2015届高三数学三轮复习 三角恒等变换高频考点新题演练(含解析)

【原创】《博雅高考》2015届高三数学三轮高频考点新题演练：
三角恒等变换（含解析）
一、选择题。

1．若sin()cos()
=3
sin()cos()α-π+π-απ+α-π+α，则tan （π+α）=（ ） （A ）21
（B ）2 （C ）1 （D ）-2
【答案】B
【解析】选B ．由sin()cos()sin()cos()α-π+π-απ+α-π+α=sin cos sin (cos )-α-α-α--α=sin cos sin cos α+αα-α =tan 1
tan 1α+α-
=3．即
tan 1=3tan 3α+α-，解得2tan =α，又tan （π+α）=2tan =α。

2．设函数
(
)11sin 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-+< ⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于y 轴对称，则函数
()
y f x =的一个单调递减区间是（ ）
A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
D ．
3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ 【答案】C
【解析】函数(
)1111
2sin 2sin 222223f x x x x πθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，图像
关于y 轴对称，必有
()
3
2
k k Z π
π
θπ-
=
+∈所以：
()
56k k Z πθπ=
+∈，又因为：
2πθ<，所以当1k =-时，6π
θ=-，所以()1
12sin 2cos 222f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()y f x =单
调递减区间：由
1
22,2k x k k Z πππ-+≤
≤∈解得：244,k x k k Z πππ-+≤≤∈，所以
()
y f x =的单调递减区间是：
[]()24,4k k k Z πππ-+∈，当0k =时，单调递减区间是：
[]2,0π-，显然C 正确．
3．已知
31)6
sin(
=
-απ
，则)3(2cos απ
+的值是（ ）
A.97
B.31
C.31-
D.97
-
【答案】D.
【解析】∵
1sin()63πα-=，∴27cos(2)cos[2()]12sin ()3669πππααα-=-=--=
， ∴
27
cos[2()]cos(2)cos[(2)]cos(2)33339ππππααπαα+=+=--=--=-
． 4．已知53
4sin )3sin(=
++ααπ，则)67sin(πα+的是（ ） A.
53
2-
B.532
C.54
D.54-
【答案】D.
【解析】
sin()sin sin cos cos sin sin 35335πππααααα++=⇒++=
314
sin cos 225αααα⇒+=⇒+=，
∴
77714
sin()sin cos cos sin cos )66625πππααααα+
=+=-+=-．
5．过平面区域
202020x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
内一点P 作圆
22
:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为( )
A. B.1920 C.910 D.1
2
【答案】C
【解析】因为OP AP ⊥，所以在Rt AOP ∆中
1sin
2
r OP OP α
=
=
，
222cos 12sin 1OP αα=-=-
，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而函数cos y α=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，
所以当α最小时
221OP -
最大，因为221OP -
为增函数则此时OP 最大。

根据不等式表示的
可行域可知当
()
4,2P -时
max OP =
=。

综上可得α最小时
()
max 2
2
19(cos )111010
α=-
=-
=。

故C 正确。

6．在平面坐标系xoy 中，直线)10(2:<<+=m m x y l 与圆122=+y x 相交于B A ,,（A 在
第一象限）两个不同的点，且,,βα=∠=∠AOB xOA 则)2sin(βα+的值是 （ ）
A ．54-
B ．54
C ．34
-
D ．34
【答案】A
【解析】如图，则xOA ACO BAO ∠=∠+∠，∴
2
ACO πβ
α-=∠+
,即
22ACO αβπ+=∠+,
∴sin(2)sin(2)sin(2)ACO ACO αβπ+=∠+=-∠，由题意得，tan 2ACO ∠=,
又∵
02ACO π
<∠<
，∴
sin ACO ACO ∠=
∠=∴
4
sin(2)sin(2)2sin cos 5ACO ACO ACO αβ+=-∠=-∠∠=-
．
二、填空题。

7
．
已
知
⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛∈20πα，，且
3
4tan =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πα，则
)
cos sin 3(log )cos 2(sin log 55αααα+-+=____.
【答案】0.
【解析】利用两角和的正切公式得tan 1tan 341tan πααα+⎛
⎫+== ⎪-⎝⎭，
1
tan 2α∴=，而 55log (sin 2cos )log (3sin cos )αααα+-+=
5
sin 2cos log 3sin cos αααα++=5
tan 2
log 3tan 1αα++=5log 1=0. 故应填
0.
8．观察下列一组等式：
①
223sin 30+cos 60+sin 30cos60=
4，②223sin 15+cos 45+sin15cos 45=4， ③
223
sin 45+cos 75+sin 45cos75=
4，……，
那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：__ ____网]
【答案】
223sin cos (30)sin cos(30)4x x x x ++++=
【解析】解：观察下列一组等式：
①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=3 /4 ， ②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=3 /4 ， ③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=3/ 4 ，…， 照此规律，可以得到的一般结果应该是
sin2（30°+x ）+sin （30°+x ）cos （30°-x ）+cos2（30°-x ），右边的式子：3 /4 ，
故答案为：sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=3 /4 三、解答题。

