2021-2022学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷

2021-2022学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷
试题数：20，总分：100
1.（单选题，4分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|-3＜x＜2}，则A∩B=（）
A.{0，1}
B.（0，1）
C.（0，2）
D.{0，1，2}
2.（单选题，4分）命题“∀x∈R，都有x2-x+3＞0”的否定为（）
A.∃x∈R，使得x2-x+3≤0
B.∃x∈R，使得x2-x+3＞0
C.∀x∈R，都有x2-x+3≤0
D.∃x∉R，使得x2-x+3≤0
3.（单选题，4分）已知a＜b＜0，则（）
A.a2＜b2
B. 1
a ＜1
b
C.2a＞2b
D.ln（1-a）＞ln（1-b）
4.（单选题，4分）已知函数f（x）= 3
x
-log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是
（）
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，3）
D.（3，4）
5.（单选题，4分）4×100米接力赛是田径运动中的集体项目，一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合．已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（）
A.p1p2p3
B.1-p1p2p3
C.（1-p1）（1-p2）（1-p3）
D.1-（1-p1）（1-p2）（1-p3）
6.（单选题，4分）下列函数中，在R上为增函数的是（）
A.y=2-x
B.y=x2
C.y= {2x，x≥0 x，x＜0
D.y=lgx
7.（单选题，4分）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为C= 3
10
Q2+3000，设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（）
A.30
B.60
C.900
D.1800
8.（单选题，4分）逻辑斯蒂函数f（x）= 1
1+e−x
二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类，下列关于函数f（x）的说法错误的是（）
A.函数f（x）的图象关于点（0，f（0））对称
B.函数f（x）的值域为（0，1）
C.不等式f（x）＞1
2
的解集是（0，+∞）
D.存在实数a，使得关于x的方程f（x）-a=0有两个不相等的实数根
9.（单选题，4分）甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（）
A.甲得分的极差大于乙得分的极差
B.甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数
C.甲得分的平均数小于乙得分的平均数
D.甲得分的标准差小于乙得分的标准差
10.（单选题，4分）已知函数f （x ）=2x 2+bx+c （b ，c 为实数），f （-10）=f （12）．若方程f （x ）=0有两个正实数根x 1，x 2，则 1x 1 + 1
x 2 的最小值是（ ） A.4
B.2
C.1
D. 12
11.（填空题，4分）函数f （x ）=log 0.5（x-1）的定义域是 ___ ．
12.（填空题，4分）已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=lnx ，则f （- 1e ）的值是 ___ ． 13.（填空题，4分）定义域为R ，值域为（-∞，1）的一个减函数是 ___ ．
14.（填空题，4分）已知函数f （x ）=|log 5x|，若f （x ）＜f （2-x ），则x 的取值范围是 ___ ．
15.（填空题，4分）已知函数f （x ）= {(2−a )x ，x ≤1a x−1，x ＞1
（a ＞0且a≠1），给出下列四个结论：
① 存在实数a ，使得f （x ）有最小值；
② 对任意实数a （a ＞0且a≠1），f （x ）都不是R 上的减函数；
③ 存在实数a ，使得f （x ）的值域为R ；
④ 若a ＞3，则存在x 0∈（0，+∞），使得f （x 0）=f （-x 0）．
其中所有正确结论的序号是 ___ ．
16.（问答题，9分）已知集合A={x|x 2-2x-3＞0}，B={x|x-4a≤0}．
（Ⅰ）当a=1时，求A∩B ；
（Ⅱ）若A∪B=R ，求实数a 的取值范围．
17.（问答题，10分）已知函数f （x ）=a x +b•a -x （a ＞0且a≠1），再从条件 ① 、条件 ② 这两个条件中选择一个作为已知．
（Ⅰ）判断函数f （x ）的奇偶性，说明理由；
（Ⅱ）判断函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明；
（Ⅲ）若f （|m|-3）不大于b•f （2），直接写出实数m 的取值范围．
条件① ：a＞1，b=1；
条件② ：0＜a＜1，b=-1．
18.（问答题，10分）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生
