广西柳州铁路第一中学2015-2016学年高一数学下学期段考(期中)试题

某某铁一中学2015－2016学年第二学期高一年级段考
数学科试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
{}x y x M ln ==，{}82≤=x x N ，则N M =( )
A.φ
B.{}30|≤<x x
C.{}3|≤x x
D.{}3|<x x 2.⎪⎭
⎫
⎝⎛-35sin π的值是（ ） A.
12 B.12- C.32 D.32
- 3.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）
A.25
B.26
C.27
D.42
5.函数2
()ln(1)f x x x
=+-的零点所在的大致区间是（ ）
A.()2,1
B.()1,0
C.（2,e ） D ．（3,4）
6.已知某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表所示,从散点图分析，y 与x 线性相关,且∧
∧
+=a x y 95.0，则据此模型预报广告费用为6万元时销售
额为( )
A.2.6万元
B.7.3万元
C. 8.3万元
D.
()x x a ka x f --=（0>a 且1≠a ）在R 上是奇函数，且是增函数，则函数()()k x x g a -=log 的大致图象
是( )
A. B ． C. D ．
8.给出下列结论：①若BC AD =,则ABCD 是平行四边形；②2
5cos sin 77ππ<2tan 7
π<；③若c b b a //,//，
x （万元）
0 1 3 4 y （万元）
6.7
则c a //b
b a
a =
,则b a =．则以上正确结论的个数为（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
=342sin πx y 的图象向右平移()0>ϕϕ个单位长度，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（ ）
A.
6π B.32πC.65πD.12
5π 02sin =++y x α的倾斜角的取值X 围是( ) A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,2 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,4ππD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43
11.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为
θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是
1
25
，则θtan 的值是（ ） A.
43 B ．43- C.34D ．3
4- 1111D C B A ABCD -的一个面1111D C B A 3A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则正方体1111D C B A ABCD -的体积为（ ）
A.22
B.33
C.23．1 二、填空题：本题共4小题，共20分.
31tan -=α，则=-+α
αα
αsin cos 5cos 2sin ．
概率是10
1
，则总体中的个体数是．
15.在区间[]4,2-上随机地取一个数x ，若x 满足m x ≤的概率为5
6
，则=m ________．
16.已知圆()()1021122:2
2
≠=+----+a a y a ax y x C 对所有的R a ∈且1≠a 总存在直线l 与圆C 相
切，则直线l 的方程为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17．（本题满分10分）已知角θ的终边经过点()2,-a P ，且5
4
cos -
=θ． （1）求θθtan ,sin 的值； （2）求
()()⎪
⎭
⎫
⎝⎛+-+⎪
⎭⎫
⎝⎛++-θπθπθπθπ2sin cos 2cos 2sin 的值．
18．（本题满分12分）
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[120，130）内的频率；
（2）根据频率分布直方图估计本次考试数学成绩的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．
19.（本题满分12分）
已知函数()()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
∈>>++=2,2,0,02sin ππϕωϕωA k x A x f 的最小正周期为2π,函数的值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-23,21，且当6π=x 时，函数()x f 取得最大值23。

(1)求()x f 的表达式，并写出函数()x f 的单调递增区间；
(2)求函数()x f 在区间0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的取值X 围．
20.（本题满分12分）
如图，ABC ∆中，O 是BC 的中点，AB AC =，22AO OC ==．将BAO ∆沿AO 折起，使B 点与图中B '点重合．
（1）求证：OC B AO '⊥平面；（2）当三棱锥AOC B -'的体积取最大时，求二面角O C B A -'-的余弦值；
（3）在（2）的条件下，试问在线段A B '上是否存在一点P ，使CP 与平面B OA '所成的角的正弦值为3
5
？证明你的结论,并求AP 的长。

