2020年下半年教师资格证考试数学学科知识与教学能力真题(初级中学)含答案解析

2020年下半年教师资格证考试数学学科知识与教学能力真题（初
级中学）
(总分：150.00，做题时间：120分钟)
一、单项选择题(总题数：8，分数：40.00)
1.）。

（分数：5.00）
A.
B.
C.∞
D.不存在
2.设α为向量和的夹角，则cosα是（）。

（分数：5.00）
A.
B.
C.
D.
3.设x∈(0,1]，则下列不正确的是（）。

（分数：5.00）
A.f(x)在（0,1]上连续
B.f(x)在（0,1]上一致连续
C.f(x)在（0,1]上可导
D.f(x)在（0,1]上单调递减
4.空间曲面x2-4y2+z2=25被平面x=-3截得的曲线是（）。

（分数：
5.00）
A.椭圆
B.抛物线
C.双曲线
D.圆
5.甲乙两位棋手通过五局三胜制比赛争夺1000员奖金，前三局比赛结果为甲二胜一负，现因故停止比赛，设在每局比赛中，甲乙获胜的概率都是1/2，如果按照甲乙最终获胜的概率大小分配奖金，甲应得奖金为（）。

（分数：5.00）
A.500 元
B.600 元
C.666 元
D.750 元
6.已知球面方程为切线与球面相切与点 M ，线段 PM ，则在点 P 的坐标中（0，0，2）， z 的值为（）。

（分数：5.00）
A.
B.2
C.3
D.4
7.编制数学测试卷的步骤一般为（）。

（分数：5.00）
A.制定命题原则，明确测试目的，编拟双向细目表，精选试题
B.明确测试目的，制定命题原则，精选试题，编拟双向细目表
C.明确测试目的，制定命题原则，编拟双向细目表，精选试题
D.明确测试目的，编拟双向细目表，精选试题，制定命题原则
8.解二元一次方程组用到的数学方法主要是（）。

（分数：5.00）
A.降次
B.放缩
C.消元
D.归纳
二、简答题(总题数：5，分数：35.00)
9.7.00）
__________________________________________________________________________________________ 10.(x)在[a，b]（分数：7.00）
__________________________________________________________________________________________ 11.设A 是3*4矩阵，其秩为 3，已知η1、η2为非齐次线性方程组 AX=b 两个不同的解，其中
（1）请用η1、η2构造AX=0的一个解，并写出 AX=0的通解；
（2）求 AX=b 的通解。

（分数：7.00）
__________________________________________________________________________________________ 12.简述进行单元教学设计的基本流程。

（分数：7.00）
__________________________________________________________________________________________ 13.简述数学运算的基本内涵。

（分数：7.00）
__________________________________________________________________________________________ 三、解答题(总题数：1，分数：10.00)
14.已知一束光线在空气中从点 A 到达水面上的点 P ，然后折射成水下的点 B （如图所示），射光在空气中的速度为C，在水中的速度为C'，光线在点 P 的入射角为θ，折射角为θ'。

（1）若OP长为x0，请写出光线从点 A 到达点 B 所需时间的表达式T（x0）;
（2）若T（x0）是光线由点A 到达点B 所需时间的极小值，（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 四、论述题(总题数：1，分数：15.00)
15.伴随着大数据时代的到来，数据分析已经深入到现代社会生活的各个方面，结合实例阐述在中学数学中培养学生数据分析能力的意义。

（分数：15.00）
__________________________________________________________________________________________ 五、案例分析题(总题数：1，分数：20.00)
案例：“三角形中位线定理”是八年级学生的学习内容，下面是两位教师的教学片段：
（一）教师甲
在讲授中位线定理这一内容时，利用“数学软件-A”，作了两次测量，一次是验证三角形中位线定理，另一次是验证顺次连接四边形的中点所围成的图形为平行四边形.教师甲发现，当他让学生动手测量的时候，有一部分学生懒散地坐着，没有刚开始接触该软件时那样积极；课后教师向几位学生询问情况，有学生说这两道题书上都有结论，早就看过了，再去测量是不是有点儿傻？
（二）教师乙
教师首先让学生探究问题，如图1，五边形ABCD中，点F、G、H、I分别是AB、BC、CD、DE的中点，J、K 分别是FH、JI的中点，AE与JK有什么关系？
学生们马上打开“数学软件-A”进行测量，很快发现AE=4JK，能不能证明发现的结论呢？学生们没有一点头绪；教师提示说当遇到问题解决不了的时候，我们是不是进一步先解决容易的问题？教师引导学生去研究三角形中位线定理和顺次连接四边形中点所围成的图形是平行四边形两个问题，经过师生的共同研究，取AD的中点C后，学生不仅验证了AE=4JK，而且高兴的发现AE和JK还存在平行关系，如图2。