9．已知函数
(
)2
3sin cos
f x x x x
=-+
,R
x∈.
（1）求
()
f x
的最大值和取得最大值时x的集合.
（2）设
0,
2
π
α⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭，
,
2
π
βπ
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭，
29
325
f
πα
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭，
536
21213
f
βπ
⎛⎫
+=-
⎪
⎝⎭，求()
cosαβ
+
的值．
【答案】（1）综上
()
f x
的最大值为2,此时x值的集合为
5
|,
12
x x k k Z
π
π
⎧⎫
=+∈
⎨⎬
⎩⎭
（2）
63 65 -
【解析】（1）由题可得
(
)2
3sin cos
f x x x x
=-+
31cos2
sin2
22
x
x
+
=-+
2分
3
sin2cos2
22
x x
=-
3sin2
3
x
π
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭4分
所以当
()
22
32
x k k Z
ππ
π
-=+∈
,即
5
12
x k
π
π
=+
,函数
()
f x
取得最大值2.
综上
()
f x
的最大值为2,此时x值的集合为
5
|,
12
x x k k Z
π
π
⎧⎫
=+∈
⎨⎬
⎩⎭6分（2）
()
229
3sin23sin3sin
323235 f
παπαπ
παα
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
-=--=-== ⎪ ⎪
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
∴
3
sin
5
α=
7分
55363sin 23sin 3cos 2122123213f βπβπππββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+-=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∴
12
cos 13β=-
8分
0,2
πα⎛⎫∈ ⎪
⎝
⎭，
,2πβπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
∴
4cos 5α===
，5sin 13β===
10分
∴
()4123563
cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=-=⨯--⨯=-
⎪⎝⎭ 12分
10．已知函数
)
0,0(12
sin 2)sin(3)(2
πφωφ
ωφω<<>-+++=x x x f 为奇函数，且相
邻两对称轴间的距离为2π
．
（1）当
)
4,2(π
π-
∈x 时，求)(x f 的单调递减区间；
（2）将函数)(x f y =的图象沿x 轴方向向右平移6π
个单位长度，再把横坐标缩短到原来的
21（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图象．当⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,12ππx 时，求函数)(x g 的值域． 【答案】（1）⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--4,2ππ；（2）]3,2[-
【解析】（1）先用余弦二倍角公式将其降幂，再用两角和差公式的逆用即化一公式将其化简
为
()2sin()
6f x x π
ωϕ=+-，两相邻对称轴间的距离为半个周期，从而可得ω的值，由函数为奇函数可求ϕ的值。

根据
)
4,2(π
π-
∈x 求整体角的X 围。

再此X 围内将整体角代入正
弦的单调减区，解得x 的X 围，即为所求。

（2）先将x 用
6x π
-
替换，再将x 用2x 替换即
可得函数)(x g y =。

根据x 的X 围得整体角的X 围，结合函数图像求函数的值域。

（1）由题知
)
6sin(2)cos()sin(3)(π
φωφωφω-
+=+-+=x x x x f ,
∵相邻两对称轴的距离为2π,∴2
,222==⨯==ωππ
ωπT , 3分
又∵)(x f 为奇函数,∴
)
(,6
,6
Z k k k ∈+=
=-
ππ
φππ
φ,
πφ<<0,∴
6π
φ=
,即)2sin(2)(x x f =, 5分
要使)(x f 单调递减,需
22π
π-
≤≤-x ,
42
π
π
-
≤≤-
x ,
∴)(x f 的单调减区间为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--4,2
ππ． 7分 (2) 由题知)
34sin(2)(π
-=x x g , 9分 ∵612
π
π
≤
≤-
x , ∴33432πππ≤
-≤-
x ,
23
)34sin(1≤
-≤-πx ，3)(2≤≤-x g ,
∴函数)(x g 的值域为]3,2[- 12分
11．如图所示，某建筑工地准备建造一间两面靠墙的三角形露天仓库堆放材料，已知已有两面墙CA 、CB 的夹角为60（即60ACB ∠=），现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于6米），为了使得仓库的面积尽可能大，记ABC θ∠=，问当θ为多少时，所建造的三角形露天仓库的面积最大，并求出最大值？
【答案】当60θ=时，所建造的三角形露天仓库的面积最大且值为93【解析】先利用正弦定理将边AC 、BC 表示成θ的代数式，然后利用三角形的面积公式将
ABC ∆的表示成θ的三角函数，并借助和差角公式二倍角公式以及辅助角公式对三角函数
解析式进行化简，并注意角θ的取值X 围，于是将问题转化为三角函数在定区间上的最值问题，利用整体法求解即可.
在ABC ∆中，由正弦定理：
2sin sin sin 33AC AB BC
ππθθ==⎛⎫
- ⎪⎝⎭， 化简得：43AC θ=，
433BC πθ⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭， 所以
1sin 23ABC S AC BC π
∆=
⋅⋅
13123sin 123sin 32πθθθθθ⎛⎫⎛
⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ )
2
1cos 2363sin 3cos 6322θθθθθ⎫-=+=+⎪⎪⎭
163sin 22
6πθ⎤⎛
⎫=+- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎦， 即
263233063ABC S ππθθ∆⎛⎫⎛
⎫
=-+<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以当
26
2π
π
θ-
=
，即
3π
θ=
时，()max ABC S ∆=
答：当60θ=时，所建造的三角形露天仓库的面积最大且值为.。