江苏大学 物理练习册答案14

练习 14
知识点：麦克斯韦速率分布律、三个统计速率、平均碰撞频率和平均自由程
一、选择题
1． 在一定速率υ附近麦克斯韦速率分布函数 f (υ)的物理意义是：一定量的气体在给定温度
下处于平衡态时的 （ ）
（A ）速率为υ的分子数； （B ）分子数随速率υ的变化；
（C ）速率为υ的分子数占总分子数的百分比；
（D ）速率在υ附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。

解：(D) Ndv
dN v f =)(,速率在v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比
2． 如果氢气和氦气的温度相同，摩尔数也相同，则 （ ）
（A ）这两种气体的平均动能相同； （B ）这两种气体的平均平动动能相同； （C ）这两种气体的内能相等； （D ）这两种气体的势能相等。

解：(B) 平均动能=平均平动动能+转动动能,氦气为单原子分子,3=i ;氢气为双原子(刚性)分子, 5=i
3． 在恒定不变的压强下，理想气体分子的平均碰撞次数z 与温度T 的关系为 ( )
（A ）与T 无关； （B ）与T 成正比； （C ）与T 成反比； （D ）与T 成正比； （E ）与T 成反比。

解：(C)T
M R p
d d kT p M RT d n v z mol mol πππππ82822222=== 4． 根据经典的能量按自由度均分原理，每个自由度的平均能量为
（ ）
（A ）kT /4； （B ）kT /3； （C ）kT /2； （D ）3kT /2； （E ）kT 。

解：(C) 5． 在20℃时，单原子理想气体的内能为 （ ）
（A ）部分势能和部分动能； （B ）全部势能； （C ）全部转动动能； （D ）全部平动动能； （E ）全部振动动能。

解：(D)单原子分子的平动自由度为3,转动自由度0, 振动自由度为0
6． 1mol 双原子刚性分子理想气体，在1atm 下从0℃上升到100℃时，内能的增量为
（ ）
（A ）23J ； （B ）46J ； （C ）2077.5J ； （D ）1246.5J ； （E ）12500J 。

解：(C)J T R i M M E mol 5.207710031.82
5
12=⨯⨯⨯=∆=∆
二、填空题
1．)(υf 为麦克斯韦速率分布函数，
⎰∞
p
f υ
υυd )(的物理意义是_____________，
⎰
∞
2
d )(2
υυυf m 的物理意义是__________，速率分布函数归一化条件的数学表达式为___________，其物理意义是_________。

解：
⎰⎰
⎰∞∞
∞
==p p p v v v N dN dv Ndv
dN dv v f )(,∞~p v 速率区间内分子数占总分子数的百分率; 2 )(20202⎰⎰∞∞=N dN
mv dv v f mv ,∞~0速率区间内分子的平均平动动能; 1)(0
=⎰
∞dv v f ;速率在∞~0内的分子数占总分子数的比率为1。

2． 同一温度下的氢气和氧气的速率分布曲线如右图所示，其中曲线1为_____________的速率分布曲线，__________的最概然速率较大（填“氢气”或“氧气”）。

若图中曲线表示同一种气体不同温度时的速率分布曲线，温度分别为T 1和T 2且T 1<T 2；则曲线1代表温度为________的分布曲线（填T 1或T 2）。

解：最可几速率mol
p M RT v 2=,T 相同时,mol M 大p v 小⇒氧气、氢气;同一种气体
T 大p v 大⇒1T
3．设氮气为刚性分子组成的理想气体，其分子的平动自由度数为_________，转动自由度为_________；分子内原子间的振动自由度为__________。

解：3;2;0
4．在温度为27℃时，2mol 氢气的平动动能为 ，转动动能为 。

解：分子平动自由度3, 平动动能为J RT kT N N A k A 747930031.8332
3
22=⨯⨯==⋅=ε
分子转动自由度2, 转动动能为J RT kT N A 498630031.8222=⨯⨯==⋅
5． 1mol 氧气和2mol 氮气组成混合气体，在标准状态下，氧分子的平均能量为_________，氮分子的平均能量为____________；氧气与氮气的内能之比为____________。

