． 【解答】
解：∵ 270∘<300∘<360∘， ∴ 300∘是第四象限角． 故选：D ． 2.
【答案】 B
【考点】
同角三角函数间的基本关系 【解析】
由题意可得角α的终边落在第四象限，故有sin α<0，根据同角三角函数的基本关系求出sin α=−4
5，再由tan α=sin α
cos α求出结果． 【解答】
解：已知点P(3, y)在角α的终边上，且满足y <0,cos α=3
5，则角α的终边落在第四象
限，故有sin α<0， ∴ sin α=−4
5，∴ tan α=
sin αcos α
=−4
3
，
故选B ． 3. 【答案】 C
【考点】
向量的加法及其几何意义 【解析】
把要求的式子展开重新组合，利用向量加法的三角形法则：AB →
+BC →
=AC →
，化简所给的式子，得出结果． 【解答】
解：(AB →
+MB →
)+(BO →
+BC →
)+OM →
=AB →
+BO →
+OM →
+MB →
+BC →
=AO →
+OM →
+MB →
+BC →
=AM →
+MB →
+BC →
=AB →
+BC →
=AC →
． 故选C ． 4.
【答案】 B
【考点】
正切函数的周期性 【解析】
直接利用正切函数的周期的求法，求解即可． 【解答】 解：T =π|ω|
=π
2
，
故选B 5.
【答案】 A
【考点】
二倍角的三角函数 【解析】
条件两边平方，结合二倍角公式即可求解． 【解答】
∵ sin a +cos a =1
3， ∴ (sin a +cos a)2=19， ∴ 1+2sin a cos a =19， ∴ sin 2a =−8
9． 6.
【答案】 C
【考点】
两角和与差的三角函数 【解析】
将原式分子第一项中的度数47∘=17∘+30∘，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值． 【解答】
sin 47∘−sin 17∘cos 30∘
cos 17∘
=sin (17∘+30∘)−sin 17∘cos 30∘cos 17∘
=sin 17∘cos 30∘+cos 17∘sin 30∘−sin 17∘cos 30∘cos 17∘
=sin 30∘=1
2．
7.
【答案】 A
【考点】
由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】
根据函数y =A sin (ωx +φ)的图象变换规则对函数的解析式进行变换即可． 【解答】
解：由题意将函数y =cos (2x +4π
5
)的图象向右平行移动π
2个单位长度， 得到函数y =cos [2(x −π
2)+
4π5
]=cos (2x −π5
)的图象，
再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数y =cos (4x −π5
)的图象， 再把纵坐标伸长为原来的3倍，得到函数y =3cos (4x −π
5)的图象，
故选A
8.
【答案】 C
【考点】
运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解析：√3sin A −cos (B +C)=√3sin A +cos A =2sin (A +30∘)=2sin 45∘=√2． 9.
【答案】 C
【考点】
数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积的运算 【解析】
由已知中e →
1，e →
2是夹角60∘的两个单位向量，我们可求出e →
12=e →
22
=1，e →
1⋅e →
2=1
2，结
合a →=2e →1+e →
2与b →
=−3e →1+2e →2，及向量的数量积和向量的模公式，我们可以求出a →
⋅
b →
，|a →
|，|b →
|，代入cos θ=|a →
|⋅|b →
|˙
，求出a →
与b →
的夹角θ的余弦值，进而可求出a →
与b →
的夹角θ． 【解答】
解：∵ e 1→
，e 2→
是夹角为60∘的两个单位向量， ∴
e 1
→2=
e 2
→2=1，e 1→⋅e 2→
=1
2.
又∵ a →
=
2e 1
→+e 2→
，b →=−3e 1→+2e 2→
，
∴ a →
⋅b →=(2e 1→
+e 2→
)⋅(−3e 1→
+2e 2→
) =
−6e 1→2+
2e 2→2+e 1→⋅e 2→
=−7
2.
