物理竞赛电磁学

间距不变）缓慢地移动到无穷远处，
其余固定的点
电荷位置不变，试求外力作功量A.
Q
-Q
a
W互
1 2
qiUi i
-Q Q
Q -Q
1）Q，- Q所在处的电势
U
2 Q
4 oa
2 Q
4 o
Q
3a 4 o 2a
U
2
Q
4 oa
2
Q
4 o
3a
Q
4 o 2a
U
W
1 2
3QU
3
Q U
3QU
第二十三页
Q2 (3 4 )
4 0a
3
无穷远处一对电荷间的电势能
第二十四页
W2
Q2
4 0a
例：半径为R无限长半圆柱导体上均匀地流过电流I, 求半
圆柱轴线（原圆柱体的中心轴线）处的磁感应强度B.
y
解：电流密度j I 2I
1 R 2 R 2
dB
2
dθ θ
1) 选取电流元 r r+dr, d
X
dI jrd dr
B _
DB S DAS 自S
0 B EB 0 AEA 自
代入E E dS
A, EB得： 自
10（q自 q束）
（ 0 A B B A )V Bd A AdB
（0 EBS EAS) (自 束）S （0 EB EA ) 自 束
束
0V
B ( A 1) A ( B Bd A AdB
第六页
D内 x D2 d2 D1 d1
板外：
E1
D1
1
d1 1
方向向左
A
1
E2
D2
2
d2 2
方向向右
l
b
2
B
l
E1, E2均由相同自由电荷和束 缚电荷产生
E1 E2
d1 d2
1 2
d1 d2 b
d1
1b 1 2
d2
2b 1 2
板外：
E1
b 1 2
E2
b 1 2
第七页
2）U AB E AB AB
略去静电平衡经历的时间，不计带电小球 P 对电容器极板电 荷分布的影响，则 P 将经 t = —时间与电容器的一个极板相
碰。
解：拆去电源后，将介质抽出，过程中总Q不变，分布变
设：小球 m, q, 极板 S, Q, 场强E0, E
.P
场强变化，P受力变化，关键求E
C0
Q U
Q 2dE0
0 S
2d
2 0 r S
WA
1 2
0
A
E
2 A
Sd
A
0 A B2V 2Sd A 2( Bd A Ad B )2
WA
1 2
0
B
E
2 B
Sd
B
0 B A2V 2Sd B 2( Bd A Ad B )2
第十六页
（电荷3）面电密+介度质束A和B的交界面上的D 自 d由S 电q荷自面密度自和束缚
A
由对称性，D垂直于上下表面指向下 ，
F
mg
E2q
mg
r
2 r
1
E1q
r 1 mg
2 r
F ma a r 1 g 方向向下 2 r
第十二页
例：如图，板间距为 2d 的大平行板电容器水平放置，电容
器的右半部分充满相对介电常数为 r 的固态电介质，左 半部分空间的正中位置有一带电小球 P，电容器充电后
P 恰好处于平衡位置，拆去充电电源，将电介质快速抽出，
1)
第十七页
例：球形电容器的两个极为两个同心金属球壳，极间充满均 匀各向同性的线性介质，其相对介电常量为r .当电极带电 后，其极上的电荷量将因介质漏电而逐渐减少。设介质的电
阻率为，t=0时，内外电极上电量分别为±Q0 ,求电极上 电量随时间减少的规律Q(t)以及两极间与球心相距为r的
任一点处的传导电流密度j(r,t).