产线的产量之比为4：1，现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的
样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）．
（Ⅱ）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；
（Ⅲ）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取10件产品，记
P1表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，P2表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较P1和P2的大小．（只需写出结论）
19.（问答题，11分）已知定义域为D的函数f（x），若存在实数a，使得∀x1∈D，都存在
=a，则称函数f（x）具有性质P（a）．
x2∈D满足x1+f(x2)
2
（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质P（0），说明理由；
① f（x）=2x；
② f（x）=log2x，x∈（0，1）．
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为D，且具有性质P（1），则“f（x）存在零点”是“2∈D”的 ___ 条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）（Ⅲ）若存在唯一的实数a，使得函数f（x）=tx2+x+4，x∈[0，2]具有性质P（a），求实数
t的值．
20.（问答题，0分）2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学
奖．屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了疟疾治疗新
方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康、减少病痛发挥了难以估量的作用．
当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效．后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用．已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值．人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变，现用t 表示时间（单位：h ），在t=0时人体服用青蒿素药片；用C 表示青蒿素的血药浓度（单位：μg/ml ），根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C 是t 的函数．已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值．请根据以上描述完成下列问题：
（Ⅰ）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是 ___ ；
① C （t ）= {0.2t ，
0≤t ＜1.5，0.75−0.3t ，t ≥1.5． ② C （t ）= { −15t 2+25t ，0≤t ＜1.5，940−120t ， 1.5≤t ＜4.5，0，t ≥4.5．
③ C （t ）= {0.3e t −0.3，0≤t ＜1.5，0.3ln (2.5)t
，t ≥1.5． ④ C （t ）= {0.2ln (t +1)，0≤t ＜1.5，0.3ln (2.5)t ，t ≥1.5
（Ⅱ）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1μg/mL ，则称青蒿素药片是合格的．基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片 ___ ；（填“合格”、“不合格”）
（Ⅲ）记血药浓度的峰值为C max ，当C≥ 12 C max 时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间是 ___ ．
2021-2022学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：20，总分：100
1.（单选题，4分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|-3＜x＜2}，则A∩B=（）
A.{0，1}
B.（0，1）
C.（0，2）
D.{0，1，2}
【正确答案】：A
【解析】：利用交集的定义直接求解．
【解答】：解：集合A={0，1，2，3，4}，B={x|-3＜x＜2}，
∴A∩B={0，1}．
故选：A．
【点评】：本题考查集合的运算，考查交集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.（单选题，4分）命题“∀x∈R，都有x2-x+3＞0”的否定为（）
A.∃x∈R，使得x2-x+3≤0
B.∃x∈R，使得x2-x+3＞0
