高一数学人教A版必修二课件：1.3.2 球的体积和表面积

多得10分,是考试中最不该失分的地方.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
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一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
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1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
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有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=���2���,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
������球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2
=
25.④
案例探究 误区警示
失分点1:在解答过程中,若不能根据题意设出有关几何体的
关键量,列出①处的方程,则本题将无法得分. 失分点2:若虽能列出①处的方程组,却不能正确推出②③处
量的关系,则解题将无法进行,实际考试最多得4分.
失分点3:在解答过程中,若在④处计算错误,实际考试中最
1.3.2 球的体积和表面积
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学习 目标
重点 难点
1.记住球的体积公式和表面积公式,并会用公式进行简 单计算; 2.会求有关球的简单组合体的体积与表面积; 3.能解答简单的球的切、接问题. 重点:球的体积公式和表面积公式及应用. 难点:球的切、接问题.
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球的体积与表面积 若球的半径为 R,则球的体积为 V=4πR3,表面积 S=4πR2.
于是 OO1= ������2-������12 = ������2-5,OO2= ������2-������22 = ������2-8,
O1O2=OO1-OO2= ������2-5 − ������2-8=1,
移项得 ������2-5=1+ ������2-8,两边平方并化简得 ������2-8=1. 解得 R=3. 故球的表面积 S 球=4π×32=36π, 球的体积 V 球=4π×33=36π.
二、球的截面问题 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心
的平面截得的圆叫做小圆,如图.
设小圆圆心为O1,半径为r,球的球心为O,半径为R,则有: (1)OO1⊥平面☉O1;
(2)R2=r2+d2,其中d为两圆的圆心距.
一二三
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【例2】 已知球的两平行截面的面积为5π和8π,它们位于球 心的同一侧,且相距为1,求这个球的表面积和体积.
的对角面为截面,如图②,
有 2r2= 2a,r2= 22a,所以 S2=4π������22=2πa2.
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图③
(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心取正方体的对角面为截
面,如图③,
所以 2r3= 3a,r3= 23a, 所以 S3=4π������32=3πa2.
综上知 S1∶S2∶S3=1∶2∶3.
思路分析:利用截面圆的半径、球的半径以及球心与截面 圆心的连线构成的直角三角形求解.
一二三
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解:如图是球的轴截面.设以 r1 为半径的截面面积为 5π,以 r2 为 半径的截面面积为 8π,O1O2=1,球的半径为 R,则 π������12=5π,π������22=8π,则 ������12=5,������22=8.
则 l= ������2 + ( 2������)2 + ������2=2a.
所以 R=a. 所以 V 球=43πa3.
案例探究 误区警示
(12分)若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径 相等,求圆锥侧面积与球的表面积之比. 思路分析:
案例探究 误区警示
解:设圆锥的底面半径为 r,高为 h,母线长为 l,球的半径为 R,
则由题意得
π 3
������ 2 ·ℎ
=
4π 3
������3 ,①
������ = 2������,
所以π(2R)2·h=4πR3,
3
3
所以 R=h,r=2h.②
所以 l= ������2 + ℎ2 = 5h.③
S 圆锥侧=πrl=π×2h× 5h=2 5πh2,
S 球=4πR2=4πh2,
所以������圆锥侧
2
∴S 球表面积=4πR2=4π×540=50π.
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2.在球面上有四个点 A,B,C,P,且 PA,PB,PC 两两垂 直,PA=a,PB= 2a,PC=a.求球的体积.
解:以 PA,PB,PC 为棱作一长方体,则该长方体内接于球.设长方 体的体对角线长为 l,球半径为 R,
解:作出截面图,分别求出三个球的半径. 设正方体的棱长为 a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个正方形面
的中心,经过四个切点及球心作截面,如图①,
有 2r1=a,r1=���2���,所以 S1=4π������12=πa2.
一二三
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(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心取正方体
3
一二三
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一二三
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3
已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离2等于球半径 的 倍,且AC=8,BC=6,AB=10,求球的表面积与球的体积.
一二三
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解:如图,设球的半径为 R,球心为 O,截面圆心为 O1,则 OO1= 23R.
一二三
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【例 1】 (1)已知球的直径为 8 cm,求它的表面积和体积;
(2)已知球的表面积为 144π,求它的体积; (3)已知球的体积为500π,求它的表面积.
3
思路分析:根据条件,求出球的半径,再代入公式求解.
解:(1)∵球的直径为 8 cm,∴半径 R=4 cm.
在△ABC 中,∵AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,
∴O1 是 AB 的中点,
即 O1B=5.
又 O������12+O1A2=OA2,
∴
3 ������
2
2
+52=R2,
∴R2=100,R=10.
∴球的表面积 S 球=4πR2=4π×102=400π,
球的体积 V 球=43πR3=43π×103=4 0300π.
可补成一个球内接长方体,其体对角线为球的直径,所以 R=1 ������2 + ������2 + ������2.
2
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【例 3】 有三个球,第一个球内切于正方体;第二个球与这个正 方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的 表面积之比.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
一二三
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1.长方体的一个顶点上三条棱的长分别为 3,4,5,且它的八个顶
点都在同一个球面上,求这个球的表面积.
解:设球半径为 R,∵长方体的一个顶点上三条棱的长分别为
3,4,5,
∴2R= 32 + 42 + 52=5 2.∴R=5 2.
3
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预习交流：
若一个球的体积为 36π,则该球的表面积为
.
答案:36π 解析:设球的半径为 R,则4πR3=36π,所以 R=3,所以球的表面积
3
S=4πR2=36π.
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一、球的表面积与体积 1.与球的体积、表面积有关的问题就是与球的半径有关的 问题,设出球的半径或求出球的半径,一切问题都迎刃而解. 2.两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方,两 个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方.