④ ……
CQ V
L I
第三页
例：在xoy面上倒扣着半径为R的半球面上电荷均匀分布，
面电荷密度为。A点的坐标为(0, R/2)，B点的坐标为
(3R/2, 0)，则电势差UAB为——。
由对称性
R
UA
1 2
U
A整
1 2
Q
4 0 R
R 2 0
oA C
Q为整个带电球面的电荷
B
y
x
此题也可从电场的角度考虑
3）求投影合
dB 0 dI 0 I drd
B x 0 (由对称性）
2r 2 R 2
2) 另选电流元如图
B y dB y
R
00
0I 2R2
sin drd
2 0 I 2R
dB x dB cos dB y dB sin
第二十五页
例：一半径为 a 的导体球，以恒定速率 v 运动，球面 上均匀分布着电荷 Q , 设 v《 c（真空光速）， 求: 导体内外的磁场分布。
d2
E1l E内dx E2l
d1
A 1
lb
2
B
l
d
2 2
d12
2 0
b2 2 0
2 2
1 1
第八页
例：无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度为 0 ， 现在导体板两侧分别充以介电常数 1 与 2 （ 1 2）的均 匀电介质。求导体两侧电场强度的大小。
解：充介质后导体两侧电荷重
电空间，如图示有一质量为m，电量为q( < 0 )的点电荷在 带电板的边缘自由释放，在只考虑电场力不考虑其它 阻力的情况下，该点电荷运动到中心对称面oo的时间
是多少？
o
解：E 2S 1 2x S E x
>0
d
q< 0
0
q受的电场力
0
F qE q x (q 0)
0
x 此式与弹簧振子受力规 律相同F kx
缚电荷面密度束。
+
解： 电容器损耗的功率 P V 2
A
R
B _
R dA dB
AS BS
第十五页
（2）电介质A和B中的电场能量WA 和 WB
稳定后电介质A和B中的电流密度相等
AEA BEB
EAd A EBdB V
由上两式解出：
EA
BV BdA
Ad B
EB
Bd A
AV
Ad B
2的电介质，如图。
求：1）板内外的电场强度
2）A, B两点的电势差
A 1
lb
2
B
l
x
d1 d2.
板内：
E内
D内
0
x 0
解：设 E=0 的平面 MN 距左侧 面为 d1 , 距右侧面为 d2 .
据对称性, E垂直MN指向两侧
1) 求 D, E
板内：D内S Sx 板外： D2S Sd2
D1S Sd1
(2)
(2)
U 21为q1的电场在q2所在处的电势
同理： 写成对称形式：
W互 q1 U12
W互
12（q1U12
q2U
）
21
第二十页
三个点电荷：
W互 q2 (U21 U23 ) q3U31
1 2
(q2U 21
q1U12
)
1 2
(q2U 23
q3U 32 )
1 2
(q3U 31
q1U13 )
o
q以oo为中心，在两平面内做简谐振动
k q k q
0
m 0m
第十页
T 2
tT 4
例：一直流电源与一大平行板电容器相连，其中相对介电常数
为 r 的固态介质的厚度恰为两极板间距的二分之一，两 极板都处于水平位置，假设此时图中带电小球P恰好能处
于静止状态，现将电容器中的固态介质块抽出，稳定后试求
U AB
U AC
1 2
U
AC
整
1 2
1Q
R
C A
UB
U AB
E整 dr
2
1 2
4 0
3R 2
UA UB
3R
2Q
R 4 0r 2
3 0 R
6 0
dr R 6 0
第四页
例：三等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分布
等量同号电荷，测得图中P，Q两点（均为相应正三角形
的重心）的电势分别为UP 和 UQ 。若撤去BC棒，则P，Q 两点的电势为U´P =——， U´Q =——。
远时，电场力作的功。
只有一个带电体：
1
W
W自
2
q
Udq
多个带电体： 总静电能：
W W自i W互ij
iLeabharlann Baidu
i j
第二十二页
例：在每边长为a的正六边形各顶点处有固定的点电荷， 它们
的电量相间地为Q 或 – Q.
1）
试求因点电荷间静电作用而使系统具有的电势能W 2）若用
外力将其中相邻的两个点电荷一起（即始终 保持它们的
1 2
q1 (U 12
U13 )
1 2
q2 (U 21
U 23
)
1 2
q3
(U
31
U
13
)
1 2
(
q1U
1
q2U 2
q3U3 )
推广至一般点电荷系： W互
1 2
qiUi i
Ui ：除 qi 外，其余点电荷在qi 所在处的电势。
第二十一页
二、 连续带电体的静电能（自能） 静电能W：把电荷无限分割并分散到相距无穷
j
I
rˆ
1
dQ rˆ
4r 2
4r 2 dt
j
1
4 0 r r 2
1t
