第2章—拉普拉斯变换的数学方法
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0
f t f t se st dt
27
若f(t)的二阶、三阶、……，各阶导函数存在，则：
L f n t s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 0 f n 1 0
2.1 复数和复变函数
2. 复数的表示方法 （1） 点表示法
复平面
10
2. 复数的表示方法
（2） 向量表示法 模
s r 2 2
辐角 arctan
（3） 三角函数表示法和指数表示法
r cos
三角函数表示法
r sin
cos j sin
0
14
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
s为复数，s = σ + jω，称f(t)为原函数，F(s)为象函数。 拉氏变换F(s)存在条件：
(1) 在任一有限区间上， f(t)分段连续， (2)被积函数 f(t)e-st 绝对值收敛， 只有有限个间断点 即f(t)e-σt绝对可积
23
3. 周期函数的拉氏变换
设函数f(t)是以T为周期的周期函数，即f(t+nT)=f(t) ，n为整数。 则f(t)的拉氏变换为： L f t f t e st dt
0
f t e dt
T st 0
2T
T
f t e dt
st
L f at f e
0
s a
1 1 1 s a d f e d F a a 0 a a
s
26
6. 微分定理
若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且其一阶导函数f’(t)存在，则
L f t sF s f 0
4
拉普拉斯变换有什么用？
已知小车初始位置y(0)=y0，求小车的位移？
my (t ) ky (t ) 0
y(t) k m
y(0)=y0
y (t ) y0 cos n t y0 cos k t m
5
什么是拉普拉斯变换？
拉普拉斯(Laplace)变换是工程数学中常用的一种积分变换 ，简称拉氏变换， 将实变量函数变化为复变量函数 线性变换，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。 时域 常微分方程
2
2
2
2
2.1 复数和复变函数
3. 复变函数的概念
K ( s z1 ) ( s zm ) G( s) ( s p1 ) ( s pn )
当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm 为G(s)的零点； 当s＝p1,…,pn时，G(s)=∞，则称p1,…,pn 为G(s)的极点。
13
2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
1、拉氏变换
傅里叶级数
幂级数
a e
n
jn0t
F (t )
a x
nHale Waihona Puke 0n A( x)
傅里叶变换
拉氏变换
f (t ) e-jt dt F ( )
有时间函数f(t)，t≥0，则f(t)的拉氏变换记作：
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
当取 a
lim f t e t 0
t
jω
f t e t 绝对可积
σ
Re(s)>a：拉氏变换的定义域
图2-4 拉氏变换定义域
16
2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
2、拉氏反变换
已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t) 的过程称作拉氏反 变换，记作：
f(0+)为由正向使t→0时的f(t)值。 证明： 根据分部积分法
(2-8)
udv uv vdu
0
令e-st = u，f(t) = v，则dv = f’(t)dt ，所以
L f t f t e st dt
e
st 0 0 st
s f t e dt f 0 sF s f 0
7
提 纲
2.1 复数和复变函数
2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义
2.3 典型时间函数的拉氏变换
2.4 拉氏变换的性质
2.5 拉氏反变换的数学方法
2.6 用拉氏变换解常微分方程
8
2.1 复数和复变函数
1. 复数的概念
s j
实部 虚部
Re( s)
Im(s)
j 1
9
×
时域解
线性方程
复频域
复频域解
6
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
一、知识体系
1.拉氏变换与拉氏反变换的定义及性质
2.典型时间函数的拉氏变换 3.拉氏反变换的数学方法
4.用拉氏变换解常微分方程
二、知识重点
1. 常用时间函数的拉氏变换 2. 部分分式法求原函数 3. 拉氏变换的主要性质
三、本章难点
部分分式法求原函数
拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－ 1827)，法国数学家和天文学家。
