2021年重庆市巴蜀中学高考数学适应性试卷(十)

2021年重庆市巴蜀中学高考数学适应性试卷（十）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）
A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i
2．（5分）集合A＝{x|log2（x+1）＜﹣1，x∈R}，集合（）A．B．C．D．∅
3．（5分）α，β为空间中两个不同的平面，c为平面α内一条直线（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）在《庄子一天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，体现了古人的智慧．如图，正方形ABCD的边长为4cm，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFCH的各边的中点I，J，K，L，依此方法一直继续下去，记第一个正方形ABCD 的面积为S1，第二个正方形EFGH的面积为S2，⋯，第k个正方形
的面积为S k，则前6个正方形的面积之和为（）
A．31B．C．32D．
5．（5分）观察一枚均匀的正方体骰子，任意选取两个面的点数，点数之和正好等于8的概率为（）
A．B．C．D．
6．（5分）圆C为过点P（4，3），Q（2，5）的圆中最小的圆，则圆C上的任意一点M到
原点O距离的取值范围为（）
A．[2，5]B．[3，6]C．
D．
7．（5分）如图，四边形ABCD满足AB＝1，AD＝，∠C＝．若点M为线段BD上的动点，则（）
A．B．C．D．
8．（5分）已知函数，若不等式f（a•e x）+f（1﹣2x）≤1对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．（0，e]B．[0，e]C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．（5分）经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，x n，则下列说法正确的是（）A．若数据x1，x2，…，x n，方差s2＝0，则所有的数据x i（i＝1，2，…，n）相同
B．若数据x1，x2，…，x n，的均值为3，则数据y i＝2x i+1（i＝1，2，…，n）的均值为6
C．若数据x1，x2，…，x n，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D．若数据x1，x2，…，x n，的众数为78，则可以说总体中的众数为78
10．（5分）已知实数a，b，c，则下列命题为真命题的是（）
A．若a＞0＞b，则
B．若a＞0，b＞0，a+2b＝1，则的最小值为8
C．若a＞b＞0，ab＝1，则
D．若a＞b＞0，则sin a＞sin b
11．（5分）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（）
A．f（x）的振幅为2
B．为f（x）的对称中心
C．f（x）向右平移单位后得到的函数为奇函数
D．f（x）在上的值域为[﹣1，2]
12．（5分）如图，在棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面ACC1A1，AB＝AC＝1，CC1＝2，∠A1AC＝60°，D，E，F分别为BB1，A1C1，CC1的中点，则下列说法正确的是（）
A．DE∥平面ABF
B．若G为AA1上点，且，则CG⊥BB1
C．三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为
D．A1F与BC所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）展开式的常数项为．
14．（5分）函数是偶函数，则实数a＝．
15．（5分）在三棱台ABC﹣A1B1C1中，棱AA1，BB1，CC1，的中点分别是D，E，F，已知，记三棱台ABC﹣DEF，A1B1C1﹣DEF的体积分别是V1与V2，则＝．
16．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点是F，O是坐标原点0，y0）在抛物线C 上，OA的垂直平分线交x轴于B点，当AB与x轴垂直时0＝（用p表示）；若N 是线段AF的中点，则|AB|﹣|AN|＝（用p表示）．
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（2b﹣a）（1）求角C的大小；
（2）若，且_____，求△ABC的周长．
①；
②△ABC的面积为；
③．
18．（12分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n﹣2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}的通项公式为b n＝2n+1，求T n＝a1b1+a2b2+⋯+a n b n的值．
19．（12分）前些年，为了响应绿色环保出行，提供方便市民的交通，根据统计，近6年这个城市“共享单车”保有量数据如表：
年份代号x123456保有量y（万辆）1 1.8 2.74 5.99.2（1）从这6年中任意选取两年，记单车保有量超过4万辆的年份数量为X，求X的分布列及期望；
（2）用函数y＝me nx（m＞0）对两个变量x，y的关系进行拟合，求y关于x的回归方程（系数精确到0.01）．
参考数据：，设
．
参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，＝﹣．