C.∀x∈R，都有x2-x+3≤0
D.∃x∉R，使得x2-x+3≤0
【正确答案】：A
【解析】：根据题意，由全称命题和特称命题的关系，可得答案．
【解答】：解：根据题意，命题“∀x∈R，都有x2-x+3＞0”是全称命题，
其否定为：∃x∈R，使得x2-x+3≤0．
故选：A．
【点评】：本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
3.（单选题，4分）已知a＜b＜0，则（）
A.a2＜b2
B. 1
a ＜1
b
C.2a＞2b
D.ln（1-a）＞ln（1-b）
【正确答案】：D
【解析】：根据不等式的性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出正确的选项．【解答】：解：∵a＜b＜0，
∴ a2＞b2，1
a ＞1
b
，2a＜2b，1−a＞1−b＞0，ln（1-a）＞ln（1-b）．
故选：D．
【点评】：本题考查了不等式的性质，指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
4.（单选题，4分）已知函数f（x）= 3
x
-log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是
（）
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，3）
D.（3，4）
【正确答案】：C
【解析】：判断函数的单调性，求出f（2），f（3）函数值的符号，利用零点判定定理判断即可．
【解答】：解：函数f（x）= 3
x -log2x，是减函数，又f（2）= 3
2
-log22= 1
2
＞0，
f（3）=1-log23＜0，
可得f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知：函数f（x）= 3
x
-log2x，包含零点的区间是：（2，3）．
故选：C．
【点评】：本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．
5.（单选题，4分）4×100米接力赛是田径运动中的集体项目，一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合．已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（）
A.p1p2p3
B.1-p1p2p3
C.（1-p1）（1-p2）（1-p3）
D.1-（1-p1）（1-p2）（1-p3）
【正确答案】：C
【解析】：根据对立事件和独立事件求概率的方法可求得答案．
【解答】：解：∵该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，
∴三次交接棒不失误的概率分别为1-p1，1-p2，1-p3，
∴假设三次交接棒相互独立，
则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（1-p1）（1-p2）（1-p3）．
故选：C．
【点评】：本题考查概率的求法，考查对立事件和独立事件求概率的方法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.（单选题，4分）下列函数中，在R上为增函数的是（）
A.y=2-x
B.y=x2
C.y= {2x，x≥0 x，x＜0
D.y=lgx
【正确答案】：C
【解析】：根据题意，依次分析选项中函数的定义域和单调性，即可得答案．
【解答】：解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=2-x是指数函数，在R上为减函数，不符合题意，
对于B，y=x2，是二次函数，在（-∞，0）上为减函数，不符合题意，
对于C，y= {2x，x≥0
x，x＜0
，在R上为增函数，符合题意，
对于D，y=lgx，是对数函数，定义域为（0，+∞），不符合题意，
故选：C．
【点评】：本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
7.（单选题，4分）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为C= 3
10
Q2+3000，设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（）
A.30
B.60
C.900
D.1800
【正确答案】：B
【解析】：先求出f（Q）的解析式，然后根据基本不等式即可求解．
【解答】：解：由题意可得该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）= C
Q =3Q
10
+3000
Q
，
则f（Q）= 3Q
10+3000
Q
≥2√3Q
10
•3000
Q
=60，当且仅当3Q
10
=3000
Q
，即Q=100时取等号，
此时f（Q）的最小值为60，
故选：B．
【点评】：本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，涉及到基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
8.（单选题，4分）逻辑斯蒂函数f（x）= 1