问题：（分数：20）
(1).请分别对教师甲和教师乙的教学进行评价。

（分数：10）
__________________________________________________________________________________________
(2).请画出适用于本节课教学的“三角形中位线定理”证明的示意图（图中辅助线用虚线表示）。

（分数：5）
__________________________________________________________________________________________ (3).结合本案例，请谈谈信息技术在数学中的作用。

（分数：5）
__________________________________________________________________________________________ 六、教学设计题(总题数：1，分数：30.00)
16.针对“分式的基本性质”一课完成下列教学设计。

写出教学重点；
设计新知识（性质均分）的导入和探索过程；
设计一个运用分数基本性质的问题，并给出解答。

（分数：30.00）
2020年下半年教师资格证考试数学学科知识与教学能力真题（初
级中学）答案解析
(总分：150.00，做题时间：120分钟)
一、单项选择题(总题数：8，分数：40.00)
1.）。

（分数：5.00）
A.
√
B.
C.∞
D.不存在
解析：
本题考查用洛必达法则求极限。

2.设α为向量和的夹角，则cosα是（）。

（分数：5.00）
A.
B.
√
C.
D.
解析：
本题考查空间向量数量积的运算。

因为
3.设x∈(0,1]，则下列不正确的是（）。

（分数：5.00）
A.f(x)在（0,1]上连续
B.f(x)在（0,1]上一致连续√
C.f(x)在（0,1]上可导
D.f(x)在（0,1]上单调递减
解析：
本题考查函数的连续性及一致连续性，可导及单调性。

A选项，因为函数是初等函数，它在区间(0,1]上有定义，所以在(0,1]上是连续的，正确；B选项，根据一致连续的定义可知，在区间的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，就可使
对应的函数值达到所指定的接近程度。

因为在区间x(0,1]上的图象陡的程度大，取两个接近的数值时，不能保证函数值的接近程度在指定的范围内，所以f(x)在(0,1]上不是一致连续的，错误；
C选项，因为初等函数在定义域内都是可导的，所以函数在区间(0,1]上可导，正确；
D在区间(0,1]内单调递减，正确。

故本题选B。

4.空间曲面x2-4y2+z2=25被平面x=-3截得的曲线是（）。

（分数：
5.00）
A.椭圆
B.抛物线
C.双曲线√
D.圆
解析：
本题考查空间曲线方程的知识。

根据题意求曲线方程可以把X=-3代入空间曲面X2-4y2+Z2=25，得到方程Z2 -4y2=16，此曲线方程Z2-4y2=16，确定为双曲线。

5.甲乙两位棋手通过五局三胜制比赛争夺1000员奖金，前三局比赛结果为甲二胜一负，现因故停止比赛，设在每局比赛中，甲乙获胜的概率都是1/2，如果按照甲乙最终获胜的概率大小分配奖金，甲应得奖金为（）。

（分数：5.00）
A.500 元
B.600 元
C.666 元
D.750 元√
解析：
本题考查概率求解的知识。

甲乙2人每局获胜的概率均为 1/2，甲胜两局乙负局以后，那么甲要是获胜的话就只有 2种情况：（1）接下来一局，甲胜乙负，概率为1/2；（2）接下来是甲先负一局，然后甲胜，
概率为1/2×1/2=1/4。

综上，甲获胜的概率为1/2＋1/2×1/2=3/4，那么乙获胜的概率为1-3/4=1/4，所以，按照获胜的概率来看，他们分配奖金的比例应该是3:1。

6.已知球面方程为切线与球面相切与点 M ，线段 PM P 的坐标中（0，0，2）， z 的值为（）。

（分数：5.00）
A.
B.2
C.3 √
D.4
解析：
本题考查空间解析几何知识。

连接球面切点M与球心O，MO⊥PM。

在直角三角形PMO中，
P点在Z轴上，所以点P的坐标为（0，0，3）。

7.编制数学测试卷的步骤一般为（）。

（分数：5.00）
A.制定命题原则，明确测试目的，编拟双向细目表，精选试题
B.明确测试目的，制定命题原则，精选试题，编拟双向细目表√
C.明确测试目的，制定命题原则，编拟双向细目表，精选试题
D.明确测试目的，编拟双向细目表，精选试题，制定命题原则
解析：
本题考查数学课程标准。