21.（本题满分12分）已知函数4()f x ax x
=+
． （1）从区间(2,2)-内任取一个实数a ，设事件A ={函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零
点}，求事件A 发生的概率； （2）当0,0>>x a 时，()a x
ax x f 44
≥+
=．若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）得到的点数分别为a 和b ，记事件B ={2()f x b >在(0,)x ∈+∞恒成立}，求事件B 发
生的概率．
22.（本题满分12分） 已知()a x a x f -+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=14sin 2π()R x ∈．
（1）当[0,
]2
x π
∈时，恒有|()|2f x ≤，某某数a 的取值X 围；
（2)若()0=x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡43,
0π上有两个不同的零点，某某数a 的取值X 围． 某某铁一中学2015－2016学年第二学期高一年级段考数学科答案
一、选择题： BCBCA CABDD AA 二、填空题：
16
5
100301=-+x y 三、解答题：
17.解：解：（1） 5
4
cos -
=θ，且过()2,-a P ，∴θ为第三象限的角……2分 53cos 1sin 2-=--=∴θθ……4分43
cos sin tan ==θθθ……6分
（2）
()()8
3cos 2sin cos cos sin 2sin 2sin cos 2cos 2sin ==---=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-+⎪
⎭⎫
⎝⎛++-θθθθθθθπθπθπθπ……10分
18.（1）3.005.025.0215.01.01=--⨯--…3分
(2)12105.014525.01353.012515.011515.01051.095=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…7分
(3)将分数段在[)120,110的学生编号为12,b b ，[)130,120的编号为1234,,,a a a a ．从6人中任选两人有包含以下基本事件：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b a b ，
23242122(,),(,),(,),(,)a a a a a b a b ，343132(,),(,),(,)a a a b a b ，4142(,),(,)a b a b ，12(,)b b 共15个基本事
件，……………10分
至多有1人在分数段[120，130）内包含9个基本事件，所以所求概率为
5
3
159=．…12分
19.(1) 函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21，0>A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-=+-=+∴21
23k A k A …………2分
⎪⎩
⎪
⎨⎧==∴21
1
k A 又222πωπ=2=∴ω…………3分 当6
π
=
x 时，函数()x f 取得最大值
232264ππϕπ+=+⨯∴k 又⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈2,2ππϕ 6π
ϕ-
=∴()2164sin +⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=∴πx x f …………5分
于是由2k π－
2π≤4x －6π≤2k π＋2π
，解得212k ππ－≤x ≤
2
k π＋6π(k ∈Z)．所以f(x)的增区间为21226k k ππππ⎡⎤
+⎢⎥⎣
⎦－，(k ∈Z)．…………8分 (2)因为x ∈0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，所以4x －6π∈7,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，…………9分 所以sin 46x π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭∈1,12⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦，所以f(x)∈30,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 故f(x)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值X 围是30,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
…………12分 20.（1）
AB AC O BC =且是中点，
AO BC ∴⊥即AO OB AO OC '⊥⊥，，
又∵OB OC O AO B OC ''=∴⊥，平面；…………3分
（2）在平面B OC '内，作B D OC '⊥于点D ，则由（Ⅰ）可知B D OA '⊥ 又OC OA O =，B D OAC '∴⊥平面，即B D '是三棱锥B AOC '-的高， 又B D B O ''≤，所以当D 与O 重合时，三棱锥B AOC '-的体积最大， 过O 点作OH B C '⊥于点H ，连AH ，由（Ⅰ）知 AO B OC '⊥平面，B C B OC B C AO '''⊆∴⊥又平面，
AO OH O B C AOH B C AH ''=∴⊥∴⊥，平面， AHO ∴∠即为.A B C O '--二面角的平面角
2AOH Rt AO OH AH ∆=∴=中，，，1cos 3
OH AHO AH ∴∠==
1A B C O --故二面角的余弦值为
1
3
…………7分
（3）连接OP ,在（2）的条件下，易证⊥OC 平面B OA '，
∴CP 与平面B OA '所成的角为CPO ∠35sin ==
∠∴CP OC CPO 5
3
=∴CP 又
在
'
ACB ∆中
，
2
103523
sin 'CP
C AB ===∠'AB CP ⊥∴()5
522
2
'=
-=
∴CP
P B 55
4=∴AP …………12分
21.（1）
函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点，
∴()20f x -=，即2240ax x -+=有两个不同的正根1x 和2x
12120
20
40
4160a x x a
x x a
a ≠⎧⎪
⎪+=>⎪∴⎨⎪=>⎪⎪∆=->⎩
104a ⇒<< 4分
1
1
4()416
P A ∴== 6分
（2）由0,0a x >
>，()f x
≥min ()f x
∴=
()2b x f >在()0,x ∈+∞
恒成立2b ∴>()* 8分
当1a =时，1b =适合()*；
当2,3,4,5a =时，1,2b =均适合()*； 当6a =时，1,2,3b =均适合()*；
满足()*的基本事件个数为18312++=． 10分 而基本事件总数为6636⨯=， 12分
121()363
P B ∴=
=． 22.由(0)1
111()12f a c a b b c c a f π=⎧+==⎧⎧⎪
⇒⇒⎨⎨⎨+==-=⎩⎩⎪⎩
从而()sin()(1)
4f x x a π=++- （1）
[0,]2
x π
∈，sin()124x π≤+≤ ①当0a =时，()1f x =，满足题意
②当0a
>时，1()1)1f x a ≤≤+
由|()|2f x ≤
，有1)12a +≤
，即01a <≤
③当0a <
时，1)1()1a f x +≤≤
由|()|2f x ≤
，有1)12a +≥-
，即1)0a -≤<
综上所述，实数[1]a ∈-. （2）由()014sin 2=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
a x a x f π知14sin 2-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+a x a π
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈43,0πx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴πππ,44x
()0=x f 有两个不同的零点∴根据函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=4sin πx y 的图像
当0>a 时，⎪
⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
1,2
24sin πx ，∴[)
a a x a 2,4sin 2∈⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+π ∴a a a 21<-≤φ∈∴a
当0<a 时，(
]
a a x a ,24sin 2∈⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
∴π
a a a ≤-<∴1221--<∴a
综上所述，实数21--<a .。