ch8_4小波与滤波器组

例 试确定p=2时DWT中的滤波器h0[k]和h1[k]。(db2,D4)
H0(z)

1 4
3 2
(1
z1)2 1 (2
3)z1
H1(z)
z3H0(z1)

1 4
3 2
(1
z1)2
3 2)z1
1 3 3 3 3 3 1 3
h1[k] { 4 2 ,
2
2
2
例 试确定p=1时DWT中的滤波器h0[k]和h1[k]。 (Haar小波，db1,D2)
1 z 1 z1
P(z)
2
2
1 z1 H0(z) 2
H1(z)

z1H0(z1)

1 z1 2
11
11
h0[k] {
, 2
; k 0, 1} 2
h1[k] {
设 H0(z) (1 z1)pB(z)
确定B(z)的系数使其满足
H0(z1)H0(z) H0(z1)H0(z) 2 记 P(z) H0(z)H0(z1) (1 z1)p(1 z)pB(z)B(z1)
(1 z1)p(1 z)pQ(z)
则
P(z) P(z) 2
,
,
; k 0, 1, 2, 3}
42 42
42
h1[k]的矩特性：
h1[k] 0
k
k h1[k] 0
k
DWT一级分解算法
h0[k]
c1[k]
2
x[k]
c0[k] d1[k]
h1[k] 2
DWT一级分解算法框图
小波分解算法
c1[k] x[n]h0[(2k n)] x[n]h0[n 2k]
n
n
d1[k] x[n]h1[n 2k]
n
例 试写出Haar小波的一级分解算法。
解：Haar小波中的滤波器为
11
h0[k] {
, 2
; k 0, 1} 2
11
h1[k] {
,2
; k 0, 1} 2
c1[k] x[n]h0[n 2k] x[2k]h0[0] x[2k 1]h0[1]
所以
H1(z)H1(z1) H0(z)H0(z1) H0(z1)H0(z) H1(z1)H1(z) 0
正交DWT中滤波器的基本特性
H1(z)= zMH0(z1) ， M 为奇数。
1. H0 (z1 )H0 (z) H1(z1 )H1(z) 2
H0 (z1 )H0 (z) H0 (z1 )H0 (z) 2
c1[k]
2
c1[k] 2
¬
h0[k] c~1
x[k]
+
c0[k]
h1[k]
d1[k]
2
d1[k]
¬
2
~ h1[k] d1
小波分解
小波重建
由小波重建框图可得
x[k] c1[n]h0[k 2n] d1[n]h1[k 2n]
n
n
由上式可知
{h0[k], h0[k 2], h0[k 4], , h1[k], h1[k 2], h1[k 4], }
数字信号处理
(Digital Signal Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
信号时频分析
问题的提出 短时傅里叶变换 小波展开与小波变换 小波变换与滤波器组 基于小波的信号处理及应用
小波变换与滤波器组
离散正交小波变换与滤波器组 离散正交小波变换的构造 离散小波变换的分解算法 离散小波变换的重建算法 小波变换与时频分析
n
x[2k] x[2k 1] x[2k] x[2k 1]



2
2
2
2
d1[k]
n
x[2k] x[2k 1]
x[n]h1[n 2k]
2

2
例 Haar小波一级分解算法的矩阵表示。
x[2k] x[2k 1] c1[k]
2
x[2k] x[2k 1] d1[k]
小波变换与滤波器组
若x(t) VJ+1，则x(t)表示为
J
x(t) c0[k]0,k(t) dj[k] j,k(t)
k
j0 k
其中
d j [k ] x(t ), j ,k (t ) c0 [k ] x(t ),0,k (t )
问题：如何有效地计算系数{c0[k],d0[k],d1[k], ,dJ [k]}
x[5]
d1[2]

1 1
例 试确定p=1时DWT中的滤波器h0[k]和h1[k]。 (Haar小波，db1,D2)
解：p=1时，满足条件的最低阶Q(z)是零阶多项式，设
Q(z)＝A 故
P(z) (1 z)(1 z1)A A(2 z z1)
由
P(z)+P(z)= 2
可得
A=1/2
P(z) 1 (1 z)(1 z1) 1 z 1 z1
,2
; k 0, 1} 2
h1[k]的矩特性：
h1[k] 0
k
例 试确定p=2时DWT中的滤波器h0[k]和h1[k]。(db2,D4)
解：p=2时，最低阶Q(z)是一阶对称多项式，设 Q(z)= bz+a+bz-1
故
P(z) (1 z)2(1 z1)2(bz a bz1)
离散小波反变换的重构算法
c j[k]
d j[k]
2
h0 [ k ]
+2ຫໍສະໝຸດ h1 [ k ]IDWT一级重构算法框图
c j1[k ]
证明
x(t)Vj1 Vj Wj
x(t ) c j1[n] j1,n (t ) n
x(t ) c j[k] j,k (t ) d j[k] j,k (t )
n
c j [k ] x(t ), j ,k (t )
h0 [n 2k ] x(t ), j1,n (t )
n
c j [k ] h0 [n 2k ] c j1[n]
n
证明
小波函数(t)的MRA方程
(t ) h1[n] 2 (2t n)
无混叠条件
正交DWT(Discrete Wavelet Transform)
PR条件对正交DWT的约束：
H0(z1)H0(z) H1(z1)H1(z) 2
H0(z1)H0(z) H1(z1)H1(z) 0
混叠抵消方案：
取 H1(z)= zMH0(z1) ， M 为奇数，则有
x[k]
h0[k]
c1[k]
2
c1[k] 2
¬
h0[k] c~1
x[k]
+
c0[k]
h1[k]
d1[k]
2
d1[k]
¬
2
~ h1[k] d1
小波分解 PR条件对正交DWT的约束：
小波重建 重建条件
H0(z1)H0(z) H1(z1)H1(z) 2
H0(z1)H0(z) H1(z1)H1(z) 0
n
j ,k (t ) h1[n 2k ] j1,n (t )
n
d j [k ] x(t ), j ,k (t )
h1[n 2k ] x(t ), j1,n (t )
n
d j [k ] h1[n 2k ] c j1[n]
n
小波变换与滤波器组
2
c1[0]
1 1
x[0]