1+e−x
二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类，下列关于函数f（x）的说法错误的是（）
A.函数f（x）的图象关于点（0，f（0））对称
B.函数f（x）的值域为（0，1）
C.不等式f（x）＞1
2
的解集是（0，+∞）
D.存在实数a，使得关于x的方程f（x）-a=0有两个不相等的实数根
【正确答案】：D
【解析】：A选项，代入f（-x），计算f（x）+f（-x）=1和f（0）= 1
2
，可得对称性；
B选项，由e-x＞0和分式函数的值域可求出结果；
CD选项，判断函数f（x）的单调性即可判断正误．
【解答】：解：对于A：f（x）= 1
1+e−x = e x
1+e x
，f（-x）= 1
1+e x
，f（x）+f（-x）=1，
所以函数f（x）的图象关于点（0，1
2）对称，又f（0）= 1
2
，所以函数f（x）的图象关于点
（0，f（0））对称，故A正确；
对于B：f（x）= 1
1+e−x ，易知e-x＞0，所以1+e-x＞1，则1
1+e−x
∈（0，1），即函数f（x）的
值域为（0，1），故B正确；
对于C：由f（x）= 1
1+e−x 容易判断，函数f（x）在R上单调递增，且f（0）= 1
2
，所以不等
式f（x）＞1
2
的解集是（0，+∞），故C正确；
对于D：因为函数f（x）在R上单调递增，所以方程f（x）-a=0不可能有两个不相等的实数根，故D错误．
故选：D．
【点评】：本题考查了函数的基本性质（对称性、单调性、值域），属于基础题．
9.（单选题，4分）甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（）
A.甲得分的极差大于乙得分的极差
B.甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数
C.甲得分的平均数小于乙得分的平均数
D.甲得分的标准差小于乙得分的标准差
【正确答案】：B
【解析】：根据图表数据特征进行判断即可得解．
【解答】：解：对于A，乙组数据最大值为29，最小值为5，极差为24，
甲组数据最大值小于29，最小值大于5，故A错误；
对于B，甲得分的75%分位数是20+25
2
=22.5，
乙得分的75%分位数是16，故B正确；
对于C，甲组具体数据不易看出，不能判断甲得分的平均数与乙得分的平均数的大小关系，故C错误；
对于D，乙组数据更集中，标准差更小，故D错误．
故选：B．
【点评】：本题考查命题真假的判断，考查折线图、茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.（单选题，4分）已知函数f（x）=2x2+bx+c（b，c为实数），f（-10）=f（12）．若方
程f（x）=0有两个正实数根x1，x2，则1
x1 + 1
x2
的最小值是（）
A.4
B.2
C.1
D. 1
2
【正确答案】：B
【解析】：根据题意，由二次函数的性质可得f（x）的对称轴为x=1，由此可得x1+x2=2，
又由1
x1 + 1
x2
= 1
2
（1
x1
+ 1
x2
）（x1+x2）= 1
2
（2+ x1
x2
+ x2
x1
），由基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】：解：根据题意，函数f（x）=2x2+bx+c为二次函数，若f（-10）=f（12），则f（x）的对称轴为x=1，
若方程f（x）=0有两个正实数根x1，x2，则有x1+x2=2，
则1
x1 + 1
x2
= 1
2
（1
x1
+ 1
x2
）（x1+x2）= 1
2
（2+ x1
x2
+ x2
x1
）≥ 1
2
（2+2 √x1
x2
×x2
x1
）=2，
当且仅当x1=x2=1时等号成立，即1
x1 + 1
x2
的最小值是2，
故选：B．
【点评】：本题考查二次函数的性质以及应用，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．11.（填空题，4分）函数f（x）=log0.5（x-1）的定义域是 ___ ．
【正确答案】：[1]（1，+∞）
【解析】：根据对数函数成立的条件建立不等式进行求解即可．
【解答】：解：要使函数有意义，则x-1＞0，即x ＞1，即函数的定义域为（1，+∞）， 故答案为：（1，+∞）．
【点评】：本题主要考查函数定义域的求解，根据对数函数成立的条件是解决本题的关键，是基础题．
12.（填空题，4分）已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=lnx ，则f （-
1
e
）的值是 ___ ． 【正确答案】：[1]1
【解析】：根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【解答】：解：∵当x ＞0时，f （x ）=lnx ，且f （x ）是奇函数， ∴f （- 1
e ）=-
f （ 1
e ）=-ln 1
e =1， 故答案为：1．
【点评】：本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键，是基础题．
13.（填空题，4分）定义域为R ，值域为（-∞，1）的一个减函数是 ___ ． 【正确答案】：[1]y=1-2x （答案不唯一）