天体力学、概率论、气象学……
1773年，将牛顿万有引力定律应用于太阳系 1784年，拉普拉斯方程，势函数
1814年，提出“拉普拉斯妖”假设
1812年，《概率的分析理论》中导入拉普拉 斯变换(Laplace Transform) ，之后被用于 解决诸多工程领域的微积分问题。
机械控制工程理论基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
李靖祥 讲师
jxli.xjtu@
1
时域
sin(2 t ) sin(4 t )
频域
2
傅里叶变换
傅里叶级数
f (t ) e-jt dt F ( )
幅值 频率 f 角频率 ω=2πf
时间 t
3
拉普拉斯变换的历史背景
at
n! Le t s a n 1
at n
25
5. 相似定理
设f (t )的拉氏变换为F(s),对于任意常数a, 1 s 有 L[ f (at )] F ( ) (2 - 7) a a
证明：
L f at f at e stdt
0
令at =τ，则得：
j
s r cos j sin
j
欧拉公式 e
指数函数表示法 s re
11
2.1 复数和复变函数
3. 复变函数的概念 • 对于复数 s j
，若以该复数s为自变量，按某一确定法 则构成的函数G(s)成为复变函数。
G(s) u jv
u，v分别为复变函数的实部和虚部。在线形控制系统中，复变函数 G(s)是s的单值函数，对应于s的一个给定值，G(s)是唯一地被确定。
单位斜坡函数
t
tn
正弦函数 sin t
s2 2
s s2 2
19
幂函数
n ! 余弦函数 cos t s n 1
牢记：表2-1 拉氏变换对照表！
2.4 拉氏变换的性质
1. 线性性质－线性变换
已知函数f1 (t )，f 2 (t )的拉氏变换分别为F1 ( s)，F2 ( s)，若有常数K1，K 2， 则L[ K1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K1 L[ f1 (t )] K 2 L[ f 2 (t )] K1 F1 ( s) K 2 F2 ( s)
(2-3)
20
2. 实数域的位移定理（延时定理）
若f(t)的拉氏变换为F(s)，则对任一正实数a，有：
L[ f (t a)] e as F (s)
(2-4)
其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延迟a秒的延 时函数，且： f (t a) 0, t a 证明： L f t a f t a e stdt
利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
图2-11 三角波
T s 4 4 s T 4 4 sT 2 2 F ( s ) L[ f (t )] 2 2 2 2 e 2 2 e 2 2 e T s T s T s T s T s 4 2 2 (1 2e 2 e sT ) T s
n 1T
nT
f t e st dt
n 0
n 1T
nT
f t e st dt
令t = t1 + nT，即dt=dt1，t1 = 0时，t = nT
L f t f t1 nT e s t1 nT dt1
T n 0
利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
图2-10 方波
1 1 sT 1 L[ f (t )] e (1 e sT ) Ts Ts Ts
22
例2.4 求图2-11所示三角波的拉氏变换。
图示三角波函数表达为：
T T f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 2 2 4 4 T 4 T 4 2 t 2 (t ) 2 (t ) 2 (t T ) T T 2 T 2 T
L1[ F ( s)]
定义为如下积分：
1 j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s ) e ds 2j j
1
(2-2)
其中：σ为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。
17
2.3 典型时间函数的拉氏变换
1. 2.
1(t ) e at
1 s 1 sa
jω
σ
图2-3 在[a，b]上分段连续
图2-4 拉氏变换定义域
15
(2) 当t→∞时， f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：
f (t ) Meat
式中：M，a均为实常数。
f t e t Me ( a )t
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
例如: 已知 G(s) s 2 1 ，s j ，求复变函数G(s) 实部u和虚部v
G(s) s 1 ( j) 1 ( 1) j 2 u 2 2 1 u ( , ) 12 v 2 v( , )
F (s - a)
( s 0) ( s a) ( s a)
e at f (t )
3.
cos at
sin at
4. 5.