c1[1]


11


x[1]
c1 [2]


c1[3]
d1
[0]

1 2 1

1
1
1
1
x[2]
1

x[3]

H8
T
x
x[4]

d1[1]

1 1
n
k
小波变换与滤波器组
离散小波反变换的重构算法
cj1[k] d j1[k]
2
h0[ k]
+ cj[k] 2
h0[k ]
2
h1[ k]
+
d j[k]
2
h1[ k]
IDWT二级重构算法框图
cj1 [k]
(一级)正交DWT(Discrete Wavelet Transform)
x[k]
h0[k]
P(z)中常数项的系数： 4b+6a+4b P(z)中z2项的系数： 4b+a
由 可得
P(z)+P(z)= 2
4b+6a+4b=1 4b+a=0
解方程得： a=4/16 b= -1/16
例 试确定p=2时DWT中的滤波器h0[k]和h1[k]。(db2,D4)
P( z) 1 (1 z) 2 (1 z 1 ) 2 ( z 4 z 1 ) 16
h0[k]h0[k 2n] [n]
k
h0[k]关于偶数倍位移正交。
正交DWT中滤波器的基本特性
H1(z)= zMH0(z1) ， M 为奇数。 2. H1(z1)H1(z) H1(z1)H1(z) 2
h1[k]h1[k 2n] [n]
k
h1[k]关于偶数倍位移正交。
(1

3)2 (1 z)2(1 z1)2 1 (2
3)z 1 (2
3)z1
16 2
H0(z)
1 4
3 2
(1
z1)2 1 (2
3)z1
1 3 3 3 3 3 1 3
h0[k] { 4 2 ,
, 42
, 42
; k 0, 1, 2, 3} 42
k
k
j,k (t ) h0[n 2k] j1,n (t ) n
j,k (t ) h1[n 2k] j1,n (t ) n
x(t)
c j[k] h0[n 2k] j1,n (t )
n
k
d j[k] h1[n 2k] j1,n (t )
k
则称序列x[k]和y[k]关于
偶数倍位移双正交。
若x[k]＝y[k]，称序列x[k]关于 偶数倍位移正交。
序列的互相关与序列的(双)正交
序列双正交的z域条件
若序列x[k]和y[k] 关于偶数倍位移双正交，则有
X (z1)Y(z) X (z1)Y(z) 2
证： 由rxy[2n] [n]， 可得
构成了一组正交基。
序列的互相关与序列的(双)正交
序列互相关的定义
rxy[n] x[k]y[k n]
k
序列互相关的z域特性
{rxy[n]} Rxy(z) X (z1)Y(z)
定义(双正交) 若序列x[k]和y[k]满足
x[k], y[k 2n] x[k]y[k 2n] rxy[2n] [n]
cj1[k]
d j1[k] d j[k]
小波变换的二级分解算法（Mallat算法） Algorithme a Trous
证明
尺度函数(t)的MRA方程
(t ) h0 [n] 2 (2t n)
n
j ,k (t ) h0 [n 2k ] j1,n (t )
结论：若已知cj+1[k]=<x(t),j+1,k(t)> ，则
h0[k] y0[k]
2
cj[k]=y0[2k]
c j1[k ]
h1[k] y1[k]
2
dj[k]=y1[2k]
小波变换与滤波器组
cj1 [k]
h0[k] 2 h1[k] 2
h0[k] 2
c j[k]
h1[k] 2
正交DWT中滤波器的基本特性
H1(z)= zMH0(z1) ， M 为奇数。
6．若H0(ejp)=0，则由
H0(z1)H0(z) H0(z1)H0(z) 2
可得
H0(ej0)2 2
所以
H0(ej0) 2
h0[k] 2
k
Daubechies(道贝切斯)正交小波的构造
Rxy(z1/2) Rxy(z1/2) / 2 1
由于上式对任意的z均成立，故上式可等价的写为
Rxy(z) Rxy(z) 2
由于Rxy(z)=X(z-1)Y(z)，所以
X (z1)Y(z) X (z1)Y(z) 2
正交DWT(Discrete Wavelet Transform)
正交DWT中滤波器的基本特性
H1(z)= zMH0(z1) ， M 为奇数。 3. H0(z1)H1(z) H0(z1)H1(z) 0
h0[k]h1[k 2n] 0
k
h0[k]与h1[k]关于偶数倍位移正交。
4. H1(ejπ) H0(ej0) 5. h1[k] (1)kh0[M k]