【解析】：根据题意，结合指数函数的性质以及函数图象的变换，分析可得答案．
【解答】：解：根据题意，要求函数可以为指数函数变换形式， 如y=1-2x ；
故答案为：y=1-2x （答案不唯一）．
【点评】：本题考查函数解析式的求法，注意函数的定义域、值域和单调性．
14.（填空题，4分）已知函数f （x ）=|log 5x|，若f （x ）＜f （2-x ），则x 的取值范围是 ___ ． 【正确答案】：[1]（1，2）
【解析】：由函数f （x ）的定义域可得0＜x ＜2，再分x=1，0＜x ＜1，1＜x ＜2三种情况讨论，结合对数的运算性质即可求出结果．
【解答】：解：∵函数f （x ）=|log 5x|的定义域为（0，+∞）， ∴ {x ＞02−x ＞0
，∴0＜x ＜2，
① 当x=1时，f （x ）=f （2-x ），不符合题意， ② 当0＜x ＜1时，2-x ＞1，
则f （x ）＜f （2-x ）等价于|log 5x|＜|log 5（2-x ）|， ∴-log 5x ＜log 5（2-x ），
∴log 5（2-x ）+log 5x ＞0，即log 5[x （2-x ）]＞0， ∴x （2-x ）＞1，
∴x 2-2x+1＜0，此方程无解， ③ 当1＜x ＜2时，0＜2-x ＜1，
则f （x ）＜f （2-x ）等价于|log 5x|＜|log 5（2-x ）|， ∴log 5x ＜-log 5（2-x ），
∴log 5（2-x ）+log 5x ＜0，即log 5[x （2-x ）]＜0， ∴x （2-x ）＜1， ∴x 2-2x+1＞0，即x≠1， 则1＜x ＜2符合题意，
综上所述，x 的取值范围是（1，2）．
【点评】：本题主要考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质，属于中档题． 15.（填空题，4分）已知函数f （x ）= {(2−a )x ，x ≤1
a x−1，x ＞1 （a ＞0且a≠1），给出下列四个
结论：
① 存在实数a ，使得f （x ）有最小值；
② 对任意实数a （a ＞0且a≠1），f （x ）都不是R 上的减函数； ③ 存在实数a ，使得f （x ）的值域为R ；
④ 若a ＞3，则存在x 0∈（0，+∞），使得f （x 0）=f （-x 0）． 其中所有正确结论的序号是 ___ ． 【正确答案】：[1] ① ② ④
【解析】：举例说明 ① 正确；由f （x ）是R 上的减函数列式求解a 的范围判断 ② ；由f （x ）的值域为R 列关于a 的不等式组，求解a 的范围判断 ③ ；画出图形，数形结合判断 ④ ．
【解答】：解：对于 ① ，当a=3时，函数f （x ）= {−x ，x ≤1
3x−1，x ＞1 ，函数有最小值-1，故 ①
正确；
对于 ② ，若f （x ）是R 上的减函数，则 {2−a ＜0
0＜a ＜12−a ≥1
，解得a∈∅，
∴对任意实数a （a ＞0且a≠1），f （x ）都不是R 上的减函数，故 ② 正确；
对于 ③ ，若f （x ）的值域为R ，需 {2−a ＞0
a ＞1
a 1−1≤2−a
，得a∈∅，故 ③ 错误；
对于 ④ ，若a ＞3，函数f （x ）= {(2−a )x ，x ≤1a
x−1
，x ＞1
的图象如图所示：
直线y=（a-2）x 与曲线y=a x-1一定有交点，即存在x 0∈（0，+∞），使得f （x 0）=f （-x 0），故 ④ 正确．
∴正确结论的序号是 ① ② ④ ． 故答案为： ① ② ④ ．
【点评】：本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
16.（问答题，9分）已知集合A={x|x 2-2x-3＞0}，B={x|x-4a≤0}．
（Ⅰ）当a=1时，求A∩B ；
（Ⅱ）若A∪B=R ，求实数a 的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）求出集合A ，B ，利用交集的定义求出A∩B ；
（Ⅱ）由集合A={x|x ＜-1或x ＞3}，B={x|x-4a≤0}，A∪B=R ，得到4a≥3，由此求出a 的取值范围．
【解答】：解：（Ⅰ）集合A={x|x 2-2x-3＞0}={x|x ＜-1或x ＞3}，B={x|x-4a≤0}． 当a=1时，B={x|x≤4}， ∴A∩B={x|x ＜-1或3＜x≤4}；
（Ⅱ）∵集合A={x|x2-2x-3＞0}={x|x＜-1或x＞3}，B={x|x-4a≤0}，A∪B=R，
，
∴4a≥3，解得a≥ 3
4
，+∞）．
∴实数a的取值范围是[ 3
4
【点评】：本题考查集合的运算，考查交集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.（问答题，10分）已知函数f（x）=a x+b•a-x（a＞0且a≠1），再从条件① 、条件② 这
两个条件中选择一个作为已知．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，说明理由；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明；
（Ⅲ）若f（|m|-3）不大于b•f（2），直接写出实数m的取值范围．
条件① ：a＞1，b=1；