tn
s s2 a2 a s2 a2 n! s n 1
1
( s 0) ( s 0) ( s 0)
(t )
18
2.3 典型时间函数的拉氏变换
拉氏变换 拉氏反变换
证明：
Le
at
f t e
0
at
F s a
f t e dt f t e s a t dt
st 0
应用：
L e sint
at
s a
2
2
sa L e cost s a 2 2
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
1 j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s ) e ds j 2j
1
单位脉冲函数 (t ) 单位阶跃函数
1
1 s 1 s2
指数函数
e
at
1(t )
1 sa
0
0
e
snT
T
0 T
f t1 e st1 dt1 f t e st dt
1 1 e sT
(2-5)
0
24
4. 复数域位移定理
若f(t)的拉氏变换为F(s)，则对任一常数a（实数或复数），有
L e at f t F s a
(2-6)
0
令t - a =τ，则有：
图2-9 延时函数
L f t a f e s a d
0
e
as
e as F s
0
f e s d
21
例2.3 图2-10所示方波的拉氏变换。
图示方波函数表达为：
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 1 1 1(t ) 1(t T ) T T
f t f t se st dt
27
若f(t)的二阶、三阶、……，各阶导函数存在，则：
L f n t s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 0 f n 1 0
2.1 复数和复变函数
2. 复数的表示方法 （1） 点表示法
复平面
10
2. 复数的表示方法
（2） 向量表示法 模
s r 2 2
辐角 arctan
（3） 三角函数表示法和指数表示法
r cos
三角函数表示法
r sin
cos j sin
0
14
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
s为复数，s = σ + jω，称f(t)为原函数，F(s)为象函数。 拉氏变换F(s)存在条件：
(1) 在任一有限区间上， f(t)分段连续， (2)被积函数 f(t)e-st 绝对值收敛， 只有有限个间断点 即f(t)e-σt绝对可积
23
3. 周期函数的拉氏变换
设函数f(t)是以T为周期的周期函数，即f(t+nT)=f(t) ，n为整数。 则f(t)的拉氏变换为： L f t f t e st dt
0
f t e dt
T st 0
2T
T
f t e dt
st
L f at f e
0
s a
1 1 1 s a d f e d F a a 0 a a
s
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6. 微分定理
若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且其一阶导函数f’(t)存在，则
L f t sF s f 0
4
拉普拉斯变换有什么用？
已知小车初始位置y(0)=y0，求小车的位移？
my (t ) ky (t ) 0
y(t) k m
y(0)=y0
y (t ) y0 cos n t y0 cos k t m
5
什么是拉普拉斯变换？
拉普拉斯(Laplace)变换是工程数学中常用的一种积分变换 ，简称拉氏变换， 将实变量函数变化为复变量函数 线性变换，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。 时域 常微分方程
2
2
2
2
2.1 复数和复变函数
3. 复变函数的概念
K ( s z1 ) ( s zm ) G( s) ( s p1 ) ( s pn )
当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm 为G(s)的零点； 当s＝p1,…,pn时，G(s)=∞，则称p1,…,pn 为G(s)的极点。
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2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
1、拉氏变换
傅里叶级数
幂级数
a e
n
jn0t
F (t )
a x
nHale Waihona Puke 0n A( x)
傅里叶变换
拉氏变换
f (t ) e-jt dt F ( )
有时间函数f(t)，t≥0，则f(t)的拉氏变换记作：
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
当取 a
lim f t e t 0
t
jω
f t e t 绝对可积
σ
Re(s)>a：拉氏变换的定义域
图2-4 拉氏变换定义域
16
2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
2、拉氏反变换
已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t) 的过程称作拉氏反 变换，记作：
f(0+)为由正向使t→0时的f(t)值。 证明： 根据分部积分法
(2-8)
udv uv vdu
0
令e-st = u，f(t) = v，则dv = f’(t)dt ，所以
L f t f t e st dt
e
st 0 0 st
s f t e dt f 0 sF s f 0
7
提 纲
2.1 复数和复变函数
2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义
2.3 典型时间函数的拉氏变换
2.4 拉氏变换的性质
2.5 拉氏反变换的数学方法
2.6 用拉氏变换解常微分方程
8
2.1 复数和复变函数
1. 复数的概念
s j
实部 虚部
Re( s)
Im(s)
j 1
9
×
时域解
线性方程
复频域
复频域解
6
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
一、知识体系
1.拉氏变换与拉氏反变换的定义及性质
2.典型时间函数的拉氏变换 3.拉氏反变换的数学方法
4.用拉氏变换解常微分方程
二、知识重点
1. 常用时间函数的拉氏变换 2. 部分分式法求原函数 3. 拉氏变换的主要性质
三、本章难点
部分分式法求原函数
拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－ 1827)，法国数学家和天文学家。
