二次函数的应用(1)浙教版数学九年级上册教学设计

1.4二次函数的应用(一)
教学目标：
1．经历数学建模的基本过程，学生掌握运用二次函数的性质解决实际生活和生产中的最大值和最小值问题．2．培养学生分析问题的能力，能初步建立起解决最大值和最小值问题的数学模式．
3．了解二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值，学生明确知识来源于实践、又能指导实践的观点．
重点难点：
重点：二次函数在最优化问题中的应用．
难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解．
教学过程：
一、新课导入
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)问每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多为多少元？
对于第(1)个问题，学生通过列一元二次方程马上可求得，但第(2)个问题，大部分学生可能一下子解决不了．那么怎样解决此类问题呢？
说明：通过问题情境来引入所要解决的问题，提高学生学习新知识的兴趣．
二、新知学习
活动1问题探究：
1．如果我们把平均每天盈利与降价的函数关系找出来，那么所求问题就转化为什么问题？
2．发现可以设降价为x元，每天盈利为y元，则y关于x的函数关系式为y＝(40－x)(20＋2x)，化为y＝－2x2＋60x＋800，这是一个二次函数．
3．写出自变量x的取值范围，再求出它的最大值．
先由学生独立探究，然后参与小组合作交流，最后教师讲解点评．
活动2探究实践：
用长 6 m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
教师引导学生：
(1)设什么为自变量x?
(2)如果学生设窗框长为x，则高为多少？面积为多少？
(3)若设透光面积为y，试写出y关于x的函数解析式．
(4)这里自变量x的取值范围是什么？根据什么来确定？
解：(1)窗框的长或高；
(2)高为(6－3x 2) m ，面积为x·6－3x 2
m 2； (3)解析式：y ＝x·6－3x 2
(4)根据窗框的长、宽都必须大于零，即⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＞0，x ＞0.
得0＜x ＜2. 教师指出这样求窗户的最大透光面积，就转化为求二次函数y ＝x ·6－3x 2＝－32
x 2＋3x 的最大值．强调在求函数的最值之前应先化为一般式或配方式．
4．师生共同总结出最值问题的一般步骤．
(1)列出二次函数的解析式．列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．
(2)在自变量的取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值或最小值．
说明：让学生感受将实际问题转化为二次函数这一数学模型的一般步骤．
三、新知应用
活动3典例探究：
【例】如图，用长20 m 的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？
【分析】设未知数时，图中哪一条边是长，哪一条是宽没有确定，故只有根据边与墙的位置关系来设定未知数，可用配方法或顶点坐标公式来求面积的最大值．
【解】设与墙垂直的一边为x m ，园子面积为S m 2，则另一边长为(20－2x ) m ，由题意得S ＝x (20－2x )＝－2x 2＋20x ＝－2(x －5)2＋50(0＜x ＜10)．∵a ＜0，∴当x ＝5(在0＜x ＜10的范围内)时，园子面积S 的最大值为50 m 2.
说明：要善于把实际问题抽象成数学问题，从中检索出可用的数学知识，并运用这些数学知识和技能解决问题，用好数形结合、转化等数学思想方法是解决这一类问题的关键．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．二次函数y ＝－12
(x －40)2－800，当x ＝__40__时，y 有最__大__值，这个值是__－800__． 2．用一根长为20 m 的绳子，围成一个矩形，则围成的矩形的最大面积是__25__m 2__．
3．如图，用12 m 长的铝合金做一个有横档的矩形窗子为使透进的光线最多，则窗子的长、宽各为__3m 、2m __．
4．某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元售出时，每天可销售100件，如果每件提高1元，日销售量就要减少10件，那么该商品的售出价格定为多少元时，才能使每天获得最大利润？每天最大利润是多少？
解：设定价为每件x 元，y ＝(x －18)[100－10(x －20)]，即y ＝－10x 2＋480x －5400＝－10(x －24)2＋360 当售出价格为每件24元时，获得最大利润为360元．
五、课堂小结
1．得出用二次函数知识解决实际生活中的最值问题的一般步骤：
(1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围；
(2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值．
2．解题循环图：
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．。