高考专题复习 二项式定理(解析版)

第2讲 二项式定理
1．二项式定理
二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a
n －1b 1
＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *
)
二项展开式的通项公式
T r ＋1＝C r n a
n －r b r
，它表示第r ＋1项 二项式系数
二项展开式中各项的系数C r
n (r ∈{0,1,2，…，n })
2．二项式系数的性质
(1)C 0
n ＝1，C n n ＝1. C m n ＋1＝C m －1n ＋C m
n . (2)C m
n ＝C n －m
n .
(3)当n 是偶数时，1
2n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12
n T +与11
2n T ++项的二项式系数相等且最大．
(4)(a ＋b )n 展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n
.
【套路修炼】
考向一 通项公式的运用
【例1】（1）(2x ＋x )5
的展开式中，x 3
的系数是________．(用数字填写答案)
（2）⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x
2－23
展开式中的常数项为 。

（3））(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2
的系数为 。

（4）展开式中x 2
的系数为 。

【答案】（1）10 （2）-20 （3）30 （4）-1280
【解析】（1）T r ＋1＝C r
5(2x )5－r
·(x )r
＝2
5－r C r
5
·
，令5－r
2
＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3，∴x 3
的系数为10
（2）∵⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋1x
2－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x r ＝C r 6
(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为C 3
6(－1)3
＝－20.
（3）法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.
法二：利用组合知识求解．
(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.
（4）根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为：化简得到-1280 x2
【套路总结】
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出【举一反三】
1．展开式中项的系数是（）
A．270 B．180 C．90 D．45
【答案】A
【解析】∵，
∴展开式中项的系数为 270，故选：A．
2．在的展开式中，的系数是224，则的系数是（）
A．14 B．28 C．56 D．112
【答案】A
【解析】因为在的展开式中，，令则，∴，
再令，则为第6项．∴则的系数是14．故选：A 3．在的展开式中，含项的系数为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，含项的系数为.故选：B
4．的展开式中的系数是（）
A．27 B．-27 C．26 D．-26
【答案】B
【解析】展开式中的系数
中的与展开式中项相乘，但展开式中没有项
中的与展开式中项相乘，
所以的系数是，故选B项.
考向二二项式系数、系数
【例2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；
(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. 【答案】(1)；(2)
；(3)
；(4)
. 【解析】
根据所给的等式求得常数项
，令
，
则
在所给的等式中，令
，
可得： ①令，
则 ②
用①②再除以可得
用①②再除以可得
在中，令，可得
【举一反三】
1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x
5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
A ．－40
B ．－20
C ．20
D ．40
【套路总结】
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m
(a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．
(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a n x n
，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝
f (1)＋f (－1)
2
，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝
f (1)－f (－1)
2
.
【答案】D
【解析】令x ＝1得(1＋a )(2－1)5
＝1＋a ＝2，所以a ＝1.
因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中的常数项即为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x 5展开式中1x
的系数与x 的系数的和.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x 5展开式的通
项为T k ＋1＝C k 5(2x )
5－k
·(－1)k ·x －k ＝C k 52
5－k x
5－2k
·(－1)k
.令5－2k ＝1，得2k ＝4，即k ＝2，因此⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x 5展
开式中x 的系数为C 2525－2
(－1)2
＝80.令5－2k ＝－1，得2k ＝6，即k ＝3，因此⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x 5展开式中1x
的系数为
C 352
5－3
·(－1)3
＝－40.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x 5展开式中的常数项为80－40＝40.
2．若x 4(x ＋4)8＝a 0＋a 1(x ＋3)＋a 2(x ＋3)2＋…＋a 12(x ＋3)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝（ ）. A ．4 B ．8
C ．12
D ．11
【答案】D
【解析】 当x ＝﹣2时，x +3＝1．等式化为：（﹣2）4•28＝a 0+a 1+a 2+…+a 12．
∴a 0+a 1+a 2+…+a 12＝…①
当x ＝﹣4时，x +3＝﹣1．等式化为：（﹣4）4•08＝0＝a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…+a 12…②
上述①②两等式相相减有：a 1+a 3+…+a 11＝（+0）＝，
log 2（a 1+a 3+…+a 11）＝
．故答案为：D ．
3．已知二项式展开式中含项的系数为
，则实数的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】二项式展开式中含项，根据二项式的展式的公式得到
，令
.
此时的系数为故答案为：A.
4．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】二项式的各项系数的和为，
二项式的各项二项式系数的和为，
因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，
所以，，故选C。

