【原创】相似三角形的分类讨论问题

∴ BP 2或 BP 12
故综上，当BP= 28 或 BP=2 或 BP=12 时，△ABP与△PCD相似
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按不同的对 应边分类
1.点P是△ABC边AB上一点，过P作直线（不 与AB重合）与AC相交于Q点，使得△APQ与 △ABC相似，则满足条件的直线PQ有几条。
A
﹒P Q
B C
2条
A
﹒P
Q
A
﹒D C B
解：存在D点，使△ADC ∽△ACB， 理由如下： △ADC ∽△ACB
AC AD AB AC
AC2 AD • AB 即36 = 9AD． AD = 4．
1.如图，已知△ABC中，AC=8，AB=15， 在AB上取一点D,使得AD=3。若在AC上取一 点E，使得△ADE和△ABC相似，求出AE的长。
相似三角形中的分类讨论
如果一个三角形的三边长分别为5,12,13，与 其相似的三角形的最长边是39，那么较大的三角 形的周长是多少？
变式训练:
如果一个三角形的三边长分别为5,12,13， 与其相似的三角形的一边是39，那么较大的 三角形的周长是多少？
2.如图，已知△ABC中，AC=6，AB=9，问： 边AB上是否存在一点D,使得△ACD∽△ABC， 如果存在，请求出AD的长。
﹒A
D
E
△ADE和△ABC
AD AE AB AC
C
B
﹒A
D E C
B △AED和△ABC
AD AE AC AB
2.如图，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=6 BC=14，P为BC上一点，试问BP为何值时， △ABP与△PCD相似？
A
B
P
D
（1）当 △ABP∽△DCP时
∴ AB BP DC CP
C A
D B
2. 如图，在Rt△ABC中∠C=90°，BC=6， AC=8，点P是AB的中点，点Q是折线BCA上的 一个动点，线段PQ把Rt△ABC分成两部分， 问点Q在什么位置时，分割得到的三角形与 △ABC相似？画出所有符合要求的线段， 并求PQ的长。
C Q
A
P
B
1.分清研究对象 2.确定分类标准，适当分类 3.分类原则：不重复，不遗漏 4.归纳小结，得出结论
∴△CDE∽△CBA，
C
CD CE CB CA
3 t 2t 36
解得t=1.5
如图，在△ABC中，AB=AC=6cm,BC＝3cm,点D 从B沿BC向点C以１cm/s的速度移动，点Ｅ从Ｃ沿 CA向点A以2cm/s的速度移动，如果D、E分别从B、 C同时出发，经过几秒后，△CDE和△ABC相似？
A
E
BD
C
如图，在△ABC中，AB=AC=6cm,BC＝3cm, 点D从B沿BC向点C以１cm/s的速度移动，点 Ｅ从Ｃ沿CA向点A以2cm/s的速度移动，如果 D、E分别从B、C同时出发，经过几秒后， △CDE和△ABC相似。
A E
BD
解：设t秒后△CDE与△ABC相似， 由题意得：BD=t，DC=3－t，CE=2t 当∠A=∠CED时， 又∵ ∠C=∠C
解：设t秒后△CDE与△ABC相似， A 由题意知BD=t，DC=3－t，CE=2t
当∠A=∠CDE时， ∵ ∠C=∠C E ∴△CDE∽△CAB，
CD CE 3 t 2t，解得t=0.6
BD
C
CA CB
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思考1：如图，∠ABC=∠BDC=90°，BD=3， CD=4，当△ABC和△BCD相似时，求AC的 长？
B C
1．如图P是Rt△ABC斜边AC上任意一点（除 A）过P作直线截△ABC使得截的三角形与原 三角形相似，请问满足条件的直线有几条？
A
﹒P
A
﹒P
A 3条
﹒P
B
C B
CBiblioteka Baidu
B
C
按不同的对 应角分类
如图，在△ABC中，AB=AC=6cm,BC＝3cm, 点D从B沿BC向点C以１cm/s的速度移动，点 Ｅ从Ｃ沿CA向点A以2cm/s的速度移动，如果 D、E分别从B、C同时出发，经过几秒后， △CDE和△ABC相似？
C
设BP=X
∴ 4 x 6 14 x
∴
x 28 5
如图，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=6，
BC=14，P为BC上一点，试问BP为何值时，
△ABP与△PCD相似。 （2）当 △ABP∽△PCD时
D
∴ AB BP
PC CD
A
设BP=X
B
P
C
∴
4 x 14 x 6
∴ x1 2, x2 12
THANKS