古塔变形问题中弯曲情况的数学分析方法

古塔变形问题中弯曲情况的数学分析方法
本文针对2013年全国大学生数学建模竞赛中古塔的变形中的弯曲问题，应用曲率的知识，分析其挠度，给出了弯曲变形情况的数学分析方法。

标签：古塔变形；曲率；挠度；拟合
一、相关问题
某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。

管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。

根据提供的观测数据，分析该塔的弯曲变形情况。

二、古塔的弯曲情况的分析
1.预备知识。

梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。

可以把古塔看成一个建筑上的梁，同样是相同的立体图形其中梁平面弯曲时其变形特点是：梁轴线既不伸长也不缩短，其轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，我们可以把古塔的中心线看做一个梁的一个面的投影求解。

2.问题的解决方法。

对一般的观测经验可知，首先在建筑物的周围建立一个局部坐标系，根据墙面积的大小来确定观察点的个数，用无反光棱镜全站仪进行坐标的观测。

对该古塔的弯曲，主要从各层中心点考虑整体趋势，利用中心的坐标可以画出古塔中心线主视图、俯视图、侧视图。

观察对古塔中心线可以看出：
（1）主視图只显示的是中心的扭曲情况，如果主视图显示的一条直线，则可以认为该古塔没有发生扭曲，否则发生了扭曲。

即古塔的外形发生扭曲变形。

（2）侧视图和主视图只显示了在xoz，yoz 的关系程度，如果该图显示的是一条垂直的直线，则没发生倾斜和弯曲，否则可以认为该中心线发生了倾斜和弯曲。

即古塔发生弯曲和倾斜。

首先任意选取一个平面来分析画古塔的是否弯曲，可以选取平面，用拟合和曲率来刻画古塔的弯曲建立模型为：
选取二次函数为拟合函数，求出的各监测时间的函数为：
由模型可以求出各年各点曲率变化函数：
根据各年的各古塔曲率函数和各古塔的中心点，就可以得到各中心点的曲率值，进而算出弯曲程度。

参考文献
[1]王有良.高层建筑倾斜变形数据处理.测绘学，33-2：3，2008
[2]《建筑物沉降观测方法》DGJ32/J18-2006
[3]《建筑变形测量规范》JGJ8-2007。