条件② ：0＜a＜1，b=-1．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）定义域为R，代入f（-x）化简可得出与f（x）的关系，从而判断奇偶性；（Ⅱ）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，作差判断f（x1）-f（x2）的正负，可得出单调性；（Ⅲ）根据奇偶性和单调性可得到|m|-3与2的不等关系，求解可得m的取值范围．
【解答】：解：选择条件① ：
（Ⅰ）a＞1，b=1，
函数f（x）是偶函数，理由如下：
f（x）的定义域为R，对任意x∈R，则-x∈R，
∵f（-x）=a-x+a x=f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则x1+x2＞0，
∵a＞1，∴ a x1＜a x2，a x1+x2＞1，
∴f（x1）-f（x2）= a x1+a−x1 -（a x2+a−x2）
）
=（a x1−a x2）（1- 1
a x1•a x2
＜0，
=（a x1−a x2）• a x1+x2
a x1+x2
∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（Ⅲ）实数m的取值范围是[-5，-1]∪[1，5]．
选择条件② ：0＜a＜1，b=-1，
（Ⅰ）函数f（x）是奇函数，理由如下：
f（x）的定义域为R，对任意x∈R，则-x∈R，
∴f（-x）=a-x-a x=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是减函数．
证明如下：
任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
∵0＜a＜1，∴ a x1＞a x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）= a x1−a−x1 -（a x2−a−x2）
）
=（a x1−a x2）（1+ 1
a x1•a x2
＞0，
=（a x1−a x2）• a x1+x2
a x1+x2
∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调减函数．
（Ⅲ）实数m的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）．
【点评】：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断与求法，考查函数的奇偶、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.（问答题，10分）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4：1，现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）．
（Ⅱ）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；
（Ⅲ）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取10件产品，记
P 1表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，P 2表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较P 1和P 2的大小．（只需写出结论）
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）根据题意列出方程组，由此能求出a ，b 的值．
（Ⅱ）C 为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后再找出事件C 所包含是基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案． （Ⅲ）根据样本中甲、乙产品中一等品的概率，同时结合二项分布即可比较大小．
【解答】：解：（Ⅰ）由题意知 {76+b +a +2=100
76+b =4(a +2) ，
解得a=18，b=4．
（Ⅱ）记样本中甲生产线的4件二等品为A 1，A 2，A 3，A 4，乙生产线的2件二等品为B 1，B 2， 从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，分别为：
（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，A 4），（A 2，A 3），（A 2，A 4），（A 3，A 4）（A 1，B 1），（A 2，B 1），
（A 3，B 1），（A 4，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 2），（A 3，B 2），（A 4，B 2），（B 1，B 2）， 记C 为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则 C 中的结果只有一个，是（B 1，B 2）， ∴至少有1件为甲生产线产品的概率为P=1-P （ C ）=1- 1
15 = 14
15 ． （Ⅲ）p 1＜p 2．
【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.（问答题，11分）已知定义域为D 的函数f （x ），若存在实数a ，使得∀x 1∈D ，都存在x 2∈D 满足