数学试卷设计的步骤为：明确测试目的，制定命题原则，编拟双向细目表，精选试题。

8.解二元一次方程组用到的数学方法主要是（）。

（分数：5.00）
A.降次
B.放缩
C.消元√
D.归纳
解析：
本题考查数学教学知识。

解二元一次方程组可以用消元的方法把二元一次方程组转化为一元一次方程，其中用到的数学方法是消元。

二、简答题(总题数：5，分数：35.00)
9.7.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(
)
解析：
10.(x)在[a，b]（分数：7.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(
)
解析：
2为非齐次线性方程组 AX=b 两个不同的解，其中
（1）请用η1、η2构造AX=0的一个解，并写出 AX=0的通解；
（2）求 AX=b 的通解。

（分数：7.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(
（1）η1-η2是AX=0的一个解，k(η1-η2)是AX=0的通解。

因为η1、η2是非其次线性方程组AX=b的两个不同的解，所以Aη1=b，Aη2=b，所以Aη1-Aη2=0，所以A(η1-η2)=0。

因为r(A)=3，未知量的个数为4，因为n-r(A)=1，所以方程组AX=b的导出组AX=0的基础解系只有一个，所以k(η1-η2)是AX=0的通解。

（2）AX=b的通解是x=k(η1-η2)+η1，k为任意常数。

AX=b非其次线性方程组的通解等于其次线性方程组的通解+特解，所以AX=b的通解是x=k(η1-η2)+η1，k 为任意常数。

)
解析：
12.简述进行单元教学设计的基本流程。

（分数：7.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(
（1）课程标准与教材分析：分析《课程标准》的要求以及本单元教材内容在整个学期的学习内容中的地位与作用。

（2）学情分析：分析学生已有的认知水平和能力状况以及学习需要和学习行为。

（3）三维教学目标分析：知识与技能；过程与方法；情感、态度、价值观目标。

（4）教学重点与难点分析：根据对教材学情和目标的分析，确定本单元教学重难点，各节之间的关系与作用，划分课时。

（5）分课时教学设计：课时教学设计应包括学习目标，重难点，教学方法，教学过程，板书设计，课后评价，教学反思。

（6）单元测试设计：注意题目难度梯度，有区分度。

（7）教学评价设计与教学反思：对学生学习效果与教学设计有效性进行评价，针对问题反思并提出改进措施。

)
解析：
13.简述数学运算的基本内涵。

（分数：7.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(
（1）实数的运算：是初中数学运算的基础，主要包括实数的加减乘除和乘方运算，一般会结合根式、绝对值和幂的运算。

（2）整式的运算：主要包括整式的加减乘除和乘方运算，涉及合并同类项、运算法则、平方差和完全平方公式、因式分解。

（3）分式的运算：主要包括分式的化简和解分式方程。

（4）方程的运算：主要包括一元一次方程，二元一次方程，分式方程和一元二次方程。

（5）不等式的运算：主要包括一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。

)
解析：
三、解答题(总题数：1，分数：10.00)
14.已知一束光线在空气中从点 A 到达水面上的点 P ，然后折射成水下的点 B （如图所示），射光在空气中的速度为C，在水中的速度为C'，光线在点 P 的入射角为θ，折射角为θ'。

（1）若OP长为x0，请写出光线从点 A 到达点 B 所需时间的表达式T（x0）;
（2）若T（x0）是光线由点A 到达点B 所需时间的极小值，（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(
)
解析：
四、论述题(总题数：1，分数：15.00)
15.伴随着大数据时代的到来，数据分析已经深入到现代社会生活的各个方面，结合实例阐述在中学数学中培养学生数据分析能力的意义。

（分数：15.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(
数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网+”相关领域的主要数学方法，数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个领域，因此，中学阶段培养学生数据分析能力尤为重要，通过数学课程的学习，学生能提高获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力；适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。

)
解析：
五、案例分析题(总题数：1，分数：20.00)
案例：“三角形中位线定理”是八年级学生的学习内容，下面是两位教师的教学片段：
（一）教师甲
在讲授中位线定理这一内容时，利用“数学软件-A”，作了两次测量，一次是验证三角形中位线定理，另一次是验证顺次连接四边形的中点所围成的图形为平行四边形.教师甲发现，当他让学生动手测量的时候，有一部分学生懒散地坐着，没有刚开始接触该软件时那样积极；课后教师向几位学生询问情况，有学生说这两道题书上都有结论，早就看过了，再去测量是不是有点儿傻？
（二）教师乙
教师首先让学生探究问题，如图1，五边形ABCD中，点F、G、H、I分别是AB、BC、CD、DE的中点，J、K 分别是FH、JI的中点，AE与JK有什么关系？
学生们马上打开“数学软件-A”进行测量，很快发现AE=4JK，能不能证明发现的结论呢？学生们没有一点头绪；教师提示说当遇到问题解决不了的时候，我们是不是进一步先解决容易的问题？教师引导学生去研究三角形中位线定理和顺次连接四边形中点所围成的图形是平行四边形两个问题，经过师生的共同研究，
取AD的中点C后，学生不仅验证了AE=4JK，而且高兴的发现AE和JK还存在平行关系，如图2。