∵ |a →
|=|2e 1→
+e 2→
|=√4+4×1
2+1=√7， |b →
|=|−3e 1→+2e 2→
|=√9−12×1
2+4=√7， 设向量a →
与b →
的夹角为θ， ∴ cos θ=
a →⋅b
→
|a →
|⋅|b →
|
=
−
72
7
=−1
2.
∵ 0∘≤θ≤180∘， ∴ θ=120∘. 故选C . 10.
【答案】 B
【考点】 弦切互化 【解析】
直接利用钝角三角形的性质，确定sin A <cos B ，利用切化弦化简tan A tan B ，即可得到选项． 【解答】
解：因为三角形是钝三角形，所以A +B <π
2
；即：0<A <π
2
−B <π
2
，所以sin A <
cos B ，同理sin B <cos A ， tan A tan B =
sin A sin B
cos A cos B
<1
故选B
二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上 【答案】
√22
【考点】
求两角和与差的正弦 【解析】
把要求的式子利用诱导公式化为cos 10∘cos 55∘+sin 10∘sin 55∘，再利用两角差的余弦公式化简求得结果． 【解答】
解：sin 80∘cos 55∘+cos 80∘cos 35∘=cos 10∘cos 55∘+sin 10∘sin 55∘=cos (55∘−10∘)=cos 45∘=
√22
，
故答案为 √22
．
【答案】 −2
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】
由向量的坐标运算易得b →
−2a →
的坐标，由向量共线的充要条件可得关于k 的方程，解之即可． 【解答】
解：由题意可得b →
−2a →=(−1, 0)−2(1, √3)=(−3, −2√3)， 又b →
−2a →
与c →
共线，则(−√3)(−2√3)−(−3)k =0， 解得k =−2． 故答案为：−2 【答案】 7
【考点】 向量的模 【解析】
根据向量的数量积运算公式得|5a →
−b →
|2=(5a →
−b →
)2，化简后把已知条件代入求值． 【解答】
解：由题意得，|5a →
−b →|2
=(5a →
−b →)2
=25a →2
−10a →⋅b →
+b →
2 =25×12−10×1×3×(−1
2)+32=49，
∴ |5a →
−b →
|=7． 故答案为：7． 【答案】
−7√2
10 【考点】
同角三角函数间的基本关系 两角和与差的三角函数 【解析】
根据同角三角函数的关系算出sin α=−√1−cos 2α=−3
5，再利用两角和的正弦公式，即可算出sin (α+π
4)的值． 【解答】
∵ cos α=−4
5，α是第三象限的角，
∴ sin α=−√1−cos 2α=−3
5，
因此，sin (α+π4
)=sin αcos π4
+cos αsin π4
=−3
5
×
√22
+(−4
5
)×
√22
=−
7√2
10
【答案】
√3
【考点】
两角和与差的三角函数 两角和与差的正切公式
【解析】
利用60∘＝20∘+40∘，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值． 【解答】
解：tan 60∘=tan (20∘+40∘)=
tan 20∘+tan 40∘1−tan 20∘tan 40∘
=√3，
√3−√3tan 20∘tan 40∘=tan 20∘+tan 40∘， tan 20∘+tan 40∘+√3tan 20∘tan 40∘=√3. 故答案为：√3.