20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，∠ASC＝∠ABC＝90°，∠CAS＝60°，SB＝．（1）求证：平面ASC⊥平面ABC；
（2）已知M是线段AC上一点，且二面角A﹣SM﹣B的大小为135°，求AM的长．
21．（12分）函数f（x）＝，g（x）＝a2lnx+m．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，设h（x）＝f′（x），h（x）（x）有公共点，且在公共点处的切线方程相同
22．（12分）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年﹣325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，其中法线l′表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，利用椭圆的光学性质解决以下问题：
如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1经过的路程为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l，F2在l上的射影H在圆x2+y2＝4上，求椭圆C的方程．
2021年重庆市巴蜀中学高考数学适应性试卷（十）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）
A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i
【解答】解：，
则其共轭复数为﹣2+i，
故选：D．
2．（5分）集合A＝{x|log2（x+1）＜﹣1，x∈R}，集合（）A．B．C．D．∅
【解答】解：∵，，
∴．
故选：B．
3．（5分）α，β为空间中两个不同的平面，c为平面α内一条直线（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：①当c⊥β时，∵c⊂α，∴充分性成立，
②当α⊥β时，∵c⊂α，∴必要性不成立，
综上，c⊥β是α⊥β的充分不必要条件．
故选：A．
4．（5分）在《庄子一天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，体现了古人的智慧．如图，正方形ABCD的边长为4cm，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFCH的各边的中点I，J，K，L，依此方法一直继续下去，记第一个正方形ABCD 的面积为S1，第二个正方形EFGH的面积为S2，⋯，第k个正方形
的面积为S k，则前6个正方形的面积之和为（）
A．31B．C．32D．
【解答】解：，
设前6个正方形的面积之和为T6，
则，
故选：B．
5．（5分）观察一枚均匀的正方体骰子，任意选取两个面的点数，点数之和正好等于8的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：观察一枚均匀的正方体骰子，任意选取两个面的点数，有，
符合点数之和等于2的有两种：（2，6），2），
点数之和正好等于8的概率为，
故选：B．
6．（5分）圆C为过点P（4，3），Q（2，5）的圆中最小的圆，则圆C上的任意一点M到原点O距离的取值范围为（）
A．[2，5]B．[3，6]C．
D．
【解答】解：根据题意，圆C为过点P（4，Q（2，
则圆C是以PQ为直径的圆，
则圆心为C（6，4），圆C的方程为（x﹣8）2+（y﹣4）3＝2，
且|CO|＝＝2，
故选：D．
7．（5分）如图，四边形ABCD满足AB＝1，AD＝，∠C＝．若点M为线段BD上的动点，则（）
A．B．C．D．
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，
设点M（x，y），点，
则，其中0≤x≤1，
当时，的最小值为，
故选：B．
8．（5分）已知函数，若不等式f（a•e x）+f（1﹣2x）≤1对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．（0，e]B．[0，e]C．D．
【解答】解：∵，
∴，
令，则g（x）+g（﹣x）＝0，
可得g（x）是奇函数，且x∈R是减函数，
由f（a⋅e x）+f（1﹣5x）≤1，
得，
即g（a⋅e x）≤﹣g（6﹣2x）＝g（2x﹣3），
即对任意的x∈R恒成立，
由，令h′（x）＞0，令h′（x）＜0，
故h（x）在（﹣∞，）递增，+∞）递减，
故h（x）的最大值为，
可得，
故选：D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．（5分）经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，x n，则下列说法正确的是（）A．若数据x1，x2，…，x n，方差s2＝0，则所有的数据x i（i＝1，2，…，n）相同
B．若数据x1，x2，…，x n，的均值为3，则数据y i＝2x i+1（i＝1，2，…，n）的均值为6
C．若数据x1，x2，…，x n，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D．若数据x1，x2，…，x n，的众数为78，则可以说总体中的众数为78
【解答】解：对于A，数据x1，x2，…，x n的方差为s5＝0，则所有的数据x i（i＝1，6，…，n）相同1＝x2＝⋯＝x n，所以选项A正确；
对于B，数据x6，x2，…，x n的均值为3，则数据y i＝8x i+1（i＝1，6，…，n）的均值为，所以选项B错误；
对于C，数据x1，x2，…，x n的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不
