自考全国2020年10月高等数学(一)试题及答案解析

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自考全国2018年10月高等数学（一）试题
课程代码：00020
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设函数y=f (x)的定义域为(1，2)，则f (ax)(a<0)的定义域是( ) A.(a a 2,1) B.[a a 1,2)
C.(a ，2a)
D.(a a ,2] 2.设f (x)=x|x|，则f ′(0)=( )
A.1
B.-1
C.0
D.不存在
3.下列极限中不能应用洛必达法则的是( ) A.x x x ln lim
+∞→ B.x x x 2cos lim ∞→ C.x x x -→1ln lim 1 D.x e x x ln lim -+∞→ 4.设f (x)是连续函数，且⎰=x
x x dt t f 0cos )(，则f (x)=( ) A.cos x-xsin x
B.cos x+xsin x
C.sin x-xcos x
D.sin x+xcos x
5.设某商品的需求量D 对价格p 的需求函数为D=50-5p
，则需求价格弹性函数为( ) A.250-p p
B.p p -250
C.51p p -250
D.51
250-p p
2 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．设f (x)=x x
+1，则f (f (x))=_______.
7．n n n ln )1ln(lim +∞→=_______.
8．
=--→x a a x a x 1sin
)(lim _______. 9．设f ′(0)=1，则=--→t t f t f x 2)()3(lim 0_______. 10．设函数y=x+kln x 在[1，e]上满足罗尔定理的条件，则k=_______.
11．曲线y=ln 3
x 的竖直渐近线为_______.
12．曲线y=xln x-x 在x=e 处的切线方程为_______. 13．⎰-=-2121212dx x _______.
14．微分方程xy ′-yln y=0的通解是_______.
15．设z=(x+y)exy ，则)0,0(y z
∂∂=_______.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16．求极限.2cos 124lim 20x x x ---→
17．设y=x arc e cot -，求y ′.
18．求不定积分⎰-+.282x x dx
19．设z=x+y+xy 1，求)1,1(2x y z ∂∂∂.
20．设F(u ，v)可微，且v u F F '≠'，z （x ，y ）是由方程F （ax+bz ，ay-bz ）=0(b ≠0)所确
定的隐函数，求
. y z ∂∂
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．设y=ln(1+x+
),
(
1
1
arcsin
)
2
2>
+
+
+x
x
x
x
求y′.
22．计算定积分⎰
-
+
1
02
.
)
2(
)
1
ln(
dx
x
x
23．计算二重积分I=⎰⎰-
D
y dxdy
e2
，其中D是由x=0，y=1及y=x所围成的区域.
五、应用题（本大题9分）
求由抛物线y=x2和y=2-x2所围成图形的面积，并求此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积.
六、证明题（本大题5分）
设f (x)在[0，1]上连续，且当x∈[0，1]时，恒有f (x)<1.证明方程2x-⎰= x
dt
t
f
1
)(
在
（0，1）内至少存在一个根.
3。