x 1+f (x 2)
2
=a ，则称函数f （x ）具有性质P （a ）．
（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质P （0），说明理由； ① f （x ）=2x ；
② f （x ）=log 2x ，x∈（0，1）．
（Ⅱ）若函数f （x ）的定义域为D ，且具有性质P （1），则“f （x ）存在零点”是“2∈D”的 ___ 条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
（Ⅲ）若存在唯一的实数a ，使得函数f （x ）=tx 2+x+4，x∈[0，2]具有性质P （a ），求实数t 的值．
【正确答案】：必要而不充分条件
【解析】：（Ⅰ） ① 根据2x ＞0举例说明当x 1＞0时，不存在 x 1+f (x 2)
2
=0，从而函数f （x ）
=2x 不具有性质P （0）； ② 取 x 2=2−x 1 ∈（0，1），得到 x 1+log 2x 2
2
=0，从而f （x ）=log 2x ，x∈（0，1）具有性质P
（0）；
（Ⅱ）分f （x ）存在零点，证明2∉[0，1]，2∈D ，f （x ）具有性质P （1）时，f （x 2）=0，由此推导出“f （x ）存在零点”是“2∈D”的必要而不充分条件；
（Ⅲ）令函数f （x ）=tx 2+x+4，x∈[0，2]的值域为F ，g （x ）=2a-x ，x∈[0，2]的值域A=[2a-2，2a]．若函数f （x ）有性质P （a ），则对∀x 1∈[0，2]，∃x 2∈[0，2]，使得f （x 2）=2a-x 1成立，所以F=A ，分情况讨论t 的取值范围，能求出实数t 的值．
【解答】：解：（Ⅰ） ① 函数f （x ）=2x 不具有性质P （0）．理由如下： 对于a=0，x 1=1，∵ 1+2x 2
2
＞0 ，x 2∈R ， ∴不存在x 2∈R 满足
x 1+f (x 2)
2
=0， ∴函数f （x ）=2x 不具有性质P （0）．
② 函数f （x ）=log 2x ，x∈（0，1）具有性质P （0）．理由如下： 对于∀x 1∈（0，1），取x 2= 2−x 1 ，则x 2∈（0，1）， ∵
x 1+log 2x 22 = x 1−x 1
2
=0， ∴函数f （x ）=log 2x ，x∈（0，1）具有性质P （0）．
（Ⅱ）“f （x ）存在零点”是“2∈D”的必要而不充分条件．理由如下： （i ）若f （x ）存在零点，令f （x ）=3x-1，x∈[0，1]，则f （ 1
3 ）=0， ∵∀x 1∈[0，1]，取x 2=1- 1
3x 1 ，则x 2∈[ 2
3，1 ]，且 x 1+f (x 2)2 = x 1+2−x 1
2
=1， ∴f （x ）具有性质P （1），但2∉[0，1]． （ii ）若2∈D ，∵f （x ）具有性质P （1）， 取x 1=2，则存在x 2∈D ，使得
x 1+f (x 2)2 = 2+f (x 2)
2
=1， ∴f （x 2）=0，∴f （x ）存在零点x 2，
综上，“f（x）存在零点”是“2∈D”的必要而不充分条件，
故答案为：必要而不充分条件．
（Ⅲ）记函数f（x）=tx2+x+4，x∈[0，2]的值域为F，函数g（x）=2a-x，x∈[0，2]的值域为A=[2a-2，2a]，
∵存在唯一的实数a，使得函数f（x2）=2a-x1成立，∴F=A．
（i）当t=0时，f（x）=x+4，x∈[0，2]，其值域F=[4，6]，
由F=A，得a=3．
（ii）当- 1
4
≤t，且t≠0时，f（x）=tx2+x+4，x∈[0，2]是增函数，
∴其值域F=[4，4t+6]，
由F=A，得t=0，舍去．
（iii）当- 1
2≤t＜−1
4
时，f（x）=tx2+x+4，x∈[0，2]的最大值为f（- 1
2t
）=4- 1
4t
，最小值为
4，
∴f（x）的值域为F=[4，4- 1
4t
]．
由F=A，得t=- 1
8
，舍去．
当t＜- 1
2时，f（x）=tx2+x+4，x∈[0，2]的最大值为f（- 1
2t
）=4- 1
4t
，最小值为f（2）=4t+6，
∴f（x）的值域为F=[4t+6，4- 1
4t
]，
由F=A，得t= −2−√3
4（舍去t= −2+√3
4
）．
【点评】：本题考查函数性质的判断，考查充分条件、必要条件、充要条件、实数值的求法，考查函数性质、最值、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
20.（问答题，0分）2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖．屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了疟疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康、减少病痛发挥了难以估量的作用．
当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效．后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用．已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓
度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值．人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变，现用t 表示时间（单位：h ），在t=0时人体服用青蒿素药片；用C 表示青蒿素的血药浓度（单位：μg/ml ），根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C 是t 的函数．已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值．请根据以上描述完成下列问题：
（Ⅰ）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是 ___ ；
① C （t ）= {0.2t ，
0≤t ＜1.5，0.75−0.3t ，t ≥1.5． ② C （t ）= { −15t 2+25t ，0≤t ＜1.5，940−120t ， 1.5≤t ＜4.5，0，t ≥4.5．
③ C （t ）= {0.3e t −0.3，0≤t ＜1.5，0.3ln (2.5)t
，t ≥1.5． ④ C （t ）= {0.2ln (t +1)，0≤t ＜1.5，0.3ln (2.5)t ，t ≥1.5
（Ⅱ）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1μg/mL ，则称青蒿素药片是合格的．基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片 ___ ；（填“合格”、“不合格”）
（Ⅲ）记血药浓度的峰值为C max ，当C≥ 12 C max 时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间是 ___ ．
【正确答案】： ④ ; 合格; 3−−2+√102=(4−√102
)ℎ 【解析】：（Ⅰ）先分析函数C （t ） 同时满足的条件，再逐一对每个函数进行验证； （Ⅱ）作差比较进行判断；
（Ⅲ）令C （t ）≥0．ln2.5，分段解不等式，再取并集即可求解．
【解答】：解：（Ⅰ）根据题意，得函数C （t ）同时满足以下条件：
A ．函数C （t ）在[0，1.5）上单调递增，在（1.5，+∞）上单调递减；
B ．当t=1.5时，函数
C （t ）取得最大值；函数C （t ）的最小值非负；
C ．函数C （t ）是一个连续变化的函数，不会发生骤变． 选择 ① ： C (t )={0.2t ，0≤t ＜1.5
0.75−0.3t ，t ≥1.5 ，
因为C （3）=0.75-0.3×3=-0.15不满足条件B ，
所以 ① 不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择 ② ：C （t ）= {
−15t 2+25t ，0≤t ＜1.5，940−120t ， 1.5≤t ＜4.5，0，t ≥4.5． 当0≤t ＜15时， C (t )=−15t 2+25−−15(t −15)2+15 ， 当t=1时，函数C （t ）取得最大值，不满足条件B ，
所以 ② 不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择 ③ ： C (t )={0.3c i −0.3，0≤t ＜1.50.3ln (2.5)t
，t ≥1.5 ， 因为 0.3e 1.5−0.3=0.3(e 1.5−1)＞0.3×(21.5−1)=0.3×(2√2−1)＞0.54 ， 0.3ln (2.5)1.5＜0.3lne 1.5=0.2 ，
所以不满足条件C ，
所以 ③ 不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择 ④ ： C (t )={0.2ln (t +1)，0≤t ＜1.50.3ln (2.5)t
，t ≥1.5 ， 因为 0.2ln (1.5+1)=0.2ln2.5=
0.3ln (2.5)1.5
， 且当t≥1.5时，C （t ）＞0，
所以C （t ）同时满足三个条件，
即 ④ 能描述青蒿素血药浓度变化过程；
综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是 ④ ．
（Ⅱ）由 （Ⅰ）得：函数 ④ ： C (t )={0.2ln (t +1)，0≤t ＜1.50.3ln (2.5)t
，t ≥1.5 ， 因为 0.2ln2.5−0.1=0.1(2ln 52−1)=0.1ln 254e ＞0 ，
即血药浓度的峰值大于0.1μgml ，
所以此青蒿素药片合格，
即答案为：合格；
（Ⅲ）当0≤t ＜1.5时，令0.2ln （t+1）≥0．ln2.5，
所以ln（t+1）2≥ln2.5，即(t+1)2≥5
2
，
即2t2+4t-3≥0，
解得t≥−2+√10
2或t≤−2−√10
2
，
即−2+√10
2
≤t＜1.5
当t≥1.5时，令0.3ln2.5
t
≥0.1ln2.5，
则3
t
≥1，
解得t≤3，
即1.5≤t≤3；
综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间为3−−2+√10
2=(4−√10
2
)ℎ．
【点评】：本题考查了函数模型在实际中的应用，属于中档题．。