大于90，选项C正确；
对于D，样本数据具有随机性，选项D错误．
故选：AC．
10．（5分）已知实数a，b，c，则下列命题为真命题的是（）
A．若a＞0＞b，则
B．若a＞0，b＞0，a+2b＝1，则的最小值为8
C．若a＞b＞0，ab＝1，则
D．若a＞b＞0，则sin a＞sin b
【解答】解：选项A中.，正确；
选项B中.＝，当且仅当a＝4b＝，正确；
选项C中.，C正确；
选项D中．y＝sin x不是单调函数，
故选：ABC．
11．（5分）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（）
A．f（x）的振幅为2
B．为f（x）的对称中心
C．f（x）向右平移单位后得到的函数为奇函数
D．f（x）在上的值域为[﹣1，2]
【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象知，A＝2，
且＝﹣＝，解得T＝π＝6；
当x＝时，f（x）＝2+φ＝，k∈Z，
解得φ＝+2kπ；
又|φ|＜，所以φ＝）．
所以，f（x）的振幅为2；
f（﹣）＝2sin（﹣+，所以（﹣，选项B正确；
f（x）向右平移单位）＝2sin[2（x﹣]＝2sin7x，选项C正确；
x∈[0，]时∈[，]）∈[﹣，即f（x）的值域是[﹣，选项D错误．故选：ABC．
12．（5分）如图，在棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面ACC1A1，AB＝AC＝1，CC1＝2，∠A1AC＝60°，D，E，F分别为BB1，A1C1，CC1的中点，则下列说法正确的是（）
A．DE∥平面ABF
B．若G为AA1上点，且，则CG⊥BB1
C．三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为
D．A1F与BC所成角的余弦值为
【解答】解：选项A，取A1A的中点M，连接DM1，DC3．可得：DM∥AB，于是DM∥平面ABF1∥平面ABF，于是平面DMC1∥平面ABF，DE与平面DMC7相交，也与平面ABF相交
选项B，在△ACG中1，AB⊥CG，AB∩AA1＝A，CG⊥平面ABB7A1，故B正确；
选项C，，故C正确；
选项D，如图：连接DF，由题意可得：|DF|＝|BC|＝1F|＝7，|A1D|＝．在△A2DF 中，由余弦定理可得：
cos∠A1FD＝＝＝，故D错误，
故选：BC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）展开式的常数项为﹣160．
【解答】解：∵展开式的通项公式为T r+1＝•46﹣r•（﹣1）r•x5﹣2r，令6﹣3r ＝0，求得r＝3，
故常数项为﹣160，
故答案为：﹣160．
14．（5分）函数是偶函数，则实数a＝1．
【解答】解：根据题意，因为，
则f（﹣x）＝f（x），即
，
变形可得2a＝7，故a＝1；
故答案为：1．
15．（5分）在三棱台ABC﹣A1B1C1中，棱AA1，BB1，CC1，的中点分别是D，E，F，已知，记三棱台ABC﹣DEF，A1B1C1﹣DEF的体积分别是V1与V2，则＝．【解答】解：如图：
法一：分别延长AA1，BB1，CC5，相交于点P，记，
∵，且D，E1，BB3，CC1的中点，
∴V P﹣DEF＝8V，V P﹣ABC＝27V，
则V7＝V P﹣ABC﹣V P﹣DEF＝27V﹣8V＝19V，
V2＝V P﹣DEF﹣＝8V﹣V＝7V，
∴．
法二：∵，记S8，S2，S3分别表示△A7B1C1，△DEF，△ABC的面积，则S3：S2：S3＝8：4：9，令S5＝S，
则S2＝4S，S3＝9S，设两个三棱台的高都是h，
则，，
故．
故答案为：．
16．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点是F，O是坐标原点0，y0）在抛物线C 上，OA的垂直平分线交x轴于B点，当AB与x轴垂直时0＝2p（用p表示）；若N 是线段AF的中点，则|AB|﹣|AN|＝p（用p表示）．
【解答】解：由点A（x0，y0）在抛物线C上，可得y72＝2px5，
则k OA＝＝＝，
由题意可得|OB|＝|AB|，
又AB与x轴垂直，可得k OA＝5，
即有y0＝2p，x7＝2p；
因为OA的中点，
则直线MB的斜率为，
解得，
而，，
则．
故答案为：2p，p．
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（2b﹣a）（1）求角C的大小；
（2）若，且_____，求△ABC的周长．
①；
②△ABC的面积为；
③．
【解答】解：（1）（2b﹣a）cos C＝c cos A⇒（2sin B﹣sin A）cos C＝sin C cos A，
∴3sin B cos C＝sin（A+C）＝sin B，
而在△ABC中，sin B≠0，
∴． （5分）
（2）选条件①：
由正弦定理有：，
由余弦定理有：c2＝（a+b）2﹣5ab﹣2ab cos60°＝（a+b）2﹣5ab＝（a+b）2﹣4，∴（a+b）3＝16⇒a+b＝4，
∴△ABC的周长为． （10分）
选条件②：，
由余弦定理有：c2＝（a+b）4﹣2ab﹣2ab cos60°＝（a+b）6﹣3ab＝（a+b）2﹣4，∴（a+b）2＝16⇒a+b＝4，
∴△ABC的周长为． （10分）
选条件③：，
由余弦定理有：c2＝（a+b）2﹣3ab﹣2ab cos60°＝（a+b）2﹣4ab＝（a+b）2﹣4，∴（a+b）5＝16⇒a+b＝4，
∴（a+b）2＝16⇒a+b＝5的周长为． （10分）
18．（12分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n﹣2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}的通项公式为b n＝2n+1，求T n＝a1b1+a2b2+⋯+a n b n的值．