三、解答题（共6小题，满分75分） 【答案】
解：因为α，β均为锐角，cos α=1
7，所以sin α=√1−(1
7)2=4√37
，
由cos (α+β)=−11
14，得到sin (α+β)=√1−(−11
14)2=
5√3
14
， 则cos β=cos [(α+β)−α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=−11
14×1
7+
5√314
×
4√3
7
=
12
【考点】
两角和与差的余弦公式 【解析】
由α，β为锐角，根据cos α=1
7
，cos (α+β)=−11
14
，利用同角三角函数间的基本关系
求出sin α和sin (α+β)的值，然后把β变为(α+β)−α，利用两角差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值． 【解答】
解：因为α，β均为锐角，cos α=1
7
，所以sin α=√1−(1
7
)2=
4√37
，
由cos (α+β)=−1114，得到sin (α+β)=√1−(−11
14)2=
5√3
14
， 则cos β=cos [(α+β)−α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=−11
14×1
7+
5√314
×
4√3
7
=
12
【答案】
解：（1）原式=sin α
cos α⋅(−sin α)cos α=−sin 2α；
（2）原式=
cos 10∘−√3sin 10∘sin 10∘cos 10∘
=
2(12cos 10∘−√32sin 10∘)
1
2
⋅2sin 10∘cos 10∘=
2cos 70∘
1
2
sin 20∘=
4sin 20∘sin 20∘
=4．
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
（1）原式利用诱导公式化简，约分即可得到结果；
（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的正弦函数公式化简，约分即可得到结果． 【解答】
解：（1）原式=sin α
cos α⋅(−sin α)cos α=−sin 2α； （2）原式=cos 10∘−√3sin 10∘sin 10∘cos 10∘
=
2(12cos 10∘−√3
2sin 10∘)
1
2
⋅2sin 10∘cos 10∘=
2cos 70∘
1
2
sin 20∘=
4sin 20∘sin 20∘
=4．
【答案】
解：(1)a →
+λb →
=(1, 0)+λ(1, 1)=(1+λ, λ)． ∵ a →
+λb →
与a →
垂直，∴ (a →
+λb →
)⋅a →
=0， ∴ 1+λ=0，解得λ=−1． ∴ λ=−1，a →
+λb →
与a →
垂直；
（2）∵ |a →
|=4，|b →
|=2，a →
与b →
的夹角为1200， ∴ a →
⋅b →
=4×2×cos 120∘=−4．
∴ (a →
+2b →
)•(a →
−3b →
)=a →2
−6b →
2
−a →
⋅b →
=42−6×22−(−4)=−4．
【考点】
平面向量数量积的运算 【解析】
（1）利用向量垂直与数量积的关系即可得出； （2）利用数量积的定义及其运算性质即可得出． 【解答】
解：(1)a →
+λb →
=(1, 0)+λ(1, 1)=(1+λ, λ)． ∵ a →
+λb →
与a →
垂直，∴ (a →
+λb →
)⋅a →
=0， ∴ 1+λ=0，解得λ=−1． ∴ λ=−1，a →
+λb →
与a →
垂直；
（2）∵ |a →
|=4，|b →
|=2，a →
与b →
的夹角为1200， ∴ a →
⋅b →
=4×2×cos 120∘=−4．
∴ (a →+2b →)•(a →−3b →)=a →2−6b →2−a →⋅b →
=42−6×22−(−4)=−4． 【答案】
解：(1)由图象可知，周期T =2(
11π12−5π12)=π， ∴ ω=
2ππ=2 ∵ 点(5π12, 0)在函数图象上，
∴ A sin (2×5π12+φ)=0.
∴ sin (5π6+φ)=0，
∴ 5π6+φ=π+kπ，即φ=kπ+π6
，k ∈Z . ∵ 0<φ<π2，
∴ φ=π6.
∵ 点(0, 1)在函数图象上，
∴ A sin π6=1，A =2，
∴ 函数f(x)的解析式为f(x)=2sin (2x +π6).
(2)g(x)=2sin [2(x −π12)+π6]−2sin [2(x +π12)+π6] =2sin 2x −2sin (2x +π3
) =2sin 2x −2(12sin 2x +√32
cos 2x) =sin 2x −√3cos 2x
=2sin (2x −π3)， 由−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ，
得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12
， ∴ 函数g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)的单调递增区间为[kπ−π12, kπ+5π12]k ∈Z .