问题：（分数：20）
(1).请分别对教师甲和教师乙的教学进行评价。

（分数：10）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(
教师甲没有遵循学生由易到难的认知顺序，不利于学生的学习。

这位教师在教学过程中先借助信息技术，学生直观观察，可以获得一定的结论，之后再让学生自行测量就会给学生一种先难后易的感觉，学生很难进入学习的状态，也很难继续对知识产生兴趣。

教师乙先是借助一个比较困难的问题，学生通过思考，发现不能用已有知识解决这样的问题，此时教师提出，可以从简单的问题入手，从三角形中位线定理和四边形中点构成平行四边形入手，结合信息技术帮助学生直观观察，更好的理解。

这位老师的借助困难的问题引出学生想要学习的欲望，再用简单的问题给学生信心，最后借助信息技术，呈现与五边形有关的问题，水到渠成，实现了本节课的教学目标。

)
解析：
(2).请画出适用于本节课教学的“三角形中位线定理”证明的示意图（图中辅助线用虚线表示）。

（分数：5）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(
已知△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，求证：DE平行且等于
证明：过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F，∵CF∥AD，∴∠A=∠ACF
AD=CF，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∴BD=CF，又BD∥CF，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC且DF=BC，∴DE平行且等于
)
解析：
(3).结合本案例，请谈谈信息技术在数学中的作用。

（分数：5）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(
信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。

数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术。

它可以更好、更便捷展示绘制图象，图形的运动过程，数据的呈现与随机模拟结果等教学环节。

在三角形中位线定理证明的过程中，教师可以利用几何画板画出更加的准确的图形。

同时本节课定理的证明主要需要的就是三角形底边与中位线之间的数量关系与平行关系。

首先，利用几何画板可以轻松地测量出线段的长短，这要比手动画图更加准确；而平行关系的证明，则可以通过对应角之间的关系进一步推证，几何画板可以直接标注出角的大小，方便学生观察直接得出结论同时，定理的证明并不依赖于一个图形得出，使用几何画板可以改变三角形的形状，方便学生得出一般结论。

但是教师在使用信息技术的时候应该注意使用的时机和程度，信息技术的应用应该是对数学教学的一种辅助，是为了更好地帮助学生理解在实际操作中不好实现的作图问题或者是较多数据的呈现，注意不要太过于依赖信息技术而忽略的自身的讲解，避免分散学生太多的注意力，要注意信息技术与传统教学相结合，为学生提供更好的教学环境。

)
解析：
六、教学设计题(总题数：1，分数：30.00)
16.针对“分式的基本性质”一课完成下列教学设计。

写出教学重点；
设计新知识（性质均分）的导入和探索过程；
设计一个运用分数基本性质的问题，并给出解答。

（分数：30.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(
（1）教学重点：分式的基本性质及其探究过程和应用。

（2）导入：回顾分式的概念、分式有意义的条件—分式的分母不为0。

（2）导入：回顾分式的概念、分式有意义的条件—分式的分母不为0。

探索：创设一列匀速行驶火车的情境，th行驶skm、2th行驶2skm、3th行驶3skm……、nth行驶nskm，教师提问：火车行驶的速度可以如何表示？
预设学生表示的形式多样：
教师通过提问在行驶过程中变化及不变的量，引导学生想到时间、路程在变，行驶的速度不变。

从而根据
“速度不变”得出
组织学生观察等式，思考分式的分子和分母是如何变化的。

学生容易发现分式的分子和分母同时扩大或缩小了相同的倍数。

在此基础上结合分数的基本性质，组织讨论总结分式的基本性质。

结合学生的回答，教师规范总结分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

说明文字描述比较繁琐，有没有较简单的表示方式，学生容易想到用字母表示。

学生尝试字母表示。

（3）填空：
解答：的分母xy除以x才能得到y，为了保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子x3也得除以
x，故括号中应为x2。

)
解析：。