【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S5＝2a1﹣7⇒a1＝2，
又S n＝7a n﹣2①，
当n≥2时，S n﹣6＝2a n﹣1﹣8②，
①﹣②得：a n＝2a n﹣2a n﹣7，即a n＝2a n﹣1，
∴数列{a n}是以7为首项，2为公比的等比数列，
∴．
（2）③，
又④，
④﹣③得：，
＝﹣4+8﹣2×3n+1+（2n+2）⋅2n+1，
＝（8n﹣1）⋅2n+2+2．
19．（12分）前些年，为了响应绿色环保出行，提供方便市民的交通，根据统计，近6年这个城市“共享单车”保有量数据如表：
年份代号x123456保有量y（万辆）1 1.8 2.74 5.99.2（1）从这6年中任意选取两年，记单车保有量超过4万辆的年份数量为X，求X的分布列及期望；
（2）用函数y＝me nx（m＞0）对两个变量x，y的关系进行拟合，求y关于x的回归方程
（系数精确到0.01）．
参考数据：，设
．
参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，＝﹣．
【解答】解：（1）X的所有取值为0，1，7，
，∴X的分布列为：
X062
P
∴．（4分）
（2）对y＝me nx（m＞0）两边取自然对数得：lny＝lnm+nx，
设t＝lny，∴t＝lnm+nx，
∵，
，
又e﹣0.35≈0.7047，∴m≈2.700.43x．（12分）
20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，∠ASC＝∠ABC＝90°，∠CAS＝60°，SB＝．（1）求证：平面ASC⊥平面ABC；
（2）已知M是线段AC上一点，且二面角A﹣SM﹣B的大小为135°，求AM的长．
【解答】（1）证明：如图：
过点S作SH⊥AC于H，连接BH，计算得：，
在△ABH中，由余弦定理得：，在△SHB中，，∴SB5＝SH2+BH2，
∴SH⊥HB，又SH⊥AC，
∴平面ASC⊥平面ABC． （2分）
（2）解：以H为坐标原点，HA为x轴，
在平面ABC上垂直于AC的直线为y轴，HS为z轴．
由（1）知：，
设M（t，0，6），
设平面SMB的一个法向量，∵
，
∴，
∴，
此时，经检验，． （12分）
21．（12分）函数f（x）＝，g（x）＝a2lnx+m．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，设h（x）＝f′（x），h（x）（x）有公共点，且在公共点处的切线方程相同
【解答】解：（1），
则，
当a＝0时，，所以f（x）在R上单调递增；
当a＜8时，令f′（x）＞0⇒x＞0或，，
所以f（x）在上单调递增，，（0；
当a＞6时，令或x＜0，解得，
所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，，上单调递增；
综上所述：当a＝0时，f（x）在R上单调递增；
当a＜2时，f（x）在，，上单调递减，+∞）；
当a＞3时，f（x）在（﹣∞，上单调递增，，，上单调递增．（2），因为h（x）与g（x）有公共点，设公共点为（x0，y0），所以，则，且x0＞4，a＞00＝a，
又因为，则，
令，
当时，φ′（x）＞0；当时，
故φ（x）在，上单调递增，，
所以，故实数m的最大值为．
22．（12分）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年﹣325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，其中法线l′表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，利用椭圆的光学性质解决以下问题：
如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1经过的路程为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l，F2在l上的射影H在圆x2+y2＝4上，求椭圆C的方程．
【解答】解：（1）设椭圆C的长轴长为2a（a＞0），
则由F7发出的光经椭圆两次反射后回到F1F经过的路程为，
从而．（3分）
（2）法一：如图：
延长F2H，F5P，交于点F0，在△PF2F2中，PH⊥F0F2，∠F5PH＝∠F0PH，则|PF2|＝|PF3|且H为F2F0中点，在△F2F2F0中，
，
则|PF5|+|PF2|＝4＝5a，∴a＝2，b2＝2，
所以椭圆方程为．
法二：设F1，在l上的射影分别为H6，H0，连接PF1，PF3，OH，如图：
设∠F1PH1＝α，则∠F2PH＝α，
在Rt△F1H1P中，可得F5H1＝PF1sinα，PH3＝PF1cosα，
同理：F2H＝PF7sinα，PH＝PF2cosα，
所以HH1＝H2P+HP＝（PF1+PF2）cosα＝2a cosα，
，
，
所以椭圆方程为．
法三：设椭圆C的方程为，
由（1）：，即a2＝4b2，椭圆C的方程可化为x4+4y2＝2b2，
设点P（x0，y2）（x0≠0，y5≠0），直线l的方程为y﹣y0＝k（x﹣x7），即y＝kx+y0﹣kx0，代入x4+4y2＝7b2得：，
由l与C相切，∴，
解得，
∴直线l方程为，即①，
过点F2且与l垂直的直线为4y5（x﹣c）﹣x0y＝0，即②，
由①×x4+②×4y0得：③，
由①×4y0﹣②×x6得：④，
∵H在圆x2+y5＝4上，∴，
由③2+④5得：
，
即，
∵，∴
，
化简得：，
即或对任意y0∈（﹣b，4）∪（0，
解得b＝1，所以椭圆方程为x2+4y2＝7，即．。