考向三二项式定理单调性
【例3】若(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )
A．200 B．110 C．210 D．150
【答案】C
【解析】由题意，n＝10，
令30﹣5r＝0，∴r＝6
∴展开式中的常数项为T7＝＝210故选C.
【举一反三】
1．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为
（）
A．10 B．42 C．50 D．182
【答案】A
【解析】因为的展开式中第4项的二项式系数为，且最大所以n=6
所以多项式
二项式的展开通项式为所以当k=4时，
当k=3时，所以展开式中常数项为故选：A.
2．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第（）项A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴最大，n=10；
∴展开式的通项公式为
令，解得r=2，即展开式中的常数项是第3项．故选：B
3．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中所有有理项的系数之和.
【答案】（1）（2）-
【解析】（1）由二项式定理得展开式中第项为
，
所以前三项的系数的绝对值分别为1，，，
由题意可得，整理得，
解得或（舍去），
则展开式中二项式系数最大的项是第五项，
（2）因为，
若该项为有理项，则是整数，
又因为，
所以或或，
所以所有有理项的系数之和为
考向四整除
【例4】(1)若S＝C127＋C227＋…＋C2727，求S除以9的余数．
【答案】7
【解析】S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1 ＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2.
∵C09×98－C19×97＋…＋C89是正整数，∴S被9除的余数为7.
【举一反三】
1．设n∈N+,则7+72+…+7n除以9的余数为 ()
A．0 B．2 C．7 D．0或7
【答案】D
【解析】7
9,当为偶数时,余数为0,当为奇数时,余数为7，故选D.
2．可以整除（其中）的是（）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】
.
故能整除（其中）的是11.故选C .
3．除以的余数是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，即除以100的余数为41，故选B.
4．237除以17，所得余数是（）
A．－1 B．－2 C．15 D．16
【答案】C
【解析】
在上述展开式中不能被17整除，即余数为15，故选:C
考向五求近似值
【例5】_____（小数点后保留三位小数）．
【答案】
【解析】
【套路总结】
1.利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，（1＋x）n≈1＋nx.
2.利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式数展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.
【举一反三】
1.求1.025的近似值．(精确到两位小数)
【答案】1.10
【解析】1.025＝(1＋0.02)5＝1＋C15×0.02＋C25×0.022＋…＋C55×0.025≈1＋5×0.02＝1.10.
【套路运用】
1．设，若与的二项展开式中的常数项相等，则（）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【答案】A
【解析】的展开式的通项公式为，
令得到，故该展开式中的常数项为.
的展开式的通项公式为，
令得到，故该展开式中的常数项为.
因常数项相等，故，解得，故选A.
2．已知二项式的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为
A．20 B．
C．40 D．
【答案】B
【解析】由题意得：，即n=6，则该展开式的通项为
，令6−2r=0，得r=3，所以该展开式中的常数项为.故选B．
3．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a n(1－x)n，则a0－a1＋a2－…＋(－1)n a n等于
A．(3n－1) B．(3n－2) C．(3n－2) D．(3n－1)
【答案】D
【解析】在展开式中，令x＝2得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)n a n，
即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)n a n＝．故选D.
4．若的展开式中的系数为，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意二项式的展开式为，
展开式的为，所以，解得，故选D. 5．已知f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值为n，则二项式展开式中x2项的系数为( ) A．11 B．20 C．15 D．16
【答案】C
【解析】∵f（x）=|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，故函数的最小值为6，
再根据函数的最小值为n，∴n=6．
则二项式（x﹣）n=（x﹣）6展开式中的通项公式为 T r+1=•（﹣1）r•x6﹣2r，
令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x2项的系为=15，故选：C．
6．记，则（）
A．81 B．365 C．481 D．728
【答案】B
【解析】令x=0得1=，
令x=-2得，所以.故选：B
7．，则
A．B．C．64 D．65
【答案】B
【解析】，令，可得，
再令，，，故选：B．
8．已知的展开式中常数项为-40，则的值为（）
A．2 B．-2 C．±2 D．4
【答案】C
【解析】的展开式的通项为x5﹣2r．
取5﹣2r＝﹣1，得r＝3，取5﹣2r＝0，得r（舍）．
∴的展开式中常数项为，得a＝±2．故选：C．
9．的展开式中，的系数为（）
A．-10 B．-5
C．5 D．0
【答案】B
【解析】要求的系数，则的展开式中项与相乘，项与-1相乘，
的展开式中项为，与相乘得到，
的展开式中项为，与-1相乘得到，所以的系数为.故选B.
10．的展开式的常数项是（）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】D
【解析】，∴展开式的常数项.故选:D.
11．多项式的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数是（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵的展开式中各项系数和为3，令x=1,
∴（1+a）＝3，解得a＝2．
∴＝（+），
的展开式中常数项为，含的项的系数为．
∴（+）的展开式中项的系数是2×（﹣12）+1×（﹣160）＝﹣184故选：A 12．若展开式中含项的系数为21，则实数的值为（）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】A
【解析】展开式的通项公式
为 所以令，
此时含的项的系数为，又令，舍去，
所以含项的系数为，所以，得.故选A.