Q0e 0 r rˆ
第十九页
电荷系的静电能
一、 点电荷系的相互作用能（电势能）
相互作用能W互：把各点电荷由现在位置分散至
相距无穷远的过程中电场力作的功。
两个点电荷：
W互 q2E1 dl q2 E1 dl q2 U 21
2d
2
两式相比E
1r
2
E0
C Q 0S
2dE 2d
第十三页
qE0
mg
E0
mg q
E 1r
2
E0
1r
2
mg q
抽出后小球受力
F qE mg 1 r
mg
mg
r
1mg
2
2
a F r 1g
m
2
d 1 at 2 2
t
2d a
4d
r 1g
第十四页
例：一平行板电容器中有两层具有一定导电性的电介质
物理竞赛电磁学
第一页
电磁学综述
• （经典）电磁学的基本规律——麦克斯韦方程组
E dS dV
S
V
L
E dl
S
B t
dS
B dS 0
S
L
B dl
0
S
J dS
1 c2
S
E dS t
第二页
• 电磁场理论的深刻对称性——电磁对偶
① 磁单极？
② 平行偶极板和长直螺线管的对偶 ③ 电容和电感的对偶
解：运动电荷的磁场
V
任选一点P，求P点磁场
r0 r
.P
导体球上任选一dq到P点的矢径 r
dB
0dqv rˆ
0
球内
B
0v
Q rˆ0
4 r02
0Q v rˆ0
4r02
球外
B
4r 2
dB
0dqv rˆ
Q
Q 4r 2
B 0v
Q
dqrˆ
4r 2
第二十六页
例：设在讨论的空间范围内有均匀磁场B，在纸平面上 有一长为h的光滑绝缘空心细管MN，管的M端内有一质 量为m , 带电量为q > 0的小球P。开始时P相对管静止，而
新分布，设自由电荷面密度分
1
2
别为0 1 和0 2
由高斯定理：
D1 01 , D2 02
E1
E2
2 0 1 2
E1
D1
1
01 1
E2
D2
2
02 2
对于板外电场，将自由 电荷与束缚电荷一并考 虑
E1 E2
01 02
1
2 第九页
01 02 2 0
例：在两平行无限大平面内是电荷体密度 > 0的均匀带
相对于磁场的合速度 v总2 v 2 u2
第二十七页
例：一球形电容器中间充以均匀电介质，该介质缓
慢漏电，在漏电过程中，传导电流产生的磁场为Bc
，位移电流产生的磁场为Bd，则
解： I dQ U Q
dt R RC
球形电容器的电容： C
4 0 r
r2r1 r2 r1
因电流沿径向流动，总电阻可看成无数
多薄球壳的串联
dQ Q
dt 0 r
R r2 dr r2 r1 r1 4r 2 4 r1r2 第十八页
dQ Q
dt 0 r
1t
Q Q0e 0 r
后管带着P朝垂直于管的长度方向始终以匀速度u运动，那
么，小球P从N端离开管后，在磁场中做圆周运动的半径
为R = ——。（不考虑重力及各种阻力）
N
B
h
P
u
M
解：小球受洛仑兹力作用如图
f quB f ma a f m
v2 2ah 2 fh 2quBh mm
R mv总 mu 1 2qBh qB qB mu
A Q
P
解：设AB, BC, CA三棒对 P点的电
势及AC对Q点的电势皆为U1
AB, BC棒对Q点的电势皆为U2
B
C
撤去BC棒
U p 3U1
U1
1 3UP
UQ 2U 2 U1
U2
1 2 UQ
1 6UP
U P
UP
U1
2 3UP
U Q
UQ
U2
1 2
UQ
1 6
U
P
第五页
例：厚度为b的无限大平板内分布有均匀体电荷密度 （>0）的自由电荷，在板外两侧分别充有介电常数为1与
A和B，它们的相对介电常数、电导率和厚度分别为A,
A, dA, B, B, dB ;且 dA+dB =d, d为平板电容器的两块极板之 间的距离。现将此电容器接至电压为V的电源上（与介质A
接触的极板接电源正极），设极板面积为S, 忽略边缘效应，
试求稳定时
（1）电容器所损耗的功率P；
（2）电介质A和B中的电场能量WA和WB； （3）电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度自和束
带电小球P在竖直方向上运动的加速度a的方向和大小。
解：P处于平衡状态，则其带负电
由于始终与电源相连，U一定
UEFa
P
有介质：U
E1d
E1 εr
d
εr εr
1
E1d
E1
r r
1
U d
第十一页
无介质：U E2 2d
E2
U 2d
r 1 2 r
E1
E1
初始时P平衡：E1q mg
抽掉介质后，P受合力向下：
3Q 2 (
4 0a
2 5) 32
2) 外力作功量A.
Q
-Q
a
A W W末 W初
-Q
Q
余下四个点电荷系统的电势能
Q
-Q
W1
QQ
4 0a
Q Q
4 0 3a
QQ
4 0 2a
Q
Q
QQ
QQ
4 0a 4 0 3a 4 0a A W1 W2 W
Q2
4 oa
2 3
7 2