【考点】
两角和与差的正弦公式
由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式
复合三角函数的单调性
【解析】
（1）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的值，再将点(5π12, 0)和(0, 1)代
入解析式，分别解得φ和A 的值，最后写出函数解析式即可；
（2）先利用三角变换公式将函数g(x)的解析式化为y =A sin (ωx +φ)型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g(x)的单调增区间
【解答】
解：(1)由图象可知，周期T =2(11π12−5π12)=π，
∴ ω=2ππ=2
∵ 点(5π12, 0)在函数图象上，
∴ A sin (2×5π12+φ)=0.
∴ sin (
5π6+φ)=0， ∴ 5π6+φ=π+kπ，即φ=kπ+π6，k ∈Z .
∵ 0<φ<π2， ∴ φ=π6.
∵ 点(0, 1)在函数图象上，
∴ A sin π6=1，A =2，
∴ 函数f(x)的解析式为f(x)=2sin (2x +π6).
(2)g(x)=2sin [2(x −π12)+π6]−2sin [2(x +π12)+π6] =2sin 2x −2sin (2x +π3
) =2sin 2x −2(12sin 2x +√32
cos 2x) =sin 2x −√3cos 2x
=2sin (2x −π3)，
由−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ， 得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12
， ∴ 函数g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)的单调递增区间为[kπ−π12, kπ+5π12]k ∈Z .
【答案】
解：（1）∵ a → // b →，32cos x +sin x =0
∴ tan x =−32
∴ 2cos 2x −sin 2x =
2cos 2x−2sin x cos x sin 2x+cos 2x =2−2tan x 1+tan 2x =2013 （2）∵ a →+b →=(12, cos x +sin x)，
∴ f(x)=(a →+b →)⋅b →=12×32+(cos x +sin x)sin x
=12sin 2x −12cos 2x +54=√22sin (2x −π4)+54
∵ −π2≤x ≤0，∴ −5π4≤2x −π4≤−π4 ∴ −1≤sin (2x −π4)≤
√22， ∴ −√22+54≤f(x)≤74，
∴ f(x)max =74
【考点】
平面向量数量积
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
（1）由平行关系易得tan x =−32，然后化要求的式子为正切函数，代入可得；
（2）结合三角函数的运算公式易得函数为f(x)=
√22sin (2x −π4)+54，逐步由x 的范围可得．
【解答】
解：（1）∵ a → // b →，32cos x +sin x =0
∴ tan x =−32
∴ 2cos 2x −sin 2x =
2cos 2x−2sin x cos x sin 2x+cos 2x =2−2tan x 1+tan 2x =2013 （2）∵ a →+b →=(12, cos x +sin x)，
∴ f(x)=(a →+b →)⋅b →=12×32+(cos x +sin x)sin x =12sin 2x −12cos 2x +54=√22sin (2x −π4)+54
∵ −π2≤x ≤0，∴ −
5π4≤2x −π4≤−π4 ∴ −1≤sin (2x −π4)≤
√22， ∴ −√22+54≤f(x)≤74，
∴ f(x)max =74
【答案】
解：（1）f(x)=sin(x+7π
4)+cos(x−3π
4
)=sin(x−π
4
)+sin(x−π
4
)=2sin(x−π
4
)
∴T=2π，最小值为−2
（2）∵cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=4
5
，cos(β+α)=cosβcosα−sinβsinα=
−4
5
，
两式相加得2cosβcosα=0，
∵0<α<β≤π
2
，
∴β=π
2
∴[f(β)]2−2=4sin2π
4
−2=0
【考点】
求两角和与差的正弦
运用诱导公式化简求值
三角函数的周期性及其求法
【解析】
（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的周期性和值域求解．（2）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得β的值，代入函数解析式中求得答案．
【解答】
解：（1）f(x)=sin(x+7π
4)+cos(x−3π
4
)=sin(x−π
4
)+sin(x−π
4
)=2sin(x−π
4
)
∴T=2π，最小值为−2
（2）∵cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=4
5
，cos(β+α)=cosβcosα−sinβsinα=
−4
5
，
两式相加得2cosβcosα=0，
∵0<α<β≤π
2
，
∴β=π
2
∴[f(β)]2−2=4sin2π
4
−2=0。