13．被49除所得的余数是 A ． B ． C ．
D ．
【答案】B
【解析】由题可得，
=
是正整数）=
是正整数）.所以
被49整除，所以余数为0.故
选B ．
14．若n 为正奇数，则1122
17?7?7?7n n n n n n n C C C ---++++被9除所得的余数是( )
A ．0
B ．2
C ．7
D ．8 【答案】C
【解析】原式()()7181911n
n
n
n n C =+-=-=--
()
()1
11221
9?9?9?9111n n
n n n n n n n C C C ----=-+-
-+--，
n 为正奇数， ()11297n
--=-=-+，则余数为7，故选C.
15．若二项式的展开式中的系数为，则展开式中除常数项外其余各项系数之和为
____________．
【答案】
【解析】由题意，二项式的展开式的通项公式为，
令，得，所以展开式中的系数为，解得．
令，得，所以展开式中的常数项为．令，
得展开式中所有项系数之和为，
所以展开式中除常数项外其余各项系数之和为．
16．已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中的二项式系数为_______.
【答案】10
【解析】令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5．
∴的．
令，则∴展开式中的二项式系数为故答案为：10．
17．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则___．
【答案】7
【解析】展开式中二项式系数的最大值为，
展开式中二项式系数的最大值为，
因为所以即：解得：
18．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为
______．
【答案】
【解析】由的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以．
多项式的通项公式：，其中．
考虑展开式中的常数项和含的项：
（1）令，则，
（2）令，则，
故常数项为．故答案为：35．
19．在的展开式中，二项式系数之和为，所有项的系数之和为，若，则__________．【答案】4
【解析】，，故.
20．的展开式中的系数是______.（用数字作答）.
【答案】120
【解析】
由二项式定理可知的系数是：
的展开式中的系数是120.
21．若的展开式中所有项的系数和为96，则展开式中含项的系数是___
【答案】20
【解析】当时，的展开式中所有项的系数和为，解得；
展开式的通项公式，可得
展开式中含项：；即展开式中含项的系数为. 故答案为.
22．展开式中的系数为________________
【答案】15
【解析】因为二项式展开式的通项为，
分别令可得，因为是正整数，所以，
所以时，；时，，
因此展开式中的系数为.故答案为15
23．在的展开式中，常数项为_____．
【答案】-40
【解析】∵（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•6•）（x﹣2），
∴常数项是 20•（﹣2）＝﹣40，故答案为：﹣40．
24．在的展开式中，含的项的系数是__________．
【答案】-9
【解析】表示三个相乘，所以展开式中含的项有两种情况：
（1）从三个选取一个然后取，再从剩余的两个中分别选取，所得结果为；
（2）从三个选取两个分别取，再从剩余的一个中选取，所得结果为
．
综上可得展开式中含的项为．
故答案为：．
25．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝__________．
【答案】12
【解析】由于512012+a＝（52﹣1）2012+a
除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，
故由题意可得a能被13整除，再由0≤a＜13，可得a＝12，
故答案为12．
26．已知，记，则的展开式中各项系数和为__________．
【答案】
【解析】根据定积分的计算，可得
，
令，则，
即的展开式中各项系数和为.
27．
_____（小数点后保留三位小数）． 【答案】
【解析】
28．已知2235n n n a +⋅+-能被25整除，则最小值A=_____________________ 【答案】4
【解析】 由2235465n n n n a n a +⋅+-=⋅+-，
当1n =时， 3123529a a ⨯+-=-，此时()2925a k k Z =-∈，当1k =时， 4a =；
当2n ≥时， ()22
12
223545154(555n
n n n n n n n n a n a C C +--⋅+-=⋅++-=+⋅+
+⋅
1
51)5415254254n n C n a M n a k a -+⋅++-=⋅++-=+-，
因此只需4a -能够被25整除即可，可知最小正整数a 的值为4， 综上可得：正整数a 的值为4.
29．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.
（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有有理项的系数之和.
【答案】（1）（2）-
【解析】（1）由二项式定理得展开式中第
项为
，
所以前三项的系数的绝对值分别为1，，，
由题意可得，整理得，
解得或（舍去），
则展开式中二项式系数最大的项是第五项，
（2）因为，
若该项为有理项，则是整数，
又因为，
所以或或，
所以所有有理项的系数之和为
30．已知的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的含x2的项．
【答案】（1）8；（2）
【解析】（1）由题设，得，
即，解得n＝8，n＝1（舍去）．
∴ n=8.
(2) 依题意，当时，解得，则，故含
的项为
31．（1）证明：
为偶数（n ∈N *）； （2）证明：大于的最小整数能被整除（n ∈N *
）. 【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）因为， 所以为偶数（n ∈N *
）． （2）注意到，则大于的最小正整数必为
，记为2k N ， 又因为 而由（1）同理可得必为偶数，记为， 所以，，即能被整除，从而命题得证． 32．(1)设()42340123431x a a x a x a x a x -=++++.
①求01234a a a a a ++++；
②求024a a a ++；
③求1234a a a a +++；
(2)求1227272727S C C C =+++除以9的余数．
【答案】（1）16，256，15；（2）7
【解析】(1)①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16.
②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，
而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.
③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15. （2）解S＝C＋C＋…＋C＝227－1
＝89－1＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1
＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2
＝9(C×98－C×97＋…＋C－1)＋7，
显然上式括号内的数是正整数．
故S被9除的余数为7.。