解：氧气、氮气均为双原子分子,自由度为5,因此
J kT 21231042.92731038.12525--⨯=⨯⨯⨯==ε;J 211042.9-⨯=ε; RT i M M E mol 2=
⇒2:1
6．2 mol 氮气，由状态A (p 1,V )变到状态B (p 2,V )，气体内能的增量为__________。

解：内能PV i RT i M M E mol 22==
,内能的增量V P P E )(2
5
12-=∆
三、计算题
1*． 设氢气的温度为300℃。

求速率在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数N 1与速率在υp 到υp +10m/s 之间的分子数N 2之比。

解：根据麦克斯韦速率分布函数可得
p
v v p
kT
mv v v
e v v v v e kT
m N N p
∆=
∆=∆--
2
2
)(
2222
/3)(
4
)2(4πππ(分子的质量为m ) p
p v p
v e
N N v e v N
N p
10
4,10)3000(
4
12)3000(
2
12
--==ππ，,)3000(2
)3000(221e e v N N p
v p ⋅=-
s m M RT v mol p /2183/2==，,78.0)2183
3000(2
)21833000
(221=⋅=-e e N N 2*．假定大气层各处温度相同均为T ，空气的摩尔质量为mol M ，试根据玻尔兹曼分布律
)
(0kT
mgh e n n -⋅=，证明大气压强p 与高度h (从海平面算起)的关系是0mol ln p RT h M g p
=
⋅。

并求上升到什么高度处，大气的压强减到地面的75%。

)
(υf υ
o 1
2
解：kT mgh kT
mgh e p kTe
n nkT p /0/0--===,p
p
g M RT h mol 0ln =(分子的质量为m )
3
4
ln 75.0ln 00g M RT p p g M RT h mol mol ==
3*．导体中自由电子的运动类似于气体分子的运动。

设导体中共有N 个自由电子。

电子气中电子的最大速率υF 叫做费米速率。

电子的速率在υ与υ+d υ之间的概率为：
⎪
⎩⎪⎨
⎧>>>=)(
0)0( d 4d F F 2υυυυπυN V
A N N
式中A 为归一化常量。

（1）由归一化条件求A 。

（2）证明电子气中电子的平均动能
F 2
F k 5
3)21(53E m ==υε，此处E F 叫做费米能。

解：(1)1)(0=⎰∞
dv v f , 13443
02==⎰N A v N Adv v F
v F
ππ，343F v N A π=,323F
v dv v N dN = (2)F F V F V k E mv v dv v m dv v f mv F F 5
3215323)(2120342
0=⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎰⎰ε 4．今测得温度为t 1＝15℃，压强为p 1＝0.76 m 汞柱高时，氩分子和氖分子的平均自由程分别
为：Ar λ＝ 6.7×10
8
m 和Ne λ=13.2×10
8
m ，求：
(1) 氖分子和氩分子有效直径之比d Ne / d Ar ＝？
(2) 温度为t 2＝20℃，压强为p 2＝0.15 m 汞柱高时，氩分子的平均自由程/
Ar λ＝？
解：(1)n d 2
21
πλ=, 22
Ar Ne Ne Ar d d =λλ,712.02.137
.6===Ne Ar Ar
Ne d d λλ (2) p d kT
22πλ=
,
15
.528815.076.02931122=⋅⋅=⋅='T p p T Ar Ar λλ， m Ar Ar 71045.315.5-⨯=='λλ 5．真空管的线度为 m 2
10-，其中真空度为a p 3
10
33.1-⨯，设空气分子的有效直径为
m 10103-⨯。

求：
（1）温度为27℃时单位体积内的空气分子数；（2）平均碰撞频率；（3）平均自由程。

解：
(1)31723
3
/1021.33001038.11033.1m kT p n 个⨯=⋅⨯⨯==--,(2)s m M RT v mol /4670289
.0142.330031.888=⨯⨯⨯==π，
1172027.591021.346710914.322---=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==s n v d z π ，(3)m n
d z v 82.7212
===πλ。