天体力学、概率论、气象学……
1773年，将牛顿万有引力定律应用于太阳系 1784年，拉普拉斯方程，势函数
1814年，提出“拉普拉斯妖”假设
1812年，《概率的分析理论》中导入拉普拉 斯变换(Laplace Transform) ，之后被用于 解决诸多工程领域的微积分问题。
机械控制工程理论基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
李靖祥 讲师
jxli.xjtu@
1
时域
sin(2 t ) sin(4 t )
频域
2
傅里叶变换
傅里叶级数
f (t ) e-jt dt F ( )
幅值 频率 f 角频率 ω=2πf
时间 t
3
拉普拉斯变换的历史背景
at
n! Le t s a n 1
at n
25
5. 相似定理
设f (t )的拉氏变换为F(s),对于任意常数a, 1 s 有 L[ f (at )] F ( ) (2 - 7) a a
证明：
L f at f at e stdt
0
令at =τ，则得：
j
s r cos j sin
j
欧拉公式 e
指数函数表示法 s re
11
2.1 复数和复变函数
3. 复变函数的概念 • 对于复数 s j
，若以该复数s为自变量，按某一确定法 则构成的函数G(s)成为复变函数。
G(s) u jv
u，v分别为复变函数的实部和虚部。在线形控制系统中，复变函数 G(s)是s的单值函数，对应于s的一个给定值，G(s)是唯一地被确定。
单位斜坡函数
t
tn
正弦函数 sin t
s2 2
s s2 2
19
幂函数
n ! 余弦函数 cos t s n 1
牢记：表2-1 拉氏变换对照表！
2.4 拉氏变换的性质
1. 线性性质－线性变换
已知函数f1 (t )，f 2 (t )的拉氏变换分别为F1 ( s)，F2 ( s)，若有常数K1，K 2， 则L[ K1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K1 L[ f1 (t )] K 2 L[ f 2 (t )] K1 F1 ( s) K 2 F2 ( s)
(2-3)
20
2. 实数域的位移定理（延时定理）
若f(t)的拉氏变换为F(s)，则对任一正实数a，有：
L[ f (t a)] e as F (s)
(2-4)
其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延迟a秒的延 时函数，且： f (t a) 0, t a 证明： L f t a f t a e stdt
利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
图2-11 三角波
T s 4 4 s T 4 4 sT 2 2 F ( s ) L[ f (t )] 2 2 2 2 e 2 2 e 2 2 e T s T s T s T s T s 4 2 2 (1 2e 2 e sT ) T s
n 1T
nT
f t e st dt
n 0
n 1T
nT
f t e st dt
令t = t1 + nT，即dt=dt1，t1 = 0时，t = nT
L f t f t1 nT e s t1 nT dt1
T n 0
利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
图2-10 方波
1 1 sT 1 L[ f (t )] e (1 e sT ) Ts Ts Ts
22
例2.4 求图2-11所示三角波的拉氏变换。
图示三角波函数表达为：
T T f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 2 2 4 4 T 4 T 4 2 t 2 (t ) 2 (t ) 2 (t T ) T T 2 T 2 T
L1[ F ( s)]
定义为如下积分：
1 j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s ) e ds 2j j
1
(2-2)
其中：σ为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。
17
2.3 典型时间函数的拉氏变换
1. 2.
1(t ) e at
1 s 1 sa
jω
σ
图2-3 在[a，b]上分段连续
图2-4 拉氏变换定义域
15
(2) 当t→∞时， f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：
f (t ) Meat
式中：M，a均为实常数。
f t e t Me ( a )t
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
例如: 已知 G(s) s 2 1 ，s j ，求复变函数G(s) 实部u和虚部v
G(s) s 1 ( j) 1 ( 1) j 2 u 2 2 1 u ( , ) 12 v 2 v( , )
F (s - a)
( s 0) ( s a) ( s a)
e at f (t )
3.
cos at
sin at
4. 5.
tn
s s2 a2 a s2 a2 n! s n 1
1
( s 0) ( s 0) ( s 0)
(t )
18
2.3 典型时间函数的拉氏变换
拉氏变换 拉氏反变换
证明：
Le
at
f t e
0
at
F s a
f t e dt f t e s a t dt
st 0
应用：
L e sint
at
s a
2
2
sa L e cost s a 2 2
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
1 j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s ) e ds j 2j
1
单位脉冲函数 (t ) 单位阶跃函数
1
1 s 1 s2
指数函数
e
at
1(t )
1 sa
0
0
e
snT
T
0 T
f t1 e st1 dt1 f t e st dt
1 1 e sT
(2-5)
0
24
4. 复数域位移定理
若f(t)的拉氏变换为F(s)，则对任一常数a（实数或复数），有
L e at f t F s a
(2-6)
0
令t - a =τ，则有：
图2-9 延时函数
L f t a f e s a d
0
e
as
e as F s
0
f e s d
21
例2.3 图2-10所示方波的拉氏变换。
图示方波函数表达为：
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 1 1 1(t ) 1(t T ) T T